Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité

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1 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Eercice On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par : f() E() pour [ ; 4[ f() pour [ 4 ; + [ a. Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère orthonormal du plan. b. Cette fonction est-elle continue sur [ ; + [? Pourquoi? Eercice Eercice La fonction donnée ci dessous représente une fonction définie sur [0 ;4]. Eercice 4. a. Donner le tableau de variation de f. b. La fonction f est-elle continue sur [0 ; 4]? f, quel théorème peuton appliquer et pourquoi? b. En appliquant ce théorème à l intervalle [ ; 4], montrer que l équation f ( ) admet une unique solution α. c. Donner une valeur approchée de α.. a. Sur l intervalle [ ; 4], pour résoudre l équation ( ) /8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

2 Dérivabilité Eercice 5 Etudier les variations de chacune des fonctions suivantes après avoir précisé les ensembles de définition et de dérivabilité. f + a. ( ) ( ) ( ) b. f ( ) ( 4 5) 4 e. ( ) ( ) f + f. f ( ) g. g( ) ( ) 4 4 c. f ( ) ( + ) ( ) d. f ( ) + h. f ( ) i. f ( ) j. f ( ) + + Eercice 8 Etude de fonctions - Problème de synthèse Eercice 6 Eercice 9 Eercice 7 /8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

3 Eercice 0 Eercice Soit f la fonction définie par : f ( ). Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Démontrer que f est continue sur D f.. Etudier la dérivabilité de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat. Eercice On donne f la fonction définie par : f ( ). Déterminer l ensemble de définition D de f.. Ecrire f sans valeur absolue. Démontrer que f est continue sur D. 4. Représenter la courbe représentative de f. 4 Eercice 4. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa fonction dérivée : a. f est définie sur R par f() ( ) b. g est définie sur [0 ; + [ par g() + c. h est définie sur [0 ; + [ par h() 5 +. Déterminer les dérivées de chacune des fonctions suivantes : a. f : a sur [ ; + [ b. h : a sur R *. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition et l ensemble sur lequel elle est dérivable. Déterminer alors la dérivée de chacune d elles. a. f() ² b. g() ( + ) 5 ² + 7 c. h() d. k() ² 6 (5² ) e. m() ( + ) 4 f. n() On pose : g() +. a. Etudier les variations de g. b. Démontrer que l équation g() 0 admet dans R une solution unique α. c. Déterminer une valeur approchée de α à 0 - près. d. Etudier le signe de g() selon les valeurs de. Eercice 5 Eercice On considère la fonction suivante définie D ]- ; [ f ( ) E( ) sin( ) E désignant la fonction partie entière Etudier la continuité de f sur D. /8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

4 Eercice 6 Eercice 7 On considère la fonction h définie par : h().. Dresser le tableau de variation de h.. Pour k réel donné, étudier le nombre de solutions dans R de l équation h() k.. Démontrer que l équation h() 8 a une solution unique α. Donner un encadrement de α à 0 - près. Eercice 8 4/8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

5 Eercice 9 Eercice Eercice 0 Eercice 5/8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

6 Eercice Eercice 5 Eercice 4 6/8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

7 Eercice 7 Eercice 6 Eercice 8 ( ) Soit f la fonction définie sur R par f ( ) et soit C sa courbe représentative + dans le plan rapporté à un repère orthonormal d unité cm.. Montrer qu il eiste un unique triplet de réels (a ; b ;c) que l on déterminera, tel que pour tout réel : c f ( ) a + b +. Déterminer les limites de f en - et en +.. Montrer que f est dérivable sur R et calculer sa dérivée. 4. Dresser le tableau des variations de f. 5. Donner l équation de la tangente T à C au point d abscisse 0. Tracer A, T et la courbe C. 6. Montrer que l équation f() a une solution unique dans R. On notera α cette solution. Donner une valeur approchée de α à 0 - près par ecès. + 7/8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

8 Eercice 9 (Métropole Juin 0) Annales baccalauréat 8/8 Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 05/06

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