Bases de l Électromagnétisme Equations de Maxwell et leurs conséquences

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Beatrice Lefrançois
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1 Ondes Électromagnétiques Bases de l Électromagnétisme Equations de Maxwell et leurs conséquences 1 Grandeurs fondamentales électriques et magnétiques Les grandeurs électromagnétiques fondamentales sont : Le champ électrique E (/m) et la force électromotrice F e = q E L induction électrique (vecteur dépendant), D (A.s.m 2 ) Le champ magnétique H (A.m 1 ) L induction magnétique B (.s.m 1 ou T ) En milieu linéaire on a : D = ε E et B = µ H. ε s appelle la permitivité absolue du milieu (en A.s. 1.m 1 ) d autre part en général on utilise plutôt la permitivité relative ε r du milieu avec la relation ε = ε 0 ε r où ε 0 représente la permitivité absolue de l air ou du 1 vide. ε 0 = 36π10 9 A.s. 1.m 1. µ s appelle la perméabilité absolue du milieu (en.s.a 1.m 1 ) d autre part en général on utilise plutôt la perméabilité relative µ r du milieu avec la relation µ = µ 0 µ r où µ 0 représente la perméabilité absolue de l air ou du vide. µ 0 = 4π10 7.s.A 1.m 1. On définit aussi d autres grandeurs : la densité de charge volumique ρ (.m 3 ), ou surfacique ρ s (.m 2 ) ; la densité de courant j (A.m 2 ) avec la relation j = j + j D avec j le courant de conduction et j D le courant de déplacement. Loi d Ohm : j = σ E avec σ la conductivité du milieu (.m 1 ) j D = D Le courant appliqué par les sources du champ est noté j a 2 Equations de Maxwell - onséquences 2.1 Equations de Maxwell Equations de Maxwell : rot E = B (équation de Maxwell-Faraday) rot H = D + σ E (+ j a ) (équation de Maxwell-Ampère) div D = ρ (équation de Maxwell-Gauss) div B = 0 ( B à flux conservatif) Avec en milieu linéaire D = ε E et B = µ H. 2.2 Loi de Faraday Loi de Faraday : φ( B ) E dl =, la circulation de E sur la courbe fermée est égale au flux de B à travers la surface délimitée par. Ondes Électromagnétiques - hap 2: Bases de l Électromagnétisme TELEOM 1A (r0ro) Page 1/5

2 D après l équation de Maxwell-Faraday : rot E = B le théorème de tockes on obtient alors rot E d = délimitant, on a donc bien 2.3 Théorème d Ampère E dl = φ( B ) donc : E dl = par définition du flux de B. rot E B d = d en appliquant B d où est le contour fermé Théorème d Ampère : H dl = Ie, la circulation de H sur la courbe fermée est égale à la somme algébrique des courants enlacés I e. D après l équation de Maxwell-Ampère : rot H = j donc rot H d = j d or le théorème de tockes donne rot H d = H dl = j d donc par définition du courant enlacé, on a bien H dl = Ie 2.4 Théorème de Gauss Théorème de Gauss : Dd = Qint, le flux de D à travers la surface fermée est égale à Q int la somme algébrique des charges contenues dans le volume délimité par D après l équation de Maxwell-Gauss : div D = ρ donc div D d = ρ d or le théorème d Ostrogradsky donne div D d = Dd = ρ d donc par définition de la charge intérieure, on a bien Dd = Qint 2.5 onservation de la charge onservation de la charge : φ ( B ) = 0, le flux de B à travers une surface fermée est nul. D après l équation de B à flux conservatif : div B = 0 donc div B d = 0 or le théorème d Ostrogradsky donne div B d = B d = 0 donc par définition du flux de B, on a bien φ ( B ) = 0 3 Différents milieux On considère un olume qui ne contient pas les sources du milieu j a = Diélectrique parfait isolant (σ = 0) En régime permanent ρ = 0 donc les équations de Maxwell deviennent : rot E = µ H rot H = ε E div D = 0 div B = 0 Le milieu sera dit homogène et isotrope si ε = cst et µ = cst. En notation complexe on a : rot E = jµω H rot H = jωε E div E = 0 div H = 0 Ondes Électromagnétiques - hap 2: Bases de l Électromagnétisme TELEOM 1A (r0ro) Page 2/5

3 3.2 Milieu à pertes purement diélectriques e milieu est isolant donc σ = 0. Les pertes diélectriques s expliquent par un permitivité complexe : ε c = ε jε avec ε, ε 0. On ne travaille donc qu en notation complexe. (Attention D = ε c E mais D εc E ) D = ε E jε E = ε E jω ε E = ε E ε E ω ω donc on a D = ε E ε E ω Définition 1 : On introduit δ e l angle de pertes diélectriques, avec tan δ e = ε ε i tan δ e < 10 4, 10 3 les pertes peuvent être négligées, si tan δ e > 10 3 les pertes doivent être considérées. ε c = ε 0 ε r (1 j tan δ e ) On a la relation : 3.3 Milieu à pertes purement magnétiques Les pertes diélectriques s expliquent par une perméabilité complexe : µ c = µ jµ, avec µ, µ 0 B = µ c H Définition 2 : De manière analogue aux pertes diélectriques on définit δ m l angle de pertes magnétiques, avec tan δ m = µ µ On a la relation : µ c = µ 0 µ r (1 j tan δ m ) 3.4 Milieu à pertes par effet Joule Il s agit ici de milieux conducteurs donc σ 0, j e = σ E, on considère qu il n y a ni pertes diélectriques (ε = 0) ni pertes magnétiques (µ = 0). rot H = jω(ε j σ L équation de Maxwell devient donc : ω ) E On pose alors apparent avec ε ca = ε j σ ω tan δ ca = σ εω la permitivité complexe apparente. On introduit aussi δca l angle de pertes 3.5 onducteurs On définit les très bons conducteurs pour lesquels : σ les très mauvais conducteurs pour lesquels : εω 1 σ εω 1 ie δ ca π 2, et les conducteurs intermédiaires pour lesquels on ne peut pas faire de simplification : tan δ ca = σ εω 3.6 as général Le cas général est un milieu où les grandeurs ε, ε, µ, µ et σ sont non nulles, alors on a : tan δ ca = ε + σ ω ε 4 Relations de passage d un milieu à un autre On considère un changement brusque entre deux milieux caractérisés par ε 1, µ 1, σ 1 et ε 2, µ 2, σ 2. Entre les milieux on a une séparatrice Σ caractérisée par une densité de courant surfacique j et une densité de charges surfacique ρ. ρ est non nul si l un des deux milieux présente des pertes. j est non nul si l un des deux milieux est un conducteur parfait. Ondes Électromagnétiques - hap 2: Bases de l Électromagnétisme TELEOM 1A (r0ro) Page 3/5

4 4.1 onditions aux limites E t2 E t1 = 0 B n2 B n1 = 0 D n2 D n1 = ρ n12 n 12 ( Ht2 Ht1 ) = j avec t indice de la composante tangentielle, n l indice de la composante normale et n 12 la normale à l interface dirigée du milieu 1 vers le milieu hamp électrique La loi de Faraday nous donne : B d 0. On en déduit alors que Et2 E t1 = 0 tangentiel à Σ Induction magnétique E dl = B d, et en faisant tendre h vers 0 on a 0 donc en intégrant et en projetant selon t, vecteur unitaire B est à flux conservatif donc B d = 0, d où la relation Φlateral + B 2. n 12 B 1. n 12 = 0 En faisant tendre h 0 il vient que Φ lateral 0 ainsi on a B 2. n 12 B 1. n 12 = 0 c est-à-dire B n2 B n1 = Induction électrique D après l équation de Maxwell-Gauss : Dd = Qint = Q vol + Q surf, or Φ lateral + D 2 n12 D 1 n12 = Q vol + Q surf donc en faisant tendre h 0 il vient que Φ lateral 0 et Q vol 0, donc D 2 n12 D 1 n12 = Q surf = ρ n 12 Ondes Électromagnétiques - hap 2: Bases de l Électromagnétisme TELEOM 1A (r0ro) Page 4/5

5 d où finalement D n2 D n1 = ρ n hamp magnétique D après l équation de Maxwell-Ampère : rot H = j d où rot H d = j d = Φ( j )vol + Φ( j ) surf or H dl = Φ( j )vol +Φ( j ) surf, en faisant tendre h 0 on a Φ(j) vol 0 donc H 2 t l H1 t l = j t l donc finalement 4.2 as particuliers n 12 ( Ht2 Ht1 ) = j Interface diélectrique parfait / diélectrique parfait Dans ce cas on a ρ = 0, j = 0 donc E t2 = E t1 B n2 = B n1 D n2 = D n1 H t2 = Ht1 ) Interface diélectrique / conducteur Dans ce cas on a ρ 0, j = 0 donc E t2 = E t1 B n2 = B n1 D n2 D n1 H t2 = Ht1 ) = ρ n Interface diélectrique / conducteur parfait Dans ce cas on a ρ 0, j 0 et si le milieu 1 est conducteur parfait on a E 1 = B 1 = D 1 = H 1 = 0 donc E t2 = 0 B n2 = 0 D n2 = ρ n12 n 12 Ht2 = j A la surface d un conducteur parfait le champ électrique est normal et le champ magnétique est tangentiel. Ondes Électromagnétiques - hap 2: Bases de l Électromagnétisme TELEOM 1A (r0ro) Page 5/5

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