Mécanique du vol d un ballon-sonde

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1 3582_ Page 177 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir SUJET SUJET 1 SUJET NATIONAL JUIN 24 Avant de commencer EXERCICE 1 (obligatoire et spécialité) Thèmes du programme Mécanique de Newton. Étude de cas. Analyse de l exercice L exercice étudie la phase d ascension d un ballon-sonde dans l atmosphère, de la phase de décollage jusqu à l obtention de sa vitesse limite. Il exploite donc essentiellement la deuxième loi de Newton et le bilan des actions auxquelles est soumis le ballon (poussée d Archimède comprise). L équation différentielle régissant le mouvement étant non linéaire, on propose de la résoudre par la méthode numérique approchée d Euler. Il est donc nécessaire de procéder avec méthode pour ne pas perdre son temps (1 h 3 min maximum pour résoudre l exercice). Répondez aux questions dans l ordre où elles sont posées, et mettez bien en évidence vos résultats (encadrez vos équations). Respectez aussi le nombre de chiffres significatifs (en particulier lors des calculs dans la méthode d Euler) : pas la peine d inscrire tout ce qu indique votre calculatrice! EXERCICE 2 (obligatoire et spécialité) Thèmes du programme Aspects énergétiques. Transitions lumineuses, spectres atomiques. Analyse de l exercice Cet exercice s insère dans un énoncé plus complet regroupant à la fois une partie de chimie et cette partie de physique. On trouvera la correction de la partie A dans les Annales Vuibert bac 25 Chimie. L exercice traite de l émission lumineuse indirecte de tubes fluorescents, à partir de l émission UV d une vapeur de mercure ; il reste très proche des connaissances à acquérir sur le spectre d émission d un atome. Pour la première question, souvenez-vous que le spectre est caractéristique de l élément et celui-ci regroupe longueur d onde (des raies) et intensités relatives. N oubliez pas dans vos calculs de convertir les ev en Joules dans le calcul des longueurs d onde. Exercice 1 (obligatoire et spécialité) (6,5 points) Mécanique du vol d un ballon-sonde Un ballon-sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l hélium. Une nacelle attachée au ballon emporte du matériel scientifique afin d étudier la composition de l atmosphère. En montant, le ballon grossit car la pression atmosphérique diminue. Sa paroi élastique finit par éclater à une altitude généralement comprise entre 2 et 3 kilomètres. Après l éclatement, un petit parachute s ouvre pour ramener la nacelle et son matériel scientifique au sol. Il faut ensuite localiser la nacelle, puis la récupérer pour exploiter l ensemble des expériences embarquées. 177

2 3582_ Page 178 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir Partie A : Mécanique du vol L objectif de cette partie est d étudier la mécanique du vol du ballon-sonde à faible altitude (sur les premières centaines de mètres). On peut alors considérer que l accélération de la pesanteur g, le volume du ballon V b et la masse volumique de l air restent constantes. On modélisera la valeur f de la force de frottement de l air sur le système étudié par l expression : f = K v2 où K est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre d inertie du système {ballon + nacelle}. On supposera qu il n y a pas de vent (le mouvement s effectue dans la direction verticale) et que le volume de la nacelle est négligeable par rapport au volume du ballon. Le système {ballon + nacelle} est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen. 1. Condition de décollage du ballon a. Établir le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque le ballon vient juste de décoller. Indiquer le sens et la direction de chaque force. b. La poussée d Archimède. Donner l expression littérale de la valeur F A de la poussée d Archimède. c. Soit M la masse du système. Appliquer au système la deuxième loi de Newton (seule la relation vectorielle est demandée). d. La vitesse initiale du ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, à quelle condition doit satisfaire le vecteur accélération pour que le ballon puisse s élever? En déduire une condition sur M (on projettera la relation obtenue à la question 1.c. sur un axe vertical orienté vers le haut). e. En déduire la masse maximale de matériel scientifique que l on peut embarquer dans la nacelle. Données : = 1,22 kg m 3 V b = 9, m 3 Masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,1 kg Masse de la nacelle vide : m =,5 kg. 178

3 3582_ Page 179 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir 2. Ascension du ballon a. À partir de la question c et en conservant l axe défini à la question 1. d, montrer que l équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettre sous la forme A v 2 dv + B = et donner les expressions de A et B. dt La masse de matériel embarqué étant de 2, kg l application numérique donne : A =,53 m 1 et B = 13,6 m s 2. b. Une méthode de résolution numérique, la méthode d Euler, permet de calculer de façon approchée la vitesse instantanée du ballon à différentes dates en utilisant la relation suivante : vt ( n + 1 ) = vt ( n ) + v( t n ) avec v( t n ) = at ( n ) t. t n + 1 = t n + t où t est le pas de résolution. Par cette méthode on souhaite calculer la vitesse v 1 à l instant de date t 1 =,5 s et la vitesse v 2 à l instant de date t 2 =,1 s, la vitesse initiale du ballon étant nulle. On prendra t =,5 s. En utilisant la méthode d Euler, l équation différentielle de la question 2.a. et les valeurs de A et B, compléter le tableau ci-après : Date t (en s) Valeur de la vitesse v(t n ) (en m s 1 ) Valeur de l accélération a(t n ) (en m s 2 ) t =, 13,6 t 1 =,5 t 2 =,1 v(t n ) (en m s 1 ) 179

4 3582_ Page 18 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir 3. Vitesse limite du ballon a. Donner l expression littérale de la vitesse limite v du ballon en fonction de A et B. b. Calculer cette vitesse limite. c. La méthode d Euler donne le graphique suivant : v (en m/s) ,2,4,6,8 1 t (en s) Comparer la vitesse limite calculée au 3.b., à la valeur lue sur le graphique (le calcul de l écart relatif n est pas demandé). Partie B : Le poids et la poussée d Archimède varient-ils avec l altitude? Le tableau suivant donne quelques valeurs de grandeurs mesurées au voisinage de la Terre. Altitude h (en m) Accélération de la pesanteur g(h) (en m s 2 ) Masse volumique de l air (h) (en kg m 3 ) 9,866 9,836 9,85 9,7974 9,7943 9,7912 9,7882 9,7851 9,782 9,7789 1,22 1,11 1,,9,82,73,66,59,52,46 18

5 3582_ Page 181 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir 1. Le poids g g En calculant l écart relatif g = , montrer que pour les altitudes figurant dans le tableau précédent, g g l accélération de la pesanteur peut être considérée comme constante à moins de 1 % près. On peut donc considérer que le poids est constant entre les altitudes m et 9 m. 2. La poussée d Archimède En s aidant de la phrase en gras dans l introduction de l exercice et en considérant qualitativement l évolution avec l altitude de chaque paramètre intervenant dans la poussée d Archimède (dont la valeur est notée F A ), choisir et justifier la conclusion qui convient parmi les propositions suivantes : a. F A augmente. b. F A reste constante. c. F A diminue. d. On ne peut pas conclure. Exercice 2 (obligatoire et spécialité) (3,5 points) Bizarre, bizarre Pour cet exercice, seule la partie consacrée à l étude physique d un tube fluorescent est donnée ici. Vous trouverez la partie A de l exercice dans les Annales Vuibert de Chimie. Partie B : Principe de fonctionnement d un tube fluorescent Le tube fluorescent étudié est constitué d un cyclindre de verre qui contient un gaz à basse pression. La paroi intérieure du cylindre est recouverte d une poudre fluorescente. Lorsque le tube est mis sous tension, une décharge électrique se produit : des électrons circulent dans le gaz entre les deux électrodes. Les électrons bombardent les atomes gazeux et leur cèdent de l énergie. Le schéma simplifié du circuit est donné ci-dessous : G Électrode Gaz Poudre fluorescente Paroi du tube 181

6 3582_ Page 182 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir 1. On donne pages 183 et 184 les spectres, dans le visible, des lumières émises par deux tubes fluorescents et deux lampes (une lampe à vapeur de mercure et une lampe à vapeur de sodium) vendus dans le commerce. Quel est le gaz contenu dans les tubes 1 et 2? Justifier. 2. Étude du spectre du mercure Le diagramme ci-dessous représente quelques niveaux d énergie de l atome de mercure. Énergie en ev,9 E 4 3,73 4,99 5,54 E 3 E 2 E 1 1,44 E a. Comment désigne-t-on le niveau le plus bas E sur le diagramme énergétique? b. Un électron cède une partie de son énergie à un atome de mercure. L énergie de celui-ci passe du niveau E au niveau E 1. Comment qualifie-t-on l état dans lequel se trouve alors l atome de mercure? c. Retour vers E. Lors de la transition du niveau E 1 vers le niveau E, l atome de mercure perd un quantum d énergie. On donne : la valeur de la constante de Planck : h = 6, S.I. ; la valeur de la célérité de la lumière dans le vide : c = 3, 1 8 m s 1. On rappelle que : 1 ev = 1, J. d. Comment se manifeste cette perte d énergie? 182

7 3582_ Page 183 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir e. Calculer la longueur d onde 1 correspondante dans le vide. f. Après avoir rappelé les limites des longueurs d onde dans le vide du spectre visible, dire dans quel domaine, ultraviolet (UV), visible ou infrarouge (IR), se situe la radiation de longueur d onde Des UV à la lumière visible a. Pour que la poudre produise de la lumière visible, elle doit être soumise à un rayonnement dont la longueur d onde est comprise entre 2 nm et 3 nm. Elle émet alors de la lumière dont le spectre est continu. La vapeur de mercure contenue dans le tube permet-elle à la poudre déposée sur les parois du tube d émettre de la lumière visible? Justifier. b. Un éclairage confortable pour la restitution des couleurs correspond à de la lumière dont le spectre est continu et se rapproche de celui de la lumière solaire. En comparant soit les spectres des figures 2 et 3, soit les spectres des figures 1 et 3 ci-dessus, indiquer le rôle des poudres. c. En comparant les spectres des figures 1 et 2, montrer que la nature de la poudre a une influence sur la couleur de la lumière émise. 183

8 3582_ Page 184 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir Spectres Ces représentations sont limitées aux rayonnements visibles. Intensité relative FIGURE 1 : Tube fluorescent (en nm) FIGURE 2 : Tube fluorescent 2 Intensité relative (en nm) Intensité relative FIGURE 3 : Lampe à vapeur de mercure (en nm) Intensité relative FIGURE 4 : Lampe à vapeur de sodium (en nm) 184

9 3582_ Page 185 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir SUJET CORRIGÉ 1 Exercice 1 (obligatoire et spécialité) Partie A : Mécanique du vol 1. Conditions de décollage du ballon a. Le système {ballon + nacelle} est soumis : à son poids gp, vertical descendant (orienté vers le bas) ; à la force de frottement exercée par l air bf, verticale et orientée vers le bas (elle s oppose au mouvement d ascension du ballon) ; à la poussée d Archimède e A, verticale. e A est la force opposée au poids du volume d air déplacé, soit (en négligeant le volume de la nacelle) opposée au poids du volume d air V b équivalent au ballon. Cette force est orientée vers le haut. b. Le volume d air déplacé V b a pour poids gp air = ( V b ) g cu Z, si cu Z est le vecteur unitaire orienté selon la verticale locale, vers le haut. Donc e A = gp air = ( V b g) cu Z F A = V b g (1) c. La seconde loi de Newton s écrit : M ca = e A + gp + bf = ( V b g Mg f) cu Z où ca est l accélération vectorielle du système, et en projetant sur cu Z les forces. Soit : Mca = ( V b M) g f cu Z (2) Remarque : l accélération ca est en fait celle du centre de masse du système. d. Initialement, si la vitesse initiale du ballon est nulle, alors f = K v 2 = : la force de frottement est nulle, et (2) s écrit : Mca = ( V b M) g cu Z (2 ) Soit a la valeur algébrique de l accélération : ca = a cu Z. (2 ) donne : Ma = ( V b M) g a = V b 1 g M (3) Le ballon pourra s élever si a >, soit : V b > 1 M M < V b Le ballon décollera si la poussée d Archimède est plus forte que le poids du système. e. La masse M totale s écrit : M = m + m + m equip, où m equip est la masse de matériel scientifique embarqué. M < V b m equip < V b m m soit m equip, max = V b m m 185

10 3582_ Page 186 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir Numériquement : m equip, max = 1,22 9, 2,1,5 = 8,38 kg m equip, max = 8,4 kg (Attention, 2 chiffres significatifs uniquement, comme V b = 9, m 3 ). 2. Ascension du ballon a. La deuxième loi de Newton a donné, selon cu Z : Ma = ( V b M) g f (2) or f = K v 2 a étant la valeur algébrique de l accélération et d a = v Z, avec cv = v Z cu dt Z Puisqu on se cantonne uniquement à l étude du mouvement d ascension, on a le droit d écrire : v Z > et a v Z = v = cv dv = , où v est la valeur de la vitesse dt dv Donc (2) donne : M = ( V b M) g K v 2 dt dv K v dt M 2 V = b 1 M g (4) qui est bien de la forme annoncée Av 2 + B, avec : A = K M B = V b g M (5) (Dans la suite, on prendra A =,53 m 1 et B = 13,6 m s 2.) b. On fait l approximation : dv vt ( ), car le pas t =,5 s est très petit dt t t soit v( t ) t dv dv =, où est donnée par l équation différentielle. dt dt t dv = Av dt 2 ( t = t ) + B = B = 13,6 m s 2 t donc v( t = 13,6,5 =,68 m s 1 ) De même, v(t 1 ) = v(t ) + v(t ) D où on a directement : v(t 1 ) =,68 m s 1 (v(t ) = ) On peut ensuite réinjecter cette nouvelle valeur v(t 1 ) dans l équation différentielle ce qui permet de calculer dv dt t 1 = a(t 1 ) : a(t 1 ) = Av 2 (t 1 ) + B a(t 1 ) =,53 (,68) ,6 = 13,4 m s 2 (3 chiffres significatifs) 186

11 3582_ Page 187 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir v( t D où l on déduit : a(t 1 ) 1 ) v( t = t a(t 1 ) t 1 ) v(t 1 ) = 13,4,5 =,67 m s 1 La dernière valeur v(t 2 ) s obtient par : v( t 1 ) = v(t 2 ) v(t 1 ) v(t 2 ) =,67 +,68 = 1,35 m s 1 Le tableau de valeurs demandées est donc : Date t i (s) Valeur v(t i ) (m s 1 ) Valeur a(t i ) (m s 2 ) v(t i ) (m s 1 ) t = 13,6,68 t 1 =,5,68 13,4,67 t 2 =,1 1,35 3. Vitesse limite du ballon a. Une fois la vitesse limite atteinte, le mouvement est uniforme, et l accélération reste constamment égale à : Selon l équation différentielle (4), il vient : dv a = = dt Av ( lim ) 2 + B = soit B v lim = = v (avec A < ) A 13,6 b. Numériquement : v en m s 1 = (2 chiffres significatifs),53 v 5,1 m s 1 c. Sur le graphique, on peut lire une vitesse limite d environ 5,1 m s 1, atteinte après environ 1 seconde. Cette valeur est en accord avec la valeur calculée précédemment. Partie B : Variations du poids et de la poussée d Archimède 1. Le poids g g g 9 g = = g 9,7789 9, ,866, donc : g g =,28246 % soit environ,3 % < 1 % Les valeurs de g aux attitudes h = m et h = 9 m, qui sont les valeurs maximale et minimale pour les altitudes proposées, ne diffèrent que d au plus,3 % : l accélération de la pesanteur peut être considérée comme constante. 2. La poussée d Archimède Selon la relation (1), F A = V b g, à mesure que l altitude h augmente : g reste constant pratiquement ; (h) (masse volumique de l air) diminue ; V b augmente (car la pression atmosphérique diminue, selon la phase soulignée dans l énoncé). F A compte donc deux évolutions contradictoires, et on ne peut pas conclure sur sa dépendance avec h (proposition d.). 187

12 3582_ Page 188 Lundi, 9. août 24 3:59 15 > Apogee FrameMaker Noir Exercice 2 (obligatoire et spécialité) Partie B : Physique 1. Le rayonnement émis par la lampe à vapeur de sodium ne comprend dans son spectre qu une raie autour de 59 nm, caractéristique de l élément sodium. A priori, les deux tubes 1 et 2 ne présentent pas une telle raie d émission, très piquée, autour de 59 nm. On peut cependant noter que les deux tubes émettent du rayonnement autour de 59 nm. On ne peut donc pas exclure la présence de sodium, même si elle semble peu probable. Le spectre de l élément mercure (longueurs d onde et intensités relatives) qui apparaît à la figure 3, peut être retrouvé dans le spectre des deux lampes. Or ce spectre est caractéristique de l élément mercure. Donc les tubes contiennent du mercure. Si l on admet que les deux tubes ne contiennent qu un seul et unique gaz, alors le gaz contenu dans les deux tubes est du mercure. 2. a. Le niveau le plus bas est le niveau fondamental (son énergie est E ). b. L énergie cédée par l électron permet à un atome de mercure de passer du niveau fondamental au premier état excité. L atome est susceptible de se désexciter en émettant un rayonnement. c. La perte d énergie se manifeste sous forme électromagnétique, à travers l émission d un rayonnement de longueur d onde précise 1 telle que : E 1 E hc = hc d. Soit 1 = (1) E 1 E 6,63 1 Numériquement : 34 3, 1 1 = ( 5,54 + 1,44) 1, en Joules grâce à e.) m (les énergies étant données en ev, il faut les convertir 6,63 3, 1 = ,6 4,9 1 7 m 1 = 2, m (avec 3 chiffres significatifs) e. Les limites des longueurs d onde dans le vide du spectre visible sont : 4 mm ( UV) < < 8 nm ( IR) visible Or nm : elle appartient donc au domaine ultraviolet. 3. Des UV à la lumière visible a. 2 nm < λ 1 < 3 nm : la poudre peut émettre de la lumière visible avec un spectre continu. C est d ailleurs ce que l on peut observer sur les spectres des deux tubes fluorescents : on observe de larges bandes d émission lumineuse continue, entre 4 et 68 nm environ. b. La lampe à vapeur de mercure seule (figure 3) n émet que quelques raies de longueurs d onde bien définies : un tel spectre s éloigne notablement du spectre continu du Soleil. En revanche, l émission des tubes fluorescents (figures 1 ou 2) est quasi-continue, grâce à la poudre fluorescente qui revêt la surface interne du tube. L ensemble du spectre (4 raies associées au mercure + émission large) est ainsi continu et se rapproche assez de celui de la lumière solaire. Remarque : les longueurs d onde élevées du visible, entre 7 et 8 nm, ne sont cependant pas reproduites. c. Le spectre de la figure 1 présente une intensité nettement plus soutenue autour de 58-6 nm ; cette émission est donc de couleur jaune-orangé. En revanche, le spectre de la figure 2 ne présente pas une telle augmentation de l intensité entre 58 et 6 nm, et l émission reste plutôt blanche (proche de l émission solaire). On voit que la nature de la poudre a une très grande influence sur la couleur de la lumière visible émise. 188