4 ETUDE DE L ASSERVISSEMENT. 4-1 Evaluation de la fonction de transfert du moto-réducteur
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- Denise Ménard
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1 4 ETUDE DE L ASSERVISSEMENT. 4-1 Evaluation de la fonction de transfert du moto-réducteur Le constructeur donne les caractéristiques électro-mécaniques exprimées à la sortie du réducteur. On rappelle les équations temporelles : u(t) = R.i(t) + L.d i(t) / dt + e(t) ; e(t) = ke. réd(t) Créd (t)= kc. i(t) ; Créd(t) Cr fv. réd(t)= Jéqu. d réd(t) / dt avec : u(t) tension appliquée aux bornes de l induit i(t) intensité du courant traversant l induit e(t) force électromotrice induite par la rotation du moteur, évaluée à la sortie du réducteur réd(t) vitesse de rotation à la sortie du réducteur Créd(t) couple moteur ramené à la sortie du réducteur R = 10 résistance de l induit L = 2,2 mh inductance de l induit kc = 2,1 N.m/A constante de couple évaluée à la sortie du réducteur ke = 2,1 V.s/rad constante de f.e.m évaluée à la sortie du réducteur Cr = 0,2 N.m couple résistant induit par les frottements secs, ramené à la sortie du réducteur fv = 0,04 Nm.s / rd coefficient de frottement visqueux équivalent à toutes les pièces en mouvement, ramené à la sortie du réducteur Jéqu = 7x10-3 kg.m 2 moment d inertie équivalent à toutes les pièces en mouvement, ramené à la sortie du réducteur. Les transformées de Laplace des fonctions u(t), i(t), e(t), réd(t), Créd(t) sont respectivement U(p), I(p), E(p), réd(p) et Créd(p). On considère toutes les conditions initiales nulles. Question 1. : Transformer les équations temporelles ci-dessus. Remplir sous forme littérale les blocs du schéma bloc du motoréducteur. Exprimer les grandeurs physiques entre chaque bloc. Transformer les équations temporelles : Remplir le schéma bloc sous forme littérale : Schéma-blocs du moto-réducteur Texte du sujet page 1/8
2 Question 2. : Exprimer littéralement sous forme canonique la fonction de transfert du moto-réducteur red(p) M(p), en considérant Cr = 0. U(p) Quel que soit le résultat obtenu à la question précédente, on utilisera l expression de M(p) 0,436 suivante : M1( p) 1 14,510 3 p 3,110 6 p² Sur le système de levage non asservi c est à dire avec le capteur de position angulaire déconnecté, on a pratiqué, un essai en charge, en donnant au moteur un échelon de tension u(t) = 24 V. Avec une génératrice tachymétrique dont le gain est de 0,166 V.s.rd -1, on a tracé ci-dessous la courbe de tension image de réd(t). Remarque : la partie supérieure du robot est supposée rigide pendant cet essai. Texte du sujet page 2/8
3 Question 3. : Négliger l inductance L du moteur permet de considérer le système asservi comme un premier ordre. Après avoir analysé cette courbe, expliquer sous la figure pourquoi on peut négliger l inductance L. Figure 4.1 : Tension (V) image de réd(t), en fonction du temps t. On peut négliger L ; justifications à partir du tracé : Dans la suite du problème, on néglige l inductance L du moteur. Texte du sujet page 3/8
4 Question 4. : Exprimer littéralement, sous forme canonique, la fonction de transfert du moto-réducteur red( p) M p Gs 2 ( ). U( p) 1 T p Donner les valeurs numériques de Gs et de T à partir de l expression littérale (Question 2) de M1(p) (3 chiffres significatifs sont attendus). Expression littérale forme canonique de M2(p) Applications numériques : Gs et T. Question 5. : Déterminer les valeurs de Gs et T, à partir de la courbe de tension image de réd(t) figure 4.1 (expliquer les démarches et comparer avec les résultats de la question 4). Détermination graphique de GS et T : Explications. Valeur de Gs : Valeur de T : NOM : Prénom : Texte du sujet page 4/8
5 4-2 Respect du critère de marge de phase La boucle d asservissement de la position angulaire de l arbre de sortie du réducteur est définie par le schéma-blocs figure 4-2. La consigne de position en incréments est élaborée par le calculateur, à partir des informations envoyées par la console. Figure 4-2 Le convertisseur-amplificateur K de gain k variable élabore la commande du moteur. Données : Le codeur incrémental C placé sur le rotor du moteur a une résolution de 360 incréments par tour. Il est associé à un compteur - décompteur qui élabore la mesure de position en incréments. Le système est discret (non continu) mais on l assimile à un système continu car le comptage est très rapide. Le réducteur a un rapport de réduction de 50. Question 6. : Donner la fonction de transfert du bloc B(p) et la valeur du coefficient du bloc C en incr./rad. Exprimer numériquement, en fonction de k, la fonction de transfert en boucle ouverte H0 (p). Fonction transfert du bloc B(p) : Valeur du bloc C : Fonction transfert en BO, avec application numérique : H0(p) Quel que soit le résultat trouvé on prendra pour la suite du problème : H 0 (p) = 1250 k p.( p) Question 7. : Exprimer le module et l argument de H0(jω). On prend k=1. Calculer différentes valeurs judicieusement choisies pour le tracé de cette FT dans Bode. Tracer sur la figure 4.3, les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k = 1. Le système est-il stable en boucle fermée pour cette valeur de k? Répondre en justifiant. Texte du sujet page 5/8
6 Figure 4.3 Module : Argument : ω H 0(jω) - Arg(j ω) -180 Amplitude (db) PHASE ( ) 0 Pulsation (rd/s) PULSATION (rd/s) Texte du sujet page 6/8
7 Stabilité du système en boucle fermée pour k=1 : Justification : 4-3 Etude de la précision de la boucle d asservissement de position angulaire Méthode 1 : Correcteur proportionnel K = k Question 8. : Déterminer, et expliquer à partir de constructions faites sur le diagramme de Bode document réponses figure 4.3, la valeur k45 de k qui permet d obtenir la marge de phase de 45 spécifiée dans le cahier des charges. Valeur de k pour une marge de phase de 45 : Explications : Question 9. : Calculer, pour la valeur k45 de k établie précédemment, l erreur de trainage εt en incréments lorsque la consigne est une rampe de position : Cons(t) = 1.t. Conclure par rapport aux exigences du cahier des charges. Texte du sujet page 7/8
8 Erreur de trainage εt : Respect du cahier des charges : Méthode 2 : Correcteur à avance de phase. Pour diminuer cet écart, on remplace le bloc K par un correcteur à avance de phase : C(p) = k (1+τp) (1+aτp) avec a < 1 et k = 1 ; a. τ = 1 ω c On rappelle : a = 1 sinφ M ; log(ω 1+sinφ M ) = log(ω M ) 1 log( a) M 2 Question 10. : Calculer a et τ pour obtenir la marge de phase de 45 spécifiée dans le cahier des charges. Démarche : Valeur de a et τ : NOM : Prénom : Texte du sujet page 8/8
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