Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Master Finance Islamique. M12 Modélisation Mathématique II: -Méthodes de Prévision en Finance

Transcription

1 Année Universitaire: Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Master Finance Islamique M12 Modélisation Mathématique II: -Méthodes de Prévision en Finance Département de Statistique et Informatique Contenu: Chapitre 1: Processus Stochastiques Chapitre 2: Modèles linéaires Chapitre 3: Modèles non linéaires 2 1

2 Contenu: Processus Stochastiques Caractérisationdes processuspar une distribution de probabilité par les moments Processus stationnaires Processus érgodiques 3 Contenu: Modèles linéaires (de Box-Jenkins): Processus purement aléatoires, Rappels sur les opérateurs Les modèles AR (Processus Auto-Regressifs) Les modèles MA (Procesus de Moyennes Mobiles(Moving-Average)) Les modèles ARMA (et les processus obtenus comme combinaison de ces deux dérniers). 4 2

3 Contenu: Modèles non linéaires de la Finance Les modèles ARCH (Engle, 1982) (AutoRegressive Conditionnal Heteroscedasticity) Les modèles GARCH (Bollerslev, 1986) (Generalized AutoRegressive Conditionnal Heteroscedasticity) Les modèles ARCH-M (AutoRegressive Conditionnal Heteroscedasticity-in- Mean) 5 Logiciels pour analyser des séries temporelles: Eviews R SPSS SAS XLSTAT NumXL 6 3

4 Bibliographie Régis BOURBONNAIS, Michel TERRAZA:«Analyse des séries temporelles: Applications à l économie et à la gestion», DUNOD, Sandrine LARDIC, Valérie MIGNON: «Économétrie des Séries Temporelles Macroéconomiques et Financières», Economica, Chapitre 1: Processus Stochastiques 8 4

5 Introduction Un série temporelle ou chronologique est une suite d observations d un phénomène aucoursdu temps: Y = D + N D t composantedéterministe N t composantealéatoire t t t 9 Introduction Un série temporelle ou chronologique peut avoircommecompositions: Y t = TtCt Stε t Yt = Tt + Ct + St + t ou ε T t tendance C t le cycleoula conjoncture S t la saisonoula composantesaisonnière ε t le résidusoule facteurrésiduel 10 5

6 Processus Stochastiques: Un processusstochastiqueestune famillede variables aléatoires qui correspondent à des instants successifsdu temps. Ilseranoté par: Y( t, u) où testle tempset uestla variable aléatoire. Si onfixe t=t 0, alors Y ( t 0, u) seraune variable aléatoire. Mais, si onfixe u=u 0, alorspourchaqueinstantdu temps, le processus prendra une seule valeur Y ( t, u0 ) 11 ProcessusStochastiques: distribution de probabilité Lorsquel onfixeune valeurdansle temps, le processusstochastiquedevientune variable aléatoirequiaura sapropredistributionde probabilité. Ainsi, pour t=t i, la distributionde probabilité seranotéepar F[Y(t i )]. 12 6

7 ProcessusStochastiques: distribution de probabilité Si, aulieud unevaleur, onfixedeuxvaleursdu temps, onobtiendraune variable bidimensionnelleavecune fonctionde distributionbivariante. Ainsipour t=t i et t=t j, la distributionde pobabilitésera F[Y(t i ), Y(t j )]. En général, pourun ensemblefinides valeurs du temps, onobtiendraune fonctionde distributionconjointe. Ainsi, pour t 1, t 2, t 3,, t n la fonctionde distributionconjointesera: F[Y(t 1 ), Y(t 2 ),, Y(t n )]. 13 ProcessusStochastiques: distribution de probabilité De cette façon, on dit qu un processus stochastique est parfaitement caractérisé lorsque l on peut déterminer les fonctions de distribution conjointe pourchaqueensemblefinide variables du processus, c est-à-direpourchaquenombre fini n de variables aléatoires. La déterminationdes caractéristiquesdu processusà partir des fonctionsde distributionest, en général, une méthode compliquée. Pour cela, on a l habitude d utiliserde préférencela méthodedes moments. 14 7

8 ProcessusStochastiques: caractérisation pas les moments Dans une distribution de probabilité, on peut calculerles momentsde différentsordres, mêmesi les momentsde premier et de secondordresontles plus utilisés. Pour un processus stochastique, que l on note, pour simplifierla notation, Y t, la moyenneoule moment de premier ordreestdéfinide la forme suivante: µ = E ( ) t Y t L indice tindique que la moyennesera, en général, différente pour chaque période de temps. 15 ProcessusStochastiques: caractérisation pas les moments Commemomentsde secondordrepar rapportà la moyenne, onconsidèreen plus de la variance, les covariances entre les variables aux différents instants du temps ou autocovariances qui seront définies par: γ ( Y, Y ) = E[ ( Y µ )( Y )] = Cov µ t, s t s t t s s lorsque s=t, on obtient la variance: γ 2 ( Y Y ) = E[ ( Y ] t, t = t, t t t ) Var µ 16 8

9 ProcessusStochastiques: caractérisation pas les moments Commeune manièrealternativede caractérisationd unprocessusstochastique, on utilise aussi les coefficients d autocorrelation R t, s = Var Cov ( Yt, Ys ) ( Y ) Var ( Y ) t s 17 Remarques: Les autocorrelations et les variances ensemble donnentla mêmeinformationque les autocovariances. Mais, il est préferable d utiliser les autocorrelationspuisqu ellesdonnentdes mesures relatives, mieux que les autocovariances qui sont affectées par l échelle utilisée. La caractérisation d un processus stochastique par les momentsde premier et de secondordre est, en principe, plus incomplète que lorsqu elle est faite par les fonctions de distribution. 18 9

10 Mais si le processus est normal, il sera parfaitement caractérisé par ses deux premiers moments. Dans le context des processus stochastiques, comment se conceptualise une série temporelle? Même si, dans une série temporelle, on dispose d une observation pour chaque période du temps, on l obtient pas en général d une forme déterministe comme dans le cas d une fonction exacte du temps. 19 Une série temporelle a, en général, un caractère aléatoire, et elle peut être considérée comme un échantillon de taille 1 pris dans des périodes successifs de temps á partir d un processus aléatoire. Dans ce sens, une série temporelle sera considérée comme une réalisation aléatoire d un processus stochastique

11 Mais, contrairement à l echantillonnage aléatoire simple où chaque extraction est indépendante des autres, dans une série temporelle la donnée extraite pour une période concrète ne sera pas, en général, indépendante des données extraites pour des périodes antérieures. L information utilisée en économie adopte, dans plusieures cas, la forme d une série temporelle. 21 Ainsi, les agregats de la Comptabilité Nationale, les séries monnaitaires de la Banque de Maroc, la série des Ventes d une entreprise etc. viennent sous forme des séries temporelles. En économie et, en général, dans les sciences sociales, l information d une série s obtient par observation passive, c est-à-dire, sans contrôle des facteurs qui influencent sur la variable objet d étude

12 Par conséquent, même si on dispose d une série très longue, on doit la considérer toute entière comme une seule réalisation d un processus stochastique. Par exemple, si on considère un indice mensuel des prix à partir de 1800 jusqu à l actualité, il ne se sera pas raisonable de supposer qu à partir d une date déterminée, par exemple à partir de 1900, commence une seconde réalisation du processus stochastique puisque le context dans lequel se produit l observation des prix au début du XIX ème siècle est différente du correspondant au début de XX ème siècle. 23 Dû au caractère passif de la prise d informations, en économie, en général, on dispose seulement d une seule réalisation pour chaque processus stochastique. Si, on dispose de ndonnées, alors on doit estimer nmoyennes et nvariances, sans compter les autocovariances qui sont aussi indisponsables pour caractériser le processus. Autrement dit, le problème est très compliqué

13 Pourpouvoir, à partir d uneseuleréalisation, faire inférence sur un processus stochastique, il faut imposer des restrictions à ce drenier. Les restrictions imposerhabituellementsontqu ilsoit stationnaire et érgodique. 25 Processus stationnaires: Pour définir un processus stationnaire, on peututiliser, commeonl afaitpoursa cactérisation, soit les fonctions de distribution ou alternativement les moments

14 Processus stationnaires: Onditqu unprocessusstochastiqueeststationnaire, au sens strict ou stationnarité forte, lorsque l on réaliseun mêmedéplacementdansle tempsde toutes les variables de n importe quelle distribution conjointe finie, cette distribution ne varie pas. Considérons la fonction de distribution conjointe F(Y t1,y t2,, Y tk ). Si onsupposeque l ondéplacetousles élémentsde cette distribution de m périodes, la nouvelle fonction de distributionconjointesera F(Y t1 +m,y t2 +m,, Y tk +m). 27 Processus stationnaires: Si le processus est stationnaire, au sens strict, on vérifieque: F(Y t1,y t2,, Y tk )= F(Y t1 +m,y t2 +m,, Y tk +m). et de même, ondoitobtenirun résultatanalogue pour n importe quelle autre distribution conjointe finie. Aussidansce cas, ilestplus difficild analyserun processusstationnaireà partir des fonctionsde distribution que de le faire à partir des moments

15 Processus stationnaires: En utilisant les moments, un processus est dit stationnaire de premier ordre, ou en moyenne, s il vérifie: E[ Y t ] = µ t Par conséquent, dansun processusstationnaireen moyenne, l espérancemathématique, oula moyenne théorique, reste constante dans le temps. 29 Processus stationnaires: On dit qu un processus est stationnaire de second ordre(ou au sens large) lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées: 1. La varianceestfinieet reste constante dansle temps, 2 c est-à-dire: 2 E[ Y t µ ] = σ < t 2. L autocovarianceentre deuxpériodesdistinctesde temps dépend uniquement de l intervalle du temps entre ces deux périodes. C est-à-dire: E[ ( Yt + k µ )( Yt µ )] = γ k t estl autocovarianced ordre k, où kestla longueurde cetintervallede tempsentre Y t et Y t+k. Savaleur γ k estindépendantede l instant tdu tempsque l onconsidère

16 Remarques: Commeonpeutremarquer, la variancedu processus est tout simplement l autocovariance d ordre 0. Lors de la définition d un processus stationnaire au sens large, implicitement, on tientcomptede que le processusestaussi stationnaireen moyenne, puisquesoitdansla variancesoitdansles autocovariances, le symbole µ n est affecté par aucun indice. 31 Remarques: Si un processuseststationnaireausensstrict, ilseraaussistationnaireausenslarge, maisla réciproquen estpasnécessairementvraie, puisque le processus peut ne pas être stationnaire pour les moments d ordre supérieures au second. Aussi, ici, si le processus est stationnaire au sens large, et en plus ilestnormal, onvérifieque le processus est stationnaire au sens strict

17 Lorsquele processuseststationnaire, en principe, on peut estimer les paramètres µ, γ 0, γ 1, γ 2, à partir d uneseuleréalisation. Considérantun échantillon Y 1, Y 2,, Y T, onpeut utiliserles estimateurssuivants: T 1 1 ˆµ = γˆ 0 = ( Y t ˆ µ ) T Y t T t= 1 ˆ γ k T 1 = T t= k 1 T t= 1 ( Y ˆ µ )( Y ˆ µ ) t+ k t Évidement, lorsque k croît, on dispose de moins d observations pour calculer γˆ. Ainsi, pour ˆ γ k T 1 ondisposeraseulementd uneseuleobservation Corrélogramme: Pour un processus stationnaire les autocorrelations sont définies de la forme suivante: et comme E R k γ k = k 0 γ 0 [( Y µ )( Y µ )] = γ 0 t+ k t k t onvérifieque γ k = γ k, et par conséquent R = R k k 34 17

18 Corrélogramme: La representationgraphiquede R k pour k=0,1,2,3, s appelle Corrélogramme. L examen du Corrélogramme des données observées permettra de repérer l existence d autocorrélationséventuellesainsique l ordre d autocorrélation le plus significatif. 35 Étude graphique de la stationnarité à partir du Corrélogramme: Si toutes les auto-corrélations sont significativement différentes de zéro et diminuent très lentement, alors ceci indique que la série temporelle est non-stationnaire. Il est ensuite nécessaire de vérifier cette intuition en appliquant des tests statistiques de stationnarité et/ou de non stationnarité

19 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,8 0,6 0,4 0,2 0-0, ,4-0,6-0,

20 Processus érgodiques: En plus d êtrestationnaire, ilestnécessaireque le processusstochastiquea la propriétéd ergodicité, pourque l inférencepeutse réaliserd uneforme adéquate. Le concept d ergodicitéseraexaminé d uneforme intuitive. Lorsqu ily a une fortecorrélationentre les valeursd unesérietemporelleéloignéesdansle temps, c est-à-dire R k gardedes valeurstrèsélevées pourun kassezgrand, ilarriveque lorsqueon augmentela taillede l échantillon, ily a peu d information nouvelle qui s ajoute. 39 Processus érgodiques: La conséquence de ce fait est que l augmentation de la taille de l échantillon n aura pas d utilité, puisqu il faudra calculer un nombre élevé d autocovariances pour bien caractériser le processus. Lorsque la propriété d ergodicité est vérifiée, on peut caractériser le processus par ses moments de premier et de second ordre

21 Processus érgodiques: Une conditionnécessaire, maispassuffisantede l érgodicité est: lim R = 0 k k Lorsqu un processus est stationnaire et aussi érgodique-toutle problèmede l inférencese simplifie d une façon remarquable. Maintenant, on peut poser cette question: Est-il raisonable de supposer les séries économiques sont générées par des processus stochastiques stationnaires? 41 Réponse: En général, on peut affirmer que les séries économiques nesontpasstationnaires. Onpeutpenser, par exemple, au PIB, l indice des prix, l offre monnaitaire etc. Après avoir examiner cette situation, on peut conclure immédiatement que l utilisation des processus stochastiques stationnaires en économie est peu intéressante. Mais, en réalité, c estpasle cas, parce que par de simples transformations la plus part des séries économiques peuvent se convertir en des séries approximativement stationnaires. Alors, il sera facil d appliquer l inférence statistique à ces processus

22 Pourquoi des séries sont non stationnaires? La première série non stationnaire à laquelle on pense est celle qui est croissante dans le temps. Une série saisonnière est également non stationnaire puisque la valeur espérée dépend du temps dans la période de la saison. Une série dont la dispersion varie dans le temps n est pas stationnaire. 43 Comment rendre une série stationnaire? En fait, en prenant une série brutalement, on a fort peu de chances pour qu elle soit stationnaire. La transformation par le Logarithme permet d éviter le problème de qu une série ait une dispersion qui varie dans le temps. Comme on peut aussi utiliser les techniques de lissage de la série