Trièdre de Frenet Formules de Frenet

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1 Trièdre de Free Formules de Free E u poi P(u) de la courbe, défiissos u repère irisèque d origie P, le rièdre de Free. Il es cosiué d ue base orhoormée direce u, u, u b Défiiio veceur age u Pour facilié la compréhesio, supposos que u soi le emps. E géomérie plae, la logueur d u arc de courbe plae d équaios paramériques x f, y g es doée par la formule dx dy L f ' g ' d d d d La logueur d ue courbe de l espace es défiie exaceme de la même faço. O suppose que la courbe représee l équaio vecorielle r f g h e o a dx dy dz L f ' g ' h' d d d d d Pluô de parler de la logueur L, o parlera de l abscisse curvilige s. D aure par, o a : dr r ' f ' g ' h' d r ' f ' g ' h' Fialeme, o peu doc écrire la forme plus compace. s r ' d ou bie r ' d Rappelos que e veru de la défiiio de la dérivée d ue focio vecorielle, le veceur es age à la courbe. O peu dés lors défiir le veceur uiaire age : dr dr d d Méca 3 - -

2 Défiiio des veceurs ormal e biormal u, u E u poi doé d ue courbe lisse de l espace r, il y a beaucoup de veceurs orhogoaux au veceur age uiaire. d r ' d r L u de ceux-ci es le veceur '. d d E effe, quad le mole d u veceur es cosa (c es le cas s il es uiaire), le veceur dérivé es orhogoal : Soi par exemple a c (cosae) a. a a c d a. a a '. a a. a ' a '. a 0 d égale 0, puisque la dérivée d'ue cosae = 0 ' a '. a 0 a ' a Aeio: le veceur uiaire, le veceur ormal : es pas uiaire, mais o peu défiir u veceur ' ' Ce veceur es orieé das le ses de la cocavié de la courbe. Il rese à défiir le veceur biormal b Ces rois veceurs forme u esemble de veceurs orhogoaux, appelé rièdre de Free, qui se déplace le log de la courbe quad varie. b b () () () O reiedra : b b b Méca 3 - -

3 Pla osculaeur, pla ormal, pla recifia. Le pla déermié par les veceurs ormal e biormal es le pla ormal e u poi P de la courbe. Le pla déermié par les veceurs ages e ormal es le pla osculaeur de la courbe e P. C es le pla qui vie le plus près pour coeir la parie de la courbe proche de P. C es le pla qui «colle» le plus à la courbe das le voisiage de P. Das le cas d ue courbe plae, le pla osculaeur es ou simpleme le pla qui coie la courbe. Si la courbe es ue droie, il y a pas de pla osculaeur. E ciémaique, o morera que es le veceur viesse, e que ' es le veceur accéléraio. Pour cee raiso, le pla osculaeur es parfois appelé le pla des accéléraios. Le pla déermié par les veceurs age e biormal es le pla recifia. Quad la courbe es plae, le pla recifia es perpediculaire au pla de la courbe. Pla Défiiio mahémaique. Osculaeur e Normal e Recifia e b b Calcul des veceurs de base rièdre de Free. Soi ue focio vecorielle : r r u dr d r O calcule : r ' e r '' Esuie, il suffi d appliquer les défiiios : dr r ' r ' dr dr d r r" ou bie r ' r " dr d r b b r " b ou bie r " Méca 3-3 -

4 Exemple : Déermier les veceurs rièdre de Free de l hélice circulaire O calcule successiveme : cos si r r ' si cos r ' si cos ' cosx si y ' ' cos si ' x y Ceci more que le veceur ormal e u poi d'ue hélice es horizoal e dirigé vers l'axe Oz Le veceur biormale : x y z si cos si cos cos si 0 b Exemple : Déermier les équaios pla ormal e pla osculaeur de l hélice de l exemple précéde au poi P(0,, /). O vérifie que le poi P es déermie par r cos si P r cos si P : 0,, Le pla ormal e P es orhogoal au veceur r ', 0, So équaio s'écri doc : x 0 0 y z 0 x z Méca 3-4 -

5 Le pla osculaeur e P coie les veceurs e Le veceur lui es doc orhogoal. b Or b si, cos, b, 0, Le veceur (, 0, ), plus simple, es doc aussi orhogoal au pla osculaeur do ue équaio es alors : x 0 0 y z 0 x z Courbure Si C es ue courbe défiie par la focio vecorielle r, alors Rappelez-vous que le veceur age uiaire es doé par : 0. e red compe de la direcio de la courbe. O observe que chage rès peu de direcio là où la courbe es assez droie e rès foreme là où la courbe s ifléchi ou se ord de faço plus aiguë. La courbure de C e u poi doé es ue mesure de la viesse à laquelle la courbe chage de direcio o ce poi. Préciséme, o la défii comme le aux de variaio veceur age uiaire par rappor à l abscisse curvilige. (O uilise l abscisse curvilige de maière à ce que la courbure e dépede pas de la paramérisaio) La courbure d ue courbe es : d courbure de la courbe e P Rayo de courbure e P Vu que la courbe es plus facile à calculer lorsqu elle es exprimée par rappor au paramère pluô que s, o fai appel à la règle de dérivaio des focios composées d d d e d d d d d or d d d Méca 3-5 -

6 O a vu plus hau que le veceur dérivé d u veceur uiaire es u veceur orhogoale. De plus, si o cosidère u pei voisiage poi P, la courbe peu êre assimilée das ce pei voisiage à ue courbe plae. E d aures ermes, la variaio es idépedae veceur biormal (qui das ue courbe plae a pas de raiso d êre). d b se rouve doc das le pla osculaeur e o peu doc écrire : d s Ce qui sigifie, que pour oue courbe C, l exrémié segme obeue e pora à parir de P sur le ormale pricipale orieée selo ue logueur égale à es le cere de courbure de C e P e le cercle cere ere e ce poi de rayo es le cercle osculaeur. Le cercle osculaeur adme la même age e P que la courbe. C es la cercle qui décri le mieux comme la courbe se compore au voisiage de P. s Exemple Calculer le rayo de courbure d u cercle de rayo a. O peu cerer le cercle à l'origie de maière à ce qu'il ai comme répréseaio paramèrique : r a cos a si r ' a si a cos r ' a si cos x y x x ' cos si ' E fialeme, x ' y a Calcul rayo de courbure. O peu bie ee uiliser la défiiio. d Il es souve plus iéressa d uiliser la formule suivae : y y Méca 3-6 -

7 dr 3 r ' r" dr d r Démosraio : r ' d s d s Comme avec r ' r ' r ' r ' d s d s La dérivée de es : ' ' Appliquos la formule a b c a b a c O obie : d s d s d s r" car ' 0 (veceurs parallèles) ' ' D'aure par, es u veceur uiaire, doc e ' so orhogoaux. Par coséque e appliqua, la défiiio proi vecoriel : d s d s d s r" ' ' ' r ' r " r ' r " ' d s r ' ' r" e fialeme, = 3 r ' r ' Cas d ue courbe plae. ) Exprimée par so équaio carésiee : y = y(x) r x x y r ' x y ' r ' x y ' x y x y r '' x y" r ' x r '' x y ' 0 y" y 0 y" 0 z Méca 3-7 -

8 r ' x r '' x y" 3 y ' y" Les dérivées so des dérivées par rappor à x ) Doée par so équaio polaire : r r r r r 3 r r r rr ' '' Les dérivées so des dérivées par rappor à Exemple Calculer la courbure de la cubique gauche r,, 3 à l origie. r ',, 3 r " 0,, 6 r ' e u poi quelcoque e ' " 3 6 x 6 y z r r 0 6 r r 4 4 ' " Rese à appliquer la formule. r ' r " A l'origie, la courbure vau 3 4 Torsio La orsio d u courbe représee la variaio de l icliaiso pla osculaeur e focio de l abscisse curvilige. Comme le pla osculaeur es perpediculaire au veceur biormal, la orsio sera doc représeée par perpediculaire à b. d b qui es u veceur Méca 3-8 -

9 De plus, si deouveau, o cosidère u pei voisiage de P, la orsio es idépedae veceur age. d b es doc aussi perpediculaire à. E fialeme, o écri : db s s La orsio de la courbe e P Le rayo de orsio de la courbe e P La orsio d ue courbe plae es ulle. La orsio es ue mesure de la plaéié d ue courbe. Formules de Free Les formules de Free so fodameales e géomérie différeielle e doc e ciémaique. O e coaî déjà deux. Défiissos la roisième. d d d db d b b b Les rois formules de Free so doc : b d db d b Les rois formules de Free s écrive simpleme e iroisa le veceur de Darboux de la base,,b par rappor à u repère fixe avec s comme variable scalaire. Posos : s s s b s Les formules de Free s écrive alors sous ue forme rès facile à reeir. Méca 3-9 -

10 d db d b Démosraio d b db b b b d b b Calcul de la orsio. E gééral, il es plus facile de calculer le rayo de orsio au moye de la formule suivae : ' r ' r ''. r ''' Démosraio (pour iformaio). Pour simplifier l écriure, défiissos : La courbure La orsio T N B b Toues les dérivées ( ) so des dérivées par rappor à u. O a : Méca 3-0 -

11 ) Ts' T ) d d r '' r ' s ' T s '' T s ' T' dt s '' T s '' T s ' N 3) Comme TT=0, o a r ' r '' s ' s '' s ' s ' 3 T T N B d 4) r ''' s '' T s ' N s s s s s s ''' T '' T' ' ' N ' '' N ' N ' or dt dt T' s ' N dn dn N ' B T doc 6 3 s ' 3 3 r ''' s ''' s ' T 3 s ' s '' ' s ' N s ' B 5) Puisque BT=0 BN=0 BB= r ' r '' r ''' s ' 6) Fialeme ' s ' 6 r ' r '' r ''' s ' Exemple Calculer le rayo de orsio de l hélice circulaire. Equaio de l'hélice circulaire : cos, si, r a a b Doc, o a succesiveme : r ' asi acos b r '' a cos asi r ''' asi acos x x y y Méca 3 - -

12 ' '' si cos si x cos y z 4 r ' r '' r ''' a b r r a a b ab ab a a cos asi 0 r ' r '' a b a ' a b a b a r ' r '' r ''' a b b 4 La orsio d'ue hélice circulaire es doc cosae. Méca 3 - -