Devoir surveillé n 2 :

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1 TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet Devoir surveillé n 2 : Phénomènes optiques Durée : 4h Exercice n 1 : Couleur et lumière (inspiré du concours BCPST 2013) Données : - Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, m.s -1 - Constante de Planck h = 6, J.s - Distance Terre-Soleil : d = 1, km; - Indice de l eau pour le rouge : n r = 1, Indice de l eau pour le bleu :n b = 1, 337 Depuis les travaux de Newton au XVII eme siècle, la lumière blanche naturelle est considérée comme composée de différentes couleurs. I. Considérations générales I.1 Rappeler les longueurs d onde typiques correspondant aux extrémités du spectre de la lumière visible. I.2 Quelle relation lie dans le vide la longueur d onde à la fréquence d une onde lumineuse? Application numérique : en déduire les fréquences correspondant aux extrémités du spectre de la lumière visible. I.3 Qu appelle-t-on spectre d une lumière? Quelle différence fondamentale y a-t-il entre le spectre d une lampe à incandescence et celui d une lampe spectrale? I.4 La rétine humaine comporte deux types de cellules photoréceptrices. Les nommer. I.5 Certaines sources lumineuses produisent des spectres discrets. Les niveaux d énergie simplifiés pour l atome de sodium sont donnés dans le tableau ci-dessous (1 ev = 1, J) : Nom du niveau 3s 3p 4s 3d 4p Énergie (en ev) -5,1-3,0-1,9-1,5-1,3 Le rayonnement le plus intense de la lampe à vapeur de sodium correspond à la longueur d onde moyenne s = 589 nm. A quelle transition cela correspond-il? Divers phénomènes physiques peuvent mener à l apparition de couleurs à partir de lumière blanche. La suite de ce problème est consacrée au phénomène de l arc en ciel. II. Couleurs de l arc-en-ciel La lumière provenant du Soleil est supposée contenir toutes les longueurs d onde du visible. Dans l atmosphère, la lumière solaire rencontre des gouttes d eau supposées sphériques, de rayon R. II.1 A quelle condition sur le rayon R des gouttes d eau est-il légitime de négliger le phénomène de diffraction? Cette condition est-elle vérifiée en pratique? Une goutte d eau de centre O est atteinte par un faisceau parallèle de lumière solaire sous des incidences i variant entre 0 et 90. Sur la Figure 1 est représenté un rayon lumineux particulier. Seuls sont tracés les rayons intervenant dans le phénomène.

2 L indice de l air est pris égal à 1 et l eau est considérée comme un milieu transparent d indice n. B Les angles sont géométriques, c est-à-dire positifs. Figure 1 - rayon lumineux incident sur une goutte d eau II.2 Justifier l approximation d un faisceau parallèle de lumière. II.3 Au point A où le rayon considéré rencontre la goutte d eau, y a-t-il réfraction et réflexion, ou seulement réfraction? Justifier. II.4 Quelle relation lie l angle r de réfraction, l angle d incidence i et l indice n. II.5 Exprimer la valeur maximale de r en fonction de n. II.6 Exprimer les angles et en fonction de i et/ou r. Au point B, y a-t-il réflexion totale ou réflexion et réfraction? Justifier. II.7 Exprimer les angles et en fonction de i et/ou r. Expliquer pourquoi le rayon peut ressortir de la goutte en C. II.8 Dériver la relation donnée à la question II.4 par rapport à i et montrer que dr II.9 On appelle déviation D l angle entre le rayon incident en A et le rayon émergent en C. Montrer que D = 2(i-2r) + On exprimera pour cela les déviations en A, B et C. di = 1 (sin i)2 n 2 (sin i) 2. En pratique, la lumière repart principalement dans la direction D(i 0 ) par rapport aux rayons solaires, où i 0 vérifie dd di (i 0) = 0 (condition d extremum de déviation). II.10 Montrer que sin(i 0 ) = 4 n2 3. Une caractéristique essentielle dans le phénomène de l arc-en-ciel est la dispersion de la lumière par l eau. II.11 Expliquer le phénomène de dispersion. II.12 Application numérique : calculer i 0 (en degrés) pour le bleu et pour le rouge. En déduire la déviation correspondante DB pour le bleu et DR pour le rouge. II.13 Pour observer l arc-en-ciel, faut-il se placer dos ou face au Soleil? Un schéma sera obligatoirement réalisé. II.14 L œil regardant dans une direction, le rouge est-il à l intérieur ou à l extérieur de l arc? Un schéma sera obligatoirement réalisé.

3 Exercice n 2 : Gobelets amusants (inspiré de CCP PC 2012) Il existe de petits gobelets amusants (figure I.l.a) possédant la propriété suivante : - en l absence de liquide, le fond du gobelet est constitué d une lentille sphérique qui ne laisse rien apparaître (figure 1.1.b) ; - en présence de liquide, une image nette apparaît (figure 1.1.c). L objet de ce problème est de proposer une modélisation simple de ce phénomène optique. Les conditions de l optique de Gauss seront supposées satisfaites tout au long du problème. Les figures ne sont pas à l échelle. Les valeurs numériques considérées dans ce problème sont réalistes. L approximation des lentilles minces n est, en revanche, pas vraiment justifiée dans le contexte. I. Visibilité d un objet situé dans le plan focal objet Sur un banc d optique (figure I.2) sont alignés un objet plan BB, coupant l axe optique en un point A et une lentille mince convergente L 1 située au point S et de distance focale image f 1 = 12 mm. B et B sont symétriques l un de l autre par rapport à l axe optique. La figure représente le foyer principal objet F, confondu avec A, ainsi que le foyer principal image F. L œil d un observateur est placé en un point O de l axe optique. La pupille de l œil est représentée comme un disque centre en O, de diamètre PP. Le bord de la lentille est un cercle, assimilable à un diaphragme DD. Le diamètre de l objet BB est identique à celui du diaphragme DD. Données : SA = 12 mm, SO = 200 mm, BB = DD = 20 mm et PP = 6 mm. I.1 Rappeler les hypothèses de l approximation de Gauss en optique géométrique. I.2 Construire graphiquement sur le document annexe l allure de deux rayons issus de B et traversant la lentille. Faire de même avec deux rayons issus de B. Où est située l image? I.3 Seule une fraction minime des rayons issus de l objet est captée par la pupille de l œil PP. Il s agit ici d estimer cette fraction.

4 Soit un point E, appartenant au plan de l objet BB, tel que le rayon issu de E, passant par le bord inferieur D du diaphragme, est réfracté en un rayon DP passant par le bord supérieur P de la pupille de l œil. De même, le point E, symétrique de E par rapport à l axe optique, est tel que E appartient au plan de l objet BB et que le rayon issu de E, passant par le bord supérieur D du diaphragme, est réfracté en un rayon D P passant par le bord inferieur P de la pupille de l œil. a) Sur le document annexe, tracer les rayons incidents correspondants aux rayons émergents D P et DP puis placer les points E et E. b) A l aide du schéma précédent, montrer que EE = SD +OP. 2 SF 1 SO c) Calculer numériquement EE, puis donner la fraction surfacique, définie par le rapport 1 = (EE /BB ) 2, de l objet visible par l œil placé au point O. II. Visibilité d un objet situé entre le plan focal et la lentille La figure I.3 représente un montage analogue à celui de la figure I.2. La lentille L 1 a été remplacée par une lentille L 2 moins convergente. L objet BB coupe l axe en un point A distinct du foyer principal objet F. La distance SA est encore égale à 12 mm, tandis que la distance focale f 2 de la lentille L 2 est désormais de 36 mm (figure I.3). II.1 Rappeler la formule de conjugaison d une lentille mince convergente, de distance focale f 2, de centre optique S, entre un point objet A de l axe et son image A. II.2 a) Construire sur le document annexe l image B 2 B 2 de l objet BB. L image est-elle réelle ou virtuelle? b) Déterminer par le calcul la position de l image B 2 B 2 de l objet BB. Calculer le grandissement transversal et la taille de l image B 2 B 2. II.3 Seule une fraction minime des rayons issus de l image est captée par l oeil. Il s agit ici aussi d estimer cette fraction. On suppose que les points O, P et P sont confondus a) Calculer la distance entre l œil et le plan image B 2 B 2. b) Faire un schéma pour mettre en évidence la partie visible de l image B 2 B 2 par l œil en O. Calculer sa taille. En déduire que le diaphragme DD masque une partie de l image B 2 B 2 à l observateur dont l œil est situé en O. c) Estimer la fraction surfacique τ 2 de l image B 2 B 2 visible par l œil de l observateur situé en O, 2 = (x/b 2 B 2 ) 2

5 III. Distance focale d une lentille épaisse Le modèle proposé pour décrire la situation représentée sur la figure I.1.b (absence de liquide) est celui d une lentille mince plan-convexe de rayon de courbure R (figure I.4.a, page suivante). La lentille est constituée de verre d indice n 2 entourée d air d indice n 1. Le modèle proposé pour décrire la situation représentée sur la figure I.1.c (présence de liquide) est la succession d un dioptre plan entre un milieu d indice n 1 et d indice n 2, d un dioptre sphérique de rayon de courbure R entre un milieu d indice n 2 et un milieu d indice n 3, puis d un second dioptre plan entre le milieu d indice n 3 et le milieu d indice n 1 (figure I.4.b). III.1 On donne la formule de conjugaison correspondant à la succession de dioptres représentés sur la figure I.4.a : Où CS représente la distance algébrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre sphérique, représenté sur la figure I.4.c. Reconnaître la distance focale f 1 de la lentille planconvexe dans l expression ci-dessus et calculer sa valeur numérique. Données : n 1 = 1, 00, n 2 = 1,50 et R = 6,0 mm. III.2 On donne la formule de conjugaison correspondant à la succession de dioptres représentés sur la figure I.4.b : Où CS représente la distance algebrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre sphérique, représenté sur la figure I.4.c. Reconnaître la distance focale f 2 de la lentille plane dans l expression ci-dessus et calculer sa valeur numérique. Données : n 1 = 1, 00, n 2 = 1,50, n 3 = 1,33 et R = 6, 0 mm. III.3 L objet à observer est situé à une distance de 12 mm sous la lentille (voir schéma de la vue en coupe du gobelet sur la figure I.5). Pourquoi ne voit-on rien en l absence de liquide? Pourquoi l image devient-elle visible lorsque l on remplit le verre?

6 ANNEXE (à rendre avec la copie) Question I.2 Question I.3 a Question II.2