Planche n o 8. Intégration sur un intervalle quelconque. Corrigé

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1 Planche n o 8. Inégraion sur un inervalle quelconque. Corrigé Eercice n o Pour, +4+ e donc la foncion f : es coninue sur [,+ [. Quand end vers +, = Comme la foncion es posiive e non inégrable au voisinage de +, f n es pas inégrable sur [;+ [. Pour, + es défini e sricemen posiif. Donc la foncion f : e + es définie e coninue sur [,+ [. Quand end vers +, e + = e ln+ = e +o e = e +o puis f + es posiive e non inégrable au voisinage de +, f n es pas inégrable sur [,+ [. e. Puisque la foncion 3 La foncion f : ln es coninue sur ],+ [, de signe consan sur ],] e sur [,+ [. +e ln En, ln e donc f = +e o. Comme <, la foncion es inégrable sur un voisinage de à droie e il en es de même de la foncion f. En +, f ln e = o. Comme >, la foncion es inégrable sur un voisinage de + e il en es de même de la foncion f. Finalemen, f es inégrable sur ],+ [. 4 La foncion es coninue e sricemen posiive sur[,+ [. Donc la foncionf : es coninue sur [,+ [. En +, ln = 3 ln+ln + /3 = 3 ln+ln 3 +O = 3 ln ln3+o. Par suie, ln = 3 ln ln3 +o. Mais alors f = + ep ln ln3 +ln+o e donc lim 3 + f =. Finalemen, f es négligeable devan en + e f es inégrable sur [,+ [. 5 La foncion f : e es coninue sur [,+ [ car,,. Quand end vers +, f = ep +ln = ep + o e donc f. f es ainsi + négligeable devan au voisinage de + e donc f es inégrable sur [,+ [. 6 La foncion f : ln es coninue sur ],+ [. Quand end vers, ln = e ln. La foncion f se prolonge par coninuié en e es en pariculier inégrable sur un voisinage de à droie. Quand end vers +, f = ep ln +ln. Donc f es négligeable devan quand end vers + e f es inégrable sur un voisinage de +. Finalemen, f es inégrable sur ],+ [. 7 La foncion f : sin5 sin3 es coninue sur ],+ [. 5/3 Quand end vers, f 5 3 = 5/3 >. Puisque <, la foncion es posiive e inégrable sur un /3 3 /3 voisinage de à droie e il en es de même de la foncion f. En +, f e puisque 5 >, la foncion f es inégrable sur un voisinage de +. 5/3 3 Finalemen, f es inégrable sur ],+ [. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. hp ://

2 8 La foncion f : ln es coninue sur ],[ ],+ [. En, f ln = o. Donc f es inégrable sur un voisinage de à droie. ln En, f. La foncion f se prolonge par coninuié en e es en pariculier inégrable sur un voisinage de à gauche ou à droie. En +, 3/ f ln = o. Donc f es négligeable devan quand end vers + e donc f es inégrable 3/ sur un voisinage de +. Finalemen, f es inégrable sur ], [ ], + [. 9 La foncion f : e es coninue sur ],[ ],+ [ e paire. Il suffi donc d éudier l inégrabilié de f sur ],+ [. f es posiive e équivalene en à droie à e négligeable devan comparées. f es donc inégrable sur ],+ [ puis par parié sur ],[ ],+ [. On en dédui que vau par parié e d. en + d après un héorème de croissances e d eise dans R e La foncion f : + es coninue e posiive sur ],[, paire e équivalene au voisinage de à droie à avec <. f es donc inégrable sur ],[. / La foncionf : 3 es coninue e posiive sur ],[, équivalene au voisinage de à droie à e au 3 /3 voisinage de à gauche à. f es donc inégrable sur ],[. /3 La foncionf : es coninue e posiive sur ],]. Arccos En, Arccos = o. Donc Arccos sinarccos = =. Donc f e f es inégrable sur ],[. Eercice n o Pour ou couple de réelsa,b, la foncionf : a ln b es coninue e posiive sur[,+ [. Eudions l inégrabilié de f au voisinage de +. er cas. Si a >, a+/ a f = a / ln b car > e d après un héorème de croissances comparées. + Donc f = o. Comme a+ >, la foncion es inégrable sur un voisinage de + e il + a+/ a+/ en es de même de f. Dans ce cas, f es inégrable sur [,+ [. ème cas. Si a <, a+/ f = a/ a ln b + car > e d après un héorème de croissances comparées. + a+ Donc f es prépondéran devan en +. Comme <, la foncion n es pas inégrable a+/ a+/ sur un voisinage de + e il en es de même de f. Dans ce cas, f n es pas inégrable sur [,+ [. 3ème cas. Si a =. Pour > fié, en posan = ln e donc d = d on obien ln ln b d = d ln b. Puisque ln end vers + quand end vers + e que les foncions considérées son posiives, f es inégrable sur [,+ [ si e seulemen si b >. En résumé, c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. hp ://

3 la foncion a ln b es inégrable sur [,+ [ si e seulemen si a > ou a = e b >. En pariculier, la foncion ln n es pas inégrable sur voisinage de + bien que négligeable devan en +. ] Pour ou réel a, la foncion f : an a es coninue e sricemen posiive sur, π [. De plus, pour ou réel ] de, π [ π, on a f = f. Eude en à droie. f a. Donc f es inégrable sur un voisinage de à droie si e seulemen si a >. Eude en π à gauche. f = π a. π f π π Donc f es inégrable sur un voisinage de à gauche si e seulemen si a > ou encore a <. ] En résumé, f es inégrable sur, π [ si e seulemen si < a <. 3 Pour, b a En +, + ln + + +O e donc es défini e sricemen posiif. Donc pour ou couple a,b de réels, la foncion f : es coninue sur [,+ [. = + +O = + O puis + + = ep +O = b f = a+ +O +. Si a, f a une limie réelle non nulle en + e n es donc pas inégrable sur [,+ [. b Si a = e b, f. En pariculier, f es de signe consan sur un voisinage de + e n es pas inégrable + sur [,+ [. Si a = b =, f = O + e dans ce cas, f es inégrable sur [,+ [. En résumé, f es inégrable sur [,+ [ si e seulemen si a = b =. 4 Pour ou couple a,b de réels, la foncion f : Eude en. -Si b >, f -si b =, f -si b <, f Eude en +. -Si b >, f -si b =, f -si b <, f a + b es coninue e posiive sur ],+ [., e donc f es inégrable sur un voisinage de si e seulemen si a <, a, e donc f es inégrable sur un voisinage de si e seulemen si a <, a a+b, e donc f es inégrable sur un voisinage de si e seulemen si a+b <., e donc f es inégrable sur un voisinage de + si e seulemen si a+b >, a+b, e donc f es inégrable sur un voisinage de + si e seulemen si a >, a a, e donc f es inégrable sur un voisinage de + si e seulemen si a >. En résumé, f es inégrable sur ],+ [ si e seulemen si b e a < ou b < e a+b < e b > e a+b > ou b e a > ce qui équivau à b > e a+b > e a < ou b < e a > e a+b <. Représenons graphiquemen l ensemble des soluions. La zone soluion es la zone colorée. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 3 hp ://

4 b a 3 Eercice n o 3 Soien ε e deu réels els que < ε <. Les deu foncion cos e son de classe C sur le segmen [ε,]. On peu donc effecuer une inégraion par paries e on obien [ ] sin cos cos d = + d = cos ε ε ε cosε ε cos + ε d. La foncion cos cos es coninue sur ],+ [, es prolongeable par coninuié en car lim = e donc inégrable sur un voisinage de, es dominée par en + e donc inégrable sur un voisinage de +. La foncion cos cos es donc inégrable sur ],+ [ e ε d a une limie réelle quand ε end vers e end vers +. cos e donc lim cos =. + cosε ε cosε e donc lim =. ε ε ε ε ε On en dédui que sin L inégrale sin d es une inégrale convergene e de plus cos + sin / + sin u + sin u d = d = d = 4u du = u du. sin + sin + cos + sin d converge e de plus d = d = d. Soi a >. La foncion f : sin es coninue sur ],+ [. a Sur ],], la foncion f es de signe consan e l eisence de lim f d équivau à l inégrabilié de la foncion f ε ε sur ],]. Puisque f es équivalene en à a, l inégrale impropre f d converge en si e seulemen si a < ou encore a <. On suppose dorénavan a <. Soi >. Les deu foncion cos e a son de classe C sur le segmen [,]. On peu donc effecuer une inégraion par paries e on obien [ sin cos a d = a ] a cos d = cos a+ a + cos a cos d. a+ Mainenan, cos cos a+ a+, e puique a + >, la foncion es inégrable sur un voisinage de +. On a+ cos en dédui que la foncion d a une limie réelle quand end vers +. Comme d aure par, la foncion a+ cos +cos a une limie réelle quand end vers +, on a monré que l inégrale impropre a en +. Finalemen f d converge c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 4 hp ://

5 a >, l inégrale sin d converge si e seulemen si a <. a 3 Soi un réel sricemen posiif. Le changemen de variables = suivi d une inégraion par paries fourni : e i e i d = d = i ei +e i e i d 3/ e i Mainenan, lim = car e i + =. D aure par, la foncion ei es inégrable sur [,+ [ car e i 3/ 3/ = +. Ainsi, e i d es une inégrale convergene e puisque d aure par la foncion e i es coninue sur 3/ [,+ [, on a monré que On en dédui encore que les inégrales Fresnel. l inégrale cos d e e i d converge. sin d son des inégrales convergenes inégrales de 4 La foncion f : 3 sin 8 es coninue sur [,+ [. Soi >. Le changemen de variables = 4 fourni 3 sin 8 d = 4 sin d = Im e i d. D après 3, e i d es une inégrale convergene e donc 3 sin 8 d converge. 5 La foncion f : cose es coninue sur [,+ [. Soi >. Le changemen de variables = e fourni cose d = e cos d. On monre la convergence en + de cee inégrale par une inégraion par paries analogue à celle de la quesion. L inégrale impropre Eercice n o 4 cose d converge. I n eise si e seulemen si n. Soien n N e ],+ [. Une inégraion par paries fourni [ + n d = + n = ] + n +n +n + n+ d = + n d n + n +n d. + n+ + d + n+ Puisque les foncions considérées son oues inégrables sur [,+ [, quand end vers+ on obien I n = ni n I n+ e donc En enan compe de I = π, on obien pour n, n N, I n+ = n n I n. I n = n 3 n n 5 n 4... I = n n 3 n n n π = n! n n! π. ce qui rese vrai pour n =. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 5 hp ://

6 Remarque. En posan = an, on obien π/ sin n u du = W n inégrales de Wallis. n N, + n d = n! n n! π. π/ + n d = +an n +an d = π/ cos n d = On pose I = 3 + d. La foncion f : 3 + es coninue sur [,+ [ e dominée par en +. La foncion f es donc inégrable sur 3 [,+ [. Le changemen de variables = fourni I = + + d = d. Donc +3 3 I = = d d = d = [Arcan d = ] d = 3 π + π 6 = π 3 3. π 3 d = Soi n N. La foncion f : es coninue e posiive sur [,+ [, équivalene en + à n. Par suie, f es inégrable sur [,+ [ si e seulemen si n. n Soi n. La décomposiion en élémens simples de f s écri avec f = n = λ +, λ = lim +f = n =!n! n =. n! Une primiive de f es donc la foncion F : n n ln+. n! = n n Quand end vers +, F = λ ln+o. Cee epression a une limie réelle si e seulemen si λ =. = Puisque f es inégrable au voisinage de +, on a donc nécessairemen n d = n! = n λ = puis F end vers en +. Il rese = n n ln. = c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 6 hp ://

7 4 Puisque a >, n es dans [,[. Puisque +a es sricemen posiif sur un voisinage à droie de e a que a n es pas dans [,[, +a > pour [,[. Dans ce cas, la foncion f : es +a coninue e posiive sur [,[. +a +a e donc, la foncion f es inégrable sur un voisinage de. Finalemen, la foncion f : es inégrable sur [,[. +a Calcul de I = Pour [,[, On obien d pour a >. +a = +a. On pose u = +a +a e donc = u + a+u au e d = + au + du. Donc, puisque a >, I = I = u u + au + [ a Arcanu ] a = Arcan a. a a >, a+u au + du = au + du. +a d = a Arcan a. 5 La foncion f : e +e + es coninue e posiive sur [,+ [, équivalene au voisinage de + à e. La foncion f es donc inégrable sur un voisinage de + puis inégrable sur [,+ [. On pose u = e e donc = lnu puis d = du u. On obien + e +e + d = +u + du u = u u+ du = 6 La foncion f : es coninue posiive sur [,+ [ car pour ou, 5ch+3sh+4 4 >. 5ch+3sh+4 En +, 5ch+3sh+4 e e donc f es inégrable sur [,+ [. 4 On pose u = e e on obien + 5ch+3sh+4 d = = 5 u+ + 3 u u+ du = u +4 u [ u+ du + u = 4u +4u+ du + 7 La foncion f : ++3ln es coninue sur [,+ [ e de signe consan au voisinage de +. L inégrabilié de f équivau donc à l eisence d une limie réelle en + pour la foncion F : ++3ln d Soi >. Une inégraion par paries fourni ] + = 6. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 7 hp ://

8 F = + +3ln +4 + ln +4 + ln +4 + ln +4 = +3 = +3 = +3 [ +3 d = + 9 ln + 9 ln ] ln ++4 d ln ln ln d +4 d Par suie, >, F = ln + +4ln. +4 Mainenan quand end vers + + ln = ln + ln + 4 = o = + 6 +o e donc ln = o = 3+o e finalemen F = 4ln 3+o. Ceci monre l inégrabilié de la foncion f sur [,+ [ e ln d = 4ln La foncion f : Arcan π + es coninue e posiive sur [,+ [, équivalene en + à e donc es inégrable 3 Arcan sur un voisinage de +. La foncion f es donc inégrable sur [,+ [. Posons alors I = + d. er calcul. On pose u = e on obien u Arcan u I = + u + π du + u u = Arcanu u + du = I+ π u u + du e donc I = π [ +u ] + = π 4 ce qui fourni Arcan + d = π 8. ème calcul. Soi >. Une inégraion par paries fourni [ Arcan + d = + Arcan e quand end vers +, on obien I = π/ ] + Arcan + d = +an +an d = Arcan d = π/ + d d. On pose alors = an e on obien + cos d = 4 π/ +cos d = π 8. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 8 hp ://

9 9 Soi a R. La foncion f : ln es coninue sur ],+ [, prolongeable par coninuié en e équivalene en + + à ln 4. Cee dernière epression es elle-même négligeable en + devan 3. La foncion f es donc inégrable sur ],+ [. Calcul. On pose u =. On obien I = u ln u du + + u u = I e donc I =. La foncion f : an es coninue sur En π à gauche, < an = an π [, π [. π π à gauche. Finalemen, la foncion f es inégrable sur [, π ln d =. +. Ceci monre que la foncion f es inégrable sur un voisinage de [. On peu noer I = π/ an d. On pose u = an e donc an = u puis +an u du d = udu e donc d =. On obien I = +u4 Or u 4 + = u 4 +u + u = u + u u ++u e donc u +u 4 = u u +u + = 4 u u u + + u u = + u + u u u + u+ u +u + + u u +u + u+ + Par suie, une primiive de la foncion u u u 4 sur [,+ [ es la foncion + F : u ln u u + u +u + Arcanu +Arcanu + + On en dédui que I = lim u + Fu F = π. u +u 4du. π/ an d = π. La foncion f : e a e b e négligeable devan en +. Donc f es inégrable sur ],+ [. es coninue sur ], + [, prolongeable par coninuié en car f = b a+o Soi un réel sricemen posiif. Chacune des deu foncions e a peu écrire e e b es inégrable sur [,+ [ e on e a e b d = En posan u = a e donc du u = d, on obien e donc e a e a d = a e b d e u u d. du e de même e b d = b e u u du c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 9 hp ://

10 e a e b d = b e u a u du. Mainenan, pour >, l encadremen e b b e a ln a b a b du u a b e a e b e le héorème des gendarmes fourni lim a pour ous réels a e b els que < a < b, e u b du e a du fourni u a u e u u du e a ln b a b e u b d = lim du = ln. Finalemen, a u a e a e b b d = ln. a Eercice n o 5 La foncion f : lnsin es coninue sur ] f es inégrable sur, π ]. ], π ]. De plus, quand end vers, lnsin ln = o. Par suie, Soien I = Par suie, π/ lnsin d e J = π/ lncos d. Le changemen de variables = π fourni J eise e J = I. I = I+J = = π ln Par suie, I = π ln. π/ Pour n, posons P n = n π π sin = sin n n puis π/ lnsincos d = π ln + lnsin d = π ln + lnsinu du + π I+ lnsinu du = π ln + I+ lnsinπ d = π ln +I. π/ n = π/ sin lnsin d = π/ π/ lncos d = π ln. π. Pour n, on a < π n n < π e donc P n >. D aure par, e sin nπ =. On en dédui que n P n = n = sin π, n π n Pn = = = e iπ/n e iπ/n i = i n n e iπ/ n i n n = n = e iπ/n n = e iπ/n = n e iπ/n n = e iπ/n Mainenan, le polynôme Q uniaire de degré n don les racines son les n racines n-èmes de l unié disinces de es n = n c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. hp ://

11 e donc n = e iπ/n = Q = n. Finalemen, n = sin π n n = P n = n n = n. Pour n, posons alors = π n de sore que = < <... < n = π [, es une subdivision de π ] à pas consan égal à π n. ] Puisque la foncion lnsin es coninue e croissane sur, π ], pour n, on a π n lnsin + lnsin d puis en somman ces inégaliés, on obien De même, pour n, + π/n π π/ n lnp n lnsin d π/n lnsin d π n lnsin + e en somman π/ lnsin d π n lnp n. π Finalemen, n, n lnp n+ lnsin d I π n lnp n. Mais lnp n = lnn π n ln e donc n lnp n end vers π ln π/n quand n end vers + e comme d aure par, lnsin d end vers quand n end vers + ] puisque la foncion : lnsin es inégrable sur, π ], on a redémonré que I = π ln. Eercice n o 6 La foncion f : ln es coninue e posiive sur ],[, négligeable devan quand end vers e prolongeable par coninuié en. La foncion f es donc inégrable sur ],[. Pour ],[ e n N, ln = ln Pour ],] e n N, posons f n = n ln. = n = ln+ n+ ln Soi n N. Chaque foncion f, n, es coninue sur ],] e négligeable en devan es inégrable sur ],] e donc sur ],[. Mais alors, il en es de même de la foncion n+ ln ln n d = = n+ ln ln d+ d. Donc chaque foncion f = ln n + ln e La foncion g : ln es coninue sur ],[ e prolongeable par coninuié en e en. Cee foncion es en pariculier bornée sur ],[. Soi M un majoran de la foncion g sur ],[. Pour n N, n+ ln d n g d M n d = M n+. Par suie, n+ ln lim d =. On en dédui que la série de erme général n + ln + d = = ln d. = ln d converge e que c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. hp ://

12 Soi ε ], [. Pour N, une inégraion par paries fourni Quand ε end vers, on obien ε ln d = [ ] + ln + + ε + ln d = ln + d = +. Finalemen, = ε + + = d = ε+ lnε + n= ln + d = n = π 6. n= n = π 6. + ε+ +. Eercice n o 7 La foncion f : ln Soi ],[. Chacune des deu foncions ln ],]. On peu donc écrire es coninue sur ],[, prolongeable par coninuié en e e donc es inégrable sur ],[. e ln ln d = Dans la première inégrale, on pose u = e on obien ln d = ln d se prolonge par coninuié en e es ainsi inégrable sur ln d ln d = ln d. ln d = ln d = ln d. On noe alors que, puisque ],[, <. Pour [,], on a ln < e donc croissance de l inégrale, Mainenan, Quand end vers, on obien d ln ln d ln d ln d e donc d ln ln d du e donc lnu ln d = ln ln ln ln = ln e on a monré que, pour ou réel de ],[, ln ln ln d ln d = ln. ln ln = puis par ln ln Eercice n o 8 La foncion e es coninue, posiive e inégrable sur [,+ [. De plus, quand end +, e + e =. e D après un héorème de sommaion des relaions de comparaison, quand end vers +, e d d = e e, c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. hp ://

13 e donc Pour a > fié, a a cos Mainenan, cos cos pariculier, finalemen cos e e d +. d converge se monre en inégran par paries voir eercice n o 3 puis a d = = a cos a d+ d+ a cos cos e en pariculier, cos a cos d = a d+o d+o = a lna+ a cos d+o. end vers quand end vers. Par suie, la foncion es coninue sur ],] e se prolonge par coninuié en. Cee foncion es donc inégrable sur ],] e en a cos d a une limie réelle quand a end vers. On en dédui que a cos d a lna. a cos d = a lna+o e 3 Soi a >. 3 +a d a = Donc, 3 +a a 3 +a d = a + a +o a ou encore d = a d a 3 +a a d = a 4 3 +a d a + a. Eercice n o 9 Domaine de définiion. Soi R. Si <, la foncion ln n es pas définie sur [,[ [, ] e f n es pas défini. Si < <, [,] ],[. Donc la foncion ln es coninue sur [,]. Dans ce cas, f eise e es de plus sricemen posiif car ln < pour ou de ],[. Si >, [, ] ],+ [. Donc la foncion ln es coninue sur [, ]. Dans ce cas aussi, f eise e es sricemen posiif. Enfin, f e f n on pas de sens. f es définie sur D =],[ ],+ [ e sricemen posiive sur D. Dérivabilié. Soi I l un des deu inervalles ],[ ou ],+ [. La foncion es coninue sur I. Soi F une ln primiive de cee foncion sur I. Si ],[, on a [,] ],[ e donc f = F F. De même, si ],+ [, [, ] ],+ [ e donc f = F F. On en dédui que f es de classe C sur D. De plus, pour D, f = F F = ln ln = ln. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 3 hp ://

14 Variaions. f es sricemen posiive sur ],[ ],+ [ e donc f es sricemen croissane sur ],[ e sur ],+ [ mais pas nécessairemen sur D. Eude en. Soi ],[. On a < < < e de plus la foncion ln es décroissane sur [,] ],[ en an qu inverse d une foncion sricemen négaive e sricemen croissane sur ],[. Donc, ln puis ],[, ln f ln. ln d ln On en dédui que lim +f = e on peu prolonger f par coninuié en en posan f = on noe encore f le prolongemen. Quand end vers par valeurs supérieures, f = end vers. Ainsi, ln - f es coninue sur [,[, - f es de classe C sur ],[, - f a une limie réelle quand end vers à savoir. D après un héorème classique d analyse, f es de classe C sur [,[ e f =. Eude en. On a vu au n o 7 que lim f = ln la limie à droie en se raie de manière analogue. On prolonge f par coninuié en en posan f = ln on noe encore f le prolongemen obenu. Ensuie quand end vers, f end vers. Donc f es de classe C sur R + e f =. En pariculier, f es coninue sur R + e d après plus hau f es sricemen croissane sur R +. Eude en +. Pour >, f f. Donc f e enden vers + quand end vers +. La courbe ln représenaive de f adme en + une branche parabolique de direcion Oy. ln Conveié. Pour D, f = ln. En, en posan = +h où h end vers, on obien f +h = +hln+h h +hln +h f es donc de classe C sur ],+ [ e f =. = +h h h +oh h h +oh = +o. Pour, f es du signe de g = ln + don la dérivée es g = =. La foncion g es sicemen décroissane sur ],] e sricemen croissane sur [,+ [. Donc pour, g > g =. On en dédui que pour ou ],+ [, f > e donc que f es sricemen convee sur R +. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 4 hp ://

15 Graphe y = ln d Eercice n o La foncion f : E es coninue par morceau sur [,+ [ e donc localemen inégrable sur [,+ [. Soien un réel élémen de [,+ [ e n = E. Or, lim + E E n E d d = n = n n = E + E E d+ n n d = ln = + E + n. Cee dernière epression end vers quand le réel end vers + e donc E d =. n D aure par, la suie ln + es de signe alernée e sa valeur absolue end vers en décroissan. La série de erme général ln +,, converge en veru du crière spécial au séries alernées ou encore, quand n le réel end vers +, ln + a une limie réelle. Il en es de même de Calcul. Puisque la série converge, on a n = ln + = = = ln D après la formule de Sirling, d e l inégrale E E + = ln d = + n= + = lim d converge. De plus n ln +. n n n + = ln +. Pour n N, n ln + + ln + n + = ln = 3... n n+ n! 4... n = ln n+ 4n n!. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 5 hp :// d.

16 Donc + n= 4n n! n! n+ n + n ln + = ln e on a monré que n π 4n 4n n 4πn e n 4n πn 4 e n = π. E d = + n= n ln + = ln. n π Eercice n o Puisque f es coninue, posiive e décroissane sur [,+ [, pour on a f = f f d = / + / f d f d Cee dernière epression end vers quand end vers + car f es inégrable sur [,+ [. Donc si f es coninue, posiive, décroissane e inégrable sur [, + [ alors f = o. + Eercice n o L inégalié ff f +f monre que la foncion ff es inégrable sur R puis, pour e Y els que Y, une inégraion par paries fourni Y Y f d = [ff ] Y ff d. Puisque la foncion f es posiive, l inégrabilié de f sur R équivau à l eisence d une limie réelle quand end vers e Y end vers + de Y f d e puisque la foncion ff es inégrable sur R, l eisence de cee limie équivau, d après l égalié précédene, à l eisence d une limie réelle en + e pour la foncion ff. Si f n es pas inégrable sur R + alors f d = + e donc lim + ff = +. En pariculier, pour suffisamen grand, ff puis par inégraion f f conredisan l inégrabilié de la foncion f sur R. Donc la foncion f es inégrable sur R + e la foncion ff a une limie réelle quand end vers +. De même la foncion f es inégrable sur R e la foncion ff a une limie réelle quand end vers. Si cee limie es un réel non nul l, supposons par eemple l >. Pour suffisamen grand, on a ff l puis par inégraion f f l conredisan de nouveau l inégrabilié de la foncion f. Donc la foncion ff end vers en + e de même en. Finalemen, la foncion f es inégrable sur R e D après l inégalié de Cauchy-Schwarz, on a f d = f d = ff d ff d. f d f d. Puisque les foncions f e f son coninues sur R, on a l égalié si e seulemen si la famille f,f es liée. Donc nécessairemen, ou bien f es du ype A chω + Bshω, ω réel non nul, qui es inégrable sur R si e seulemen si A = B =, ou bien f es affine e nulle encore une fois, ou bien f es du ype A cosω+bsinω e nulle encore une fois. Donc, on a l égalié si e seulemen si f es nulle. c Jean-Louis Rouge, 5. Tous drois réservés. 6 hp ://