Composition n 1 de Mathématiques

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1 Composition n 1 de Mathématiques NOM : Seconde NOTE : Signature : Prénom : Observations : Jeudi 5 octobre /0 La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir. Exercice I : Dans un repère (O;I;J) on donne les points M(7;-) N(8;-3) P(6;-5) /6 1. Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice. Quelle est la nature du triangle MNP? Justifier. 1

2 3. Déterminer les coordonnées du point I milieu de [NQ]. 4. Déterminer les coordonnées du point Q tel que I soit le milieu de [PN] 5. En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.

3 Exercice : ABCD est un parallélogramme de centre O ; I est le milieu de [AD]. Les droites (IC) et (BD) se coupent en J. /4 1) Que représente J pour le triangle ADC? Justifier. ) Déduisez-en que la droite (AJ) coupe [DC] en son milieu. Exercice 3 : Donner les domaines de définition des fonctions suivantes : /3 1) 3

4 ) 3) Exercice 4 : Dans un repère orthonormé on place les points A(0 ;3) ; B(-3 ;0) et C(5 ;0) Le point M est un point libre sur le segment [BC]. On note x l abscisse de M. /7 On considère la fonction f qui à x associe la distance AM. 1) Déterminer géométriquement l ensemble de définition de f. ) Déterminer géométriquement le minimum de f. 4

5 3) Que représente alors (AM) pour le triangle ABC? 4) Lire géométriquement le sens de variation de f. 5) Calculer f(0), f(-3) et f(5). 5

6 6) Montrer que 7) Compléter le tableau suivant (valeurs approchées au dixième) X f(x) 8) En déduire la représentation graphique de f sur l intervalle [-3 ;5] 6

7 9) Dresser le tableau des variations de f sur son ensemble de définition. 7

8 CORRECTION Exercice I : Dans un repère (O;I;J) on donne les points M(7;-) N(8;-3) P(6;-5) /6 1. Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice. Quelle est la nature du triangle MNP? Justifier. MP² = (x P x M )² + (y P y M )² = (6 7)² + (-5 (-))² = (-1)² + (-3)² = = 10 MN² = (x N x M )² + (y N y M )² = (8 7)² + (-3 (-))² = 1² + (-1)² = = PN² = (x N x P )² + (y N y P )² = (8 6)² + (-3 (-5))² = ² + ² = = 8 Comme la relation de Pythagore MP² = MN² + PN² est vérifiée alors le triangle MNP est rectangle en N. 3. Déterminer les coordonnées du point I milieu de [MP]. x I = x M + x P et y I = y M + y P Soit x I = = 13 et y I = - 5 = - 7 I 13 ; Déterminer les coordonnées du point Q tel que I soit le milieu de [NQ] x I = x N + x Q et y I = y N + y Q pts Soit 13 = 8 + x Q et 7 = -3 + y Q Soit x Q = 13 8 = 5 et y Q = = -4 Q(5 ;-4) 5. En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. Le quadrilatère MNPQ ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu I et un angle droit est donc un rectangle. 8

9 CORRECTION Exercice : ABCD est un parallélogramme de centre O ; I est le milieu de [AD]. Les droites (IC) et (BD) se coupent en J. /4 1) Que représente J pour le triangle ADC? Justifier. Dans le triangle ADC, (CI) est la médiane issue de C. O est le milieu de [AC] car les diagonales du parallélogramme ADC se coupent en leur milieu O. Donc (DO) est la médiane issue de D du triangle ADC. J point d intersection des médianes (DO) et (CI) du triangle ADC est donc le centre de gravité de ce triangle. ) Déduisez-en que la droite (AJ) coupe [DC] en son milieu. Les 3 médianes d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre de gravité. La droite (AJ) est donc la troisième médiane du triangle ADC. Par définition, elle coupe le côté [DC] en son milieu. 3 pts Exercice 3 : Donner les domaines de définition des fonctions suivantes : /3 1) On doit avoir 3 x 0 Soit x 3 D f = \ 3 ) On doit avoir 5 x 0 Soit x 5 D g = - ; 5 3) Une puissance d exposant entier est définie pour tout nombre réel. Donc D h = 9

10 CORRECTION Exercice 4 : Dans un repère orthonormé on place les points A(0 ;3) ; B(-3 ;0) et C(5 ;0) Le point M est un point libre sur le segment [BC]. On note x l abscisse de M. On considère la fonction f qui à x associe la distance AM. /7 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 1,5 pt 1) Déterminer géométriquement l ensemble de définition de f. M est un point du segment [BC] x B x M x C L ensemble de définition de f est donc l intervalle [-3 ;5] ) Déterminer géométriquement le minimum de f. La distance AM est minimale lorsque M est en O. (Distance du point A à la droite (BC)). AO = 3 Le minimum de f est donc 3. 3) Que représente alors (AM) pour le triangle ABC? (AM) est alors la hauteur issue de A du triangle ABC. 4) Lire géométriquement le sens de variation de f. f est décroissante sur [-3 ;0] et croissante sur [0 ;5]. 5) Calculer f(0), f(-3) et f(5). f(0) = AO = 3 f(-3) = AB = (-3 0)² + (0 3)² = 18 = 3 f(5) = AC = (5 0)² + (0 3)² = 34 6) Montrer que A(0 ;3) et M(x ;0) f(x) = AM = (x 0)² + (0 3)² = x² + 9 7) Compléter le tableau suivant (valeurs approchées au dixième) 0,5 pt x f(x) 4, 3,6 3, 3 3, 3,6 4, 5 5,8 10

11 CORRECTION 8) En déduire la représentation graphique de f sur l intervalle [-3 ;5] 9) Dresser le tableau des variations de f sur son ensemble de définition. x f(x)