n 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois)

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1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les iérês simples e les iérês composés RAPPELS THÉORIQUES Les iérês simples : l'iérê «I» es focio de la durée «D» (jour, quizaie, mois, rimesre, semesre, aée) de l'opéraio (placeme ou empru) du capial «C» (prêé ou emprué) e du aux d'iérê «T» (exprimé e pourceage e rès gééraleme pour ue aée, soi par exemple 0 % l'a ce qui doe T = 0) appliqué à l'opéraio e quesio. Les iérês simples so calculés e para du pricipe, qu'ue fois déermiés e payés (ou ecaissés), ils e pore pas eux-mêmes à ouveau iérês. Les formules de calcul les plus couraes so : C T D ( e aées) C T D ( e mois) C T D ( e quizaies) I = ou, I = ou, I = ou ecore, ( ) C T D e jours I = Aeio : das ce derier cas, le ombre de jours figura au uméraeur es gééraleme exprimé e aée civile (365/366 jours par a) alors qu'au déomiaeur l'aée es compabilisée pour 360 jours (aée commerciale) sauf das les calculs obligaaires pour lesquels l'aée prise e compe es l'aée civile. Les iérês composés so calculés de elle maière que les iérês simples produis au cours d'ue période (jour, quizaie, mois, rimesre, semesre, aée) so iégrés au capial iiial de la période suivae (capialisaio des iérês) afi de produire eux aussi des iérês. La période de capialisaio es le laps de emps au bou duquel les iérês so ajoués au capial. La formule fodameale des iérês composés es : C Co ( ) = +, avec : C = capial acquis à l'issue de périodes de capialisaio, C o = capial iiial, = ombre de périodes de capialisaio e = aux d'iérê périodique (c'es-à-dire valable pour chaque période) exprimé pour euro (soi, par exemple, pour u aux auel de 0 %, = 0,0). INTÉRÊTS SIMPLES : PRINCIPALES APPLICATIONS PROFESSIONNELLES Clieèle des pariculiers : les calculs à parir des iérês simples e cocere que cerais produis de placeme (compes sur livre, bos de caisse, compes à erme) e les découvers e compe. Clieèle des ereprises : les calculs à parir des iérês simples cocere le fiaceme des besois liés à l'exploiaio (escompe commercial, escompe «Dailly», affacurage, mobilisaios de créaces sur l'éa e sur l'érager, crédis de campage, fiacemes de socks, découvers e compe, arrêés rimesriels des compes couras, billes de résorerie, cerificas de dépôs égociables...), aisi que ceraies opéraios de placeme de résorerie (bos du Trésor égociables, bos de caisse, compes à erme...). INTÉRÊTS COMPOSÉS : PRINCIPALES APPLICATIONS PROFESSIONNELLES Clieèle des pariculiers : les calculs à parir des iérês composés cocere les produis de placeme à moye e log erme (compes d'éparge logeme, plas d'éparge logeme, PERP, PERCO...) aisi que ous les barèmes de crédis. Clieèle des ereprises : les calculs à parir des iérês composés cocere esseielleme le fiaceme des besois à moye e log erme, aisi que ceraies opéraios de placeme de résorerie (BMTN, cerificas de dépôs égociables ). INTÉRÊTS COMPOSÉS : LES DIFFÉRENTES NATURES DE TAU Pour effecuer le calcul des iérês, il es écessaire d'appliquer u aux périodique qui correspode à la périodicié de calcul des iérês. Le aux périodique peu êre jouralier, par quizaie, mesuel, rimesriel ou semesriel. Il exise deux méhodes pour calculer ce aux, à savoir : - la méhode proporioelle cosise à diviser le aux auel par le ombre de périodes de capialisaio par a ; par exemple, le aux mesuel proporioel au aux auel de 6 % es égal à 6 % / = 0,5 % ; - la méhode acuarielle ou d'équivalece : elle cosise à appliquer la formule fodameale des iérês composés e appliqua le pricipe d'équivalece, c'es-à-dire : «deux aux so dis équivales si, appliqués à u même capial avec des périodiciés de capialisaio différees, ils doe le même capial acquis à l'issue de la même durée de placeme». Par exemple, le aux mesuel ( m ) acuariel équivale au aux auel de 6 % doi êre el que : Co ( + m) = Co ( + 0, 06), avec C o = capial iiial e = ombre d'aées du placeme. Ce qui doe : ( ) / m = + 0, 06 = 0, , soi u aux mesuel acuariel de : 0, %.

2 LES GRANDS THÈMES DE L ITB UTILISATION PRATIQUE DE LA "HP 0B" POUR RÉPONDRE AU QUESTIONS DU QCM (QRU) À quel aux es-il préférable de placer u capial? a) Au aux mesuel acuariel de 0, %. b) Au aux rimesriel proporioel de,5 %. c) Au aux semesriel proporioel de 3,05 %. d) Au aux quizaial acuariel de 0,4308 %. e) Au aux auel de 6,00 %. La boe répose es : a. E effe : a), = - = 00 = 6,4573 %. b),5 4 = 6,00 %. c) 3,05 = 6,0 %. d), = - = 00 = 6, %. e) 6,00 %. (QRU) - Parmi les affirmaios suivaes, laquelle es fausse? a) U aux mesuel proporioel à u aux auel es égal à / e du aux auel. b) U aux périodique équivale à u aux auel es u aux acuariel. c) Le aux quizaial de 0, % es équivale au aux auel de %. d) Le aux mesuel de 0, % es équivale au aux auel de %. La répose es : e. E effe, les affirmaios a, b, c e d so exaces. a) U aux mesuel proporioel à u aux auel es obeu e divisa le aux auel par. b) U aux périodique équivale à u aux auel es obeu par applicaio de la formule fodameale des iérês composés e es de ce fai cosidéré comme éa u aux acuariel. c), = - = 00 =, , soi % ou ecore, 4 0, ce qui doe, d), = - = 00 =, , soi % ou ecore, 0, ce qui doe, (QRU) - À quel aux jouralier (base 360) acuariel correspod u aux auel de %? a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, La boe répose es : c. E effe : / x, 360 = - = 00 = 0, ou ecore, 360._. 360 = 0,

3 LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les auiés : valeur acuelle e valeur acquise RAPPELS THÉORIQUES ET DÉFINITIONS Les auiés correspode à des sommes (cosaes ou variables) versées à iervalles réguliers (par périodicié fixe : à l'aée, au semesre, au rimesre, au mois, à la quizaie ou quoidieeme). Les auiés peuve êre versées e débu de période, dès la sigaure du cora (cas des versemes d'éparge) ou bie e fi de période, la première éa versée ue période après la sigaure du cora (cas des versemes de rembourseme d'empru). La valeur acquise d'ue suie d'auiés (ecore appelée valeur fuure «VF», ouche FV sur la HP 0B) représee le moa capialisé période après période des versemes effecués. E ce qui cocere les auiés cosaes, les formules de calcul so : ( + ) ( + ) VF = a ( auiés de fi de période ) ; VF = a ( + ) ( auiés de débu de période ) avec, a = moa du verseme périodique cosa, = ombre de périodes de verseme, = aux d'iérê périodique pouva êre proporioel (pour les barèmes de crédi, sauf ceux liés à l'éparge logeme) ou acuariel (pour les placemes). Pour les auiés de moa variable, le calcul de la valeur acquise par les divers versemes s'effecue e addiioa les valeurs acquises de chacu d'eux, ce qui doe les formules de calcul suivaes : VF = ai + auiés de fi de période VF = ai + auiés de débu de période ( ) ( i ) ( ) ( ) ( + ; ) ( ) avec, a i = moa du i e verseme, = ombre de versemes, = aux d'iérê périodique (ideique pour oues les périodes). La valeur acuelle d'ue suie d'auiés (ecore appelée valeur présee «VP», ouche PV sur la HP 0B) représee le moa e valeur «d'aujourd'hui» des divers versemes périodiques effecués das le fuur. E ce qui cocere les auiés cosaes, les formules de calcul so : ( ) ( ) VP = a + ( auiés de fi de période ) VP = a ( + ) + ; ( auiés de débu de période ) avec, a = moa du verseme périodique cosa, = ombre de périodes de verseme, = aux d'iérê périodique pouva êre proporioel (pour les barèmes de crédi, sauf ceux liés à l'éparge logeme) ou acuariel (pour les placemes). Pour les auiés de moa variable, le calcul de la valeur acuelle des divers versemes s'effecue e addiioa les valeurs acuelles de chacu d'eux, ce qui doe les formules de calcul suivaes : + VP = ai ( + ) ( auiés de fi de période ) ; VP = ai ( + ) ( auiés de débu de période ) avec, a i = moa du i e verseme, = ombre de versemes, = aux d'iérê périodique. L ÉQUATION DES VALEURS ACTUELLES D'ue maière géérale, la soluio de ous les problèmes fiaciers passe par l'applicaio de la règle suivae : «la valeur acuelle des sommes perçues (ou versées) das le fuur doi êre sriceme égale à la somme versée (ou reçue) à l'isa cosidéré (dae du cora cocréisa l'opéraio)». Cee règle se radui mahémaiqueme par ue équaio appelée «équaio des valeurs acuelles». Par somme versée ou perçue, il fau eedre «le flux fiacier» correspoda, iclua le capial e éveuelleme les iérês. APPLICATION : LES BARÈMES DE CRÉDIT Moer u barème de crédi cosise à écrire l'équaio des valeurs acuelles de l'opéraio. Soi, par exemple, u crédi de «C» euros remboursable e mesualiés cosaes de fi de mois au aux mesuel de, le moa «m» des mesualiés de rembourseme (capial + iérês) doi êre el que la somme des valeurs acuelles de ces versemes soi égale au capial emprué de «C» euros, ce qui doe l'équaio suivae : ( ) C C = m +, d' où : m = ( + ) C'es aisi que so calculés les barèmes de crédi à auiés cosaes (cas le plus fréque des crédis à la cosommaio e à l'habia).

4 LES GRANDS THÈMES DE L ITB UTILISATION PRATIQUE DE LA "HP 0B" POUR RÉPONDRE AU QUESTIONS DU QCM (QRU) - Vous souhaiez disposer, das 6 as, d'u capial de euros. Quelle somme devez-vous placer si le aux d'iérê auel es de 4,00 %? a) 5, b) 7,934. c) 36, d) 49, La boe répose es : d. E effe :, / - = = 49, ou ecore, ce qui doe : 49, (QRU) - U fourisseur propose divers modes de règleme à ue ereprise pour l'acha d'u équipeme de euros. E cosidéra que le loyer de l'arge es de 5,00 % l'a, quel es le mode de règleme le plus avaageux pour l'ereprise? a) euros immédiaeme. b) euros immédiaeme e euros das six mois. c) euros immédiaeme e euros das u a. d) euros das six mois e euros das u a. e) euros das u a e euros das deux as. La boe répose es : a. E effe : a) b),05 0,5 + / - = = = , c) _.,05 = = 97 69, d),05 0,5 + / - = = = 0 93,5563.._.,05 e),05 + / - = = = ,4739.._.,05 (QRU) - Vous accordez à u clie u crédi de euros sur 5 as au aux auel de 6 %. Quel sera le moa des mesualiés de rembourseme de fi de période? a) 574,00. b) 576,5. c) 578,4. d) 579,88. La boe répose es : e. E effe :, / - = + / - + = / x 0, = 579, ou ecore, 5 6 doe : 579, _ ce qui

5 3 LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les barèmes de crédi RAPPELS THÉORIQUES ET DÉFINITIONS Les divers barèmes de crédi correspode aux modaliés possibles selo lesquelles u emprueur rembourse à so créacier le prê qu'il a obeu aisi que les iérês. E gééral, le rembourseme doe lieu à des versemes périodiques comprea à la fois ue par du capial (appelé rembourseme du pricipal) e des iérês. Quelles que soie les codiios de rembourseme reeues, le moage d'u barème de crédi s'effecue à parir de «l'équaio des valeurs acuelles», c'es-à-dire que la somme des valeurs acuelles (à la dae du cora) des versemes périodiques fuurs doi êre égale au moa du prê. LES BARÈMES À VERSEMENTS PÉRIODIQUES CONSTANTS ET À TAU FIE Ces barèmes s'obiee par applicaio de la formule suivae : C verseme périodique =, comprea ue par de rembourseme du capial emprué ( + ) e des iérês ; avec C = capial emprué, = ombre de versemes périodiques e = aux périodique. E gééral, ce aux es u aux proporioel (sauf das le cas des prês liés à l'éparge logeme, où le aux périodique es u aux acuariel), c'es-à-dire obeu e divisa le aux auel par le ombre de périodes de rembourseme coeu das ue aée. Les versemes périodiques peuve êre mesuels, rimesriels, semesriels ou auels. La par des iérês coeus das le verseme périodique s'obie e muliplia le capial resa dû e débu de période par le aux périodique, la par de rembourseme du capial éa égale à la différece ere le moa du verseme périodique e les iérês aisi calculés. Ces barèmes so rès souve uilisés pour les crédis à la cosommaio e cerais crédis à l'habia. LES BARÈMES À VERSEMENTS PÉRIODIQUES VARIABLES ET À TAU FIE Das le cas de ces barèmes, il s'agi d'appliquer la formule de calcul de la valeur acuelle d'ue suie d'auiés variables de fi de période, ce qui doe : C = ai ( + ), avec C = capial emprué ; = ombre de versemes périodiques ; = aux périodique (e gééral, ce aux es u aux proporioel) ; a i = moa des différes versemes périodiques. Les versemes périodiques peuve êre mesuels, rimesriels, semesriels ou auels. La par des iérês coeus das le verseme périodique s'obie e muliplia le capial resa dû e débu de période par le aux périodique ; la par de rembourseme du capial éa égale à la différece ere le moa du verseme périodique e les iérês aisi calculés. Ces barèmes so uilisés pour des crédis à l'habia (Prê Coveioé, Aide Persoalisée au Logeme) e pour des prês à moye e log erme aux ereprises. E gééral, les versemes périodiques so e augmeaio régulière ou au log de la vie du prê. LES BARÈMES À TAU VARIABLE Il fau disiguer : A. les barèmes do la variaio des aux es coue dès la sigaure du cora ; deux cas peuve se préseer : o les versemes périodiques so cosas ou au log de la durée du prê ; das ce cas, ces barèmes s'obiee par applicaio de la formule suivae : C = a ( + i ) o les versemes périodiques so variables ou au log de la durée du prê ; das ce cas, ces barèmes s'obiee par applicaio de la formule suivae : C = ai ( + i ) B. les barèmes do la variaio des aux es icoue à la sigaure du cora ; c'es le cas e pariculier des crédis aux ereprises idexés sur EURIBOR. Das ce cas, les barèmes so bâis e cosidéra que le aux de dépar e varie pas ou au log de la durée du prê, ce qui perme de déermier le moa des premiers versemes périodiques. À chaque variaio du aux de référece, o cosidère que l'o me e place u ouveau prê à aux fixe sur le capial resa dû e sur la durée resa à courir. Les formules à appliquer so celles des barèmes à aux fixe e à versemes périodiques cosas ou variables.

6 3 LES GRANDS THÈMES DE L ITB UTILISATION PRATIQUE DE LA "HP 0B" POUR RÉPONDRE AU QUESTIONS DU QCM Soi u crédi de euros sur as, au aux auel de 7,00 %, remboursable par mesualiés cosaes à erme échu. - (QRU) - Quel es le moa de la mesualié de rembourseme? a) 044,83 euros. b) 056,76 euros. c) 059,84 euros. d) 07,35 euros. La boe répose es : b. E effe : , _. = ce qui doe : - (QRU) - Quel es le moa des iérês payés les six premiers mois? a) 6 979,98. b) 6 998,5. c) 6 90,35. d) 6 9,5. La boe répose es : d. E effe : ,76900._. = ce qui doe : 6 = ce qui doe : 6 9, (QRU) - Quel es le capial resa dû à l'issue de la 0 e mesualié de rembourseme? a) ,99. b) ,77. c) ,99. d) ,55. La boe répose es : c. E effe : ,76900._. = ce qui doe : 0 = = = ce qui doe : , Soi u crédi de euros sur 6 as, remboursable selo les modaliés suivaes : 4 mesualiés de 855,5 euros, puis 4 mesualiés de 965,75 euros e efi 4 mesualiés de 995,95 euros. 4 - (QRU) - Quel es le aux mesuel de ce crédi? a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, La boe répose es : a. E effe : / - 855, ,75 995,95 4 ce qui doe : 0,