DS n o 9 Stockage de l énergie solaire & condensateur

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1 DS n o 9 Stockage de l énergie solaire & condensateur Exercice I Stockage de «l énergie solaire» «Le Soleil est une étoile quelconque mais, pour la vie sur Terre, sa présence est indispensable... L énergie solaire reçue par la Terre représente par an près de fois la totalité de la consommation énergétique mondiale actuelle!» et exercice comporte une annexe, notée ANNEXE page, à rendre avec la copie. Une partie de cette énergie abondante peut être transformée en énergie électrique par une cellule photovoltaïque (capteur solaire). ette énergie électrique doit être stockée car la demande énergétique peut être décalée dans le temps vis-à-vis de l apport en énergie solaire (utilisation par exemple, d un éclairage la nuit). Dans cet exercice, on étudie le stockage de l énergie électrique dans un condensateur de grande capacité. Le fabricant du condensateur utilisé indique une valeur de capacité =µf ± %.. harge du condensateur à courant constant Les caractéristiques de la cellule photovoltaïque en régime normal de fonctionnement sont indiquées cidessous (toutes les données ne sont pas utiles) : Puissance :, W Intensité : ma Tension maximale :, V Dimensions : 39 7 mm Masse :, kg Plage de température : - o à + o La cellule photovoltaïque se comporte comme un générateur G débitant un courant d intensité constante I =, A, tant que la tension à ses bornes reste inférieure à la tension maximale U max =, V. La cellule photovoltaïque est branchée aux bornes du condensateur. K Àladatet =s,onfermel interrupteurketon débute l enregistrement informatisé des variations de la tension aux bornes du condensateur u (t)enfonction du temps. On obtient le graphe suivant : U max u (V).. t (s).. Nommer les deux régimes observables sur le graphe u = f(t) représentéci-dessus... Donner l expression de u en fonction de et de la charge q du condensateur..3. Le condensateur est initialement déchargé. Donner l expression de la charge du condensateur q en fonction de l intensité I et de la date t lorsque u est inférieure à U max (charge à courant constant). En déduire que : u = I t tant que u est inférieure à U max... Déterminer la valeur et préciser l unité du coefficient directeur, noté k, de la portion de droite de la figure ci-dessus lorsque u est inférieure à U max. Utiliser ce résultat pour vérifier que la valeur de est compatible avec les indications du constructeur... alculer la quantité d énergie électrique stockée dans le condensateur lorsque la charge est terminée.. Décharge du condensateur dans un conducteur ohmique I G u L énergie stockée dans le condensateur peut être utilisée pour faire fonctionner une lampe (L) de faible puissance que l on assimile à un conducteur ohmique de résistance R. Onbrancheensérielecondensateur et le conducteur ohmique (schéma page suivante). À

2 l instant de date t =,lecondensateuraunetension à s e s b o r n e s é g a l e à U max et on ferme l interrupteur K. Le graphe donnant u = f(t) estdonnéenannexe, à rendre avec la copie. i u K.. Établir l expression de i en fonction de u... Montrer que l expression de l équation différen- tielle à laquelle satisfait u lors de la décharge peut s écrire :.3. Vérifier que : u + du R = R u (t) =U max e t/r est une solution de l équation différentielle précé - dente... Quel est le signe de i(t) lorsdeladécharge?justifier la réponse... Déterminer, en faisant apparaître clairement la méthode sur la figure de l annexe, la valeur de la constante de temps τ du système électrique. Déduire de la valeur de la constante de temps τ la valeur de la résistance R... On considère que la lampe (L) fonctionne correctement si la tension imposée par le condensateur entre ses bornes est supérieure à, V. On rappelle que l on assimile la lampe au conducteur ohmique de résistance R. Déterminer, en utilisant la figure de l annexe, la durée t durant laquelle la lampe fournit une quantité de lumière suffisante. onclure sur l utilisation de ce condensateur pour un éclairage la nuit. Exercice II Étude de la décharge d un condensateur Le but de cet exercice est d étudier la décharge d un condensateur dans une résistance R, puis dans une inductance pure L, etenfindansuncircuitrl. Onprocède tout d abord à une étude expérimentale, puis on mène dans un second temps une étude théorique permettant d interpréter les résultats expérimentaux. Les différentes parties de cet exercice sont largement indépendantes. et exercice comporte deux annexes, notées ANNEXE et 3, pages et. Étude du circuit R Pour l étude de la réponse à un échelon de tension d un dipôle R, onutiliselemontagedelafigure de l annexe, page (à rendre avec la copie). Les deux flèches disposées aux nœuds A et B du circuit sont reliées aux entrées d un système d acquisition par ordinateur, ainsi que la masse M qui est commune au générateur et au système d acquisition. Pour ce montage, on a utilisé R =9, kω et = µf. On obtient les enregistrements reproduits sur la figure de l annexe..a. On considère tout d abord que l interrupteur à deux voies (K) est positionné sur (). Sur le schéma de la figure, indiquer par des flèches les tensions u et u R aux bornes du condensateur et de la résistance, ainsi que l intensité i dans ces composants..b. Avant de lancer une acquisition, on veut être certain que le condensateur est bien déchargé. omment peut-on procéder pour le décharger complètement?. Étude de la charge du condensateur.a. On lance une acquisition. Expliquer quelle(s) opération(s) il faut effectuer sur l interrupteur (K) pour obtenir les tensions représentées sur la figure. Quelle est la tension détectée par la voie marquée Y?ParlavoieY?ompléteralorsles pointillés (...) auniveaudesflèchesindiquantles branchements du système d acquisition sur la figure..b. Quelle est la valeur de la tension délivrée par le générateur en fin de charge? Même question pour la tension aux bornes du condensateur..c. Effectuer une détermination graphique de la constante de temps τ.letracéeffectué doit être apparent sur la figure..d. Donner la relation liant τ à R et. Effectuer l application numérique et comparer cette valeur théorique avec la valeur expérimentale obtenue par lecture graphique sur l enregistrement. 3. Étude de la décharge du condensateur 3.a. Le condensateur étant chargé sous la tension maximale, on bascule l interrupteur (K) en position (). Établir l équation diffé r e n t i e l l e v é r i fi é e p a r l a t e n - sion u aux bornes du condensateur.

3 3.b. Montrer que : u (t) =K e t τ est solution de l équation diffé r e n t i e l l e, K et τ étant des constantes dont on donnera l expression. Pour terminer, comparer la constante de temps τ de décharge à la constante de temps τ de charge. 3.c. Au bout de combien de temps peut-on admettre que le condensateur est déchargé? Justifier.. Décharge du condensateur dans une bobine Pour l étude des oscillations libres d un circuit RL, on utilise le montage représenté ci-dessous. Un système d acquisition par ordinateur est connecté aux nœuds A et D du circuit, ainsi qu à la masse B qui est commune au générateur et au système d acquisition. On enregistre l évolution des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance R. E () K () A B L, r Y D Y Le condensateur est préalablement chargé sous la tension E, en plaçant l interrupteur(k)en position (). L interrupteur est alors basculé en position () ; c est à cet instant que commence l acquisition des données. R.a. On se place dans le cas où la résistance de la résistance totale de la branche comportant la bobine est nulle (donc R + r =).Établir l équation différentielle vérifiée par q, q étant la charge portée par l armature A du condensateur..b. En déduire la période propre T des oscillations (aide, comme c est frais : vérifiez que : ( q(t) =Q m cos π t ) + ϕ T est solution de l équation différentielle ).. Décharge du condensateur dans un circuit RL Dans la pratique, la résistance totale R + r de la branche comportant la bobine n est pas négligeable (r =Ω pour la résistance de la bobine et R Ω). On réalise trois expériences afin d étudier l influence des différents paramètres sur les oscillations. Les graphiques a, b et c de l annexe 3 page représentent les variations de la tension u AB et de l intensité du courant i dans le circuit, quand l interrupteur (K) est sur la position (). Le tableau ci-dessous indique les paramètres utilisé lors des trois expériences. Le lien entre les trois graphiques (a-b-c) et les trois expériences (E -E -E 3 ) fait l objet d une question ultérieure. Expériences R (Ω) L (H) (µf) E,, E,, E 3 3,,.a. Àl aidedesdonnéesdutableau,calculerlespériodes propres T, T et T 3 correspondant aux expériences E,E et E 3..b. Mesurer graphiquement la pseudo-période T a, T b et T c des oscillations sur chacun des graphiques a, betc(laissezvosmesuresapparentessurlestrois figures de l annexe )..c. Dans les conditions de l expérience, on suppose que l on peut confondre la période propre avec la pseudo-période des oscillations amorties. Faire alors correspondre chaque graphique (a-b-c) à une des trois expériences (E -E -E 3 ), en justifiant.

4 ANNEXE À rendre avec la copie u (V) ANNEXE À rendre avec la copie () K A... E () B R... M Figure ircuitr 3 u (V) voie Y voie Y t (s) Figure Enregistrementeffectué avec le circuit R

5 ANNEXE 3 À rendre avec la copie u AB (V) graphique a i (ma) 3 3 u AB (V) graphique b i (ma) 3 3 u AB (V) graphique c i (ma) 3 3

6 orrigé du DS n o 9 Stockage de l énergie solaire & condensateur Exercice I Stockage de «l énergie solaire». harge du condensateur à courant constant.. Entre t =sett =, 8 s, régime transitoire, le condensateur se charge ; Au-delà de t =, 8 s, régime permanent, le condensateur est chargé... Relation entre la tension u aux bornes du condensateur et la charge q : u = q.3. Relation entre l intensité i et la charge q pour le condensateur : i = dq L intensité du courant est constante, i =ctenotée I, donccetterelations intègreen: q(t) =I t + A où A est une constante d intégration qui dépend des conditions initiales. Initialement, le condensateur est déchargé, donc à t =: { q() = q() = A Aux bornes du condensateur : u = q A = q(t) =I t u (t) = I t ette relation est valable tant que u < U max, c est-à-dire en régime transitoire, car en régime permanent u (t) =U max... œfficient directeur ou pente de la droite : k = u t =, =, V.s, 8 e cœfficient directeur k est égal à : k = I Application numérique : =,, = I k =, F On constate un parfait accord avec la valeur de indiquée par le fabricant... Quantité d énergie stockée lorsque u = U max : Application numérique : E = U max E =,, =, 3 J. Décharge du condensateur dans le conducteur ohmique.. On utilise la relation entrel intensité i est la charge q, puisentrelachargeq et la tension u : i = dq et q = u i = du.. Aux bornes du conducteur ohmique, on peut écrire : u = Ri i = u R Le signe moins tiens compte du fait que tension u et courant i dans le même sens dans le conducteur ohmique correspondent à la convention générateur. En remplaçant i dans l expression précédente : u R = du En multipliant l ensemble par R et en regroupant les termes : u + R du =.3. Dérivée première par rapport au temps de la solution proposée : du = U max R e t/r On remplace dans l équation différentielle, notée E : E = U max e t/r R U max R e t/r Les deux termes se simplifient et on obtient bien E =... Lors de la décharge, la quantité d électricité q> stockée par l armature sur laquelle aboutit la flèche de l intensité i diminue ; donc sa dérivée par rapport au temps est négative : dq < Par suite, l intensité i est de signe négatif.

7 .. La construction graphique de l annexe de l exercice I doit clairement apparaître ; par exemple, en choisissant de déterminer τ par l abscisse de l intersection de la tangente à l origine avec l axe des abscisses : u (V) τ u =V Par lecture graphique, on trouve τ =3ms. τ = R R = τ = 3 3, =, 3 Ω.. Sur la figure de l annexe de l exercice I, on trace une droite horizontale d équation u =V,eton note l abscisse de son intersection avec la courbe u (t) : t ms. ette valeur est très faible, un condensateur ne convient pas pour l éclairage de nuit. Exercice II Étude de la décharge d un condensateur. Étude du circuit R.a. u aux bornes de, u R aux bornes de R, toutes deux vers le haut (convention récepteur, en sens inverse de i)..b. On relie les deux bornes du condensateur par un fil, ou même on abaisse l interrupteur (K) en position () pendant un temps très long.. Étude de la charge du condensateur.a. Il faut positionner l interrupteur (K) en position (). La voie Y est branchée au nœud A, où on alatensionauxbornesdudipôler. LavoieY est branchée sur le nœud B, où on a la tension aux bornes du condensateur..b. Les deux tensions valent V (lecture sur la figure de l annexe )..c. Tracé de la tangente à l origine : τ =, s. 3 u (V) τ voie Y voie Y t (s).d. τ = R =9, 3 =, s.accord parfait. 3. Étude de la décharge du condensateur 3.a. On utilise les relations connues : q = u ; i = dq i = du Loi d additivité des tensions : ; u R = Ri =u R + u =R du + u D où l équation différentielle demandée : du + R u = 3.b. En remplaçant la forme proposée dans l équation différentielle : ( K + K ) e t τ τ R t τ = R τ = R, égaleàτ. 3.c. Décharge quasi-complète du condensateur pour t =τ. Àcettedate,u a%desavaleurfinale nulle, puisque : e,. Décharge du condensateur dans une bobine.a. On utilise les relations connues : u = q ; i = dq u L = L d q Loi d additivité des tensions : ; u L = L di u + u L = q + Ld q = D où l équation différentielle demandée : d q + L q =.b. Vérifions que la charge : ( q = Q m cos π t ) + ϕ T est solution de l équation différentielle, Q m é t a n t l amplitude, T la période propre et ϕ la phase

8 Grille DS n o 9 Exo I Solaire.../ Régime transitoire, régime permanent u = q,notationsrespectées q(t) =I t, démontréparintégration+i u = I t,démontré k =, V.s = I k =, F, accord E = U max =, 3 J i = du,démontré u + R du =+signeu R géré Vérification solution i<, justifié onstruction graphique τ τ =3ms R =, 3 Ω Lecture graphique t ms Ne convient pas Exo II - ondensateur.../ Schéma u, u R, i (figure ) Décharge (K) en (), Y en A, Y en B Vpourles τ =, s(figure) τ = R =, s Démonstration équa. diff. u Démonstration équa. diff. u Démo τ = R par remplac mt Démo τ = R par remplac mt τ harge à 99 % Démonstration équa. diff. q Démonstration équa. diff. q d q L q = + d q + L q = Remplac mt de la solution Remplac mt de la solution T =π L T,,3 =3;, ; 3 ms T sur plusieurs périodes T a,b,c =3;3;, 7ms,tt/rien et3 ˆmT car ˆm L, doncaoub 3att.+fortecarR +grddoncb a; c; 3 b, tt/rien Total.../3 Total.../ Grille DS n o 9 Exo I Solaire.../ Régime transitoire, régime permanent u = q,notationsrespectées q(t) =I t, démontréparintégration+i u = I t,démontré k =, V.s = I k =, F, accord E = U max =, 3 J i = du,démontré u + R du =+signeu R géré Vérification solution i<, justifié onstruction graphique τ τ =3ms R =, 3 Ω Lecture graphique t ms Ne convient pas Exo II - ondensateur.../ Schéma u, u R, i (figure ) Décharge (K) en (), Y en A, Y en B Vpourles τ =, s(figure) τ = R =, s Démonstration équa. diff. u Démonstration équa. diff. u Démo τ = R par remplac mt Démo τ = R par remplac mt τ harge à 99 % Démonstration équa. diff. q Démonstration équa. diff. q d q L q = + d q + L q = Remplac mt de la solution Remplac mt de la solution T =π L T,,3 =3;, ; 3 ms T sur plusieurs périodes T a,b,c =3;3;, 7ms,tt/rien et3 ˆmT car ˆm L, doncaoub 3att.+fortecarR +grddoncb a; c; 3 b, tt/rien Total.../3 Total.../

9 à l origine. On dérive deux fois cette tension par rapport au temps : ( ) dq π = π Q m sin t + ϕ T T d ( ) q π = π Q m cos t + ϕ T T Dans cette dernière formule, on reconnaît la charge q elle-même : d q = π q On remplace cette dernière forme dans l équation différentielle trouvée précédemment : π T q + L q = En multipliant tout par L et en factorisant par q : ( π T T ) L + q = On remplace q par la solution proposée dans cette dernière équation : ( π T ) ( ) π L + Q m cos t + ϕ = T Pour que ce produit soit nul quelque soit le temps t, ilfautqu aumoinsl undesdeuxtermessoitnul, en l occurence le terme constant : π T L += T =π L. Étude de la décharge du condensateur dans un circuit RL a. On applique la formule précédente : T = π L, cequidonne: T =3ms T =, ms T 3 =3ms b. Il faut être habile pour les mesures des périodes. Si l on se focalise sur la sinusoïde en pointillés correspondant au courant i (partant de zéro à t =),oncompteexactementtroispériodespour aetb,etsixpourc,dansl intervalledems montré par l acquisition. D où les valeurs : T a =3ms T b =, 7ms T c =3ms c. Les acquisitions b et c correspondent à une atténuation plus forte que l acquisition a (comparer les maximums locaux de u à t =ms).d ou la correspondance : a E b E 3 c E