Chapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations

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1 Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement versent un intérêt (une autre somme d argent) périodique. Cet intérêt se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement au non-remboursement de la totalité ou d une part du capital initial que doit rembourser le débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunté) et au fait que le créditeur ne peut plus utiliser à sa guise le capital immobilisé auprès du débiteur. Ainsi, quand vous déposez de l argent sur un compte auprès d une banque, cette dernière vous verse à la fin de l année un intérêt. En quelque sorte, elle vous paie pour l argent que vous lui avez prêté afin qu elle puisse réaliser certaines opérations financières : investissement en bourse, investissement dans l immobilier, prêt à d autres personnes,... Dans cette transaction, vous êtes le créditeur et la banque le débiteur. A l inverse, quand vous empruntez de l argent auprès d une banque pour, par exemple, construire une maison, cette dernière vous demande de lui verser des intérêts en contrepartie de ce prêt. Dans ce cas, vous êtes le débiteur et la banque le créditeur. En lien avec la notion d intérêt, nous utiliserons souvent le taux d intérêt sur une unité de temps qui est défini comme : taux d intérêt = intérêt produit pendant une unité de temps capital L unité, ou période, de temps peut être, par exemple, l année, le semestre, le trimestre, le mois, le jour, l heure, la minute, la seconde,... En général et sans indication contraire, nous considérerons que la période de temps est l année et donc le taux d intérêt annuel. Notations Les notations suivantes seront utilisées dans ce chapitre : C = capital (sans autres précisions), C 0 = capital initial, au temps 0, C n = capital après n années (ou périodes), n = nombre d années (ou de périodes) pendant lesquelles le capital initial est investi, I = intérêt produit pendant une année (ou une période), 1

2 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.2. Capitalisation t = taux d intérêt annuel (constant) exprimé en % ou intérêt rapporté par une somme de 100 CHF pendant une année, i = taux d intérêt annuel (constant) exprimé sous forme décimale ou intérêt rapporté par une somme de 1 CHF pendant une année. Les taux t et i sont liés par l égalité suivante : i = t 100 Dans ce cours, on préférera, pour réaliser les différents calculs, la notation décimale du taux d intérêt, i, à la notation sous forme de %, t. Avec les définitions ci-dessus, on a les deux relations équivalentes suivantes : i = I C et I = C i Sur la base de ces notions, deux types de réflexion sont possibles : la capitalisation : elle permet de calculer la valeur future (ou valeur acquise) d un capital à partir de sa valeur présente. Sous forme de schéma : C 0 n années C n Capital initial Valeur acquise temps Le sens de la flèche indique qu on déplace un capital en direction du futur. l actualisation : elle permet de déterminer la somme d argent, qu on appelle valeur actuelle, qui doit être investie pour obtenir, après un temps donné, un montant fixé à l avance. C 0 n années C n Valeur actuelle Capital final (fixé) temps Le sens de la flèche indique qu on déplace un capital en direction du passé. 5.2 Capitalisation Un capital C placé pendant une année à un taux d intérêt annuel produit un intérêt valant C i. Si ce capital est placé pendant plusieurs années, l intérêt total produit et donc la valeur acquise dépend de la convention adoptée pour faire les calculs Intérêts simples L intérêt produit au cours d une année n est pas capitalisé pour l année suivante (il n est pas ajouté au capital). Les intérêts sont toujours calculés par rapport au capital initial, page 2

3 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.2. Capitalisation C 0. En appliquant cette convention, on trouve la suite de capitaux : Après 1 année : Après 2 années : Après 3 années : Après 4 années :... C 1 = C 0 +C 0 i = C 0 (1+i) C 2 = C 1 +C 0 i = C 0 (1+i)+C 0 i = C 0 (1+2i) C 3 = C 2 +C 0 i = C 0 (1+2i)+C 0 i = C 0 (1+3i) C 4 = C 3 +C 0 i = C 0 (1+3i)+C 0 i = C 0 (1+4i) Après n années (ou périodes), le capital C n est donné par la formule des intérêts simples : C n = C 0 (1+n i) Remarque Pour tout n 0, la différence C n+1 C n est constante et égale à C 0 i. Exemple On place 500 CHF à intérêts simples et à 5% pendant 20 ans. La valeur acquise (capital final) est donné par : C 20 = C 0 (1+20i) = 500 ( ) = 1000 CHF Intérêts composés L intérêt produit au cours d une année est capitalisé pour l année suivante (il est ajouté au capital). Les intérêts sont calculés année par année sur la base du capital à la fin de l année précédente. Ainsi, chaque année, le montant sur lequel l intérêt est calculé change! En appliquant cette convention, on trouve la suite de capitaux : Après 1 année : C 1 = C 0 +C 0 i = C 0 (1+i) Après 2 années : C 2 = C 1 +C 1 i = C 1 (1+i) = C 0 (1+i) 2 Après 3 années : C 3 = C 2 +C 2 i = C 2 (1+i) = C 0 (1+i) 3 Après 4 années : C 4 = C 3 +C 3 i = C 3 (1+i) = C 0 (1+i) 4... Après n années (ou périodes), le capital C n est donné par la formule des intérêts composés : C n = C 0 (1+i) n Remarques 1) Pour tout n 0, le quotient C n+1 C n est constant et égal à 1+i. 2) On appelle le terme (1+i) le facteur de capitalisation, que l on note r. page 3

4 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.2. Capitalisation Exemples 1. On place 500 CHF à intérêtscomposéset à 5% pendant 20 ans. La valeur acquise (capital final) est donnée par : C 20 = C 0 (1+i) 20 = 500 (1+0.05) 20 = 1326,65 CHF 2. Si on dessine les capitaux obtenus tous les ans pour une somme de 500 CHF placé à intérêts simples avec un taux de 5% ou à intérêts composés avec un taux de 5%, on obtient le graphe suivant CHF ans On voit que pour les intérêts simples, la courbe est une droite, tandis que pour les intérêts composés, il s agit d une courbe exponentielle! Taux proportionnel et taux équivalent Selon les cas, on peut considérer d autres unités de temps que l année : le semestre, le 1 trimestre, le mois,... Pour cela, on divise l année en m périodes de longueur égale : m année (m = 2 pour le semestre, m = 12 pour le mois,...). On calcule alors les intérêts en considérant l unité de temps choisie et non plus l année. Les formules précédentes restent valables en utilisant un nombre de périodes et un taux d intérêt correspondant à l unité de temps considérée. Exemple On place 500 CHF à intérêts composés mensuels et à un taux d intérêt mensuel i 1 2 = 1% pendant 2 ans. La valeur acquise (capital final) est donnée par : C 24 = C 0 (1+i 1 2) 24 = 500 (1+0.01) 24 = 634,86 CHF On peut se poser la question suivante : quel taux d intérêt appliquer sur m périodes (égales au total à une année) pour que la valeur, au bout d une année, d un capital initial C 0 soit la même que si on considérait un taux d intérêt annuel i? Celui-ci dépend de la convention de calcul d intérêts adoptée. page 4

5 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.2. Capitalisation Définition cas selon la convention de calcul adoptée : Intérêts simples : le taux proportionnel, noté p m, correspondant à l unité de temps de longueur 1 année et au taux d intérêt annuel i est défini par l égalité : m C 0 (1+i) = C 0 (1+m p m ) En simplifiant cette égalité, on trouve la définition équivalente : p m = i m Intérêts composés : le taux équivalent, noté i m, correspondant à l unité de temps de longueur 1 année et au taux d intérêt annuel i est défini par l égalité : m C 0 (1+i) = C 0 (1+i m ) m En simplifiant cette égalité, on trouve la définition équivalente : Exemple i m = m 1+i 1 Si le taux d intérêt annuel est de 3% et que l unité de temps considérée est le mois (m = 12), on a : taux proportionnel : p 12 = 0.03 = = 0,25% 12 taux équivalent : i 12 = = 0,00247 = 0,247% Actualisation On considère le problème inverse de la capitalisation. On va déplacer un capital en direction du passé. Par exemple, on peut se demander quel investissement C 0 on doit placer, à un taux d intérêt annuel i, pour obtenir après n années un capital C n. Formules On peut conserver les mêmes formules que pour la capitalisation, si ce n est qu on connaît C N et qu on désire déterminer C 0. On obtient les formules suivantes : Exemple Intérêts simples : C 0 = C n Intérêts composés : C 0 = C n 1 1+n i 1 (1+i) n Si on souhaite posséder CHF dans 30 ans sur un compte en banque rapportant un intérêt annuel de 2% (on laisse les intérêts sur le compte), on doit placer : C 0 = C 30 1 (1+i) = = (1+0.02) = 5 520,71 CHF 30 page 5

6 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.3. Equivalence de capitaux 5.3 Equivalence de capitaux Définition 5.2 Deux capitaux sont équivalents à une date déterminée, appelée date d équivalence, s ils ont la même valeur actuelle à cette date, pour un taux donné. Date d équivalence Valeur actuelle 1 Valeur actuelle 2 Durée 1 Durée 2 Valeur nominale 1 (Capital final 1) temps temps Valeur nominale 2 (Capital final 2) Deux groupes de capitaux sont équivalents si la somme des valeurs actuelles des deux groupes est la même. Exemples 1. Si on suppose que le taux d intérêtest constant à 5%, alors CHF le premier janvier 2007 sont équivalents à CHF le premier janvier En effet, une année après les CHF sont devenus : (1+0.05) 1 = CHF 2. Verser CHF aujourd hui sur un compte bancaire d intérêts constants à 2% est équivalent à avoir versé CHF il y a 5 ans. En effet, on a : (1+0.02) 5 = CHF Remarque Avec des intérêts simples, l équivalence de capitaux ne se conserve pas dans le temps. Ainsi, la date d équivalence est unique. Avec des intérêts composés, l équivalence de capitaux se conserve dans le temps. Ainsi, l équivalence est indépendante de la date d équivalence. Définition 5.3 L échéance moyenne est l unique date à laquelle plusieurs capitaux échéant à différentes dates sont réglés par un seul paiement égal à la somme de tous ces capitaux (valeurs nominales). page 6

7 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.4. Annuités et rentes Exemple Imaginons que l on ait acheté 2 produits. Le premier a été acheté le premier juin 2008, il coûtait alors CHF. Quant au deuxième, il a été commandé et il coûtera CHF le jour de sa livraison le premier juin Pour ces deux achats, on considère que le taux d intérêts est de 1%. L échéance moyenne correspond à la date où la somme des achats, qui vaut CHF, sera équivalente au deux paiements. Cette échéance correspond au 16 janvier 2009 (autrement dit 7 mois et 15 jours après le premier juin 2008). En effet, on commence par déplacer les deux valeurs au premier juin 2008 (on pourrait les déplacer à n importe quelle date), la valeur totale vaut ainsi : (1.01) 1 = Il faut trouver dans combien de temps ces CHF valent = CHF (1.01) n = 4000 (1.01) n = n = log 1.01 ( ) = ans Ainsi n = = jours, ce qui fait environ 7 mois et 15 jours. On donne ci-dessous la méthode générale pour résoudre un problème faisant intervenir une équivalence de capitaux (voir les exercices pour des exemples) : 1. schématiser la situation en représentant les divers capitaux et échéances sur un axe du temps; 2. pour chaque mode de paiement, calculer la somme des valeurs des capitaux à la date d équivalence; 3. poser l égalité des valeurs trouvées pour chacun des modes : on obtient l équation d équivalence; 4. résoudre l équation d équivalence. 5.4 Annuités et rentes Définition 5.4 En mathématiques financières, on appelle une annuité un versement périodique, dont la période n est pas nécessairement égale à l année. Une suite d annuités est parfaitement définie lorsqu on a précisé : la date du premier versement; la période : durée constante qui sépare deux versements consécutifs; le nombre de versements; le montant de chacun des versements (ou annuités). Si le premier versement est effectué dès la signature du contrat, c est-à-dire au début de la première période, nous parlons de suites d annuités de début de période ou praenumerando. Si le premier versement se situe à la fin de la première période, nous parlons de suites d annuités de fin de période ou postnumerando. page 7

8 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.4. Annuités et rentes Exemple Monsieur Durand place au début de chaque année, pendant 5 ans, une somme de 300 CHF au taux annuel de 4%. Il effectue le premier versement le 1 er janvier Dans ce cas : la date du premier versement est le 1 er janvier 2004; la période est l année; 5 versements sont réalisées; l annuité est de 300 CHF. Cette suite d annuités praenumerando est donc bien définie. Définition 5.5 Une rente est un produit financier constitué d une suite d annuités. Une suite d annuités ou une rente est dite temporaire si le nombre d annuités est fini, viagère si le nombre d annuités est lié à la vie de quelqu un et perpétuelle si le nombre d annuités est infini. On peut être amené à évaluer une rente à une date choisie, appelée date d évaluation. Si cette évaluation a lieu une période avant le premier versement, on dit que la rente est immédiate. Si cette évaluation a lieu plus d une période avant le premier versement, on dit que la rente est différée. Si cette évaluation a lieu moins d une période avant le premier versement, on dit que la rente est anticipée Valeur acquise ou actuelle d une suite d annuités Dans la suite de ce chapitre, nous allons considérer une suite d annuités constantes et nous allons déterminer la valeur acquise (ou la valeur actuelle) d une suite de n annuités où les versements sont effectués en fin de période ou postnumerando. Valeur acquise Exemple Monsieur Dupond place à la fin de chaque année, pendant 4 ans, une somme de 900 CHF au taux annuel de 5%. La capitalisation est annuelle. On veut connaître la somme qui sera disponible au moment du 4ème versement, c est-à-dire la valeur qui sera acquise par les quatre placements. Cette situation est une opération de capitalisation à intérêts composés. On va donc utiliser la formule rappelée précédemment : C n = C 0 (1+i) n. A la date du 4ème versement, le 1 er versement a été placé pendant 3 ans. La valeur acquise par ce versement est donc de : 900 (1+0.05) 3 = 1 041,86 CHF. A la date du 4ème versement, le 2ème versement a été placé pendant 2 ans. La valeur acquise par ce versement est donc de : 900 (1+0.05) 2 = 992,25 CHF. A la date du 4ème versement, le 3ème versement a été placé pendant 1 ans. La valeur acquise par ce versement est donc de : 900 (1+0.05) 1 = 945 CHF. page 8

9 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.4. Annuités et rentes Le 4ème versement n a pas encore rapporté d intérêt. Sa valeur acquise est donc de 900 CHF. On peut résumer les résultats précédents par le schéma suivant : On peut calculer la somme disponible au moment du 4ème versement en ajoutant ces 4 valeurs acquises. On la note V 4. V 4 = , ,86 = 3 879,11 CHF Lorsque le nombre d années de placement est grand, cette démarche est longue. On utilise alors la méthode suivante. La suite des quatre nombres : 900; 900 1,05 1 ; 900 1,05 2 ; 900 1,05 3 est une progression géométrique de premier terme 900 et de raison 1,05. On peut alors calculer la somme en appliquant la formule S n = u 1 qn 1 q 1 où u 1 = 900, q = 1,05 et n = 4. D où : V 4 = 900 1, ,05 1 = 3 879,11 CHF On retrouve bien le résultat précédent. Plus généralement, on peut considérer une suite de n annuités a constantes versées périodiquement (période de longueur p) où le premier versement est effectué à la fin de la première période. On désire déterminer la valeur acquise V n par ces n versements au moment du dernier versement ou de manière équivalente après n périodes. Pour ceci, on peut s aider du tableau suivant (la date fin correspond à la date du dernier versement) : Numéro Date Valeur au moment Valeur acquise du versement du versement du versement à la date fin 1 Fin période 1 a a(1+i) n 1 2 Fin période 2 a a(1+i) n 2 3 Fin période 3 a a(1+i) n 3... n 2 Fin période n 2 a a(1+i) 2 n 1 Fin période n 1 a a(1+i) 1 n Fin période n a a La valeur acquise V n est alors donnée par la somme des termes de la dernière colonne : V n = a+a(1+i)+a(1+i) a(1+i) n 3 +a(1+i) n 2 +a(1+i) n 1 On constate que V n correspond à la somme des n premiers termes d une progression géométrique de premier terme a et de raison (1+i). La formule vue dans le chapitre sur page 9

10 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.4. Annuités et rentes les progressions permet d écrire et de déterminer plus simplement V n : V n = a 1 (1+i)n 1 (1+i) = a 1 (1+i)n i = a (1+i)n 1 i Formule La valeur acquise V n par une suite de n annuités constantes au moment du dernier versement est donnée par la formule : V n = a (1+i)n 1 i où a est le montant de l annuité constante, i le taux d intérêt correspondant à la durée de la période considérée et n le nombre d annuités. Valeur actuelle Exemple Le 31 décembre 2008, monsieur Sylvestre fait un emprunt à sa banque au taux de 5% (capitalisation annuelle). Il rembourse en quatre versements annuels constants de CHF, le premier ayant lieu le 31 décembre On veut connaître la valeur totale de ces versements à la date du 31 décembre 2008, c est-à-dire la valeur actuelle totale à cette date. Cette somme est le capital emprunté. Cette situation est une opération d actualisation à intérêts composés. On va donc utiliser la formule rappelée précédemment : C 0 = C n (1+i) n. Le 1 er versement est effectué à la date du 31 décembre Sa valeur actuelle au 31 décembre 2008 est de (1+0.05) 1 = 1 702,86 CHF. Le 2ème versement est effectué à la date du 31 décembre Sa valeur actuelle au 31 décembre 2008 est de (1+0.05) 2 = 1 621,77 CHF. Le 3ème versement est effectué à la date du 31 décembre Sa valeur actuelle au 31 décembre 2008 est de (1+0.05) 3 = 1 544,54 CHF. Le 4ème versement est effectué à la date du 31 décembre Sa valeur actuelle au 31 décembre 2008 est de (1+0.05) 4 = 1 470,99 CHF. On peut résumer les résultats précédents par le schéma suivant : page 10

11 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.4. Annuités et rentes On peut calculer V 0, la somme empruntée le 31 décembre 2008, en ajoutant ces quatre valeurs actuelles. V 0 = 1 702, , , ,99 = 6 340,16 CHF Lorsque le nombre de périodes de remboursement est grand, cette démarche est longue. On utilise alors la méthode suivante. La suite des quatre nombres : ,05 1 ; ,05 2 ; ,05 3 ; ,05 4 est une progression géométrique de premier terme ,05 1 et de raison 1,05 1. On peut alors calculer la somme en appliquant la formule S n = u 1 qn 1 q 1 (où n = 4) : V 4 = ,05 1 (1,05 1 ) 4 1 1, = 6 340,16 CHF On retrouve bien le résultat précédent. Plus généralement, on peut considérer une suite de n annuités a constantes versées périodiquement (période de longueur p) où le premier versement est effectué à la fin de la première période. On désire déterminer la valeur actuelle V 0 de ces n versements une période avant le premier versement. Pour ceci, on peut s aider du tableau suivant (la date début correspond au début de la période où est réalisée le premier versement) : Numéro Date Valeur au moment Valeur actuelle du versement du versement du versement à la date début 1 Fin période 1 a a(1+i) 1 2 Fin période 2 a a(1+i) 2 3 Fin période 3 a a(1+i) 3... n 2 Fin période n 2 a a(1+i) (n 2) n 1 Fin période n 1 a a(1+i) (n 1) n Fin période n a a(1+i) n La valeur actuelle V 0 est alors donnée par la somme des termes de la dernière colonne : V 0 = a(1+i) 1 +a(1+i) 2 +a(1+i) a(1+i) (n 2) +a(1+i) (n 1) +a(1+i) n Onconstate alorsque V 0 correspond à la somme des npremiers termes d une progressions géométrique de premier terme a(1+i) 1 et de raison (1+i) 1. La formule vue dans le chapitre précédent permet d écrire et de déterminer plus simplement V 0. V 0 = a(1+i) 1 1 ((1+i) 1 ) n 1 (1+i) n = a 1 (1+i) 1 (1+i)(1 (1+i) 1 ) Formule = a 1 (1+i) n i = a 1 (1+i) n (1+i) 1 La valeur actuelle V 0 une période avant le premier versement d une suite de n annuités constantes est donnée par la formule : V 0 = a 1 (1+i) n i page 11

12 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.4. Annuités et rentes où a est le montant de l annuité constante, i le taux d intérêt correspondant à la durée de la période considérée et n le nombre d annuités. Remarque La valeur acquise V n et la valeur actuelle V 0 sont liées par la relation : V n = V 0 (1+i) n Calculs numériques sur les formules des valeurs acquises et actuelles On peut transformer les relations permettant de déterminer V n et V 0 pour rechercher : le montant de l annuité d une suite de n annuités constantes : a = V n i (1+i) n 1 ou a = V 0 le nombre de versements d une suite d annuités constantes : i 1 (1+i) n n = log(vn a i+1) log(1+i) ou n = log(1 V 0 a i) log(1+i) Remarque Il faut être très prudent en utilisant ces différentes formules. En effet, si la situation n est pas exactement équivalente à celles étudiées ci-dessus (versements en fin de période, taux d intérêt constant,...), ces formules ne sont plus valables. Il faut alors réaliser toute la démarche de calcul en s aidant notamment d un schéma représentant la situation étudiée. page 12

13 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.5. Exercices 5.5 Exercices Intérêts simples 1) On place un capital de CHF. Après un an, la valeur inscrite sur le compte est de CHF. a) Calculer l intérêt perçu. b) Calculer le pourcentage que représente l intérêt par rapport au capital placé. Ce pourcentage est appelé taux d intérêt annuel. 2) Un capital de CHF est placé au taux annuel de 7,2%. a) Calculer l intérêt obtenu en un mois, ainsi que le taux mensuel (taux proportionnel). b) Calculer l intérêt obtenu en trois mois, ainsi que le taux trimestriel (taux proportionnel). c) Calculer l intérêt obtenu en 275 jours. d) Calculer la valeur acquise après 5 ans. 3) Un capital de 8 700CHF placé autauxannuel de 4%arapporté171,10CHF. Calculer le nombre de jours de placement. 4) Un capital de CHF est placé pendant 11 mois. L intérêt produit s élève à 486,2 CHF. Calculer le taux annuel d intérêt. 5) Un capital est placé au taux annuel de 5,1% pendant 7 mois. La valeur acquise à la fin du placement s élève à CHF. Calculer le capital placé. 6) La somme de deux capitaux s élève à CHF. Le premier est placé à 5% pendant 9 mois. Le second est placé à 4% pendant 6 mois. La somme des valeurs acquises à la fin du placement atteint 8 690,50 CHF. Calculer les deux capitaux placés. 7) Trois capitaux sont placés : CHF à 7% pendant deux mois CHF à 8% pendant 45 jours CHF à 9% pendant 62 jours Calculer le taux moyen de placement 1. 8) Un capital est placé pendant 10 mois à 6%. Le même capital est ensuite placé pendant 5 mois à 4,2%. L intérêt total est de 136,75 CHF. a) Calculer le capital placé. b) Calculer le taux moyen de placement. 1. Le taux moyen de placement est le taux unique qu il faudrait appliquer aux trois capitaux pendant les mêmes durées, pour obtenir le même intérêt total. page 13

14 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.5. Exercices Intérêts composés 9) On place CHF pendant 6 ans à un taux annuel de 7%, avec capitalisation annuelle des intérêts. Calculer la valeur acquise. 10) On place CHF pendant 3 ans au taux mensuel de 0,5%, avec capitalisation mensuelle des intérêts. Calculer les intérêts. 11) On place CHF. La valeur acquise à la fin de la huitième année est de CHF. Calculer le taux annuel d intérêt sachant que la capitalisation des intérêts est annuelle. 12) Calculer le montant du capital qui, placé au taux annuel de 6% pendant 5 ans, a acquis une valeur de ,05 CHF. La capitalisation des intérêts est annuelle. 13) Un capital de CHF, placé au taux annuel de 4,5%, a acquis une valeur de CHF. La capitalisation des intérêts est annuelle. Calculer le nombre d années de placement. 14) Une personne partage un capital de CHF entre ses deux enfants âgés aujourd hui de 11 ans et de 13 ans. Le partage est effectué de façon à ce que chaque enfant dispose à sa majorité (18 ans), de la même somme après capitalisation annuelle des intérêts au taux de 6%. Taux proportionnel - taux équivalent 15) Onplace8 500CHFpendant 3ansautauxannuel de10.8%. Calculer lavaleur acquise par ce placement, en utilisant les taux proportionnels et des intérêts composés, dans les cas suivants : a) Capitalisation annuelle des intérêts. b) Capitalisation semestrielles des intérêts. c) Capitalisation trimestrielle des intérêts. d) Capitalisation mensuelle des intérêts. 16) On place au taux annuel de 6% pendant 3 ans (intérêts composés). a) Calculer la valeur acquise avec une capitalisation annuelle. b) Calculer le taux semestriel équivalent, puis la valeur acquise correspondante. c) Calculer le taux trimestriel équivalent, puis la valeur acquise correspondante. d) Calculer le taux mensuel équivalent, puis la valeur acquise correspondante. Actualisation à intérêts simples 17) On doit payer une somme de CHF dans 7 mois. Calculer, au taux d actualisation de 10, 8% et à intérêts simples, la valeur actuelle de cette dette. page 14

15 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.5. Exercices 18) Le 22 avril, une entreprise constate qu elle ne pourra pas payer un effet de commerce 2 de valeur nominale de CHF et dont l échéance est le 14 mai. Le même jour, on remplace cet effet par un nouvel effet équivalent, à échéance au 30 juin. Calculer la valeur nominale de ce dernier effet (intérêt simple, taux d escompte 12%). 19) Un effet de 850 CHF payable le 31 octobre, est remplacé le 1 er octobre par un effet payable le 30 novembre. Quelle est la valeur nominale du nouvel effet si le taux d escompte annuel est 9,5%? 20) Deux effets, l un de CHF à 50 jours et l autre de 800 CHF à 30 jours, sont remplacés par un effet unique de CHF à 70 jours. Calculer le taux d escompte relatif à cette équivalence (intérêt simple). 21) La valeur nominale d un effet à échéance le 14 juin est 8 954,31 CHF; celle d un autre effet à échéance le 29 juin est CHF. Les deux effets sont équivalents le 30 avril. Calculer le taux annuel d escompte relatif à cette équivalence. 22) Le 15 mars, on remplace les quatre effets suivants : CHF au 8 avril, CHF au 25 avril, CHF au 30 avril, CHF au 10 mai par un effet unique de CHF. Calculer la date d échéance de l effet unique. Taux annuel d escompte 12,6%. 23) Trois effets sont remplacés par un effet unique de valeur nominale CHF : le premier de CHF échéant le 15 avril; le deuxième de CHF échéant le 30 avril; le troisième de 800 CHF échéant le 10 mai. Calculer l échéance moyenne. Actualisation à intérêts composés 24) Pour finir de payer un matériel, un fournisseur propose : soit un paiement de CHF dans deux ans; soit un paiement de CHF dans trois ans. Actualiser ces deux capitaux (intérêts composés avec capitalisation annuelle, taux 5%). En déduire le mode de paiement choisi. 25) On doit payer CHF dans n mois. On se libère de cette dette en réglant aujourd hui CHF (actualisation à intérêts composés avec capitalisation mensuelle, taux mensuel proportionnel au taux annuel de 5,7%). Calculer le nombre n de mois. 2. Exemplepourlanotiond effet de commerce:au débutdu moisdemai 2008,un grossiste,monsieur Durant, vend à un commerçant, monsieur Martin, différents articles. Monsieur Martin ne règle pas comptant. Il signe un document, appelé effet de commerce, par lequel il s engage à payer CHF, appelé valeur nominale de l effet, le 30 juin Pour des besoins de trésorerie, monsieur Durand négocie l effet de commerce auprès de sa banque le 20 mai Il vend donc l effet à sa banque avant la date d échéance du 30 juin. En contrepartie de l avance de fonds, la banque retient un intérêt, appelé escompte, au taux annuel ou taux d escompte de 12%. Dans le cas d opérations à court terme, l escompte se calcule comme un intérêt simple. page 15

16 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.5. Exercices 26) Trois mois avant son échéance on se libère d une dette de CHF en versant ,70CHF (intérêts composés, capitalisationmensuelle). Calculer letauxmensuel d actualisation. 27) Un règlement peut s effectuer : soit par un paiement immédiat de CHF; soit par deux versements : CHF dans 5 ans et CHF dans 10 ans; soit par 4 versements annuels de CHF, le premier dans 1 an. Calculer le mode de paiement le plus avantageux pour le débiteur au taux d actualisation de 6%. 28) Pour régler une dette de CHF on effectue 3 versements d un même montant, le premier immédiatement, le deuxième dans un an et le troisième dans deux ans. Calculer le montant commun de chaque versement (intérêts composés, capitalisation annuelle, taux 5%). 29) Un particulier a 3 dettes à rembourser : CHF dans 1 an, 8 300CHF dans 2 ans et CHF dans 3 ans. Une société de crédit lui propose de se libérer par un paiement unique payable dans 3 ans. Calculer la valeur nominale de ce paiement unique (intérêts composés, capitalisation annuelle, taux 9%). 30) Calculer l échéance moyenne des effets suivants : le premier de CHF échéant dans 2 ans; le deuxième de CHF échéant dans 3 ans; le troisième de 600 CHF échéant dans 5 ans. Taux annuel d escompte : 11%. Annuités et rentes 31) Calculer la valeur acquise par une suite de 13 versements trimestriels de 85 CHF chacun, au taux trimestriel de 1, 5%, au moment du dernier versement. 32) On désire constituer uncapital de CHF en 40mois. Onverse audébut de chaque mois la même somme. Les intérêts sont capitalisés mensuellement au taux de 0, 9%. Calculer la somme versée mensuellement. 33) Une personne peut verser chaque début d année CHF sur un compte épargne. Les intérêts sont capitalisés annuellement au taux de 6%. Calculer le nombre minimal de versements pour que le capital disponible soit au minimum de CHF. 34) On verse chaque début de semestre, pendant 7 ans, une somme de 430 CHF. Le taux annuel est 7, 8%. La capitalisation est semestrielle. Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement. Utiliser le taux semestriel proportionnel. page 16

17 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.5. Exercices 35) La valeur acquise par une suite de versements trimestriels constants de CHF est ,93 CHF. La capitalisation des intérêts est trimestrielle, au taux annuel de 10%. Calculer le nombre de versements. Utiliser le taux trimestriel proportionnel. 36) Aquel tauxannuel ifaut-ilcapitaliser 24annuitésde1 300CHFchacune, pourobtenir au moment du dernier versement une somme de ,69 CHF? On peut s aider de l extrait de table suivant qui donne les valeurs de (1+i)n 1 i i 6,6% 6,7% 6,8% 23 50, , ,0716 n 24 55, , , , , ,4621 : 37) On place chaque début d année, pendant 6 ans, une somme de CHF. Quel est le capital constitué à la fin de la dernière période de versement? Taux annuel de capitalisation : 5, 5%. 38) On place chaque début d année, pendant 5 ans, une somme de CHF. a) Quel est le capital constitué au moment du dernier versement? Taux annuel de capitalisation : 6%. b) Quel est ce capital si ce placement est à intérêts simples (même taux)? 39) Une somme de CHF est placée chaque début d année pendant 8 ans. Les versements sont capitalisés à 7% pendant 5 ans, puis à 5% pendant 3 ans. Quel est le capital constitué au moment du dernier versement? 40) Un artisan place à la fin de chaque année, pendant 6 ans, une somme de CHF à intérêts composés. Quelle somme doit-il retirer à la fin de chacune des 6 années suivantes pour épuiser son compte? Taux annuel : 5%. 41) On effectue 18 versements mensuels de 210 CHF chacun, le premier dans un mois. Calculer leur valeur actuelle au taux mensuel de 0, 8%. 42) Pour régler une dette, une personne paie 390 CHF chaque trimestre, pendant 2 ans. Calculer le montant de la dette (taux d actualisation trimestrielle : 1, 8%). 43) Le paiement d un matériel de CHF se fait par 4 annuités constantes de fin de période, la première dans un an. Au taux d actualisation de 9%, calculer le montant de l annuité. page 17

18 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.5. Exercices 44) Une dette de CHF est remboursée par des versements mensuels de 68,12 CHF. Au taux annuel de 8,4%, calculer le nombre de mensualités. 45) Une personne effectue un remboursement dans les conditions suivantes : les 4 premières annuités sont de CHF chacune; les 5 suivantes sont de CHF chacune; les 6 dernières sont de CHF chacune. Tous les versements ont lieu en fin de période. Calculer, au taux annuel d actualisation de 7%, la valeur actuelle de ces annuités. 46) Un débiteur qui devait payer 4 annuités de CHF, la première venant à échéance dans un an, obtient de son créancier d effectuer un versement libératoire unique dans 6 ans. Taux annuel d actualisation : 7, 5%. Calculer le montant de ce versement. 47) Un commerçant doit verser à une banque 6 annuités de CHF chacune, la première payable dans un an (taux d actualisation : 5, 4%). Le commerçant propose de s acquitter de sa dette en 2 annuités constantes : l une dans 2 ans, l autre dans 3 ans. Calculer la valeur de ces annuités. 48) Pour payer un fonds de commerce, on a les trois possibilités suivantes : a) CHF payable comptant, b) CHF payables dans 5 ans, c) 13 annuités de CHF chacune, la première payable dans un an. Calculer au taux annuel d actualisation de 8% l offre la plus avantageuse. 49) Pour réaliser l aménagement de son point de vente, un responsable a réalisé un plan de financement : emprunt : CHF; remboursement à mensualités constantes; durée 5 ans; taux mensuel 0, 45%. Calculer le montant d une mensualité. 50) Un emprunt a les caractéristiques suivantes : capital emprunté CHF; taux annuel 6%; durée 3 ans; remboursements mensuels; amortissements constants. a) Calculer l amortissement constant. b) Écrire les lignes 1, 2, 13, 14, 35, 36 du tableau d amortissement. page 18

19 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.6. Solutions des exercices 5.6 Solutions des exercices 1) a) 90 CHF b) 4,5% 2) a) 36 CHF b) 144 CHF c) 330 CHF d) CHF 3) 177 jours 4) 5,2% 5) 2072, 45 CHF 6) CHF et CHF 7) 7,85% 8) a) 2025,92 CHF b) 5,4% 9) ,95 CHF 10) 37, 78 CHF 11) 6,8% 12) CHF 13) 8 ans 14) ,39 CHF et ,61 CHF 15) a) ,14 CHF b) ,67 CHF c) ,11 CHF d) ,48 CHF 16) a) ,19 CHF b) 2,96% c) 1,47% d) 0,49% 17) 4 703,67 CHF 18) 8 128,28 CHF 19) 856, 83 CHF 20) 12,6% 21) 12% 22) 26 avril 23) 28 avril 24) 2ème mode 25) 3 mois 26) 5% 27) 2ème mode 28) 1 398,9 CHF page 19

20 App. des mathématiques, SAM 1ère année 5.6. Solutions des exercices 29) ,07 CHF 30) 3 ans 31) 1 210,13 CHF 32) 175, 40 CHF 33) Au moins 6 versements 34) 7 811,78 CHF 35) 20 versements 36) 6,7% 37) ,79 CHF 38) a) ,77 CHF b) CHF 39) ,61 CHF 40) ,08 CHF 41) 3 507,42 CHF 42) 2 881,72 CHF 43) ,43 CHF 44) 24 versements 45) ,13 CHF 46) 6 202,82 CHF 47) ,46 CHF 48) Le versement de 13 annuités 49) 381, 10 CHF 50) CHF page 20

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