Les espaces vectoriels

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1 Chapitre 3 : Les espaces vectoriels Les espaces vectoriels sont des ensembles dont les composants sont les vecteurs et qui ont une structure particulière. I Structure d espace vectoriel A) L exemple de IR² Un espace vectoriel est par exemple IR², utilisé notamment en microéconomie. IR² est l ensemble des couples ordonnés de réels : IR² = {(x 1, x 2 ), x 1 IR, x 2 IR} "Ordonné" veut dire que l ordre est important. Le couple (1, 2) est différent du couple (2, 1). On représente un vecteur de IR² dans l espace. 1 2 IR² a plusieurs lois, comme tous les espaces vectoriels. 1) La somme vectorielle Supposons que, dans mon panier, j ai 2 paquets de cigarettes et 1 de chocolat ; donc le couple (2, 1). En prévision de la venue d amis, j achète 1 paquet de cigarettes et 4 de chocolat, c est-à-dire le couple (1, 4). (2, 1) + (1, 4) (3, 5) La somme de deux vecteurs de IR², X = (x 1, x 2 ) et Y = (y 1, y 2 ), est égale au vecteur : X + Y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) 38 Algèbre linéaire

2 Propriétés de la somme vectorielle 1) Commutativité : X IR², Y IR² ; X + Y = Y + X Démonstration : X = (x 1, x 2 ) Y = (y 1, y 2 ) X + Y = (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1, y 2 + x 2 ) = (y 1, y 2 ) + (x 1, x 2 ) = Y + X 2) Associativité : X RI ², Y RI ², Z RI ² ; X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 3) La somme de deux vecteurs a un élément neutre, noté 0 et appelé vecteur nul. Le vecteur nul de RI ² est (0, 0). X RI ², X + 0 = 0 + X = X 4) Tout élément X = (x 1, x 2 ) de RI ² a un opposé pour la somme vectorielle. Cet opposé, noté X, est : X = ( x 1, x 2 ) ; et on a : X + ( X) = ( X) + X = 0. La somme vectorielle est une loi de composition interne. Définition d une loi de composition interne 2) L homothétie (ou produit d un vecteur par un scalaire) L homothétie ou produit par un réel est égale à : λ RI, X RI ², X = (x 1, x 2 ) ; λx = (λx 1, λx 2 ). Propriétés de l homothétie : 1) Distributivité : α IR, X IR², Y IR², on a : α(x + Y) = α X + α Y 2) Associativité : α, β IR, X IR², on a : α(βx) = β(αx) = (αβ)x 3) α, β IR, X IR², on a : (α + β) X = α X + β X 4) L homothétie a un élément neutre, le réel 1. X IR², 1 X = X Chapitre 3. Les espaces vectoriels 39

3 Représentation graphique Propriétés de l homothétie Définition d une loi de composition externe B) Définition d un espace vectoriel C) Les combinaisons linéaires Soit IE un espace vectoriel. Soient X et Y deux vecteurs de IE Soient α et β deux réels On appelle combinaison linéaire de X et de Y affectés des réels α et β : (αx + βy). D) Les sous-espaces vectoriels 1) Définition d un sous-espace vectoriel Soit IE un espace vectoriel sur IR et une partie non vide (contenant au moins un élément) de IE. On dit que est un sous-espace vectoriel de IE sur IR si a lui-même la structure d un espace vectoriel. Pourquoi considère-t-on ces ensembles? Parce que les lois de composition ont les quatre propriétés sur IE et sur. Si, X, Y ; X + Y = Y + X sur. X X EI Y Y EI Et, comme IE est un espace vectoriel, X IE et Y IE. Alors : X + Y = Y + X sur IE 2) Propriétés fondamentales des sous-espaces vectoriels (et des espaces vectoriels) Cette définition en dit plus qu il n y paraît au premier abord. Car si est une partie de EI : les lois de composition interne et externe sont les mêmes pour et pour EI, et elles ont les mêmes propriétés. Si est une partie non vide de EI, on doit donc simplement vérifier que la somme vectorielle est bien une loi de composition interne sur et que l homothétie est bien une loi de composition externe sur. D où la propriété fondamentale suivante : 40 Algèbre linéaire

4 Soit EI un espace vectoriel sur RI Soit une partie non vide de EI est un sous-espace vectoriel de EI sur RI si et seulement si : 1 re formulation La somme de deux vecteurs quelconques de est un vecteur de. X, Y : X + Y On dit alors que est stable pour la somme vectorielle ET Les homothéties d un vecteur quelconque de sont des vecteurs de. X, λ RI : λx On dit alors que est stable pour l homothétie. 2 nde formulation X, Y, λ RI, µ RI : λx + µy On dit alors que est stable pour les combinaisons linéaires. 3) Exemples x 1 A = x RI ², x 2 = x A est-il un sous-espace vectoriel? A RI ² (A est une partie de RI ²) A est non vide : (2, 3) A A est donc un sous-espace vectoriel de RI ² si et seulement si A est stable pour la somme vectorielle et pour l homothétie. Vérification de la stabilité de A pour la somme vectorielle X A, X = (x 1, x 2 ) avec x 2 = x Y A, Y = (y 1, y 2 ) avec y 2 = y X + Y = (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) =(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) A si x 2 + y 2 = x 1 + y Or ; x 2 + y 2 = x y = x 1 + y x 1 + y Conclusion : X + Y A ; A n est pas stable pour la somme vectorielle. Donc, A n est pas un sous-espace vectoriel de RI ². B = α 1, α RI 1 α(1, 1) = (α, α) RI ² avec α RI B est une partie de RI ². B est non vide : (3, 3) B car (3, 3) = 3(1, 1) B est donc un sous-espace vectoriel de RI ² sur RI si et seulement si B est stable pour les combinaisons linéaires ; autrement dit, si et seulement si : X B, Y B, λ RI, µ RI ; λx + µy B Chapitre 3. Les espaces vectoriels 41

5 X B, X = α 1 (1, 1), α 1 RI Y B, Y = α 2 (1, 1), α 2 RI λx + µy = λ(α 1 (1, 1)) + µ(α 2 (1, 1)) = (λα 1 )(1, 1) + (µα 2 )(1, 1) = (λα 1 + µα 2 )(1, 1) B si λα 1 + µα 2 RI, ce qui est vrai car α 1, α 2, λ et µ sont des réels Conclusion : λx + µy B. B est donc stable pour les combinaisons linéaires ; c est un sousespace vectoriel de RI ² sur RI. Une condition nécessaire pour que soit un sous-espace vectoriel de EI est qu il faut que contienne le vecteur nul de EI. Exemple : A = {(x 1, x 2 ) RI ², x 2 = x } (0, 0) A car A ne peut donc être un sous-espace vectoriel de RI ² sur RI. 4) L intersection de deux sous-espaces vectoriels L intersection de deux sous-espaces vectoriels d un même espace vectoriel EI sur RI est un sousespace vectoriel de EI sur RI. L intersection est dans EI A B EI Démonstration E 1 E 2 est une partie de EI car E 1 et E 2 sont des parties de EI. E 1 E 2 est non vide : E 1 E 2 contient le vecteur nul de EI,. En effet E 1 et E 2 étant deux sousespaces vectoriels de EI, ils contiennent tous les deux le vecteur nul de EI. E 1 E 2 est-il stable pour les combinaisons linéaires? X E 1 E 2, X E 1 et X E 2 Y E 1 E 2, Y E 1 et Y E 2 D où : α RI, β RI ; αx + βy E 1 (car E 1 est un espace vectoriel) α RI, β RI ; αx + βy E 2 (car E 2 est un espace vectoriel) Conclusion : α RI, β RI ; αx + βy E 1 E 2. E 1 E 2 est stable pour les combinaisons linéaires. C est donc un sous-espace vectoriel de EI sur RI. 1) Définition E) Systèmes générateurs d un espace vectoriel 42 Algèbre linéaire

6 S, un système de p vecteurs d un même espace vectoriel EI, est un système générateur de EI (ou engendre EI ) si et seulement si tout vecteur de EI peut s écrire sous le forme d une combinaison linéaire des vecteurs de S. X EI, α 1,, α p tels que X = α 1 X α p X p autrement dit, si et seulement si, X EI, le système d équations X = α 1 X α p X p a au moins α 1 une solution.. α p Exemples B = { α(1, 1), α RI } Le système G = {(1, 1)} est générateur de B car tous les vecteurs de B sont des combinaisons linéaires du vecteur (1, 1). Démontrer que le système S = {(1, 1), (1, 1) } engendre RI ². Le système S engendre RI ² si et seulement si tous les vecteurs (x, y) de RI ² peuvent s écrire sous la forme d une combinaison linéaire des vecteurs de S ; autrement dit, si et seulement si, (x, y) RI ², le système d équations (x, y) = α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) a au moins une solution (α 1, α 2 ). (x, y) = α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) (x, y) = (α 1, α 1 ) + (α 2, α 2 ) (x, y) = (α 1 + α 2, α 1 α 2 ) α 1 + α 2 = x α 1 α 2 = y α 1 + α 2 = x 2α 1 = x + y [L 1] [L 2] [L 1] [L 1 + L 2] α 2 = x α 1 = x x + y = x y 2 2 α 1 = x + y 2 Le système d équations a une unique solution : x + y, x y 2 2 Conclusion : S engendre RI ². S = {(1, 2), (2, 1), (1, 1) } Le système S engendre RI ² si (x, y) = α 1 (1, 2) + α 2 (2, 1) + α 3 (1, 1) a au moins une solution (α 1, α 2, α 3 ). (x, y) = α 1 (1, 2) + α 2 (2, 1) + α 3 (1, 1) (x, y) = (α 1 + 2α 2 + α 3, 2α 1 + α 2 + α 3 ) α 1 + 2α 2 + α 3 = x 2α 1 + α 2 + α 3 = y α 1 + 2α 2 + α 3 = x α 1 + α 2 = x y α 3 = x α 1 2α 2 α 2 = x y + α 1 Chapitre 3. Les espaces vectoriels 43

7 α 3 = x α 1 2x + 2y 2α 1 α 2 = x y + α 1 α 3 = 2y x 3α 1 α 2 = x y + α 1 Le système d équations a pour solution tous les vecteurs (α 1, α 2, α 3 ) de la forme : ( α 1, x y + α 1, 2y x 3α 1 ), α 1 RI Conclusion : S engendre RI ². 2) Théorème L ensemble des combinaisons linéaires d un système de vecteurs appartenant tous au même espace vectoriel EI est un sous-espace vectoriel de EI. Si S = { X 1,, X p }, avec X i EI, pour i = 1,, p Alors L(S) = { α 1 X α p X p, α 1 RI,, α p I R} est un sous-espace vectoriel de EI sur RI. Exemple : B = { α(1, 1), α RI } B est l ensemble des combinaisons linéaire du vecteur (1, 1) de RI ². B est donc un sous-espace vectoriel de RI ² sur RI. Exercice : Soit l ensemble C défini par : C = {(x, y, z) RI 3, x y + 2z = 0 } 1. Démontrer que l on peut écrire tous les vecteurs de C sous la forme d une combinaison linéaire de vecteur d un espace vectoriel que vous déterminerez. 2. En déduire un espace générateur de C. 3. Démontrer que C est un espace vectoriel. Réponses 1) C = {(x, y, z) RI 3, y = x + 2z} = {(x, x + 2z, z), x RI, z RI } C = { x(1, 1, 0) + z(0, 2, 1), x RI, z RI } Tous les vecteurs de C peuvent s écrire sous la forme d une combinaison linéaire des deux vecteurs de RI 3 suivants : (1, 1, 0) et (0, 2, 1). 2) Le système G = {(1, 1, 0), (0, 2, 1) } est donc générateur de C. 3) C étant l ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de G, (1, 1, 0) et (0, 2, 1) qui appartiennent à RI 3, on en déduit que C est un sous-espace vectoriel de RI 3 sur RI. II Bases et dimension d un espace vectoriel A) Dépendance et indépendance linéaires 44 Algèbre linéaire

8 On applique cette notion aux systèmes générateurs. {(1, 2), (2, 1), (1, 1) } (1, 1) = 1 3 (1, 2) + 1 (2, 1) 3 Ce système de vecteurs est lié ; ces trois vecteurs sont linéairement dépendants (cet ils sont liés entre eux par une combinaison linéaire). {(1, 1), (1, 1) } Ce système est libre. Les deux vecteurs (1, 1) et (1, 1) sont linéairement indépendants. 1) Définitions Soit un système S de p vecteurs de EI (un espace vectoriel sur RI ). S = {{x 1,, x p }, x i EI, i = 1,, p } a) Définition de la dépendance linéaire S est un système lié (les vecteurs x 1,, x p sont linéairement dépendants) si et seulement si il existe une combinaison linéaire de ces vecteurs de S égale au vecteur nul de EI dont l un au moins des coefficients est non nul. b) Définition de l indépendance linéaire S est un système libre (les vecteurs x 1,, x p sont linéairement indépendants) si et seulement si la seule combinaison linéaire des vecteurs de S égale au vecteur nul de EI est telle que tous les coefficients sont nuls. α 1 x 1 + α 2 x α p x p = 0I E α 1 = = α p = 0 2) Exemples S 1 = {(1, 1), (1, 1) } est libre car : α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1) = (0, 0) (α 1 + α 2, α 1 α 2 ) = (0, 0) α 1 + α 2 = 0 α 1 α 2 = 0 2α 1 = 0 [L 1 + L 2] α 1 + α 2 = 0 [L 2] α 1 = 0 α 2 = 0 S 2 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) } S 2 est libre si et seulement si : α 1 (1, 1, 0) + α 2 (1, 0, 1) + α 3 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) α 1 = α 2 = α 3 = 0 Or : α 1 (1, 1, 0) + α 2 (1, 0, 1) + α 3 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) α 1 + α 2 = 0 [L 1] α 1 + α 3 = 0 [L 2] α 2 + α 3 = 0 [L 3] Chapitre 3. Les espaces vectoriels 45

9 α 1 + α 2 = 0 [L 1] α 2 α 3 = 0 [L 2 = L 1 L 2] α 2 + α 3 = 0 [L 3] α 1 + α 2 = 0 [L 1] α 2 α 3 = 0 [L 2] 2α 2 = 0 [L 3 = L 2 + L 3] α 1 = 0 α 2 = 0 α 3 = 0 Conclusion : S 2 est un système libre (les vecteurs (1, 1, 0), (1, 0, 1) et (0, 1, 1) sont linéairement indépendants) S 3 = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (1, 0, 3) } S 3 est libre si et seulement si : α 1 (1, 1, 0) + α 2 (1, 2, 3) + α 3 (1, 0, 3) = (0, 0, 0) α 1 = α 2 = α 3 = 0 α 1 + α 2 + α 3 = 0 [L 1] Or : α 1 (1, 1, 0) + α 2 (1, 2, 3) + α 3 (1, 0, 3) = (0, 0, 0) α 1 + 2α 2 = 0 [L 2] 3α 2 3α 3 = 0 [L 3] α 1 + α 2 + α 3 = 0 [L 1] α 2 α 3 = 0 [L 2 = L 2 L 1] 3α 2 3α 3 = 0 [L 3] α 1 + α 2 + α 3 = 0 [L 1] α 2 = α 3 [L 2] α 1 = 2α 2 [L 1] α 2 = α 3 [L 2] / α 1 = α 2 = α 3 = 0 En effet, on peut très bien avoir : α 1 = 2 ; α 2 = 1 et α 3 = 1. Dans ce cas : 2(1, 1, 0) + (1, 2, 3) + (1, 0, 3) = ( , , ) = (0, 0, 0) Conclusion : S 3 est un système lié ; les vecteurs (1, 1, 0), (1, 2, 3) et (1, 0, 3) sont linéairement dépendants. 3) Théorèmes Soit le système S = { x 1,, x p } où x 1,, x p sont p vecteurs d un même espace vectoriel EI. 1) Si le système S est lié, alors on peut écrire l un de ses vecteurs sous la forme d une combinaison linéaire de tous les autres vecteurs. 2) Si l on ôte ce vecteur du système S, alors on obtient un système S tel que : L(S) = L(S ) Avec : L(S) = Ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de S L(S ) = Ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de S 46 Algèbre linéaire

10 Démonstration S = {x 1,, x p } est lié si et seulement si il existe un réel non nul, α p, tel que : α 1 x α p x p = 0 IE α 1 x α p x p = 0 α p x p = α 1 x 1 α p 1 x p 1 S = { x 1,, x p 1, x p } S = { x 1,, x p 1 } x p = α 1 α p x 1 α p 1 α p x p 1 car α p 0 x p = β 1 x β p 1 x p 1 avec β i RI ; i = 1,, (p 1) L(S) = ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de S = {λ 1 x λ p x p, λ i RI, i = 1,, p} = λ 1 x λ p 1 x p 1 + λ p α 1 x α 1 α p 1 x p α p 1 p α 1 λ 1 λ p x α p α p 1 λ p 1 λ p x α p p 1 = = { δ 1 x δ p 1 x p 1 ; δ i I R, i = 1,, p 1 } = L(S ) Application du théorème S = {(1, 2), (2, 1), (1, 1)} S est lié. On peut donc écrire l un de ses vecteurs sous la forme d une combinaison linéaire des deux autres. (1, 2) = 3(1, 1) (2, 1) par exemple Si l on pose S = {(2, 1), (1, 1)}, on a donc L(S) = L(S ) = RI ² (car S engendre RI ²). 1) Définition B) Rang d un système de vecteurs On appelle rang d un système de vecteurs le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants que comporte ce système. 2) Exemples Rang{(1, 1), (1, 1)} = 2 Rang{(1, 2), (2, 1), (1, 1)} 2 car on sait que ce système est lié. Rang{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} = 3 car le système est libre. Quel est le rang de S 4 = {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (0, 3, 3)}? Rang{S 4 } = 3 si S 4 est libre, et S 4 est libre si et seulement si : α 1 (1, 2, 1) + α 2 (2, 1, 1) + α 3 (0, 3, 3) = (0, 0, 0) α 1 = α 2 = α 3 = 0 Chapitre 3. Les espaces vectoriels 47

11 α 1 + 2α 2 = 0 [L 1] Or, α 1 (1, 2, 1) + α 2 (2, 1, 1) + α 3 (0, 3, 3) = (0, 0, 0) 2α 1 + α 2 + 3α 3 = 0 [L 2] α 1 + α 2 3α 3 = 0 [L 3] S 4 est donc lié, et rang{s 4 } 2 α 1 + 2α 2 = 0 [L 1] α 1 + 2α 2 = 0 [L 2 + L 3] α 1 + α 2 3α 3 = 0 [L 3] 0 = 0 [L 1 L 2] α 1 + 2α 2 = 0 [L 2] α 1 + α 2 3α 3 = 0 [L 3] α 1 = 2α 2 3α 3 = α 2 α 1 = α 2 + 2α 2 = 3α 2 α 1 = 2α 2 α 3 = α 2 / α 1 = α 2 = α 3 = 0 Si l on pose α 2 = 0, alors on obtient α 1 = α 3 = 0. Les deux vecteurs (1, 2, 1) et (0, 3, 3) sont donc linéairement indépendants, et donc rang{s 4 } = 2. S 5 = {(1, 1), (0, 0)} S 5 est lié car ; α 1 (1, 1) + α 2 (0, 0) = (0, 0) / α 1 = α 2 = 0. D où : rang{s 5 } 1. S 6 = {(1, 1)} S 6 est libre car : α(1, 1) = (0, 0) α = 0 α = 0 D où : rang{s 6 } = 1 Et on en déduit que rang{s 5 } = 1. 3) Théorèmes On appelle cardinal d un système S de p vecteurs le nombre p de vecteurs que comporte ce système. Théorème Card{S} = rang{s} S est libre Card{S} > rang{s} S est lié Si S S, alors rang{s } rang{s} En reprenant l exemple avec S 5 et S 6 : S 6 S 5 rang{s 6 } rang{s 5 } 1 rang{s 5 }. 4) Exemples S 7 = {(0, 0)} S 7 est lié car : α(0, 0) = (0, 0) / α = 0 D où : rang{s 7 } = 0 card(s 7 ) = 1 S 8 = {(1, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 1, 1), (0, 3, 0)} 48 Algèbre linéaire

12 Rang{S 8 } = 4 si et seulement si S 8 est libre ; et S 8 est libre si et seulement si : α(1, 2, 1) + β(2, 1, 2) + γ(1, 1, 1) + λ(0, 3, 0) = (0, 0, 0) α = β = γ = λ = 0 α + 2β + γ = 0 [L 1] α(1, 2, 1) + β(2, 1, 2) + γ(1, 1, 1) + λ(0, 3, 0) = (0, 0, 0) 2α β + γ + 3λ = 0 [L 2] α + 2β + γ = 0 [L 3 = L 1] γ = α 2β λ = 2α + β γ 3 γ = α 2β λ = α + β / α = β = γ = λ = 0 S 8 est donc lié ; rang{s 8 } 3. Pour que l on ait γ = λ = 0, il faut poser α = β = 0. Alors, (1, 1, 1) et (0, 3, 0) sont libres et rang{s 8 } = 2. S 9 = {(1, 2, 1), (3, 1, 0), ( 1, 5, 2)} Rang{S 9 } = 3 si et seulement si S 9 est libre, et S 9 est libre si et seulement si : α(1, 2, 1) + β(3, 1, 0) + γ( 1, 5, 2) = (0, 0, 0) α = β = γ = 0 α + 3β γ = 0 [L 1] α(1, 2, 1) + β(3, 1, 0) + γ( 1, 5, 2) = (0, 0, 0) 2α β + 5γ = 0 [L 2] α 2γ = 0 [L 3] α + 3β γ = 0 [L 1] 7α + 14γ = 0 [L 2 = L 1 + 3L 2] α 2γ = 0 [L 3] α + 3β γ = 0 [L 1] 0 = 0 [L 2 = L 2 + 7L 3] α 2γ = 0 [L 3] γ α β = 3 α = 2γ / α = β = γ = 0 S 9 est donc lié ; rang{s 9 } 2. Si on pose γ = 0, on a α = β = 0. Les vecteurs (1, 2, 1) et (3, 1, 0) sont donc linéairement indépendants, et rang{s 9 } = 2. 1) Définition C) Bases d un espace vectoriel On appelle bases d un espace vectoriel tout système de vecteurs libres et générateur de cet espace vectoriel. 2) Exemples Chapitre 3. Les espaces vectoriels 49

13 On a vu que S = {(1, 1), (1, 1)} est générateur de RI ². Or, S est libre ; donc S est une base de RI ². RI ² = {(x, y), x RI, y RI } = { x (1, 0) + y (0, 1), x RI, y RI } Le système S 10 = {(1, 0), (0, 1) } engendre donc RI ². Or, S 10 est libre. En effet, α (1, 0) + β (0, 1) = (0, 0) α = β = 0. Conclusion : S 10 est une base de RI ². RI 3 = {(x, y, z), x RI, y RI, z RI } = { x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1), x RI, y RI, z RI } Le système S 11 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } est donc générateur de RI 3. C est en outre un système libre puisque : α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = (0, 0, 0) α = β = γ = 0 Conclusion : S 11 est une base de RI 3. 3) Propriétés fondamentales des bases 1 ère propriété : Si tout vecteur d un espace vectoriel EI peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire unique des vecteurs d un système S, alors S est une base de EI. Démonstration Si tout vecteur de EI peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire de S, alors S est un système générateur de EI (par définition d un système générateur). Base = Système libre + générateur S = { x 1,, x p } est libre si et seulement si la seule combinaison linéaire des vecteurs x 1,, x p égale au vecteur nul est : 0 x x p. Si chaque vecteur de EI peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire unique des vecteurs de S, il en va aussi pour 0I E. Or ; 0 x x p = 0 E Donc : S est libre. I ( si S = { x 1,, x p }) Conclusion : S étant libre et générateur de EI, c est une base de EI. 2 e propriété : (réciproque) Si S est une base de l espace vectoriel EI, alors tout vecteur de EI peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire unique des vecteurs de S. Démonstration Si S est générateur de EI, alors (par définition d un système générateur), tout vecteur de EI peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire unique des vecteurs de S. Pour démontrer la deuxième propriété, il faut démontrer que, si en outre S est libre, alors chacune des combinaisons linéaires est unique ; ou, ce qui revient au même, que si l une au moins des combinaisons linéaires n est pas unique, alors S est lié. Montrons qu il existe au moins un vecteur X de EI pouvant s écrire sous la forme de deux combinaisons linaires différentes des vecteurs de S. 50 Algèbre linéaire

14 i tel que α i β i et X = α 1 x α p x p [L 1 ] X = β 1 x β p x p [L 2 ] Dans ce cas : (α 1 β 1 ) x (α p β p ) x p = 0 [L 1 L 2 ] Ou encore : γ 1 x γ p x p = 0 Autrement dit, i tel que γ i 0 et γ 1 x γ p x p = 0. S est donc lié. Exemple : Démontrer que S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} est une base de RI 3. S est une base de RI ² si et seulement si tout vecteur (x, y, z) de RI 3 peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire unique des vecteurs de S ; autrement dit si le système d équations : (x, y, z) = α(1, 1, 1) + β(1, 1, 0) + γ(1, 0, 0) a une solution unique. α + β + γ = x Or : α(1, 1, 1) + β(1, 1, 0) + γ(1, 0, 0) = (x, y, z) α + β = y γ = x α β = x y β = y α = y z α = z α = z Le système a pour unique solution le vecteur : (z, y z, x y). S est donc une base de RI 3. 4) Coordonnées d un vecteur dans une base Le système S = {x 1,, x p } est une base de EI si et seulement si tout vecteur de EI peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire unique des vecteurs de S. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont les coordonnées du vecteur dans la base S. Ces coordonnées s écrivent sous la forme d un vecteur-colonne. Les coordonnées de X = λ 1 x λ p x p dans S sont :. Exemples Quelles sont les coordonnées du vecteur (1, 2, 3) dans la base canonique de RI 3? (1, 2, 3) = 1 (1, 0, 0) + 2 (0, 1, 0) + 3 (0, 0, 1) 1 (1, 2, 3) = 2 3 RI 3 Et dans la base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}? (1, 2, 3) = 3(1, 1, 1) + ( 1)(1, 1, 0) + ( 1)(1, 0, 0) 3 (1, 2, 3) = 1 1 {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} Quelles sont les coordonnées du vecteur (1, 2, 3) dans la base : S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}? λ 1 λ p S Chapitre 3. Les espaces vectoriels 51

15 Les coordonnées du vecteur (1, 2, 3) dans la base S sont α + β = 1 [L 1] (1, 2, 3) = α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1) + γ(0, 1, 1) α + γ = 2 [L 2] β + γ = 3 [L 3] α + β = 1 [L 1] α + γ = 2 [L 2] α + β = 1 [L 3 = L 3 L 2] β = 1 [L 1 = L 1 + L 3] α + γ = 2 [L 2] α + β = 1 [L 3] β = 1 γ = 2 α = β 1 = 0 Conclusion : (1, 2, 3) = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} α β γ où α, β et γ vérifient le système : 1) Définition D) Dimension d un espace vectoriel On appelle dimension d un espace vectoriel le nombre de vecteurs que comporte n importe laquelle de ses bases. Si : espace vectoriel = EI base de EI = B dim{ I E} = card{b} On parle de «dimension» pour un espace vectoriel, et de «rang» pour un système de vecteurs. 2) Théorèmes 1 er théorème : La dimension d un espace vectorielle est égale au rang de n importe laquelle de ses bases. dim{ EI } = rang{b} 2 e théorème : La dimension d un espace vectoriel est égale au rang de n importe lequel de ses systèmes générateurs.!! Attention!! Un système générateur n est pas forcément libre. 3 e théorème : Le rang d un système de vecteurs qui appartiennent au même espace vectoriel EI est inférieur ou égal à la dimension de EI. 4 e théorème : Soit EI un espace vectoriel de dimension n, et soit S un système comportant p vecteurs de EI ; si p > n, alors S est lié. 5 e théorème : Si rang{s} = n, alors S engendre EI. 52 Algèbre linéaire

16 6 e théorème : Si rang{s} = n = p, alors S est une base de EI. Autrement dit, tout système libre de n vecteurs de EI est une base de EI. 7 e théorème : Si rang{s} = k avec k < n, alors on peut forme une base de EI comportant k vecteurs de S ; et n k vecteurs de EI n appartiennent pas à S. 3) Exercices S = {(1, 1, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 2, 3)} 1. Quel est le rang maximum que peut prendre le système S? 2. Quel est le rang de S? 3. En déduire la dimension du sous-espace vectoriel L(S) engendré par le système S. 1) S RI 3 ; or, d après le troisième théorème : rang{s} dim{ RI 3 }. Donc : rang{s} 3. α + 2β + δ = 0 [L 1] 2) α(1, 1, 1) + β(2, 1, 0) + γ(0, 1, 2) + δ(1, 2, 3) = 0 α + β + γ + 2δ = 0 [L 2] α + 2γ + δ = 0 [L 3] α + 2β + δ = 0 [L 1] α + β + γ + 2δ = 0 [L 2] α + 2β + δ = 0 [L 3 = 2L 2 L 3] α + 2β + δ = 0 α + β + γ + 2δ = 0 δ = α 2β γ = α 2β 2( α 2β) = α + 3β Le rang de S est égal à 2 (il faut en effet que α = 0 et β = 0 pour que le système implique γ = δ = 0). 3) D après le deuxième théorème : dim{l(s)} = rang{s} = 2. Soit l ensemble A = {(x, y, z) RI 3, y = 2x z } 1. Montrer que l ensemble A est un sous-espace vectoriel. 2. Donner une base et la dimension de A. 3. Cette base est-elle une base de RI 3? Si oui, donner les coordonnées du vecteur (1, 2, 3) dans cette base. Si non, la compléter pour former une base de RI 3. 1) A = {(x, 2x z, z), x RI, z RI } = { x(1, 2, 0) + z(0, 1, 1), x RI, z RI } A est donc l ensemble des combinaisons linéaires de (1, 2, 0) et (0, 1, 1) ; deux vecteurs de RI 3. Conclusion : A est un sous-espace vectoriel de RI 3 ; c est le sous-espace vectoriel de RI 3 engendré par : S = {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} Chapitre 3. Les espaces vectoriels 53

17 2) Le système S est un système générateur de A. Il est donc une base de A s il est libre. α = 0 α(1, 2, 0) + β(0, 1, 1) = (0, 0, 0) 2α β = 0 α = β = 0 β = 0 Donc S est libre. Conclusion : S est une base de A et dim{a} = card{s} = 2. 3) Le système S n est pas une base de RI 3. En effet, pour que S soit une base de RI 3, il faut que card{s} = dim{ RI 3 }. Or, card{s} = 2 et dim{ RI 3 } = 3. Une base de RI 3 est un système libre de trois vecteurs de RI 3. Il faut donc trouver B = {(1, 2, 0), (0, 1, 1), (x, y, z)} où (x, y, z) est tel que B est un système libre. B est libre si : α(1, 2, 0) + β(0, 1, 1) + γ(x, y, z) = (0, 0, 0) α = β = γ = 0 Or ; α(1, 2, 0) + β(0, 1, 1) + γ(x, y, z) = (0, 0, 0) α + γx = 0 [L 1] 2α β + γy = 0 [L 2] β + γz = 0 [L 3] α + γx = 0 [L 1] 2α β + γy = 0 [L 2] 2α + γ(y + z) = 0 [L 3 = L 3 + L 2] α + γx = 0 [L 1] 2α β + γy = 0 [L 2] γ(y + z 2x) = 0 [L 3 = L 3 2L 1] α = 0 β = 0 γ = 0 si y + z 2x 0 Conclusion : B est libre, et est donc une base de RI 3 si y + z 2x = 0. E) Bases et solutions d un système d équations linéaires 54 Algèbre linéaire