Chap 4 Continuité. II. Tangente à la courbe représentative d'une fonction (TES.210)...5

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1 Chap 4 Continuité Terminale ES Chap 4 Continuité I. Nombre dérivé et fonction dérivée (TES.210)...4 1) Définitions : fonction dérivable et nombre dérivé...4 2) Fonction dérivée...4 3) Dérivées des fonctions usuelles...4 4) Opérations sur les fonctions dérivées...4 II. Tangente à la courbe représentative d'une fonction (TES.210)...5 III. Sens de variation et extremum (TES.210)...6 1) Lien entre sens de variation et signe de la dérivée...6 2) Extremum local...7 IV. Continuité d'une fonction...8 1) Approche graphique et définition intuitive (TES.211)...8 2) Continuité des fonctions usuelles...8 3) Théorème des valeurs intermédiaires (TES.212, TES.213, TES.214)...8 Chap 4 Continuité 1 / 10

2 Chap 4 Continuité 2 / 10

3 Vérifier les acquis p 62 Activités : 1, 2, 3 feuille activités TES.21 Chap4 - Coninuité Exercices TES.210 Dresser le tableau de variation complet d'une fonction. Equations de tangentes AP p p 74, 39 à 44 p 75, 46 p 75 Feuille n 1 à 5, n 22, 24, 25, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 38 TES.211 Reconnaître la continuité des fonctions usuelles et/ou dérivables. 53 p 76, 56 p 76 Feuille n 42, 43, 45, 46 TES.212 Connaître et utiliser la propriété des valeurs intermédiaires. 66 p 77 Feuille n 3 et 4 TES.213 Exploiter le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d'une équation. 58, 59 p 76 Feuille n 51, 52 TES.214 Exploiter le tableau de variation pour déterminer le signe d'une fonction, p 77 Feuille n 49, 54, 55 TES.215 Mobiliser ses compétences sur les fonctions (variations, continuité) pour résoudre un problème. Exercices bilan : 78 p 81, 84 p 82, 95 p 84 Feuille n 56, 57, 83, 85, 86 Avec exponentielle : Feuille n 82, 131, 132 Chap 4 Continuité 3 / 10

4 I. Nombre dérivé et fonction dérivée (TES.210) 1) Définitions : fonction dérivable et nombre dérivé Soit f réel. une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre réel appartenant à I. Soit h un nombre Si le quotient fonction f f (a +h) f (a ) admet pour limite un réel m lorsque h tend vers 0, alors on dit que la h est dérivable en a. Le nombre réel m est appelé nombre dérivé de f en a et est noté f ' (a). Remarques : f (a+ h) f (a ) est le taux de variation (ou encore taux d'accroissement) de h a et a+ h. f (a+ h) f (a ) Si f est dérivable en a, on a alors f ' (a)= lim. h h 0 Le quotient f entre 2) Fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout réel a de l intervalle I, alors on dit que f est dérivable sur l intervalle I. Dans ce cas, la fonction définie sur I, qui à tout réel x appartenant à I associe le nombre dérivé f ' (x ) est appelée fonction dérivée de f sur I. On la note f '. 3) Dérivées des fonctions usuelles f (x )= f est dérivable sur f ' (x )= k (constante) 0 x 1 x² 2x xn avec n *, si n 1 *, si n 1 1 x * x * nx n x 1 2 x 4) Opérations sur les fonctions dérivées Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On note u et v les fonctions dérivées respectives de u et v. Soit k un nombre réel. Chap 4 Continuité 4 / 10

5 Formules (u v)' u' v' (ku)' ku' uv ' u'v uv' 1 ' v' = v² v u ' u'v uv' v v² ' u u' 2 u u² 2u'u (u n )' =n u ' u n 1 avec n ℕ* Intervalle de dérivabilité Intervalle I Pour tout x I tel que v(x) 0 Pour tout x I tel que u(x) 0 Intervalle I Exercice 1 : II. Tangente à la courbe représentative d'une fonction (TES.210) Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a I. Si f est dérivable en a, alors la courbe représentative de f admet une tangente au point A d abscisse a ayant pour coefficient directeur f ' (a). Cette tangente a pour équation y= f ' (a)( x a )+ f (a ) Exercice 2 : Chap 4 Continuité 5 / 10

6 Exercice 3 : Exercice 4 : Exercice 5 : Exercice 6 : Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) x² 3x 1 et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. a. Déterminer l équation réduite de la tangente (T) à la courbe C f au point d abscisse 2. b. Etudier la position relative de C f et (T). III. Sens de variation et extremum (TES.210) 1) Lien entre sens de variation et signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x I, f ' (x )> 0 alors f est strictement croissante sur I ; Si pour tout x I, f ' (x )< 0 alors f est strictement décroissante sur I ; Si pour tout x I, f ' (x )=0 alors f est constante sur I. Chap 4 Continuité 6 / 10

7 2) Extremum local Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel appartenant à I. La fonction f admet un extremum local en c si, et seulement si, la dérivée f ' s annule en changeant de signe en c. Remarque : Dans ce cas, la tangente à la courbe C f au point A d'abscisse c est horizontale. ATTENTION : la condition f ' (c)=0 ne suffit pas pour conclure à l existence d un extremum local. Exemple : Soit la fonction f(x) x3. On a f ' (x )=3 x 2 et f ' (0 )=0. Pourtant la fonction cube n admet pas d extremum local en 0. Exercice 7 : Exercice 8 : Exercice 9 : Dans chacun des cas, étudiez le sens de variation de la fonction donnée sur leur ensemble de définition. Dressez leur tableau de variation et précisez les extrema lorsqu'ils existent. 3 x 1 a) f (x )= b) f (x )=x 3 9 x x + 3 x+ 2 Chap 4 Continuité 7 / 10

8 IV. Continuité d'une fonction 1) Approche graphique et définition intuitive (TES.211) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Lorsque la courbe de la fonction f se trace d un trait continu, c est-à-dire sans «lever le crayon», «sans saut», on traduit cette idée intuitive en disant que la fonction f est continue sur l intervalle I. Théorème admis : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur l'intervalle I. Remarque : la réciproque est fausse. Exemple : la fonction racine carrée est continue sur [0 ;+ [ et pourtant la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. 2) Continuité des fonctions usuelles Les fonctions affines, la fonction carré, la fonction cube et la fonction exponentielle sont continues sur Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ. La fonction inverse est continue sur ] ; 0 [ et sur ]0 ;+ [. La fonction racine carrée est continue sur [ 0 ;+ [. Si u est une fonction continue sur un intervalle I, alors la fonction e u est continue sur l'intervalle I. ℝ. Toute fonction obtenue par opération (somme, produit, quotient, inverse ) sur les fonctions citées précédemment est continue sur chaque intervalle sur lequel elle est définie. Ainsi, les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition. 3) Théorème des valeurs intermédiaires (TES.212, TES.213, TES.214) Chap 4 Continuité 8 / 10

9 Théorème admis : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors la fonction f prend une fois et une seule fois toute valeur comprise entre f (a) et f (b ). Autrement dit : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre f (a) et f (b ), l'équation f (x )=k admet une unique solution sur l'intervalle [a ; b]. Cas particulier : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b] et si f (a) et f (b ) sont de signes contraires, alors l'équation f (x )=0 admet une unique solution sur l'intervalle ] a ;b [. Cas d'une fonction continue mais non strictement monotone Si la fonction f est continue, mais pas strictement monotone sur l'intervalle [a ; b], alors toute valeur k comprise entre f (a) et f (b ) est nécessairement prise par f, mais pas forcément une seule fois. Cas d'une fonction non continue mais monotone Si la fonction f n'est pas continue, mais strictement monotone sur l'intervalle [a ; b], alors toute valeur k comprise entre f (a) et f (b ) n'est pas nécessairement prise par f. Remarque : Par convention, dans un tableau de variation, les flèches de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. Chap 4 Continuité 9 / 10

10 Exercice 10 : Exercice 11 : Exercice 12 : Chap 4 Continuité 10 / 10