Exercices supplémentaires : Application géométrique des complexes

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1 Exercices supplémentaires : Application géométrique des complexes Partie A : Affixe et vecteurs On considère les points, et d affixes respectives, 1 et 3. 1) Déterminer l affixe des vecteurs, et. ) Déterminer l affixe du milieu de. 3) Déterminer l affixe de barycentre de ; 3, ; 5 et ; 1. On considère les points, et d affixes 4, 1 et. Les points, et sont-ils alignés? Justifier. On considère les points, et d affixes, 5 et ) Justifier que les points, et ne sont pas alignés. ) Déterminer l affixe de tel que soit un parallélogramme. Les points suivants appartiennent-ils au cercle de centre d affixe et de rayon : d affixe ; d affixe 0,5 ; d affixe 0,5 Exercice 5 On considère les points, et d affixe respectives 1 3, 3 5 et ) Faire une figure. ) Que peut-on dire du triangle? Justifier la réponse. 3) On appelle le symétrique de par rapport à l axe des abscisses. Déterminer la nature de. 4) Justifier que les points,, et appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Exercice 6 1) Résoudre les équations 5 0 et ) On considère les points,, et d affixes respectives 1, 1 3, 1 3 et 1. a. Faire une figure. b. Déterminer la nature du quadrilatère. c. Vérifier que 3. Que peut-on en déduire pour et? d. Prouve que,, et appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Partie B : Ensemble de points 1) Déterminer le lieu des points d affixe tel que 3 5 ) Déterminer le lieu des points d affixe tel que 3 3) Déterminer le lieu des points d affixe tel que 1 1 4) Déterminer le lieu des points d affixe tel que 1 3 1

2 On considère les points et d affixe et 1. On considère l application du plan qui à tout point distinct de d affixe associe le point d affixe 1 1 1) Exprimer 1 et 1 en fonction de et. ) Déterminer géométriquement l ensemble des points du plan tel que. Donner une équation cartésienne de. 3) Déterminer et représenter l ensemble des points du plan tels que ; On considère trois points, et d affixes, 3 et 1. 1) Calculer. En déduire la nature du triangle. ) Pour tout 1, on associe le nombre complexe. Déterminer l ensemble des points du plan tel que soit un imaginaire pur. On considère trois points, et du plan complexe d affixes respectives 4 6, et 8. 1) Calculer et en déduire l affixe de, barycentre des points ; 1, ; 1 et ; 1. ) Déterminer une équation de l ensemble des points du plan tel que Partie C : Transformation On considère les points, et d affixe 4, et. 1) Démontrer que, et sont alignés. ) En déduire que est l image de par une homothétie de centre dont on donnera le rapport. On considère les points, et d affixe 3, et ) Calculer. ) En déduire que est l image de par une transformation que l on précisera. Que peut-on en déduire concernant, et? On considère trois points, et d affixe, 1 et 1. 1) Justifier que est l image de par une rotation de centre dont on précisera l angle. ) Soit le point d affixe. Conjecturer puis démontrer la nature du quadrilatère. On considère un triangle isocèle direct en avec d affixe 3, d affixe 3 3 et ;. Déterminer l affixe du point. Exercice 5 On considère la transformation d écriture complexe 5 et la transformation dont l écriture complexe est 3. 1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de chacune de ces transformations.

3 ) On considère la droite de coefficient directeur passant par d affixe 1. Déterminer l image de par puis l image de par. 3) On considère le cercle de centre d affixe et de rayon 3. Déterminer l image de par puis l image de par. Exercice 6 On considère les points, et d affixes respectives 4, 1 3 et ) Montrer que est équilatéral. ) On note le point d affixe 3. On appelle l image de par la rotation de centre et d angle et l image de par la translation de vecteur. a. Déterminer les affixes de et. b. Montrer que et sont perpendiculaires. c. On note le pour tel que soit un parallélogramme. Calculer l affixe de. d. Le triangle est-il équilatéral? Justifier. 3) On note le point d affixe et le centre du cercle circonscrit au triangle. On note le rayon de ce cercle. Déterminer l affixe de et le rayon. Exercice 7 Soit, et des points du plan d affixe respectives, 1 et 1. 1) Faire une figure. On prendra cm comme unité graphique. ) Calculer et en déduire que est rectangle isocèle. 3) On note la rotation de centre telle que. Déterminer l angle de et calculer l affixe du point tel que. 4) On note Γ le cercle de diamètre. Déterminer et construire l image Γ de Γ par. 5) Soit un point de Γ d affixe, distinct de, et d affixe son image par. a. Démontrer qu il existe un réel appartenant à 0; ; tel que 1. b. Démontrer que est un réel. En déduire que, et sont alignés. c. Placer sur la figure le point d affixe 1 et construire son image par. Exercice 8 1) Résoudre dans l équation ) Dans le plan complexe, on considère,, et d affixes respectives 6, 6, 3 et 3 et le vecteur d affixe 1. a. Faire une figure (on prendra 1 cm comme unité graphique). b. Déterminer l affixe du point, image de par la translation de vecteur. c. Déterminer l affixe du point, image de par l homothétie de centre et de rapport. d. Déterminer l affixe du point, image de par la rotation de centre et d angle. e. Placer, et. 3) Démontrer que est un parallélogramme. 4) Calculer ; à l aide des affixes et en déduire la nature de. 5) Démontrer que,, et appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 6) La droite est-elle tangente à? Justifier la réponse.

4 Correction exercices supplémentaires : application géométrique des complexes Partie A : Affixe et vecteurs 1) ) 1 3) donc existe et Donc, les vecteurs et sont colinéaires et les points, et sont alignés. 1) 53 et 311 et ne sont pas proportionnels donc et ne sont pas colinéaires et, et ne sont pas alignés. On peut aussi calculer Ce nombre n est pas un réel donc ; n est pas égal à et, et ne sont pas alignés. ) est un parallélogramme 35 Donc a pour affixe 5. donc appartient au cercle. 0,5 1 donc n appartient pas au cercle donc n appartient pas au cercle. Exercice 5 1) voir ci-contre ) Il semble que soit un triangle rectangle en. Calculons ; arg : Donc ; arg et donc et sont bien perpendiculaires et est rectangle en 3) est le symétrique de par rapport à l axe des abscisses donc 13. Il semble que soit un triangle isocèle en D A B C

5 On a donc et est bien isocèle en. Il n est ni rectangle, ni équilatéral car et la réciproque du théorème de Pythagore ne s applique pas. 4) Si,, et appartiennent à un même cercle, il ne peut s agir que du cercle circonscrit à. Comme est rectangle en, le centre du cercle est le milieu de. Le rayon est alors : Il reste à vérifier que appartient bien au cercle de centre d affixe et de rayon Donc appartient bien au cercle circonscrit au triangle donc,, et appartiennent bien à un même cercle dont le centre a pour affixe 3 et pour rayon 5. Exercice 6 1) 5 0 : Δ donc l équation a deux solutions complexes conjuguées : 1 et : Δ donc l équation a deux solutions complexes conjuguées : 1 3 et 1 3. ) On note que l on retrouve les quatre solutions des équations précédentes a. Voir ci-contre b. Il semble que soit un trapèze. Pour démontrer cela, nous allons démontrer que avec un réel positif. Or et et donc. Ceci montre que et sont colinéaires et de même sens donc est bien un trapèze. c A I 0 1 D B 3 3 On en déduit que ; arg arg 3 et donc et sont perpendiculaires. d. D après la question précédente, est un triangle rectangle en donc le cercle circonscrit à a pour centre le milieu de d affixe 1. Le rayon est alors 1 1. Il reste à vérifier si appartient à ce cercle Le point appartient bien au cercle de centre et de rayon, tout comme, et. Partie B : Ensemble de points 1) 3 1 3/ Donc on doit résoudre et en notant le point d affixe 1 3, on a 5. décrit donc le cercle de centre et de rayon 5. ) En notant le point d affixe 3 et le point d affixe, on a donc et donc décrit la médiatrice de. C

6 3) car 3 1 En notant et les points d affixes et 1, on a et donc décrit la médiatrice de. 4) En notant et les points d affixe et 1) 1 donc décrit la médiatrice de ) appartient à la médiatrice de Pour déterminer l équation cartésienne de, on peut soit utiliser la forme algébrique de, soit calculer l équation de la droite passant par le milieu de et perpendiculaire à 1 ère méthode : avec, : car tout est positif ème méthode : d affixe et 1 donc ) ; arg arg argarg 1 arg1arg1 4 arg 4 arg 4 arg arg 0arg 0 ; 0 ; 0 ; et sont colinéaires et de sens contraires 1) donc 1 ce qui signifie que 1 ou encore arg arg donc ; On en déduit donc que est un triangle rectangle isocèle direct en.

7 ) On peut soit utiliser la forme algébrique de pour déterminer une équation de l ensemble de points, soit raisonner avec l argument arg avec ou 0 arg ou ; ou ; ou décrit le cercle de diamètre privé de 1) donc le barycentre des points ; 1, ; 1et ; 1, qui existe bien car , est le centre du repère et a pour affixe 0. ) Pour tout du plan et par ailleurs, On a donc : L affixe de est : Donc 8 D où décrit le cercle de centre de rayon. Une équation est donc 8 Partie C : Transformation 1) et Donc et les vecteurs sont colinéaires et les points, et alignés. ) est l image de par une homothétie de centre si et seulement si il existe un réel tel que Donc est bien l image de par l homothétie de centre et de rapport. 1) ) On a donc ou encore et donc ou encore 3 On en déduit que est l image de par l homothétie de centre et de rapport 3. On en déduit que, et sont alignés. 1) On doit montrer que. Pour déterminer l angle de la rotation, on devra déterminer ;. Pour répondre aux deux questions en même temps, on commence par calculer : donc et est bien l image de par une rotation de centre. Pour déterminer l angle :

8 ; arg 1 arg arg1 4 4 Donc la rotation est d angle. ) Il semble que soit un losange. 1 1 et 1 1 Donc et est bien un parallélogramme. De plus, et un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange donc est un losange. Comme ;, ce n est pas un carré. est un triangle isocèle direct en et ; donc est l image de par la rotation de centre et d angle. On a donc ou encore Exercice 5 1) : 5 : Détermination des points fixes : donc a un point fixe d affixe 3 : il s agit d une rotation ou d une homothétie donc est l homothétie de centre et de rapport 5. : 3 : Recherche des points fixes : possède un point fixe d affixe donc il s agit d une rotation ou d une homothétie Donc est la rotation de centre et d angle. ) L image d une droite par une homothétie est une droite parallèle. Donc est parallèle à et a le même coefficient directeur. De plus elle passe par image de par avec passe par le point image de par : De plus, comme l angle de la rotation est égal à, est perpendiculaire à. On trace donc la perpendiculaire à passant par. 3) L image de par est un cercle de centre, image de par et de rayon L image de de centre et de rayon 3 par est le cercle de centre image de par et de rayon 15 ( 3 5) Exercice 6 1) est un triangle équilatéral direct si et seulement si est l image de par la rotation de centre et d angle. Pour vérifier si cela est le cas ici, on calcule l image de par cette rotation :

9 Donc et est bien équilatéral. ) a. l image de par la rotation de centre et d angle donc 0 0 donc l image de par la translation de vecteur donc soit d où b. ; arg arg arg arg arg Donc et sont perpendiculaires. c. est un parallélogramme d. On peut démontrer que et que l angle ; ou raisonner de manière plus géométrique donc 1 et et AH ; AG arg 3 Donc est bien équilatéral. De manière plus géométrique, on remarque que donc et sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Comme le point est sur cet axe, on peut dire que est isocèle en. Il reste à montrer que or 1 3 et Pour comparer ces deux longueurs, on calcule leurs carrés : donc est bien équilatéral. 3) Le centre du cercle circonscrit à appartient aux médiatrices de ce triangle. La médiatrice de a pour équation 1 donc la partie imaginaire de est 1. On a donc d affixe. De plus en prenant les carrés Donc a pour affixe 3. Le rayon du cercle est Exercice 7 1) ) On a donc 1 donc 1 et donc est isocèle en. De plus, arg arg est un triangle isocèle rectangle indirect en. donc ; et 1 M C I 0 1 M' D A 3 B

10 3) est la rotation de centre telle que donc l angle de la rotation est égal à ;. De plus ) et donc l image du cercle de diamètre par est le cercle de diamètre. 5) a. Γ est le cercle de diamètre donc son centre est le milieu de d affixe 1. Pour tout point de Γ, il existe donc 0; tel que ; et 1. Autrement dit, arg et 1 donc 1 et 1. De plus, est distinct de donc nous avons une valeur interdite pour, à savoir, arg arg1 1 arg. Donc il existe bien 0; ; tel que 1. b. est l affixe de image de par donc soit Or d après les formules d Euler, cos et sin donc qui est bien réel. On pouvait aussi passer par l écriture cos sin de dans pour séparer la partie réelle et imaginaire du dénominateur et passer sous forme algébrique ou encore considérer que en tenant bien compte que est un point de Γ donc que 1 1 On obtient alors arg 0 et donc ; 0 ce qui montre que et sont colinéaires et que les points, et sont alignés. Exercice 8 1) : Δ donc il existe deux solutions complexes conjuguées : ) a. 6 et 6. D où 6; 6 b. 6 1 c d ) 3 et 5 Donc et est bien un parallélogramme. 4) ; arg arg arg Donc est un angle droite et est donc un rectangle. arg arg De plus, 1 donc 1 et. Un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur est en fait un carré. Donc est un carré. 5),, et appartiennent donc au cercle donc le centre est le centre du carré et le rayon est la moitié de la longueur de la diagonale : Affixe du centre : milieu de : 1

11 Rayon :,, et appartiennent donc au cercle de centre d affixe 1 et de rayon. 6) est tangente à si et seulement si et sont perpendiculaires. ; arg 1 1 arg arg arg arg Donc et sont bien perpendiculaires et est tangente à. y 6 A S P I 1-5 R -4 C Q -5-6 B