Lycée Marie Reynoard.

Transcription

1 Bonjour à tous, J ai suivi vos aventures sur le blog avec beaucoup d intérêt et je suis heureuse que vous ayez bien profité de ce séjour. Il faut hélas revenir à la réalité, et reprendre le fil du cours. Pendant votre absence, nous avons fait les exercices 83 et 86 page 52, Puis nous avons commencé une fiche d exercice sur la fonction exponentielle dont nous avons traité les exos,2 et 3. La fiche d exo se trouve après le corrigé des exos du livre. Ci-dessous vous trouverez les corrigés détaillés de ce que nous avons fait. Vous devez les reprendre en cherchant d abord les exos seuls avant de lire le corrigé!!! Pour le lundi er Mars, vous devez chercher l exo 4 de cette fiche, et pour le mardi 02 Mars l exo 5. Le lundi er Mars je serai dans la salle de cours à 2h30 pour des questions éventuelles sur les corrigés cidessous. Bon courage. L Lespinat. Exercice 83 page 52.. a) lim - x 0 ex = 0 et lim ln X = - donc lim ln ( - x 0 x 0 ex ) = - lim x = 0, comme = x + ln ( - x 0 ex ), par somme lim = -. x 0 Donc C admet une asymptote verticale en 0. b) lim e x = 0, donc lim lim - e x = et lim ln X = 0 donc lim x x = -, comme = x + ln ( - e x ), par somme lim = -. ln ( - e x ) = 0 Soit D la droite d équation y = x, alors x = ln ( - e x ) et on a vu que lim donc D asymptote oblique à C en -. ln ( - e x ) = 0, 2. a) La fonction ln( - e x ) est de la forme ln u donc sa dérivée est u u avec u(x)= - ex donc u (x) = - e x. Ainsi f (x) = + - ex - e x = - ex - e x - e x = 2 ex - e x. b) - 2 e x > 0-2 e x > - e x < 2 Donc S = ] - ; ln 2 [. (car on a divisé par un nombre négatif) x < ln 2 Pour étudier le signe de f (x) il faut aussi résoudre l inéquation - e x > 0 -e x > - e x < x < ln =0

2 x - ln 2 0 Signe de - 2 e x Signe de - e x Signe de f (x) , f (ln 2 ) = ln 2 + ln( exp(ln 2 )) = ln 2 + ln ( 2 ) = ln 2 + ln 2 = 2 ln 2 -,38. L ordonnée du sommet de la courbe de f est donc 2 ln 2, et son abscisse est ln 2. Exercice 86 page 52. Partie A.. Pour dériver e - x on doit utiliser la formule (e u ) = u e u avec ici u(x) = - x donc u (x) = -. Donc (e x ) = - e - x = - e - x. g est de la forme u v + avec u(x) = e - x et v(x) = - x u '(x) = - e - x et v (x) = - donc g (x) = - e - x ( x) + e - x ( - ) = - 2 e - x + x e - x = e - x (x 2). x Signe de x Signe de e - x + + Signe de g (x) g(x) 0,86 g(2) = e -2 ( 2) + = e 2 0, Le minimum de g sur IR est donc e 2 > 0 atteint en 2. Donc g(x) > 0 pour tout x IR. Partie B.. lim - x = + et lim e X = + donc lim x = - donc par produit lim = -. lim e - x = +, donc par somme lim (e x + ) = + lim - x = - et lim e X = 0 donc lim e - x = 0, donc par somme lim (e x + ) =

3 lim x = + donc par produit lim = x = x(e x + ) x = x e x + x - x = x e x or lim x e x = 0 (admis). Donc D est asymptote oblique à C en +. On a vu que x = x e x, donc pour étudier le signe de cette différence on fait un tableau : x Signe de x Signe de e - x + + Signe de x Donc C au-dessus de D sur [0 ; + [. 3. f est de la forme u v avec u(x) = x et v(x) = e - x + u '(x) = et v (x) = - e - x 4. f (x) = (e - x + ) + x ( - e x ) = e - x ( x) + = g(x) (fonction étudiée dans la partie A). Or on a démontré dans la partie A que g(x) > 0 pour tout x IR, donc f (x) > 0 pour tout x IR. x - + Signe de f (x) T 0 : y = f (0) (x 0) + f(0) donc T 0 : y = 2 x + 0 donc T 0 : y = 2 x. 6. Si T // D alors elles ont le même coefficient directeur. Or le coefficient directeur de D : y = x est. On cherche donc la tangente à C dont le coefficient directeur vaut. Or le coefficient directeur de la tangente à C au point d abscisse a est f (a). f (a) = e - a ( a) + = e - a ( a) = 0 e - a = 0 ou a = 0 comme e - a = 0 impossible car une exponentielle est toujours strictement positive, la seule solution est a =. Par conséquent au point d abscisse, la tangente T est parallèle à D. L ordonnée de ce point est f() = e - +.

4 Exercice n. Fonction exponentielle. lne. Le nombre réel ln(e 2 ) est égal à : a. ln e b. e c Le nombre réel e 3ln2 est égal à : a. 9 b. 8 c Une primitive F de la fonction f définie sur IR par f (x) = e 2x est définie par : a. F(x) = 2 e 2x b. F(x) = 2 e 2x c. F(x) = 2e 2x 4. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d abscisse 0 est : a. y = x + b. y = ex c. y = e x 5. Soit f la fonction définie par f (x) = x + e x. La fonction f est définie sur : a. IR b. ] ; 0[ ]0 ; + [ c. ] ; + [ Exercice n 2. 5x 5 On désigne par f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f (x) = e x. On nomme C sa représentation graphique dans le plan (P) muni d un repère orthonormal.. Calculer f (0). On admet par la suite que lim f (x) = On note f la fonction dérivée de la fonction f. a) Démontrer que pour tout nombre réel x positif : f (x) = b) Étudier le signe de la fonction f. c) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 5x +0 e x. 3. On note F la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : F(x) = 5x e x. a) Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. b) Déterminer la primitive de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [ qui s annule en ln 5. Exercice n 3. On considère la fonction f définie sur l ensemble IR des nombres réels par f (x) = e x + x. On note C sa courbe représentative. Partie A. Calculer f (0) et f (). On donnera les valeurs exactes. 2. a) Calculer la limite de f en. b) Montrer que la droite D d équation y = x est asymptote oblique à la courbe C. c) Calculer la limite de f en +.

5 Partie B 3. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f (x) pour tout x réel et étudier son signe sur IR. 4. Dresser le tableau de variations de f sur IR. 5. a) Montrer que sur l intervalle [0 ; ] l équation f (x) = 0 admet une seule solution α. b) Donner une valeur, arrondie au centième, de α. c) Préciser le signe de f (x) selon les valeurs du réel x. Partie C Déterminer la primitive F de la fonction f sur IR telle que F() = 0. Exercice n 4. Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé en vendant x centaines d objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l intervalle [ ; 5] par : B(x) = (x 5)e u(x) + 2 avec u(x) = 0,02x² +0,2 x 0,5. Si B(x) est positif il s agit d un bénéfice, s il est négatif il s agit d une perte.. On note B la fonction dérivée de la fonction B et u la fonction dérivée de la fonction u. a) Calculer u (x) et démontrer que, pour tout x de l intervalle [ ; 5], on a : B (x) = ( 0,04 x² +0,4 x) e u(x). b) Étudier le signe de B (x) sur l intervalle [ ; 5] puis dresser le tableau de variations de la fonction B. 2. Déterminer le nombre minimum d objets que l entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice. Pour quel nombre d objets ce bénéfice est-il maximal? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l euro près)? Exercice n 5. I. Étude d une fonction. Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f (x) = 0,5x +e 0,5x+0,4.. Calculer f (x) où f désigne la fonction dérivée de f sur l intervalle [0 ; + [. 2. Étudier les variations de f sur l intervalle [0 ; + [ et vérifier que f admet un minimum en 0,8. II. Application économique. Une entreprise fabrique des objets. f (x) est le coût total de fabrication, en milliers d euros, de x centaines d objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6.. Quel nombre d objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum? 2. Le résultat (recette moins coûts), en milliers d euros, obtenu par la vente de x centaines d objet est : R(x) = 0,x e 0,5x+0,4. a) Étudier les variations de R sur l intervalle [0 ; + [. b) Montrer que l équation R(x) = 0 a une unique solution α dans l intervalle [0 ; + [. Déterminer un encadrement de α à 0 2 près. c) En déduire la quantité minimale d objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets.

6 Fonction exponentielle. Corrigé. Exercice n. 6. lne ln(e 2 ) = 2 2. On a 3 ln 2 = ln 2 3 donc e 3ln2 = e 3ln2 = e ln 8 = 8 3. Si F(x) = 2 e 2x, alors F (x) = - 2 ( - 2) e 2x = e 2x = réponse a). 4. Si = e x alors f (x) = e x donc f(0) = e 0 = et f (0) = e 0 =. T : y = f (0) (x 0) + f(0) donc T : y = x + réponse a). 5. La fonction f est définie pour tout x tel que e x 0 e x x ln x 0 Donc f définie sur ] ; 0[ ]0 ; + [ réponse b). Exercice n f (0) = e 0 = - 5 = a) f est de la forme u v avec u(x) = 5x 5 et v(x) = ex u (x) = 5 et v (x) = e x donc f (x) = 5 ex ( 5x 5 ) e x ( e x ) ² b) et c) x Signe de 5 x Signe de e x + + Signe de f (x) , = 5 ex - 5 x e x + 5 e x ( e x ) ² = ex ( 0 5x) e x e x = 5x +0 e x. 6. a) F est de la forme u v avec u(x) = e - x et v(x) = - 5x u '(x) = - e - x et v (x) = - 5 donc F (x) = - e - x ( - 5x) + e - x ( - 5) = (5x 5) e - x = (5x 5) e x = F est une primitive de f sur [0 ; + [. 5x 5 e x =. b) Deux primitives d une fonction différent d une constante, donc G(x) = F(x) + k avec k IR. G(ln 5) = F(ln 5) + k = - 5 ln 5 e - ln 5 + k = - 5 ln 5 e ln5 + k = - 5 ln k = - ln 5 + k = 0 Donc k = ln 5 d où G(x) = 5x e x + ln 5.

7 Exercice n 3. Partie A 3. f (0) = e = e - = e - et f() = e - + = e 0 =. 4. a) lim x = - et lim e X = 0 donc lim e x- = 0 donc b) ( x ) = e x + x x + = e x lim = - par somme. or par 2.a), lim e x- = 0, donc la droite D d équation y = x est asymptote oblique à la courbe C en -. c) lim x = + et lim e X = + donc lim e x- = + donc lim = + par somme. Partie B 6. Pour dériver e x on doit utiliser la formule (e u ) = u e u avec ici u(x) = x donc u (x) =. 7. Donc f (x) = e x + = e x +. Comme une exponentielle est toujours strictement positive, e x Donc f (x) > 0 pour tout x IR. x - + Signe de f (x) > 0 pour tout x IR. 8. a) Sur l intervalle [0 ; ], la fonction f est continue et strictement croissante. Partie C De plus 0 est compris entre f(0) = - < 0 et f() = (images calculées à la première question). e Donc l équation f (x) = 0 admet une seule solution α dans l intervalle [0 ; ]. b) Avec la calculatrice, α 0,43. c) La fonction f étant strictement croissante, on en déduit son tableau de signes : x - α + Signe de f (x) Une primitive de u e u est e u. Or e x- = e x- = u (x) e u(x) avec ici u(x) = x. Donc une primitive de e x- est e x- et une primitive de x est x² - x. 2 Ainsi F(x) = e x- + 2 x² - x + k avec k IR. Or F() = 0 e k = 0 k = - 2. Donc F(x) = e x- + 2 x² - x 2.