Les fonctions affines
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- Clementine Auger
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1 La première famille de fonctions Les fonctions affines 1.Les fonctions affines 1.1 Expressions du premier degré Degré d une expression littérale Le degré d une expression littérale, somme de termes contenant une puissance positive de la variable x est égal à la plus haute puissance du nombre x dans l expression écrite sous forme développée et réduite. 3 x - 2 est de degré 1 3 x x - 12 est de degré 2 -x est de degré 4 Des expressions de la forme quotients ou des radicaux n ont pas de degré. Attention! Déterminer, le cas échéant le degré des expressions suivantes: a. A(x) = 3 x - 1 x + 2 b. B(x) = x 2 - x c. C(x) = x + 1 x d. D(x) = x + x Définitions Fonctions affines Une fonction affine f : x * f (x) est une fonction dont l expression peut se mettre sous la forme f (x) = a x + b, où a et b sont 2 constantes. Autrement dit, l expression d une fonction affine est une expression, au plus, du 1er degré. Exemples La fonction f : x * 2 x + 1 est une fonction affine. La fonction g : x 2 * 3 x 1 - est une fonction affine. 4 La fonction h : x * -2, 3 x + 5 est une fonction affine. Un fournisseur internet propose 3 types de tarifs mensuels pour le 4G. au Megabits: chaque Megabit est compté 5 centimes d euros; au Megabits avec abonnement: l utilisateur paye 5 à l inscription et 2 centimes d euros le Megabits au forfait: l utilisateur paye un forfait de 15. Donnons l expression des fonctions qui représentent chaque tarif en fonction de la quantité de megabits utilisées dans le mois: le tarif 1: t 1 (x) le tarif 2: t 2 (x) le tarif 3: t
2 2 Fonctions, Troisième Cas particuliers La fonction nulle C est la fonction qui à tout nombre associe 0. Pour tout nombre x, f (x) = 0. Les fonctions constantes Les fonctions constantes sont les fonctions affines de la forme f (x) = b (a = 0). L image est constante égale à b. Par exemple, la fonction x * 2 est la fonction constante égale à 2. La fonction nulle est la fonction constante égale à 0. Les fonctions linéaires Les fonctions linéaires sont les fonctions affines dont l expression se met sous la forme f (x) = a x. Par exemple, les fonctions x * x, x * 3, 5 x, x * -2 x, x x * -, sont des fonctions linéaires Calculs d images On donne la fonction affine f définie par f (x) = 2 x - 3. Calculer: a. f -3 b. f 2 3 c. f Calculs d antécédents On rappelle que déterminer un antécédent d un nombre y par une fonction f c est déterminer les valeurs de x telles que f (x) = k. C est donc résoudre l équation f (x) = k. Dans le cas où la fonction f est une fonction affine, on est donc amené à résoudre une équation de la forme a x + b = k. Méthode: Déterminer un antécédent par la fonction affine f : x * a x + b du nombre k, c est résoudre l équation a x + b = k d inconnue x. On donne la fonction affine f définie par f (x) = 2 x - 3. Déterminons un antécédent de 1 par la fonction f. On résout donc l équation 2 x - 3 = 1. On a: 2 x - 3 = 1 2 x x Donc l antécédent de 1 par la fonction f est. Exercices: Déterminer un antécédent de 0 puis de -2 par la fonction f.
3 Fonctions, Troisième 3 2. Les accroissements proportionnels 2.1 Accroissements proportionnels Introduction Soit f la fonction affine définie par f (x) = 3 x - 5. Effectuer les calculs suivants: f 3 - f f 10 - f f -5 - f Que constate-t-on? Théorème 1 Soit f : x * f (x) = a x + b une fonction affine. Alors pour tous nombres x 1 et x 2 avec x 1 x 2, on a a = f (x 2) - f (x 1 ) x 2 - x 1. Ainsi la différence des accroissements des images est proportionnelle à la différence des accroissements des valeurs de la variable. Cette propriété, dite propriété des accroissements proportionnels, est caractéristique des fonctions affines. En effet, si étant donné une fonction f, pour tous nombres x 1 et x 2 avec x 1 x 2, le rapport f (x 2) - f (x 1 ) est constant égal x 2 - x 1 f (x) - f 0 à a alors en posant x 1 = 0 et x 2 = x, on obtient a = d où f (x) - f 0 = a x et donc finalement x - 0 f (x) = a x + f 0 = a x + b en posant f 0 = b. Donc la fonction f est une fonction affine. On peut donc énoncer: Théorème 1 (bis) Une fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous nombres x 1 et x 2 avec x 1 x 2, le rapport f (x 2 ) - f (x 1 ) x 2 - x 1 est constant, indépendant du choix de x 1 et x Déterminer l expression d une fonction affine On considère la fonction affine telle que f -1 = 3 et f 2 = 1. On cherche à déterminer son expression. 1. On calcule le coefficient a. On sait que a = f ( ) - f ( ) - 2. On a donc obtenu que f (x) = x + b. Alors pn détermine le nombre b en utilisant l une des deux images proposées. Le nombre b est solution de 2 + b =. Par suite b. On a donc obtenu que pour tout nombre x, f (x) x +. Exercices: Déterminer les expressions des fonctions affines définies par les données suivantes: a. g -5 = -8 et g 2 = 6. b. h -0, 5 = 1 et h 1 = 2 c. m -5 = -2 et m -1 = 2016
4 4 Fonctions, Troisième 2.3 Cas particulier: le cas linéaire Une fonction linéaire admet une expression de la forme f (x) = a x. On a toujours f 0 = 0 pour une fonction linéaire. Alors la donnée d une seule image suffit pour déterminer l expression de la fonction. Par exemple, la fonction linéaire f telle que f 5 = -2 est de la forme f (x) = a x avec a = f 5 - f = f 5 5 = Donc on a pour tout nombre x, f (x) = x. 3 Les courbes: les droites 3.1 Alignement des points de la représentation graphique Exemple: On considère les fonctions f : x * f (x) = 1, 5 x - 1, g : x * -x et h : x * h(x) = -x + 2. Compléter les tableaux de valeurs pour les fonctions f, g et h : x f (x) g(x) h(x) Courbe: Placer les points des courbes 3 f, 3 g et 3 h dans le repère ci-dessous: Que remarque-t-on?
5 Fonctions, Troisième Quelle fonction pour une droite? Avec une droite On considère la droite (4) dans le repère orthogonal ci-dessous: 5 4 C A B H K On a placé trois points sur cette droite, A, B et C. On considère les points comme indiqué sur la figure. Pourquoi peut-on affirmer que A H A K = H B K C? En déduire que H B A H = K C A K. Traduire les longueurs précédentes à l aide des coordonnées des points A, B et C. En déduire l égalité y B - y A x B - x A = y C - y A x C - x A. Expression de la fonction associée à une droite Traduisons en terme de fonction. On note f la fonction représentée par la droite (4). Alors y A = f (x A ), y B = f (x B ) et y C = f (x C ). Par suite, l égalité y B - y A x B - x A = y C - y A x C - x A s écrit: On en déduit que la fonction f vérifie pour tous nombres x 1 et x 2 la propriété des accroissements proportionnels. On sait donc que la fonction f est une fonction affine. 3.3 Fonctions affines et droites Théorème 2 -Définition La représentation graphique d une fonction affine f : x * a x + b est une droite qui passe par le point de coordonnées 0; b. La droite est dite la droite d équation y = a x + b. Le coefficient a est alors appelé coefficient directeur de la droite et le nombre b, l ordonnée à l 2016
6 6 Fonctions, Troisième Le coefficient a est alors appelé coefficient directeur de la droite et le nombre b, l ordonnée à l origine. Le coefficient a indique la pente de la droite, et le nombre b repère le point d intersection avec l axe des ordonnées. Conséquences: représenter une fonction affine Pour représenter une fonction affine, il suffit de connaître les images de deux nombres distincts. Remarquons que souvent, on peut utiliser l ordonnée à l origine, c est à dire, le point d intersection avec l axe des ordonnées. Théorème 2 (réciproque) Toute droite, non verticale, est la représentation graphique d une fonction affine. Conséquence: déterminer l expression d une fonction affine On suppose que l on connaît la représentation graphique d une fonction affine, autrement dit que l on a une droite non verticale dans un repère. On choisit deux points dont on connaît les coordonnées. On obtient alors deux valeurs de la variable et leurs images. On est revenu au paragraphe 2.2. Déterminer les équations des droites ci-dessous et les expressions des fonctions affines ainsi représentées: 3.4 Cas des fonctions linéaires. Les fonctions linéaires sont représentées par les droites passant par l origine du repère. Leur ordonnée à l origine est 0. Réciproquement, toute droite non verticale passant par l origine du repère représente une fonction linéaire. Dans ce cas, il suffit de calculer les coordonnées d un point pour obtenir la représentation graphique, et réciproquement, lire les coordonnées d un seul point pour obtenir l expression à partir de la droite. Rappel: les droites qui passent par l origine du repère représentent les situations de proportionnalité. Ainsi les situations de proportionnalité se traduisent en terme de fonctions par les fonctions linéaires.
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