Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers

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1 Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers Thierry Roncalli 4 Décembre Ce document présente les corrections des questions de cours et des exercices des pages 535 à 55 du livre : Thierry Roncalli, La Gestion des Risques Financiers, Economica, deuxième édition, 9. Notons que ce livre est cité sous la référence [TR-GDR] par la suite. Ce document présente aussi de nouveaux exercices à partir de la page 46 et la correction de ceux-ci de la page 49 à la page 6. Pour chaque exercice, nous indiquons à quelle page du livre le lecteur peut trouver l énoncé correspondant. Par exemple, l énoncé du premier exercice valeur en risque d un portefeuille long/short se trouve à la page 538 du livre La Gestion des Risques Financiers. Table des matières Correction des exercices. Valeur en risque d un portefeuille long/short TR-GDR, page Valeur en risque d un portefeuille de gestion TR-GDR, page Construction d un scénario de stress à partir de la théorie des valeurs extrêmes TR-GDR, page Stress-testing et statistiques d ordre TR-GDR, page Les mesures de risque TR-GDR, page Valeur en risque crédit d un portefeuille non granulaire TR-GDR, page Contribution en risque dans le modèle Bâle II TR-GDR, page Le risque de contrepartie sur opérations de marché TR-GDR, page Le risque opérationnel TR-GDR, page Valorisation d un CDS TR-GDR, page Calibration du paramètre LGD TR-GDR, page Modélisation du temps de défaut TR-GDR, page Les spreads de crédit TR-GDR, page Valeur en risque d une position optionnelle TR-GDR, page Corrélation et copules TR-GDR, page La distribution exponentielle TR-GDR, page Les fonctions copules TR-GDR, page De nouveaux exercices 46. Calculs statistiques Contribution en risque Dérivés de crédit et corrélation de défaut Modélisation de la perte en cas de défaut Produits exotiques et gestion des risques Calcul des bornes de corrélation Le modèle exponentiel généralisé

2 3 Correction des exercices supplémentaires Calculs statistiques Contribution en risque Dérivés de crédit et corrélation de défaut Modélisation de la perte en cas de défaut Produits exotiques et gestion des risques Calcul des bornes de corrélation Le modèle exponentiel généralisé Éléments de correction des questions de cours 6 4. La réglementation Bâle II TR-GDR, page Le risque de marché TR-GDR, page Le risque de crédit TR-GDR, page Le risque opérationnel TR-GDR, page Les fonctions copules TR-GDR, page Les dérivés de crédit TR-GDR, page La gestion du risque de crédit TR-GDR, page Correction des exercices. Valeur en risque d un portefeuille long/short TR-GDR, page 538 La référence principale de cet exercice est TR-GDR, pages On note P A t resp. P B t la valeur de l action A resp. B à la date t. La valeur du portefeuille est : P t x A P A t + x B P B t avec x A et x B le nombre d actions A et B. On en déduit que le PnL entre les dates t et t + est : PnL t; t + P t + P t x A P A t + P A t + x B P B t + P B t x A P A t R A t; t + + x B P B t R B t; t + avec R A t; t + et R B t; t + les rendements des actions A et B entre les dates t et t +.. On a x A +, x B et P A t P B t. On en déduit que : PnL t; t + R A R B On a R A R B N, A B avec : A B, +, +,5,, % La volatilité annuelle de cette position long/short est donc de %. Pour calculer la VaR pour un horizon jour, on utilise la méthode du scaling TR-GDR, page 74. On obtient : VaR D Φ,99 A B 6,33, 6,89 La probabilité de perdre,89 euros par jour est de %.. On suppose ici que les positions ne changent pas d une période à l autre.. car Φ,99 Φ,.

3 . On a PnL t; t + R A R B. On utilise les données historiques pour calculer les scénarios de rendements joints R A, R B. On en déduit ensuite la distribution empirique du PnL. Enfin, on calcule le quantile empirique correspondant. Avec 5 scénarios, le quantile empirique % est à mi-chemin entre la deuxième et troisième pires pertes : VaR D [ 3,9 + ],7 3,9,95 La probabilité de perdre,95 euros par jour est de %. On obtient un résultat très proche de la VaR Gaussienne. 3. L expression du PnL devient TR-GDR, pages 9-95 : avec C A t la valeur de l option d achat. On a : avec le delta de l option. On en déduit que : PnL t; t + P A t + P A t P B t + P B t C A t + C A t C A t + C A t P A t + P A t PnL t; t + 5 R A R B À titre d illustration, on obtient pour la VaR analytique : VaR D Φ,99 A/B 6,33 7,3 6,5 car : A/B 5, +, +,5 5., 7,3 La VaR jour 99% est donc passée de,89 euros à,5 euros.. Valeur en risque d un portefeuille de gestion TR-GDR, page 538. On a TR-GDR, page 63 : PnL t; t + P t + P t P t + R t; t + P t P t R t; t + avec P t la valeur du portefeuille à la date t et R t; t + le rendement du portefeuille pour la période [t; t + ]. À la date t, P t est une variable certaine P t est égal à euros tandis que R t; t + est aléatoire. Par construction, R t; t + suit une distribution N µ p, p avec µ p x µ le rendement espéré du portefeuille et p x Σx la volatilité du portefeuille. Soit VaR α la valeur en risque du portefeuille. Celle-ci vérifie : Pr {PnL t; t + VaR} α 3

4 ou de façon équivalente : Pr {L t; t + VaR} α avec L t; t + PnL t; t + la fonction de perte. On en déduit que : { PnL t; t + P t µp Pr VaR P t µ } p α P t p P t p VaR P t µp Φ α P t p On obtient finalement que : VaR P t µ p Φ α P t p P t Φ α p µ p P t Φ α x Σx x µ Pour déterminer la VaR gaussienne du portefeuille, il suffit de calculer l expression précédente avec les valeurs données de P t, x, µ et Σ. Dans cet exercice, on a µ p 34% et p 4%. La VaR 99% pour une période de détention d un an est donc : VaR Y,33,4 +, On applique la méthode du scaling pour calculer la VaR mensuelle TR-GDR, page 74 : VaR M VaR Y Si on néglige l effet moyenne µ p on obtient VaR M En fait, il n est pas pertinent d introduire l effet moyenne car on n a aucune information sur le rendement espéré du portefeuille dans le futur. Introduire l effet moyenne revient à considérer qu il y a une persistance de la performance. Ainsi, des actifs qui ont bien performé dans le passé récent auraient une valeur en risque plus faible que des actifs qui ont moins bien performé pour le même niveau de volatilité. À titre d illustration, considérons un actif qui a une performance de 5% et une volatilité de 5% sur les 5 derniers jours de trading. On obtient une VaR négative égale à,33,5,5, ce qui signifie que la probabilité de subir une perte est plus petite que %!. Le quantile empirique % correspond à la statistique d ordre,6 : 6. On procède par interpolation et on a TR-GDR, page 66 : VaR D 4 +, Par la méthode du scaling, on obtient TR-GDR, page 74 : VaR M VaR D 476 La VaR historique 99% pour une période de détention d un mois est égale à 4 76 euros. 3. On écrit la relation de façon vectorielle TR-GDR, pages 9- : On en déduit que : r t BF t + ε t var r t BΩB + D avec B la matrice n m de sensibilité aux facteurs et D une matrice diagonale d éléments,..., n. a On a : Il vient donc que : p x BΩB x + x Dx VaR P t Φ α x BΩB x + x Dx 4

5 b On en déduit que : VaR P t Φ α β F x x + x Dx Si i j, alors le portefeuille de VaR minimale satisfait le programme d optimisation suivant : x arg min x β F + I n x s.c. x Le Lagrangien est : f x; λ x Qx λ x avec Q β F + I n. Les conditions de premier ordre sont : { x f x; λ Qx λ λ f x; λ x On obtient x λq. On en déduit aussi que : d où : La solution optimale est donc : x λq x λ Q Q Q La matrice Q est particulière. C est une matrice telle que Q Q et Q i,i j,j i,j Q car les termes de variance sont les mêmes ainsi que les termes de covariance. Le j,i portefeuille de valeur en risque minimale est donc le portefeuille équipondéré ou portefeuille /n : x i n.3 Construction d un scénario de stress à partir de la théorie des valeurs extrêmes TR-GDR, page 54. Le théorème de Fisher-Tippet permet de caractériser la loi asymptotique de X n:n max X,..., X n avec X i des variables aléatoires iid de distribution F. S il existe des constantes a n et b n telles que : { } lim Pr Xn:n b n x G x n alors G est une distribution de Gumbel, de Fréchet ou de Weibull TR-GDR, page 39.. On a TR-GDR, page 4 : { Xn:n b n Pr a n } x a n Pr {X n:n a n x + b n } F n a n x + b n 5

6 a On a TR-GDR, page 4 : F n a n x + b n e λλ x+λ ln n n n e x n On en déduit que : b On a : G x lim n n n e x e e x Λ x F n a n x + b n n x + n n + n n x On en déduit que : c On a : G x lim + n n n x e x Ψ x F n a n x + b n n α n θ θ + θα n /α x + θn /α θ α n α n /α x + n /α + x α n α On en déduit que : G x lim + x α n e + α x α Φ α + x n n α α 3. La distribution GEV permet de caractériser les trois types de distribution par une distribution unique. On a TR-GDR, page 46 : g x x G x [ ] +ξ { x µ ξ [ + ξ exp + ξ On en déduit que : + ξ n l n ln ln + ξ ξ 4. On a : On en déduit que : i lim G x lim ξ xi µ lim + ξ ξx /ξ e x exp ξ exp { { lim ξ exp exp [ + ξ [ + ξ n i x µ [ + ξ ] } /ξ x µ ] } /ξ x µ x µ ] } ξ xi µ ] ξ 6

7 5. Le temps de retour est la durée moyenne entre deux dépassements successifs de la VaR TR-GDR, pages On a : t VaR α α p avec α le seuil de confiance et p la période de détention. Si α est égal à 99% resp. 95% et si p est jour resp. an, t VaR α est égal à jours resp. ans. 6. Le stress-testing permet de calculer la perte maximale d un portefeuille pour un scénario extrême donné TR-GDR, pages -9. Il permet donc de compléter la valeur en risque. En effet, celleci est généralement basée sur les 6 derniers scénarios historiques journaliers. Ces scénarios ne correspondent pas forcément à des scénarios extrêmes ou adverses. Dans la réglementation, le stresstesting est utilisé pour identifier les scénarios les plus risqués pour la banque. Ils ne donnent pas lieu à une exigence de fonds propres. Néanmoins, ils doivent être réalisés de façon périodique par exemple tous les trimestres et les résultats doivent être communiqués aux autorités réglementaires. Pour le risque de marché, un exemple de scénario de crise est une baisse des actions de 5% en un mois. On utilise aussi le stress-testing pour mesurer les risques de marché liés à des paramètres inobservables pour le pricing d options exotiques par exemple. Pour le risque de crédit, un exemple de scénario de crise est un défaut de plusieurs pays de la zone Euro. 7. On a TR-GDR, page 46 : G α µ ξ [ ln α ξ] Pour ξ, on obtient : G α µ ln α Par définition, on a ť α n. Le temps de retour ť est donc associé au seuil de confiance α n/ť. On en déduit que 3 : r ť G n/ť ln n/ť µ µ + ť n On remplace ensuite µ et par les estimateurs du maximum de vraisemblance ˆµ et ˆ. 8. On a : r P, +,3 34% r P, +, 3% Le scénario de stress est plus sévère pour le portefeuille P. Si on considère cette mesure de risque, le portefeuille P est donc plus risqué que le portefeuille P..4 Stress-testing et statistiques d ordre TR-GDR, page 545. Le stress-testing permet de calculer la perte maximale d un portefeuille pour un scénario extrême donné TR-GDR, pages -9. Il permet donc de compléter la valeur en risque. En effet, celleci est généralement basée sur les 6 derniers scénarios historiques journaliers. Ces scénarios ne correspondent pas forcément à des scénarios extrêmes ou adverses. Dans la réglementation, le stresstesting est utilisé pour identifier les scénarios les plus risqués pour la banque. Ils ne donnent pas lieu à une exigence de fonds propres. Néanmoins, ils doivent être réalisés de façon périodique par exemple tous les trimestres et les résultats doivent être communiqués aux autorités réglementaires. 3. On prend l opposé de G α car on considère ici les minima et non les maxima. 7

8 Pour le risque de marché, un exemple de scénario de crise est une baisse des actions de 5% en un mois. On utilise aussi le stress-testing pour mesurer les risques de marché liés à des paramètres inobservables pour le pricing d options exotiques par exemple. Pour le risque de crédit, un exemple de scénario de crise est un défaut de plusieurs pays de la zone Euro.. On a TR-GDR, pages 3-33 : G n x Pr {max X,..., X n x} Pr {X x,..., X n x} n Pr {X i x} i x µ Φ 3. On considère la statistique d ordre X n:n. La fonction de densité associée est : f n x x G n:n x n ϕ x µ n Φ x µ n La log-vraisemblance associée à un échantillon x,..., x m de la statistique d ordre X n:n est donc TR-GDR, page 35 : l n m ln n m ln π m ln m i xi µ xi µ n ln Φ Pour chaque statistique d ordre X n:n, nous pouvons donc calculer la log-vraisemblance l n et déterminer les estimations ˆµ n et ˆ n. Il suffit ensuite de tester les hypothèses ˆµ ˆµ... ˆµ n et ˆ ˆ... ˆ n TR-GDR, pages Le temps de retour est la durée moyenne entre deux dépassements successifs de la VaR. On a TR-GDR, page 8 : t VaR α α p avec α le seuil de confiance et p la période de détention. Si α 99%, t VaR α est égal à jours resp. 4 ans et ans si la période de détention est jour resp. jours et an. On a : t G n α α n Le temps de retour associé aux quantiles G 99%, G 5 99% et G jours, 5 jours et jours. 5. On cherche le seuil de confiance α tel que TR-GDR, page 5 : t G α t VaR 99,9% 99% est donc égal à On a donc : ou encore : α,999 α, 98% 8

9 .5 Les mesures de risque TR-GDR, page 549. a On a TR-GDR, page 9 : VaR α inf {x : Pr {L x} α} ES α E [L L VaR α] b On suppose que F est continue. On a donc VaR α F α. On en déduit que : ES α E [ L L F α ] F α α f x x F F α dx F α xf x dx On considère le changement de variable t F x. Comme dt f x dx et F, on obtient : ES α F t dt α c On a : On a donc : α f x θ x θ+ x θ On en déduit que : et : On remarque aussi que : E [L n ] x E [L] E [ L ] x n θ x θ+ dx x θ θ x θ x n θ dx x [ ] θ x n θ x θ n θ x θ θ n xn θ θ x θ θ x var L E [ L ] E [L] θ θ θ x x permet de localiser la distribution tandis que θ contrôle la queue de distribution. On a : F θ α α x On en déduit que : F α x α θ 9

10 On obtient donc : ES α α x α α x t θ dt [ ] t θ θ α θ θ x α θ θ θ F α Comme θ >, on a alors d On a : θ θ > et : ES α θ VaR α θ > VaR α ES α x α µ+φ α π exp x µ dx On considère le changement de variable t x µ. On obtient TR-GDR, page 498 : ES α µ + t exp α Φ α π t dt µ α [Φ t] Φ α + µ + α π Comme ϕ x xϕ x, on a : [ exp µ + α π exp µ + α ϕ Φ α α π Φ α t ] Φ α [ Φ α ] t exp t dt Φ x x x x ϕ t dt tϕ t dt t ϕ t dt t On considère l intégration par partie avec u t t et v t ϕ t et on obtient : Φ x [ ϕ t t ϕ x x + ϕ x x + ] x x x x ϕ t dt t tϕ t dt t3 t 3 ϕ t dt

11 On considère de nouveau l intégration par partie avec u t t 3 et v t ϕ t et on obtient : Φ x ϕ x [ ] ϕ t x + t 3 3 ϕ t dt t4 ϕ x x ϕ x x 3 x x x 3 t 5 ϕ t dt On peut continuer à intégrer par partie de façon récursive en posant v t ϕ t. On obtient finalement l expansion suivante : Φ x ϕ x x d où on en déduit que : ϕ x x + x ϕ x x ϕ x x ϕ x x ϕ x x ϕ x x 9... n n ϕ x i x n n + Ψ x x ϕ x x Φ x Ψ x x On reprend l expression de ES α et on pose x Φ α : ES α µ + α ϕ Φ α µ + α ϕ x µ + Φ α α Ψ Φ α α Φ α µ + Φ α Ψ Φ α α Φ α VaR α Ψ Φ α α Φ α On en déduit que ES α VaR α lorsque α car : Ψ Φ α lim α α Φ α e Pour la distribution gaussienne, l expected shortfall et la valeur en risque coincident pour des niveaux élevés de probabilité, ce qui n est pas le cas de la distribution de Pareto, qui présente une queue épaisse. L utilisation de la distribution de Pareto peut donc produire des mesures de risque beaucoup plus élevées que celles basées sur la distribution gaussienne.. On a TR-GDR, page 9 : On remarque que : R L + L E [L + L ] E [L ] + E [L ] R L + R L R λl E [λl] λe [L] λr L i R L + m E [L m] E [L] m R L m E [L] x df x F t dt On en déduit que si F x F x, alors F t F t et E [L ] E [L ]. R est donc une mesure de risque cohérente.

12 3. On procède de la même façon pour montrer que R L E [L] + L est une mesure de risque cohérente. 4. On a : l i Pr {L l i },,,,,,,,, Pr {L l i },,3,4,5,6,7,8,9, a On a VaR 5% 3, VaR 75% 6 et VaR 9% 7. On en déduit que : ES 5% ES 75% ES 9% 3 % % 5,5 6% 6 % % 7, 3% 7 % + 8 % 7,5 % b On doit construire une distribution bivariée telle que TR-GDR, page 3 : F α + F α < F + α Pour cela, on peut s aider des différents résultats sur les inégalités de Makarov TR-GDR, pages Par exemple, il suffit de considérer la somme ordinale de la copule C + pour u α et u α et d une autre copule C α pour u > α et u > α pour produire dans la plupart des cas une distribution bivariée qui ne vérifie pas la propriété de sous-additivité pour la valeur en risque. Prenons par exemple α 7% et C α C, on obtient la distribution bivariée suivante : l i Pr {L l i },,,,,, 3,, 4,, 5,, 6,, 7,, 8,, Pr {L l i },,,,,,,,, On a donc : l i Pr {L + L l i },,,,,,,3 Pr {L + L l i },,3,4,5,6,7, Comme F 8% F 8% 6 et F + 8% 4, on en déduit que : 5. a On a TR-GDR, page 498 : F 8% + F 8% < F + 8% VaR α x i E [L i L VaR α] b On a : L N x µ, x Σx

13 On en déduit que : et : VaR α x µ + Φ α x Σx VaR α x µ + Φ α Σx x Σx On peut aussi utiliser le résultat précédent pour retrouver cette expression TR-GDR, page Valeur en risque crédit d un portefeuille non granulaire TR-GDR, page 54 On rappelle le résultat suivant. Soient A et B deux événements indépendants. On a : Pr {A et B} Pr {A} Pr {B} Pr {A ou B} Pr {A} + Pr {B} Pr {A} Pr {B} La référence principale de cet exercice est TR-GDR, pages 3 et 97-. La perte aléatoire L a pour expression : L LGD D avec LGD la perte en cas de défaut et D la variable aléatoire représentant le défaut. D est une variable de Bernoulli de paramètre PD.. On a L D. L peut donc prendre deux valeurs et. On a : On obtient finalement : On en déduit que la VaR an à 99% est nulle. Pr {L } Pr { D } Pr {D } PD x Pr {L x} 99,5%,5% Pr {L x} 99,5% %. Dans ce cas, L peut prendre trois valeurs, 5 et. On a : et : Pr {L } Pr { LGD D } Pr {D } 99,5% Pr {L 5} Pr { LGD D 5} Pr {LGD 5% et D } Pr {LGD 5%} Pr {D } 5%,5% On obtient finalement : x 5 Pr {L x} 99,5%,5%,375% Pr {L x} 99,5% 99,65% % On en déduit que la VaR an à 99% est nulle. 3

14 3. Dans le premier cas, on obtient : Dans le deuxième cas, les résultats deviennent : x Pr {L x} 9% % Pr {L x} 9% % x 5 Pr {L x} 9%,5% 7,5% Pr {L x} 9% 9,5% % La VaR an à 99% est égale à euros dans les cas. 4. L expression de la perte aléatoire L devient : L LGD A D A + LGD B D B L peut donc prendre trois valeurs si A et B ne font pas défaut, si A ou B fait défaut et si A et B font défaut. On a : et : On obtient : Pr {L } Pr {D A et D B } Pr {D A } Pr {D B }.9.9 Pr {L } Pr {D A et D B } + Pr {D A et D B },9, x Pr {L x} 8% 8% % Pr {L x} 8% 99% % La VaR an à 99% est égale à euros. 5. Dans ce cas, L prend cinq valeurs, 5,, 5 et. On a : On obtient : Pr {L } Pr {D A et D B },9,9 Pr {L 5} Pr {D A, LGD A 5% et D B } + Pr {D A, D B et LGD B 5%},9,5, Pr {L } Pr {D A, LGD A % et D B } + Pr {D A, D B et LGD B %} + Pr {D A, LGD A 5%, D B et LGD B 5%},9,75, +,,5,,5 Pr {L 5} Pr {D A, LGD A %, D B et LGD B 5%} + Pr {D A, LGD A 5%, D B et LGD B %},,75,,5 Pr {L } Pr {D A, LGD A 5%, D B et LGD B 5%},,75,,75 x 5 5 Pr {L x} 8% 4,5% 3,565%,375%,565% Pr {L x} 8% 85,5% 99,65% 99,4375% % La VaR an à 99% est égale à euros. 4

15 .7 Contribution en risque dans le modèle Bâle II TR-GDR, page 54. On suppose que TR-GDR, page 79 : a les pertes en cas de défaut LGD i sont indépendantes des temps de défaut τ i ; b le défaut de la i-ième créance dépend d un ensemble de facteurs communs X,..., X m ; c le portefeuille est infiniment granulaire ; il n y a donc pas de concentration d exposition sur une contrepartie, ce qui se peut se traduire par la propriété mathématique suivante : EAD i / I i EAD i. Soit R une mesure de risque. La contribution en risque de la créance i est le produit de l exposition de la créance i et du risque marginal TR-GDR, page 497 : RC i EAD i R EAD i Dans le cas d une mesure de risque convexe, on a : R I RC i La mesure de risque est alors égale à la somme des différentes contributions en risque. 3. On a : i EL E [L] UL F α EL avec F la fonction de répartition de L. Si les temps de défaut sont indépendants, on obtient : E [L X,..., X m ] I EAD i E [LGD i ] PD i EL i L n est donc plus aléatoire, on a Pr {L EL}. Il vient que F α EL et UL. 4. On note TR-GDR, page 8 : d où : On a donc : g x I EAD i E [LGD i ] PD i x i E [L X x] g x F l Pr {L l} Pr {g X l} Comme EAD i et E [LGD i ], g x est une fonction monotone croissante resp. décroissante si PD i x est une fonction croissante resp. décroissante de x. Dans le cas où g x est une fonction croissante, on a : Pr {g X l} α Pr { X g l } α H g l α l g H α 5

16 On en déduit donc que : F α I EAD i E [LGD i ] PD i H α i Dans le cas où g x est une fonction décroissante, on a : On en déduit donc que : F α Pr {g X l} α Pr { X g l } α H g l α l g H α I EAD i E [LGD i ] PD i H α i Si au moins une des expositions EAD i est négative, la fonction g x n est plus forcément monotone. On ne vérifie plus g X l X g l cas croissant ou g X l X g l cas décroissant et les expressions de F α ne sont plus valides. On ne peut donc pas utiliser le modèle de capital réglementaire si le portefeuille de crédit contient une ou plusieurs exposition nette négative sur une contrepartie. Pour la gestion de portefeuille de crédit, cela implique que l achat d une protection de type CDS sur une contrepartie ne doit se faire que pour réduire l exposition sur cette contrepartie et non pour prendre une position short sur celle-ci. 5. On a TR-GDR, pages 8-8 : d où B i Φ PD i. On a aussi : PD i Pr {τ i M i } Pr {Z i B i } Φ B i Pr {τ i M i X x} Pr {Z i B i X x} { ρx } Pr + ρεi B i X x { Pr ε i B i } ρx X x ρ Φ PD i ρx Φ ρ En utilisant la paramétrisation de Φ x, x ; ρ donnée à la page 96 de TR-GDR, on a : Φ E X [Φ PD i ] ρx Φ PD i ρx Φ ϕ x dx ρ ρ Φ, Φ PD i ; ρ PD i 6. La probabilité de défaut conditionnelle étant une fonction décroissante de x, on a : I F α EAD i E [LGD i ] PD i Φ α i I i I i Φ PD i ρφ α EAD i E [LGD i ] Φ ρ Φ PD i + ρφ α EAD i E [LGD i ] Φ ρ 6

17 Comme f F α α F α, on en déduit que TR-GDR, page 55 : f l avec l F α. 7. ρ est la corrélation constante des actifs : I i EAD i E [LGD i ] ϕ Φ PD i + ρφ α ρ ρ ρϕφ α cor Z i, Z j E [Z i Z j ] E [ρx + ] ρ ρx ε i + ε j + ρ ε i ε j ρ On peut estimer ce paramètre par maximum de vraisemblance en considérant un historique de taux de défaut TR-GDR, pages Le Pilier II doit donc s intéresser à l impact du non-respect des hypothèses et au risque de modèle. En particulier, on doit comprendre quel est l impact de la non-granularité du portefeuille et quel est l impact si la corrélation des actifs n est pas constante par exemple si elle augmente fortement dans le cas d une crise systèmique..8 Le risque de contrepartie sur opérations de marché TR-GDR, page 55. a Notons MtM A C et MTM B C le mark-to-market des banques A et B pour le contrat C. On doit vérifier théoriquement que : MtM A+B C MTM A C + MTM B C Dans le cas de contrats listés, la relation précédente est généralement vérifiée. Dans le cas de contrats OTC, il n y a pas de prix de marché. Dans ce cas, la banque utilise un modèle pour valoriser le contrat OTC. On parle d une valorisation en mark-to-model. La relation MTM A+B C ou MTM A+B C n est plus forcément vérifiée pour plusieurs raisons : les deux contreparties n utilisent pas forcément le même modèle de valorisation, les paramètres utilisés ne sont pas exactement les mêmes, les systèmes de provisionnement pour le risque de modèle appelés aussi réfactions ne sont pas comparables, etc. Dans cet exemple, on obtient : MTM A+B C MTM A+B C MTM A+B C MTM A+B C MTM A+B C MTM A+B C MTM A+B C 7 + Il y a donc un contrat qui vérifie exactement la relation c est le contrat C 6. La relation est presque vérifiée pour deux autres contrats ce sont les contrats C et C. Pour le contrat C 7, chaque contrepartie pense être gagnante et affiche un mark-to-market positif! Enfin, il y a trois contrats qui présentent de grosses différences ce sont les contrats C 3, C 4 et C 5. b On a TR-GDR, pages 6-7 : EAD I max MTM C i, i 7

18 On obtient donc : EAD A EAD B c On a TR-GDR, page 7 : I EAD max MTM C i, i On obtient donc : d On a TR-GDR, page 7 : EAD A max , max 9, 9 EAD B max , max 5, EAD A max 5 + 6, EAD B max + 6 3, a On a TR-GDR, pages - : L exposition au défaut d un contrat OTC est égale à : e t max MTM t, avec MTM t le mark-to-market du contrat à la date future t. e t est donc une variable aléatoire. La distribution de l exposition au défaut e t pour la date future t est notée F [,t]. L exposition future potentielle potential future exposure est le quantile de la distribution F [,t] pour un seuil de confiance α donné : PFE α ; t F [,t] α L exposition maximale peak exposure est le maximum des expositions futures potentielles : PE α sup PFE α ; t t Cette quantité est aussi connue sous le nom d exposition future potentielle maximale maximum potential future exposure ou MPFE. L exposition attendue expected exposure est la moyenne de l exposition au défaut pour une date t donnée : EE ; t E [e t] x df [,t] x L exposition positive attendue expected positive exposure est la moyenne pondérée dans le temps des expositions attendues : [ ] h EPE ; h E e t dt h EE, t dt h h L exposition attendue effective effective expected exposure est l exposition maximale attendue jusqu à la date t : EEE ; t sup EE ; θ max EEE ; t, EE ; t θ t 8

19 L exposition positive attendue effective effective expected positive exposure est la moyenne pondérée dans le temps des expositions attendues : EEPE ; h h Si e t tε avec ε U [,], on obtient : avec x [, t ]. On a donc : h F [,t] x x t EEE ; t dt PFE α ; t F [,t] α α t PE α α T t EE ; t x t dx t EPE ; h h t h dt h 3 EEE ; t t EEPE ; h h h Si e t exp tε avec ε N,, on obtient : ln x F [,t] x Φ t t 3 dt h 3 avec x [, ]. On a donc : PFE α ; t F [,t] α exp tφ α PE α exp T Φ α EE ; t exp t / EPE ; h exp h h EEE ; t exp t / EEPE ; h exp h h Si e t t T t T t ε avec ε U [,], on obtient : F [,t] x F [,t] x x t T t T t 9

20 avec x [, t T t T t ]. On a donc : avec : PFE α ; t F [,t] t α α T t T t PE α {t < t } PFE α ; t + {t t } PFE α ; t EE ; t t T t T t 9h 3 8T h + 4T h EPE ; h 7 EEE ; t {t < t } EE ; t + {t t } EE ; t EEPE ; h h h EEE ; t dt t 7 3 T 9 Cette exercice est plus difficile que le précédent, car la fonction e t n est pas monotone croissante. Elle est croissante pour t < t et ensuite décroissante 4. Ceci explique que l on doit déterminer pour PE α et EEE ; t l optimum t. À titre de comparaison, nous reportons les différentes fonctions EE ; t, EPE ; h, EEE ; t et EEPE ; h pour ces deux exercices sur les graphiques et. Figure Exposition au défaut si e t exp tn, 4. En fait, il y a une seconde racine : t T 9 On note que e t peut prendre des valeurs négatives pour t autour de cette racine. On ignore ce problème pour calculer les différentes quantités.

21 Figure Exposition au défaut si e t t T t T t U [,] b On a TR-GDR, pages 4-5 : On en déduit que : e t max x + W t, E [e t] max x, f x dx avec f x la fonction de densité de e t. Comme e t N x, t, on obtient : E [e t] x exp πt x x dx t On considère le changement de variable y t / x x. On obtient : x + ty E [e t] exp x t π y dy x ϕ y dy + t y exp x x t t π y dy x x Φ + t [ ϕ y] x t t x x x Φ + tϕ t t car ϕ x ϕ x et Φ x Φ x. c On a : e t max x + x + W t + W t,

22 On en déduit que : e t N x + x, t + t + ρ t En utilisant le résultat de la question b, il vient que : E [e t] x + x Φ x + x t + t + ρ t t + t + ρ tϕ + x + x t + t + ρ t d On a représenté la fonction E [e t] sur le graphique 3 dans le cas x x et. On note que la moyenne de l exposition au défaut est une fonction croissante du temps et de la volatilité et que l impact d un contrat de compensation globale peut être très important, surtout dans le cas d une corrélation faible ou négative. Figure 3 Espérance de l exposition au défaut E [e t] de la banque A.9 Le risque opérationnel TR-GDR, page 55. a On rappelle que la fonction de densité de la distribution LN µ, est TR-GDR, pages 39 : f x x π exp ln x µ On en déduit que la fonction de log-vraisemblance est : n l µ, ln f L i i n ln n n ln π ln L i i n ln Li µ i

23 Pour calculer les expressions des estimateurs ˆµ et ˆ, on peut procéder de deux façons. # On sait que si Y LN µ,, alors X ln Y N µ, et que les estimateurs ˆµ et ˆ du maximum de vraisemblance de X N µ, sont : n ˆµ n ˆ n i x i n x i ˆµ On en déduit que les estimateurs ˆµ et ˆ du maximum de vraisemblance dans le cas i sont : i ˆµ n ln L i n i ˆ n ln L i ˆµ n # On maximize la log-vraisemblance et on en déduit les estimateurs ˆµ et ˆ : i ˆµ, ˆ arg max l µ, Cela revient à résoudre les conditions du er ordre : { µ l µ, l µ, On a : et donc : On a : et donc : Pour m, on a : E [L m i ] µ l µ, ˆµ n n i ln L i µ n ln L i i l µ, n n + ln L i µ 3 ˆ n i n ln L i ˆµ i x m x π exp ln x µ dx 3

24 On considère les changements de variable y ln x µ et z y. On obtient : E [L m i ] exp mµ + my exp π y dy exp mµ exp π y + my dy exp mµ exp m exp y π m dy exp mµ exp m exp π z dz exp mµ exp m [Φ z] exp mµ + m On en déduit que : E [L i ] e µ+ E [ L ] i e µ+ var L i E [ L ] i E [L i ] e µ+ e µ+ e µ+ e On peut donc estimer les paramètres µ et par la méthode généralisée des moments en considérant les moments empiriques suivantes TR-GDR, pages 39 : b On a : h i, µ, L i e µ+ h i, µ, L i e µ+ e µ+ e f x θ x θ+ x θ On en déduit que la fonction de log-vraisemblance est : l θ La condition du er ordre est : n ln f L i i n ln θ θ + n ln L i + nθ ln x i θ l θ n n θ ln L i + i n ln x i On en déduit que : n θ n i ln L i x 4

25 L estimateur du maximum de vraisemblance est donc : / n ˆθ n ln L i x Pour m, on a : i On en déduit que : et : On remarque aussi que : E [L m i ] x E [L] E [ L ] x m θ x θ+ dx x θ θ x θ x m θ dx x [ ] θ x m θ x θ m θ x θ θ m xm θ θ x θ θ x var L E [ L ] E [L] θ θ θ x On peut donc estimer les paramètres µ et par la méthode généralisée des moments en considérant les moments empiriques suivantes : h i, θ L i θ θ x h i, θ L i θ θ x θ θ θ x La mise en place de la méthode GMM peut se faire en considérant soit le premier moment h i, θ, soit le second moment h i, θ soit les deux moments joints h i, θ, h i, θ. c L expression de la densité conditionnelle dans le cas ii est TR-GDR, page 4 : f L i x L i H f x F x / θ x θ+ x θ θ x θ+ H θ La distribution conditionnelle est donc une distribution de Pareto de même paramètre θ avec x H. L estimateur ˆθ du maximum de vraisemblance devient donc : n ˆθ n i ln L i n ln H H θ x θ 5

26 Pour la distribution i, on obtient TR-GDR, page 43 : E [L m i L i H] Φ ln H µ / x m H π exp ln x µ dx Φ ln H µ / ln H π exp x µ + mx dx exp mµ + r / Φ ln H µ / ln H π exp x µ + m dx exp mµ + m / Φ ln H µ m / Φ ln H µ / Les deux premiers moments de L i L i H sont donc : Φ m µ, E [L i L i H] Φ v µ, E [ L i L i H ] Φ Φ ln H µ ln H µ ln H µ ln H µ e µ+ e µ+ On peut donc estimer les paramètres µ et par la méthode généralisée des moments en considérant les moments empiriques suivantes : h i, µ, L i m µ, h i, µ, L i m µ, v µ, m µ, d On peut utiliser un test dérivé de la représentation QQ-plot ou un test basé sur les statistiques d ordre et plus particulièrement la statistique du maximum.. On considère un échantillon de T nombres de pertes {N,..., N T }. On suppose que le nombre de pertes suit une distribution de Poisson P λ. a On a : λ λn Pr {N Y n} e n! On en déduit que la log-vraisemblance a pour expression : l λ La condition du premier ordre est : T ln Pr {N Y N t } t T λt + N t ln λ l λ λ t T ln N t! t T + T N t λ t L estimateur du maximum de vraisemblance est donc : ˆλ T T N t N Y t 6

27 b On sait que : N Y N Q + N Q + N Q3 + N Q4 D après la propriété de la distribution de Poisson, si N Y P λ alors N Q P λ/4. On en déduit que : ˆλ 4 T N t 4 T N Q 3. a On sait que la durée d entre deux pertes consécutives supérieures à l est une distribution exponentielle de paramètre λ F l TR-GDR, page 5. On en déduit que : θ l d E λ x_ t b On peut demander aux experts d évaluer les temps de retour d j de différents scénarios l j et on peut calibrer les paramètres λ et θ par la méthode des moments en remarquant que TR-GDR, pages 5-53 : θ l E [d j ] λ x_. Valorisation d un CDS TR-GDR, page 539. Si on note N le notionnel et s le spread, la jambe fixe ou de prime annuelle payée par l acheteur B de la protection est TR-GDR, page 4 : J F s N. Comme on considère un CDS 6M, la jambe fixe est payée tous les six mois pendant 3 ans et le montant de celle-ci est donc égale à euros. S il y a un défaut de paiement avant les 3 ans, l acheteur B reçoit à la maturité la jambe de protection qui est égale à 6 euros : J V R N.4 6 avec R le taux de recouvrement. On en déduit le diagramme des flux suivant TR-GDR, page 4 : Figure 4 Diagramme des flux du point de vue de l acheteur de la protection euros tous les 6 mois 6 euros tant qu il n y a pas de défaut si défaut { }} { 6M Y 8M Y 3M 3Y 3Y t 7

28 S il n y a pas de défaut avant les 3 ans, l acheteur B paye donc au vendeur A euros pendant 6 semestres. Le PnL du vendeur A est donc égal à 6 euros 5. Si la contrepartie X fait défaut dans ans et mois, le PnL de l acheteur B est égal à : PnL B Si le spread de la contrepartie X augmente sept mois plus tard et vaut pb, alors l acheteur B de la protection gagne de l argent s il retourne sa position dans le marché puisque la probabilité de défaut de X a augmenté. La nouvelle valeur de la jambe de prime semestrielle est : J F s N 5 Comme il reste encore 5 versements semestriels de la jambe de prime, le PnL de l acheteur B est égal à si on néglige l effet d actualisation TR-GDR, page 4 : PnL B On a la relation suivante TR-GDR, page 4 : PD s R La probabilité de défaut initiale est donc : PD s R pb La nouvelle probabilité de défaut devient : PD pb. Calibration du paramètre LGD TR-GDR, page 543. On calcule la perte en cas de défaut moyenne empirique de la classe de risque C : ˆm LGD % + 5% + 6 5% + 75% + % 5% Soit L la perte aléatoire du portefeuille. On a TR-GDR, page 457 : L EAD i LGD i {τ i } i avec EAD i l exposition au défaut de la créance i qui vaut euros, LGD i la perte en cas de défaut aléatoire de la contrepartie i et τ i le temps de défaut aléatoire de la contrepartie i. Comme 5. On suppose que les taux d intérêt sont nuls, il n y a donc pas besoin d actualiser. 8

29 les variables aléatoires LGD i et τ i sont indépendantes, on en déduit que : [ ] EL E EAD i LGD i {τ i } i E [EAD i LGD i {τ i }] i EAD i E [LGD i ] E [ {τ i }] i EAD i E [LGD i ] PD i i avec PD i la probabilité de défaut annuelle de la contrepartie i. On obtient donc : EL,5, i 5 euros. L espérance de perte par créance est donc égale à 5 euros. Si on suppose que l exigence des fonds propres porte aussi sur la perte espérée, alors il convient d impacter le bilan en considérant une charge supplémentaire de capital par créance égale à 5 euros. Si ce n est pas le cas, alors il convient de provisionner la perte espérée au niveau du compte de résultat. Dans ce cas, cela revient à considérer que la marge commerciale est de 6 euros par créance. 3. On a : ˆm LGD 5% et : On rappelle que :,5 +,5, ,5 ˆ LGD,5 +,5,65 5% µ LGD LGD On en déduit que TR-GDR, pages : et : a µ LGD a a + b ab a + b a + b + b a µ LGD µ LGD a + b a + b + LGD ab a + a µ LGD + LGD a µ LGD µ LGD µ LGD a + µ LGD µ LGD µ LGD µ LGD LGD 9

30 On obtient finalement que : a µ LGD µ LGD LGD b µ LGD µ LGD LGD µ LGD µ LGD En utilisant les expressions numériques de µ LGD et LGD, on a : a,5,5,5,5,5 b,5,5,5,5,5 4. On peut considérer le portefeuille précédent comme infiniment granulaire puisque c est un portefeuille homogène avec créances. On sait dans ce cas que l unexpected loss dépend seulement de l espérance de la perte en cas de défaut. Comme l espérance de la distribution uniforme est 5% comme la distribution Bêta calibrée, alors il n y a pas de différence dans ce cas entre utiliser une distribution uniforme ou la distribution Bêta calibrée. Ce résultat est valable pour le modèle Bâle II à un seul facteur, mais aussi dans le cas où il y a plusieurs facteurs TR-GDR, page Modélisation du temps de défaut TR-GDR, page 544. Si t [ t m, t m[, on a TR-GDR, page 47 : Par itération, on obtient : On en déduit que :. On a donc : S t S t m e λ mt t m S t e m i λit i t i e λ mt t m f t t S t t S t m e λ mt t m λ m S t m e λ mt t m λ m S t λ m e m i λit i t i e λ mt t m S t avec λ, et λ,. On vérifie que : { e λ t si t 5 e λ5 e λ t 5 si t > 5 S τ F τ U [,] U [,] car F τ U [,]. Soit U U [,]. On en déduit que : τ S u 3

31 Si u S 5, on a e λt u ou encore t λ ln u. Si u > S 5, on a e λ5 e λt 5 u ou encore t 5 λ ln u + λ 5. On simule donc τ de la façon suivante : { λ τ ln u si u e λ 5 5 λ ln u + λ 5 si u > e λ5 Comme e λ5 e, 5,95, les valeurs simulées de τ sont donc : 63,44 pour u,4 τ 75,98 pour u,3 3,5 pour u,97 3. On a : S t m S t m e λ mt m t m On en déduit que TR-GDR, page 43 : λ m t m t ln S t m m S t m avec S t S. On considère la classe de risque A. On en déduit que : λ λ λ 3 ln,,5, ln 4,49,76,49 ln 6,43,93 On obtient finalement les résultats suivantes : A B C t < λ,5,56,6 t < 4 λ,76,76,857 4 t < 6 λ 3,93,78,65 4. Soit π t la matrice de transition entre les dates et t. On appelle générateur de π t la matrice Λ λ i,j définie par TR-GDR, page 44 : π t e tλ où e M est l exponentielle matricielle de M. On en déduit que TR-GDR, page 443 : ˆΛ ln π t t On a donc ˆΛ ln π /. Le générateur est Markovien si 4 j λ i,j et λ i,j si i j. Ces conditions sont vérifiées, on en déduit que ˆΛ est une générateur Markovien. 5. Concernant le modèle exponentiel généralisé, on procède comme à la question 3. On a déjà calculé λ t pour t <, t < 4 et 4 t < 6. On calcule alors π 4 et π 4 et on en déduit λ t pour 6 t < 8 et 8 t <. On rappelle que la fonction de survie pour la classe de risque i est TR-GDR, page 44 : S i t e i π t e 4 e i e tˆλe 4 3

32 On en déduit que TR-GDR, page 467 : λ i t ts i t S i t e i ˆΛe tˆλe 4 e i etˆλe 4 On utilise donc la formule précédente pour calculer λ t directement à partir du générateur Markovien. À long terme, le système de transition est stationnaire. La probabilité de défaut d une contrepartie appartenant à la classe de risque A est donc à long terme la même que celle d une contrepartie appartenant à la classe de risque B ou C. On a donc : λ A λ B λ C 47,6 bp A court terme, ce n est pas le cas et les probabilités de défaut sont ordonnées selon la classe de risque : λ A < λ B < λ C Il est donc tout à fait normal que l on obtienne une courbe croissante pour le rating A et une courbe décroissante pour le rating C TR-GDR, page Les spreads de crédit TR-GDR, page 546. On a TR-GDR, page 47 : On note X S τ. On a X [, ] et : F t e λt S t e λt f t λe λt Pr {X x} Pr {S τ x} Pr { τ S x } S S x On en déduit que S τ U [,] TR-GDR, page 48. On a donc τ S U avec U U [,]. Soit u un nombre aléatoire uniforme. Simuler τ revient à transformer u en t :. On a TR-GDR, pages 49-4 : t λ ln u J F 4 s N J V R N avec s le spread du CDS et N le notionnel. Le paiement trimestriel de la prime de protection explique le facteur /4 dans la formule de J F. On en déduit le diagramme des flux suivant : 3

33 Figure 5 Diagramme des flux du point de vue de l acheteur de la protection 4 s N euros tous les 3 mois tant qu il n y a pas de défaut { }} { 3M 6M 9M Y τ R N euros au moment du défaut τ t 3. La marge à la monnaie ou le spread du CDS est la valeur de s telle que le prix du CDS soit nul TR-GDR, page 4 : P t E [J F J V ] On a la relation triangulaire suivante TR-GDR, page 4 : 4. Soit PD la probabilité de défaut annuelle. On a : s λ R PD S e λ λ car λ est généralement petit λ %. On en déduit donc que : On a : PD λ s R PD % 67 pb 5% Une stratégie de valeur relative consiste à construire son propre modèle théorique pour valoriser le spread de CDS et à acheter ou vendre la protection en fonction de la position du spread estimé par rapport au spread de marché TR-GDR, page Une courbe de crédit exprime le spread du CDS en fonction de la maturité TR-GDR, page 4. Pour la première contrepartie, le spread est croissant. On anticipe donc une hausse de la probabilité de défaut à long terme. C est la configuration classique d une contrepartie bien notée. En effet, si on considère un modèle de migration, la chaîne de Markov est stationnaire à long terme. Les contreparties les mieux notées à court terme ont donc la même probabilité de défaut à long terme que les autres contreparties. Pour la deuxième contrepartie, le spread est décroissant. On anticipe donc une baisse de la probabilité de défaut à long terme. Il y a donc des tensions à court terme, mais si la deuxième contrepartie arrive à surmonter ces difficultés, la probabilité de défaut dans 5 ans est la même que celle de la première contrepartie. Si on anticipe que les tensions sur la deuxième contrepartie vont finalement durer, on peut envisager la stratégie consistant à vendre la protection 6M et à acheter la protection 5Y stratégie de pente, ou celle consistant à acheter la protection 5Y de la première contrepartie et à vendre la protection 5Y de la deuxième contrepartie stratégie de valeur relative. 33

34 .4 Valeur en risque d une position optionnelle TR-GDR, page 55. L expression du PnL est TR-GDR, page 9 : PnL C S t+ C S t avec C S t la valeur de l option à la date t. On a : S C 5% Γ SC 4% et S t+ + R t+ S t avec R t+ le rendement journalier 6 : R t+ N, % a On a TR-GDR, page 93 : PnL S t+ S t R t+ S t On en déduit que : et 7 : PnL N, S t VaR α Φ α S t,33 5% %,33 euros b On a TR-GDR, page 94 : PnL S t+ S t + Γ S t+ S t R t+ S t + ΓR t+s t On en déduit que : [ E [PnL] E R t+ S t + ] ΓR t+st ΓS t E [ Rt+ ] Γ S t et : E [ [ PnL ] E R t+s t + ] ΓR t+st [ E Rt+S t + ΓRt+S 3 t 3 + ] 4 Γ Rt+S 4 t 4 6. car la volatilité journalière est égale à : 3,6% 5 % 7. α 99%. 34

35 On a R t+ X avec X N,. Il vient que : E [ PnL ] S t Γ 4 S 4 t car E [X], E [ X ], E [ X 3] et E [ X 4] 3. L expression de l écart-type du PnL est donc : PnL St Γ 4 St 4 Γ St S t + Γ 4 S 4 t L approximation gaussienne du PnL est alors la suivante : PnL N Γ St, St + Γ 4 St 4 On en déduit que la VaR gaussienne est : VaR α Γ S t + Φ α S t + Γ 4 S 4 t En utilisant les valeurs numériques des différents paramètres, on obtient : VaR 99%,9 euros c Soit L PnL la perte. La VaR Cornish-Fisher est égale à TR-GDR, page 8 : avec z α γ, γ z α + 6 VaR α z α γ, γ L z α γ + 4 z 3 α 3z α γ 36 z 3 α 5z α γ + et z α Φ α. γ et γ sont respectivement le coefficient de skewness et l excès de kurtosis associés à la distribution de la perte L. On a : avec X N,. On rappelle que : PnL S t X + Γ S t X E [X] E [ X ] E [ X 3] E [ X 4] E [ X ] 3 E [ X 5] E [ X 6] 3 E [ X 4] 5 E [ X 7] E [ X 8] 4 E [ X 4] 5 35

36 On en déduit que : E [ [ PnL 3] E S t X + ] 3 Γ St X E [ 3 3 S 3t X Γ 4 S 4t X Γ 5 S 5t X ] Γ3 6 S 6t X 6 et : 9 Γ 4 S 4 t Γ3 6 S 6 t E [ PnL 4] E [ S t X + ] 4 Γ St X S 4 t + 45 Γ 6 S 6 t Γ4 8 S 8 t L expression des moments centrés est donc : [ E PnL E [PnL] 3] E [ PnL 3] 3E [PnL] E [ PnL ] + E 3 [PnL] 9 Γ 4 S 4 t Γ3 6 S 6 t 3 Γ 4 S 4 t 9 8 Γ3 6 S 6 t + 8 Γ3 6 S 6 t 3 Γ 4 S 4 t + Γ 3 6 S 6 t et : [ E PnL E [PnL] 4] E [ PnL 4] 4E [PnL] E [ PnL 3] + 6E [PnL] E [ PnL ] 3E 4 [PnL] St Γ 6 St Γ4 8 St 8 9 Γ 6 St Γ4 8 St Γ 6 St Γ4 8 St Γ4 8 St St Γ 6 St Γ4 8 St 8 L expression de γ et γ est donc TR-GDR, page 8 : γ L γ PnL E [PnL E [PnL] 3] 3 PnL 3 Γ 4 S 4 t + Γ 3 6 S 6 t S t + Γ 4 S 4 t 3/ γ L γ PnL E [PnL E [PnL] 4] 3 PnL S 4 t + 5 Γ 6 S 6 t Γ4 8 S 8 t S t + Γ 4 S 4 t 3 En utilisant les valeurs numériques des différents paramètres, on obtient L,6, γ L,394, γ L,764, z α γ, γ,466 et VaR α,5 euros. d La VaR est réduite avec la méthode Cornish-Fisher à cause de l effet de skewness 8. Comme celle-ci est négative, cela revient à réduire la queue de distribution de probabilité de la perte 8. L excès de kurtosis a très peu d effet. 36

37 . On a : et à augmenter la masse de probabilité des pertes plus petites que la perte moyenne. Il est donc normal que la valeur en risque soit plus petite que celle obtenue avec l approximation gaussienne car on rappelle que l excès de kurtosis est très faible. PnL R t+ S t + ΓR t+s t En utilisant un historique de rendement, on peut calculer la valeur du PnL avec la formule précédente en remplaçant R t+ par les scénarios historiques. Il suffit ensuite de classer les valeurs simulées du PnL et de prendre la statistique d ordre correspondant au quantile α TR-GDR, pages Pour la méthode de Monte Carlo, on remplace les scénarios historiques par des scénarios simulés de R t+ N, %..5 Corrélation et copules TR-GDR, page 547. D après le thèorème de Sklar, on a TR-GDR, page 6 : Φ x, x C X,X Φ x, Φ x Soit F la distribution bivariée du vecteur aléatoire Y, Y avec Y Φ X et Y Φ X. On a TR-GDR, page 75 : et : F y, y Pr {Y y, Y y } Pr {Φ X y, Φ X y } Pr { X Φ y, X Φ y } Φ Φ y, Φ y C X,X y, y F y Pr {Y y } Pr { X Φ y } y On en déduit que Y U [,] et Y U [,] et que la décomposition canonique de F est : F y, y C X,X y, y On a donc montré que : C Y,Y C X,X Simuler la copule gaussienne de paramètre ρ revient à simuler le vecteur aléatoire Y, Y. Pour cela, on simule x, x une réalisation du vecteur gaussien X, X et on applique la transformation Φ x, Φ x.. On a : E [R R ] E [R ] E [R ] ρ R, R E [R ] E [R ] E [R ] E [R ] E [R R ] E [R ] E [R ] E [ X X ] E [ X ] E [ X ] E [X X ] E [X ] E [X ] E [X X ] E [X ] E [X ] ρ 37

38 On a TR-GDR, page 484 : On en déduit que : ρ S, S a, b R R + : S a + bs e R a + be R X ln a + be X Comme X, X est un vecteur gaussien, on en déduit que a et : X ln b + X Comme E [X ], b. La condition E [ X ] implique que. On obtient donc le résultat suivant : ρ S, S Corréler parfaitement les mouvements browniens W t et W t dans le modèle Black-Scholes n est pas suffisant pour corréler parfaitement les prix des actifs S t et S t. Il faut aussi imposer que. Si et W t W t, on obtient alors que TR-GDR, page 484 : 3. On a : a On a TR-GDR, page 69 : ρ S, S < C X,X θc + θ C + F x, x θ max Φ x + Φ x + θ min Φ x, Φ x On en déduit que : E [X X ] x x df x, x θ + θ + On obtient donc : ρ X, X E [X X ] θ La corrélation linéaire de X et X est nulle lorsque : θ b Soient X N, et X N,. On a TR-GDR, page 84 : c On a : ρ X, X ρ µ + X, µ + X ρ X, X θ θ ρ X, X On calcule donc la corrélation empirique ˆρ et on en déduit que l estimateur des moments est TR-GDR, page 38 : ˆθ ˆρ 38

39 .6 La distribution exponentielle TR-GDR, page 548. D après la formule de Bayes, on a : Pr {τ > t τ > s} Pr {τ > t τ > s} Pr {τ > s} Pr {τ > t} Pr {τ > s} S t S s e λt e λs e λt s Pr {τ > t s} On dit que la distribution exponentielle possède la propriété d absence de mémoire TR-GDR, page 47. Pr {τ > t τ > s} Pr {τ > t s} Cela veut dire que la distribution de τ reste inchangée quelque soit la date d origine pour mesurer τ et n est pas influencée par le passé. Cette propriété est très intéressante dans la modélisation du risque de crédit car on utilise généralement la date présente pour mesurer τ. Si la propriété d absence de mémoire n est pas vérifiée, cela voudrait dire que modéliser le temps de défaut d une entreprise en octobre dépendrait par exemple de sa date de création. La propriété Markovienne de la distribution exponentielle permet ainsi d oublier tout ce qui s est passé avant octobre.. a On a : et : { Pr {min τ,..., τ n t} Pr τ t... } τ n t n Pr {τ i t} i e n i λit { Pr {max τ,..., τ n t} Pr τ t... } τ n t n Pr {τ i t} i n e λ i t On en déduit que TR-GDR, page 47 : n min τ,..., τ n E λ i b τ et τ i sont co-monotones si et seulement si TR-GDR, page 74 : i i U U i S τ S i τ i e λ τ e λ iτ i τ i λ λ i τ 39

40 Soit λ + max λ,..., λ n et λ min λ,..., λ n. On en déduit que : { Pr {min τ,..., τ n t} Pr min, },..., λ τ t λ λ λ n { } λ Pr λ + τ t } Pr {τ λ+ t λ λ exp λ + t λ exp λ + t et : { } λ Pr {max τ,..., τ n t} Pr λ τ t λ exp λ t λ exp λ t On obtient finalement que : min τ,..., τ n E λ + max τ,..., τ n E λ c On considère le cas n. On a : Pr {min τ, τ τ } Pr {τ τ } t λ λ + λ λ λ + λ λ e λ t λ e λ t dt dt t λ e λ t λ e λ t dt dt λ e λ t e λ t dt λ e λt dt λ e λ+λt dt Ce résultat se généralise facilement au cas n et on obtient : Pr {min τ,..., τ n τ i } λ i n j λ j 3. a Si la fonction de dépendance de τ, τ est C +, alors τ et τ sont co-monotones. En utilisant les résultats de la question b, on obtient : τ λ λ τ 4

41 b Si la fonction de dépendance de τ, τ est C, on a TR-GDR, page 74 : U U S τ S τ e λ τ e λ τ τ ln e λ τ Il existe bien une fonction f telle que τ f τ avec : f t ln e λ t c On sait que ρ [ρ min, ρ max ] avec ρ min et ρ max les coefficients de corrélation linéaire de τ, τ pour C C et C C + TR-GDR, page 83. On sait aussi que ρ resp. ρ si et seulement si il existe une fonction f linéaire croissante resp. décroissante telle que τ f τ TR-GDR, page 84. D après les résultats de la question 3a, on a τ f τ pour C C + avec : λ f t λ λ t λ f t λ λ > La fonction f t est linéaire et croissante, on en déduit que ρ max. D après les résultats de la question 3b, on a τ f τ pour C C avec : f t ln e λt λ f t λ e λt ln e λ t λ e λ < t La fonction f t est bien décroissante, mais elle n est pas linéaire. On en déduit donc que ρ min. On obtient finalement que : < ρ d Pour C C, on sait qu il existe une fonction décroissante f telle que TR-GDR, page 74 : X f X On sait aussi que ρ atteint sa borne basse si C C TR-GDR, page 84 et que ρ s il existe une fonction linéaire décroissante f telle que : X a + bx On doit donc vérifier que X a + bx avec b <. Dans le cas où X +, on obtient : X a + b } {{ } Comme X est borné par, on en déduit donc que : a + Si le support des variables aléatoires X et X est [, + ], il n existe donc pas de fonction linéaire décroissante f telle que X f X. On en déduit que la borne ρ ne peut pas être atteinte. 4