I. Deux chemins. II. Détente d un gaz parfait

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1 P.C.S.I. 2 Exercices sur le premier principe de thermodynamique I. Deux chemins On considère n = 0, 5 mol d un gaz parfait diatomique enfermé dans un cylindre subissant une transformation de l état 1: (P 1,T 1 = 287 K,V 1 = 5 L) à l état 2: (P 2,T 2 = 350 K,V 2 = 20 L). 1. Calculer P 1 et P 2. Représenter dans le diagramme de Clapeyron les états 1 et 2 et les isothermes de températures T 1 et T On envisage deux chemins : - chemin 1 > A > 2 composé d une transformation isochore suivie d une transformation isotherme - chemin 1 > B > 2 composé d une transformation isotherme suivie d une transformation isochore Ajouter les états A et B sur le diagramme de Clapeyron et calculer P A et P B. 3. Pour chacun des ces chemins, calculer U 12, W 12 et Q 12. Commenter les résultats. 4. On envisage maintenant une transformation adiabatique réversible du gaz de l état 1 à l état 3 de température T 3 = 400 K. Calculer V 3, P 3 et W 13. II. Détente d un gaz parfait Un gaz parfait de coefficient γ est contenu dans un cylindre fermé par un piston, l ensemble étant calorifugé. La pression extérieure est P 0. Dans l état initial, le pisotn est bloqué et le gaz est comprimé sous la pression P 1 > P 0, occupant le volume V 1 à la température T 1. On libère le piston et on laisse le système évoluer librement, on note P 2, V 2 et T 2, sa pression, son volume et sa température dans l état final. On pose x = P 0 P 1. Données pour les applications nuémriques : T 1 = 300 K, V 1 = 3 L, P 1 = 4 bar, le GP est monoatomique et x = 0,25. Pext=P0 Pext=P0 P1 V1 T1 P2 V2 T2 1. Exprimer T 2 en fonction de T 1, x et γ. AN. 2. Exprimer V 2 en fonction de V 1, x et γ. AN. 3. Calculer W 12 de deux façons différentes. AN. 4. Le gaz est à nouveau dans l état initial 1, on enlève la butée et on retient le piston pour qu il ait un mouvement lent. On note P 2, V 2 et T 2, sa pression, son volume et sa température dans l état final. 4.a. Exprimer T 2 en fonction de T 1, x et γ. AN. 4.b. Exprimer V 2 en fonction de V 1, x et γ. AN. 4.c. Calculer W 12. AN. 5. Représenter dans le diagramme de Clapeyron: les états 1, 2 et 2, les transformations 12 et 12 (si possible) et les travaux W 12 et W 12. Commenter. 1

2 III. Détente d un gaz parfait On considère une mole d un gaz parfait diatomique (γ = 1,4) contenue dans un récipient adiabatique A, le gaz est à la température T 1 = 350 K et à la pression P 1 = Pa. Cette enceinte communique au moyen d un robinet R avec une autre enceinte B adiabatique de volume variable, initialement nul. L une de ses parois est un piston de masse négligeable, mobile sans frottement. Au-dessus du piston règne en permanence une pression P 0 = 10 5 Pa. B P0 A 1. On ouvre le robinet R: 1.a. On laisse le piston évoluer librement. Calculer la température finale T 2 du gaz en fonction de T 1, P 0, P 1 et γ. Calculer le travail W b. On retient le piston de façon à ce qu il se déplace très lentement. Calculer la température finale T 3 du gaz en fonction de T 1, P 0, P 1 et γ. Calculer le travail W c. Représenter dans le diagramme de Clapeyron: les états 1, 2 et 3, les transformations 12 et 13 (si possible) et les travaux W 12 et W 13. Commenter. 2. Le système est dans l état 2. On porte la température de la totalité du gaz qui occupe les deux enceintes de T 2 = 300 K à T 4 = 400 K en le mettant en contact avec un thermostat de température T 4. Calculer le transfert thermique reçu par le gaz. IV. Résistance chauffante Un récipient aux parois rigides et calorifugées, contient deux GP diatomiques séparés par une paroi adiabatique pouvant se déplacer sans frottement. Les volumes occupés par chaque gaz A et B peuvent donc varier. Initialement les paramètres pour chacun des gaz sont : P i = 10 5 Pa, T i = 300 K et V i = 1 L. Un générateur électrique fournit de l énergie au gaz A par l intermédiaire d une résistance de valeur R 0 = 10 Ω et parcouru par un courant d intensité I = 1 A pendant une durée τ au cours de laquelle le volume du gaz A atteint la valeur V A = 1,4 L. L état final de cette évolution supposée réversible est défini par : V A, V B, T A, T B, P A et P B. paroi mobile I R0 gaz A gaz B 1. Calculer P A, P B, V A, V B, T A et T B. 2. Calculer τ. 3. Calculer le travail W B reçu par le gaz B. 4. On enlève la résistance chauffante et on remplace la paroi mobile adiabatique par une paroi mobile diathermane. Calculer V A, V B, T A, T B, P A et P B, les volumes, températures et pressions dans l état final. 2

3 V. Compression n = 0,2 mol de dioxygène assimilé à un GP sont enfermés dans un récipient aux parois diathermanes, fermé par un piston de masse m = 100 kg. La pression et la température de l atmosphère sont P 0 = 1 bar et T 0 = 290 K. La section du cylindre est S = 0,02 m 2. On prend R = 8,3 SI et g = 10 m.s 2. Dans l état initial, le gaz est à la pression P 1 = 0,3 bar. On note T 1 et V 1 sa température et son volume. Le piston est maintenu immobile par deux butées. P0=1 bar T0=290 K m P1 T1 V1 P0=1 bar T0=290 K m P2 T2 V2 1. Exprimer et calculer T 1 et V Quelle butée peut-on retirer sans que le piston ne se mette en mouvement? 3. Onretirelesdeuxbutées. Danslenouvelétatd équilibre,onnotep 2, T 2 etv 2, lapression,latempérature et le volume du gaz. 3.a. Exprimer et calculer P 2, T 2 et V 2. 3.b. Exprimer et calculer W 12, U 12 et Q Le gaz se trouve à nouveau dans l état d équilibre initial P 1, V 1, T 1. On retire les butées mais en agissant sur le piston pour qu il se déplace lentement. Dans le nouvel état d équilibre, on note P 3, T 3 et V 3, la pression, la température et le volume du gaz. 4.a. Exprimer et calculer P 3, T 3 et V 3. 4.b. Exprimer et calculer W 13, U 13 et Q Représenter dans le diagramme de Clapeyron, la transformation 13. Représenter W 12 et W 13. Les comparer et vérifier la cohérence avec les résultats précédents. VI. Equilibre d un piston Un cylindre horizontal est partagé en deux parties par un piston mobile sans frottement. Ces deux parties contiennent respectivement n 1 et n 2 moles d un gaz parfait monoatomique (γ = 5/3). Les parois et le piston sont diathermanes. Dans l état initial, le piston est maintenu en place par un opérateur, le cylindre est alors divisé en deux parties égales de même volume V 0 = L 0 S = 10 L et même température T 0 = 300 K. Les pressions sont P 1 = 2 atm et P 2 = 1 atm. 1. On lâche le piston. Déterminer : - le déplacement x du piston en fonction de L 0 (longueur initiale des compartiments) - la pression P qui règne dans les compartiments. Faire l application numérique. 2. Les parois et le piston sont maintenant calorifugés. Au moyen d une résistance R = 1 kω parcouru par un courant I = 0,4 A, on chauffe le compartiment 2 jusqu à ce que le piston revienne dans sa position initiale, le cylindre est alors divisé en deux parties égales de même volume V 0. 2.a. Caractériser la transformation subie par le gaz dans le compartiment 1. Calculer la pression P 1 et la température T 1 du gaz dans le compartiment 1. 2.b. En déduire la pression et la température T 2 dans le compartiment 2. 2.c. Calculer la variation d énergie interne de l ensemble En déduire le temps τ pendant lequel il aura fallu laisser le courant I circuler dans la résistance. 3

4 VII. Détente de Joule Thomson Dans tout le problème, le gaz naturel est assimilé à du méthane pur, de masse molaire M = 16 g.mol 1. Le méthaneestassimiléàungazdevanderwaalsdontl équationd étatpourunemoles écrit: P = RT V b a V 2 avec b = 4, m 3.mol 1, R = 8,31 SI, a = 0,232 Pa.m 6.mol 2. On adopte l expression approchée suivante pour l enthalpie molaire H du méthane : H = H 0 +(C V +R)T + (b 2a RT )P ou H 0 est une constante et C V = 27,0 J.K 1.mol 1 1. Décrire la détente de Joule-Kelvin et montrer qu elle est isenthalpique. 2. Montrer que dh = (C V +R)dT +(b 2a )dp (expression approchée). En déduire que la détente peut RT permettre de refroidir le fluide quelle que soit la valeur de la pression finale P 2, dès lors que la température initiale T 1 est inférieure à une température limite T L que l on exprimera en fonction de a, b et R. Calculer numériquement T L pour le méthane. 3. On réalise une détente du méthane et l on fixe la pression finale à P 2 = 1,2 bar. 3.a. Quel est l intérêt, en termes de sécurité de l installation de choisir P 2 légèrement supérieure à la pression atmosphérique? 3.b. Calculerla valeur qu il faut choisirpour la pressioninitiale P 1 si l on veut atteindre T 2 = 120K en partant de T 1 = 300 K. VIII. Cycle d un gaz parfait Une masse m = 15 g d air que l on assimile à un gaz parfait diatomique de coefficient γ = C P C V = 1,4 de masse molaire M = 29 g/mol. Depuis l état initial E 1 de température T 1 = 350 K et de pression P 1 = 1 bar, le gaz subit un cycle de transformations supposées quasi-statiques le menant aux états successifs E 2, E 3, E 4 et E 1 selon: E 1 > E 2 une compression isotherme, la pression final étant P 2 = 6P 1 E 2 > E 3 un échauffement isobare, la température finale étant T 3 = 1400 K E 3 > E 4 une détente adiabatique réversible E 4 > E 1 un refroidissement isobare On note R = 8,31 SI la constante des gaz parfaits. Les grandeurs P k, V k et T k, k étant un entier variant de 1 à 4, désignent respectivement les pression, volume et température de l état E k. 1. Représenter l allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron P en fonction de V. Préciser le sens de parcours sur le cycle. 2. Recopier le tableau suivant sur votre copie et le compléter en justifiant les réponses: état E 1 E 2 E 3 E 4 P (Pa) T (K) V (L) 3. Calculer littéralement et numériquement les travaux W 12, W 23, W 34 et W Calculer littéralement et numériquement les transferts thermiques Q 12, Q 23, Q 34 et Q Calculer W cycle et Q cycle et commenter les résultats obtenus. 4

5 IX. Cascade de refroidissement 1. Un gaz parfait monoatomique subit une compressionisotherme à la températuret 0 qui le fait passer de la pression P = 1 atm à la pression P = 100 atm. Il subit ensuite une détente adiabatique réversible qui le ramène à la pression P = 1 atm. Déterminer la température finale T 1 du gaz après cette double transformation en fonction de T 0. AN : caluler T 1 pour T 0 = 400 K 2. On recommence ensuite la meme suite de deux opérations : une transformation isotherme à la température T 1 de la pression P = 1 atm à la pression P = 100 atm suivie d une détente adiabatique réversible qui le ramène à la pression P = 1 atm. Déterminer littéralement et numériquement la température finale T 2 atteinte après ces deux transformations. Représenter l allure de l ensemble de ces transformations sur un diagramme de Clapeyron. 3. Trouverlaformulegénéralepermettantd exprimerlatempératuret n atteinteaprèsndoublesopérations successives, chacune de ces opérations étant, à partir de la température T n 1 précédemment atteinte, la suite d une compression isotherme de la pression P = 1 atm à la pression P = 100 atm suivie d une détente adiabatique réversible qui le ramène à la pression P = 1 atm. AN: calculer T n pour n = 3 et n = Quelles sont les variations d énergie interne U et d enthalpie H, et l énergie thermique Q 1 reçue par une mole de gaz au cours de la première transformation isotherme? puis au cours de la nième compression isotherme. AN: calculer Q n pour n = 1, n = 2 et n = Quel est le travail W 1 pour une mole de gaz au cours de la première transformation adiabatique réversible? quel est le travail W n pour une mole de gaz au cours de la nième transformation adiabatique réversible? AN : calculer W n pour n = 1 et n = 2. X. Transformation cyclique d un gaz parfait Une masse m = 5,6 g de diazote est contenue dans un cylindre fermé par un piston. Initialement le gaz est à la température T A = 300 K et il occupe un volume V A = 6 L. Le diazote sera considéré comme un gaz parfait diatomique pour lequel γ = 1,4. On rappelle que la masse molaire de l azote est M = 14 g/mol. Le gaz est comprimé de manière adiabatique et réversible jusqu à ce qu il occupe un volume V B = 1,2 L. Il est ensuite ramené au volume V C = V A = 6 L au cours d une transformation isotherme et réversible. 1. Calculer la température T B et la pression P B. 2. Calculer la température T C et la pression P C. 3. On laisse le gaz revenir à son tat initial A par une transformation CA réversible et isochore. (a) Représenter les transformations cycliques sur un diagramme de Clapeyron. (b) Déterminer le travail échangé par le gaz et le milieu extérieur au cours d un cycle. (c) Déterminer l énergie thermique échangée par le gaz et le milieu extrieur au cours d un cycle. 5

6 XI. Transformation monobare d un gaz parfait Une mole de gaz parfait diatomique est contenue dans un cylindre vertical calorifugé comportant un piston mobilesansmassecalorifugédesections = 0,01m 2 encontactavecuneatmosphèreàlapressionp 0 = 1bar. Dans l état initial, le gaz est à l équilibre et sa température est T 0 = 293 K. 1. On pose sur le piston une masse M = 110 kg et on laisse évoluer le système constitué par le gaz. Déterminer sa pression P 1, et sa température T 1 lorsqu on atteint un nouvel état d équilibre. 2. Les parois sont maintenant diathermanes. Calculer pression, volume et température dans l état final, ainsi que le travail et l énergie thermique reçus par le gaz après application de la masse M XII. Compression quasi-statique d un gaz parfait On enferme n moles d un gaz parfait monoatomique dans un cylindre vertical clos par un piston sans masse de section S. Le gaz occupe le volume V 0 à la pression P 0 et à la température T 0 (pression et température atmosphériques). On dépose progressivement sur le piston des petites masses jusqu à ce que leur somme soit égale à m. Les parois du cylindre et le piston conduisent la chaleur (ou sont diathermanes). 1. Quelle est la transformation subie par le gaz? 2. Déterminer l état final. Préciser la hauteur h 1 du piston en fonction de M, g, S, P 0 et h 0 sa hauteur initiale. 3. En déduire l énergie thermique reçue par le gaz au cours de cette transformation. Vérifier son signe. 4. Les parois du cylindre et le piston sont adiabatiques. Répondre aux mêmes questions. XIII. Cycle de Joule Un cycle de Joule d une mole de gaz parfait ABCDA correspond à deux adiabatiques réversibles AB et CD et deux isobares BC et DA. Ce cycle est moteur. Données : γ = 1,4, A (P 0 = 1 bar, T 0 = 280 K), B (P 1 = 10 bar, T 1 ), C (P 1, T 2 = 1000 K), D (P 0, T 3 ). 1. Calculer T 1 et T Représenter le cycle dans le diagramme de Clapeyron et prévoir le signe du travail total reçu par le gaz au cours d un cycle. 3. Calculer les travaux et les énergies thermiques reçus par le gaz pour chacune des tranformations de ce cycle. XIV. Détermination d un état final Une boite à parois adiabatiques est partagée en trois compartiments par deux pistons adiabatiques mobiles sans frottement. A l état initial, chacun des compartiments A, B et C contient une mole de GP monoatomique, avec le volume V 0, à la pression P 0 et à la température T 0. Une résistancer 0 = 500 Ω placée dans A fournit une énergie thermique Q au gaz contenu dans A. On admet que le déplacement des pistons est suffisamment lent pour que l on puisse considérer les transformations quasi-statiques. 1. Déterminer l état final de chacun des gaz : pression (pensez à appliquer le premier principe au système A+B+C), volume et température. AN : P 0 = 1 atm, T 0 = 300 K, Q = 3500 J, γ = 5/3. 2. La résistance est parcourue par un courant d intensité I 0 = 0,5 A pendant l intervalle de temps τ. Calculer τ. 3. Calculer le travail reçu par C. 6

7 XV. Cylindre divisé en deux compartiments Un cylindre horizontal fermé aux deux extrémités, de volume invariable, est séparé en deux parties par un piston mobile sans frottement. Dans l état initial les deux compartiments contiennent des volumes égaux d un même gaz parfait. On donne la section S = 100 cm 2 du cylindre, la longueur l = 20 cm de chaque compartiment, la température initiale T 0 = 273 K et la pression initiale P 0 = 1 atm des deux gaz. Leurs propriétés énergétiques sont caractérisées par la valeur de γ = 1,4. On fournit de l énergie thermique (notée Q d ) au gaz de droite, tandis que le gaz de gauche subit une transformation adiabatique. La suite des états du système est une suite d états d équilibre. 1. Calculer la température des deux gaz quand le piston s est déplacé d une longueur h = 5 cm. 2. Quelle est l énergie thermique fournie au gaz de droite? 3. Quel est le travail échangé par les deux gaz? 4. On supprime le chauffage et on remplace la paroi mobile adiabatique par une paroi mobile diathermane. Calculer les volumes, températures et pressions dans l état final. 7