Fonctions logarithmes 4ème Sc Techniques

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1 Fonctions logarithmes 4ème Sc Techniques Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé,,. Exercice 1 Soit la fonction définie sur 0,+ par : 1) a) Montrer que est continue à droite en 0 = ln > 0 et soit sa courbe représentative. b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement. 2) a) Dresser le tableau de variation de b) Etudier la branche infinie de. c) Construire la courbe. 3) Soit la restriction de à l intervalle 1,+ et soit sa fonction réciproque. a) Montrer que admet une fonction réciproque définie sur un intervalle que l on précisera. b) Etudier la dérivabilité de à droite en 1 4) Tracer la courbe de dans le même repère. 5) Soit la fonction h définie sur 0, + par : h =! ln. Calculer h et en déduire la primitive # de sur 0, + qui s annule en 1. Exercice 2 Soit la fonction définie sur 0,+ par = 1 +! 2! ln. 1) Calculer lim et montrer que lim =. 2) a) Montrer que pour tout 0,+ ; = 4 ln. 3) a) Montrer que l équation = 0 admet dans 0,+ une unique solution /. b) Vérifier que 1,8 < / < 1,9. c) Déduire le signe de g(x) sur 0,+. 4) On considère la fonction définie sur 0,+ par = 34 a) Calculer lim et montrer que lim = b) Montrer que est dérivable sur 0,+ et 0,+ ; = 7 c) Vérifier que / =!8 5 5) a) Etudier les variations de. b) Tracer la courbe de. Exercice Soit la fonction définie sur 0,+ par : =! 9:! > 0 et soit sa courbe représentative. 1) a) Montrer que est continue à droite en 0.

2 b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0. 2) Tracer ( unité graphique 4 ;< ). Exercice 4 I/ Soit la fonction définie sur 0, + par =! 2 + 2ln. 1) Etudier les variations de. 2) Montrer que l équation = 0 admet dans 0,+ une unique solution / et que 1,2 < / < 1,3. 3) En déduire le signe de, pour tout 0, +. II/ Soit la fonction définie sur 0, + par = ) Calculer lim et lim. 2) a) Montrer que pour tout 0,+ = 2 c) Montrer que / = 2/ 2! 8 3) a) Montrer que la = 2 est une asymptote à. b) Etudier la position de par rapport à. 4) Tracer et. 5) Déterminer la primitive # de sur 0,+ qui vérifie #1 = 1. Exercice 5 1) Soit la fonction définie sur 0,+ par = 1 + ln. a) Dresser le tableau de variation de b) Calculer A et déterminer le signe de pour tout 0,+. c) Déterminer la primitive B de sur 0,+ qui s annule en 1. 2) Soit la fonction définie sur 0,+ par : C = D E! +!! ln > 0. et soit sa courbe représentative. a) Montrer que est continue à droite en 0 b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement 3) a) Calculer lim, lim et lim b) Montrer que pour tout 0, + ; =. c) Dresser le tableau de variation de. et interpréter le résultats graphiquement 4) a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à au point G1, 1. b) Montrer que G est un point d inflexion de. 5) a) Déterminer l intersection de la courbe avec l axe des abscisses. b) Tracer H et.

3 6) Soit # la fonction définie sur 0,+ par # = I D ln DI D. Montrer que # est une primitive de Exercice 6 sur 0,+. Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte. 1) La fonction définie sur 0,+ par = ln est : a) croissante sur 0,+ b) décroissante sur 0, + c) n est pas monotone sur 0, ) lim a) 0 b) 2 c) 1 3) Une primitive sur R de la fonction 5 + a)! ln! + 1 b) ln! + 1 c) 2ln! + 1 est : 34!+E 4) lim L!+D 5 Exercice 7 a) M b) 1 c) + d) 1 Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte. 34N 1) lim ) OP4) a) N 34E+! 2) lim 3) lim b) + c)! d) 2 a) 2 b) 1 c) 0 d)+ R 34 Exercice 8 a) 4 b) 1 c) + d) 0 1) Soit la fonction définie sur 0,+ par = 1 + D+D34 a) Calculer lim ; lim et interpréter les résultats graphiquement. b) Montrer que pour tout 0, + = D34 5 2) a) Montrer que l équation = 0 admet dans 0,+ une unique solution / et que 0,32 < / < 0.,34. b) En déduire le signe de sur 0,+. 3) Tracer. Exercice 9 Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte. 1) lim 5 34

4 a) 0 2) L ensemble des solutions de l inéquation : ln 3 1 ln6 est : a) 3, 3 3) Si D b) 1 b),3 alors une primitive # de sur W, X est : D a) # ln3 1 b) # 3ln3 1 c) # D c) c) 0,3 ln3 1 Exercice 10 On donne ci-dessous deux courbes et! l une d une fonction définies et dérivables sur 0,. et l autre de sa fonction dérivée Y Z Y [ 1) Par lecture graphique déterminerr la courbe de et celle de. 2) a) Déterminer lim et lim b) Déterminer 1 et 1. 3) On suppose que S T a) Montrer pour tout 0, ; S 34 b) En utilisant ce qui précède déterminer S et T. 4) Dresser le tableau de variation de. 5) a) Montrer que réalise une bijection de 0, sur un intervalle que l on précisera. b) Tracer la courbe de réciproque de Exercice 11 Le tableau ci-dessous représente les variations d une fonction définie sur 0,. 0 A 0 0 U! 34 pour tout 0,. 5 dans le même repère.

5 On suppose que la courbe représentative passe par le point G1,1 et que la tangente à en G est la droite H =. 1) a) Déterminer lim. b) Déterminer 1 et 1. 2) Dans la suite de l exercice on suppose que la fonction est définie par : =! 1 ln > 0 a) Montrer que est continue à droite en 0. b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement. 3) a) Montrer que admet une branche parabolique au voisinage de + que l on précisera. d) Déterminer les coordonnées des points d intersection de et l axe des abscisses. 4) Tracer H et. Exercice 12 Soit la fonction définie sur 0,+ par : =! 2ln. 1) a) Dresser le tableau de variations de. b) En déduire le signe de sur 0,+. 2) Soit la fonction définie sur 0,+ par : =! a) Dresser le tableau de variation de. b) Montrer que la droite =! est une asymptote à. 3) Montrer qu il existe un point G, et un seul, de la courbe où la tangente H est parallèle à ]. Préciser les coordonnées de G. 4) Montrer que l équation = 0 admet une unique solution / et que 0,34 < / < 0,35. 5) Tracer, ] et H. Exercice 13 Soit la fonction définie sur R + par : 1) a) Montrer que est continue à droite en 0. = 1 + ln > 0 et soit 0 = 1 sa courbe représentative. b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement. 2) Ecrire une équation de la tangente H à au point d abscisse 1. 3) a) Soit la fonction h définie sur 0,+ par h =. b) Etudier le sens de variation de h. c) En déduire la position de par rapport à H. 4) Etudier la branche infinie de au voisinage de +. 5) Construire H et ( unité graphique 2 ;< ).

6 Exercice 14 I/ Le tableau ci-dessous représente les variations d une fonction définie sur 0,+ par : = 1! ln 0 + 1) Compléter le tableau de variation de. 2) Calculer 1 et déterminer le signe de. II/ On considère la fonction définie sur 0,+ par = ) a) Montrer que est dérivable sur 0, + et que pour tout 0,+ ; = 7 5 2) a) Montrer que admet une asymptote = au voisinage de +. b) Etudier la position relative de et. 3) Tracer et. Exercice 15 Soit la fonction définie sur 0,+ par = 1 + ln 1) a) Montrer que pour tout 0,+ ; _ = 5 2) a) Calculer lim et interpréter graphiquement le résultat. b) Montrer que le point ` d abscisse 2 est un point d inflexion de. c) Ecrire une équation de la tangente H au point ` d) Tracer H et. 3) Soit la restriction de à l intervalle 1,+ a) Montrer que admet une fonction réciproque définie sur un intervalle que l on précisera. b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0. c) Tracer la courbe de dans le même repère. Exercice 16 A) Soit a la fonction définie sur 1,+ par : a = + ln 1. 1) a) Montrer que a est dérivable sur 1,+ et que 1,+ ; a =! 5 b) Déterminer lim * a et lim a. c) Dresser le tableau de variation de a et en déduire que 1,+ ; a > 0.

7 B) Soit la fonction définie sur 1,+ par : = ln 1 1) a) Montrer que est dérivable sur 1,+ et que 1,+ : = a. 2) a) Montrer que le point `2, 0 est un point d inflexion de. b) Donner une équation cartésienne de la tangente à au point `. c) Déterminer l intersection de avec la droite = et étudier les positions relatives de et ]. d) Construire (on précisera la nature de la branche infinie au voisinage de + ) 3) a) Montrer que est une bijection de 1,+ sur R. b) Montrer que la fonction réciproque de est dérivable sur R et calculer _ 1 + A. c) Tracer dans le même repère la courbe représentative de. 4) Soit h la fonction définie sur 1, + par : h =! ln 1. a) Calculer h pour > 1. b) Vérifier que > 1 ; 5 = c) Déduire alors une primitive de sur 1,+.