BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION ÉPREUVE BLANCHE MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU VENDREDI 29 JANVIER 2016

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION ÉPREUVE BLANCHE MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU VENDREDI 29 JANVIER 2016 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. spécialité Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 5 pages, numérotées de 1 / 5 à 5 / 5. Page 1 / 5

2 Exercice 1 Exercice commun à tous les candidats. 5 points 1. Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équation (E) d inconnue z : z 2 8z + 64 = 0. ( Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct O, u, ) v. 2. On considère les points A, B et C d affixes respectives a = 4 + 4i 3, b = 4 4i 3 et c = 8i. a. Calculer le module et un argument du nombre a. b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b. c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon. ( d. Placer les points A, B et C dans le repère O, u, ) v. Pour la suite de l exercice, on pourra s aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l avancement des questions. 3. On considère les points A, B et C d affixes respectives a = ae i π 3, b = be i π 3 et c = ce i π 3. a. Montrer que b = 8. b. Calculer le module et un argument du nombre a. Pour la suite on admet que a = 4 + 4i 3 et c = i. 4. On admet que si M et N sont deux points du plan d affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe m + n et la longueur M N est égale à n m. 2 a. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A B], [B C] et [C A]. Calculer r et s. On admet que t = i ( ). b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST? Justifier ce résultat. Page 2 / 5

3 Exercice 2 Exercice commun à tous les candidats. 5 points Soit f la fonction dérivable, définie sur l intervalle ]0 ; + [ par 1. Étude d une fonction auxiliaire f (x) = e x + 1 x. a. Soit la fonction g dérivable, définie sur [0 ; + [ par g (x) = x 2 e x 1. Étudier le sens de variation de la fonction g. b. Démontrer qu il existe un unique réel a appartenant à [0 ; + [ tel que g (a) = 0. Donner un encadrement de a d amplitude c. Déterminer le signe de g (x) sur [0 ; + [. 2. Étude de la fonction f a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +. b. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle ]0 ; + [. Démontrer que pour tout réel strictement positif x, f (x) = g (x) x 2. c. En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur l intervalle ]0 ; + [. d. Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel m = 1 a a. e. Justifier que 3,43 < m < 3,45. Page 3 / 5

4 Exercice 3 Exercice commun à tous les candidats. 5 points On considère la suite (u n ) définie par 1. Calculer u 1 et u 2. u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n,u n+1 = u n + 2n On considère les deux algorithmes suivants : Algorithme 1 Algorithme 2 Variables : n est un entier naturel Variables : n est un entier naturel u est un réel u est un réel Entrée : Saisir la valeur de n Entrée : Saisir la valeur de n Traitement : u prend la valeur 0 Traitement : u prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à n : Pour i allant de 0 à n 1 : u prend la valeur u + 2i + 2 u prend la valeur u + 2i + 2 Fin Pour Fin Pour Sortie : Afficher u Sortie : Afficher u De ces deux algorithmes, lequel permet d afficher en sortie la valeur de u n, la valeur de l entier naturel n étant entrée par l utilisateur? 3. À l aide de l algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u n en ordonnée. n u n a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u n )? Démontrer cette conjecture. b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l existence de trois réels a,b et c tels que, pour tout entier naturel n, u n = an 2 + bn + c. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l aide des informations fournies. 4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v n ) par : v n = u n+1 u n. a. Exprimer v n en fonction de l entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (v n )? n b. On définit, pour tout entier naturel n, S n = v k = v 0 + v v n. k=0 Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = (n + 1)(n + 2). c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = u n+1 u 0, puis exprimer u n en fonction de n. Page 4 / 5

5 Exercice 4 Candidats ayant choisi l enseignement de spécialité. 5 points Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante Partie A Pour deux entiers naturels non nuls a et b, on note r (a, b) le reste dans la division euclidienne de a par b. On considère l algorithme suivant : Variables : c est un entier naturel a et b sont des entiers naturels non nuls Entrées : Demander a Demander b Traitement : Affecter à c le nombre r (a, b) Tant que c 0 Affecter à a le nombre b Affecter à b la valeur de c Affecter à c le nombre r (a, b) Fin Tant que Sortie : Afficher b 1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 26 et b = 9 en indiquant les valeurs de a, b et c à chaque étape. 2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls a et b. Le modifier pour qu il indique si deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux ou non. Partie B À chaque lettre de l alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape 1 : on choisit deux entiers naturels p et q compris entre 0 et 25. Étape 2 : à la lettre que l on veut coder, on associe l entier x correspondant dans le tableau ci-dessus. Étape 3 : on calcule l entier x défini par les relations x px + q [26] et 0 x 25. Étape 4 : à l entier x, on associe la lettre correspondante dans le tableau. 1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2. a. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. b. Citer le théorème qui permet d affirmer l existence de deux entiers relatifs u et v tels que 9u+26v = 1. Donner sans justifier un couple (u, v) qui convient. c. Démontrer que x 9x + 2 [26] équivaut à x 3x + 20 [26]. d. Décoder la lettre R. 2. Dans cette question, on choisit q = 2 et p est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de p (on admettra que p est unique). 3. Dans cette question, on choisit p = 13 et q = 2. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage? Page 5 / 5