Mat 805 : Compléments de mathématiques

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1 Ma 85 : Complémens de mahémaiques Michel Beaudin michelbeaudin@esmlca Version du -9-7 Résumé Marices e ssèmes d équaions différenielles linéaires Sabilié, ssèmes linéaires e quasi-linéaires Inroducion Mahémaiquemen parlan, il es inéressan de se demander si l on peu généraliser aux ssèmes d équaions différenielles le résula selon lequel la soluion unique à l équaion différenielle scalaire d = a, bg = a es ( ) = eb g Soi donc A une marice carrée d ordre n consane, donc A = a ij où a ij R pour i, j n Soi ( ) = ( ) ( ) ( ) une marice n (veceurcolonne) différeniable Soi une marice n consane Si l on considère le ssème d équaions différenielles du premier ordre linéaire suivan () d = A n avec la condiion iniiale bg =, il faudrai donc savoir ce que signifie e A Remarque Comme dans Kreszig, nous emploierons, dans ce exe, des caracères gras (non en ialique) pour les marices (e les veceurs) Ainsi, I désignera la marice idenié (l ordre sera oujours clair), désignera la marice ideniquemen nulle (ou un veceur ideniquemen nul) Si M() es une marice de la variable réelle, alors on dérive M() simplemen en dérivan chacune des enrées de M Définiions Soi une marice carrée A = a ij d ordre n Elle es die diagonale si oues ses enrées, sauf possiblemen celles de sa diagonale principale, son nulles (la diagonale principale es consiuée des élémens de la forme a ii, i =,,, n) a ransposée de A, noée A, es la marice obenue de A en inerverissan lignes e colonnes (concep défini même si A n es pas carrée) Donc A = bij où bij = a ji, i, j n (n monre alors que babg = B A pour oues marices A e B don le produi AB es défini) 6

2 En pariculier, si A = A, on di que A es smérique e si A = A, on di que A es anismérique Dans le cas où A adme des enrées complexes, on défini A comme hermiienne si A = A 4 a marice A es die orhogonale si ses colonnes, considérées comme des veceurs de R n, son de norme (longueur) e deux à deux perpendiculaires Ainsi A es orhogonale si e seulemen si A = A Dans le cas complexe où A = A, on di que A es uniaire Exemples: es marices suivanes son orhogonales : cosθ sinθ R ( θ) = (θ réel) Il s agi d une marice de roaion dans le plan puisque sinθ cosθ a R( θ) b Q P = a cosθ bsinθ a sinθ + b cosθ ce qui a le même effe que le produi du nombre complexe e iθ avec a + bi :, A = bcosθ + i sinθgba + big = a cosθ bsinθ + iba sinθ + b cosθg es aussi orhogonale comme on peu le vérifier 4 Exemple a forme quadraique (courbe conique dans le plan) 5x 6xx + 5x 8 = peu se réprésener par le produi mariciel suivan : Posons x = N M x Q P 5 x x x 8 5 N M x Q P = 5 e A = Ainsi, on a x Ax = 8 Pour bien «voir» cee courbe, x 5 uilisons le changemen de variable suivan (don la provenance sera claire bienô) : soi = N M Q P = Q x où Q = n voi que Q es orhogonale (un el choix es oujours possible pour une marice smérique d après le héorème 8 à venir) Ainsi 6

3 x Ax = ( Q) A( Q) = Q AQ = + 8 = 8 e donc nore courbe es une ellipse de demi-axes e, cenrée à l origine e aan subi une roaion de 45 dans le sens direc : Valeurs propres e veceurs propres de marices : diagonalisaion Revenons à () e cherchons une soluion de la forme x( ) = e λ v où v es une marice n (veceur-colonne) non ideniquemen nul (on veu aure chose que la soluion die riviale!) Alors en poran dans (), on doi avoir = d où Av = λ v d où A λi v = λ λ e e λ v A v b g Puisque v es non-nul, cela signifie que la marice A λ I n es pas inversible, donc son déerminan qui es un polnôme de degré n di polnôme caracérisique de A doi êre nul Cela amène la définiion suivane 5 Définiions Soi A es une marice carrée d ordre n 5 es nombres (réels e/ou complexes, possiblemen répéés) λ els que A λi = son appelées les valeurs propres de A e les veceurs v non nuls correspondans son dis veceurs propres équaion A λi = es die équaion caracérisique n remarque que si v es un veceur propre associé à λ, alors cv (c ) es aussi un veceur-propre associé à λ ensemble des veceurs propres consiue un espace vecoriel appelé espace propre associé à la valeur propre 5 a marice A es die diagonalisable si l on peu rouver une marice inversible P elle que où D es diagonale P AP = D 5 a muliplicié algébrique d une valeur propre λ es l ordre du zéro λ dans l équaion caracérisique a dimension de l espace-propre associé à λ es di muliplicié géomérique de λ (donc n r, où r es le rang de la marice échelonnée-réduie A λi) Un résula di que la 6

4 dimension de l espace propre associé à une valeur propre de muliplicié (algébrique) k es au plus k 6 Remarque Une marice A es diagonalisable si (e seulemen si) l on peu rouver n veceurs propres de A qui son linéairemen indépendans En effe, soi P la marice don les colonnes son précisémen ces veceurs propres, disons P = x x x n où x i = xi x i x es le veceur propre associé à la valeur propre λ in i (i =,,, n) Alors P es inversible à cause de l indépendance linéaire de ses colonnes e puisque Ax = λ x, on a AP = b n i i i PD où D = diag λ, λ,, λg Une condiion suffisane (mais non nécessaire : voir exemple 7 plus loin) pour que A soi diagonalisable es qu elle admee n valeurs propres réelles, à disinces En effe, monrons qu à des valeurs propres disinces corresponden des veceurs propres indépendans Soien λ, λ,, λ k k valeurs propres réelles deux à deux disinces associées aux veceurs propres x, x,, x k respecivemen Supposons quand même que l ensemble lx, x,, x k q soi linéairemen dépendan Soi r le plus grand enier el que l ensemble lx, x,, x r q soi linéairemen indépendan Alors r < k e l ensemble lx, x,, x r+ qes linéairemen dépendan Cela signifie qu il exise des scalaires r+ c, c,, c r+ non ous nuls els que c i x i = r+ c i λ ixi = i= D où r+ i= r+ Alors, puisque Axi = λ ixi (i =,,, r), on a r b g l = λ x λ + x = λ λ r ci i ci i i ci i r+ xi i= i= i= ce qui implique que, à cause de l indépendance linéaire de x, x,, x r q e du fai que les valeurs propres son oues disinces, c = c = = c r = Mais alors c r+ x r+ =, d où c r+ = (car un veceur propre n es pas nul) e on a obenu une conradicion 7 Exemples 7 Soi la marice A = de( A λi) = ( λ 8) ( λ 4) n rouve facilemen que En appliquan l algorihme de Gauss-Jordan ( ) à la marice A 8I, on rouve (heureusemen) un rang de, donc variables libres : Ainsi, v =, v = son veceurs propres (lin ind) associés à la valeur propre 8 E pour 4, on obien un rang de, donc une variable libre 64

5 e v = on vérifie facilemen que 7 Soi la marice A = qu on peu diagonaliser A fai l affaire Alors si P Q P P =, P AP = D = n verra que les valeurs propres son,, e 5 e donc 7 Pour une marice, le polnôme caracérisique dépendra du discriminan e donc, si l on ne rouve qu une valeur propre réelle ou deux valeurs propres complexes conjuguées, la marice ne sera pas diagonalisable C es le cas avec les marices A = 7 e B = En effe, on a de(a λi) = ( λ 4) andis que de(b λi) = λ λ + 4 = ( λ 5) + 4 Dans ce dernier cas, si l on choisi la valeur propre don la parie imaginaire es posiive e si l on rédui la marice B (5 + 4i)I, on rouve B ( 5 + 4i) I = Donc, on peu choisir le veceur propre (complexe) x = 5 4 alors P BP = 4 5 Q P 4i 5 i 4 4i + i = N M Q P + N M Q P = + i, si P = N M Q P, + i x = i u v Remarquons que si 65

6 Revenons à A = 7 En réduisan A 4I, on rouve, donc on ne peu rouver qu un seul veceur propre associé à la valeur propre double 4, disons v = Cherchons ouefois un «veceur propre généralisé», ie un veceur v el que ( A 4I) v = v mais ( A 4I) v = En réduisan la marice augmenée, nous avons d où l on peu prendre v = Alors, si P =, on a 4 P AP = = I N Cee dernière marice n es pas diagonale mais «simple» dans le sens que N = N M Q P marice nilpoene d ordre ( N = ) es une Voici pourquoi les marices smériques occupen une place si pariculière : 8 héorème Dans le cas d une marice smérique A d ordre n, a) les valeurs propres son oues réelles, b) les veceurs propres associés à des valeurs propres disinces son orhogonaux, c) l espace propre associé à une valeur propre de muliplicié k es de dimension k Donc, «une marice smérique es orhogonalemen diagonalisable» Preuve : a) supposons que λ = a + bi soi une valeur propre de A e monrons que b = a marice A λi n es pas inversible e il en es de même de la marice B, définie par b gd i b g B = A λi A λi = A ai + b I, car de(mn) = de(m)de(n) n peu donc rouver un veceur colonne non rivial el que B = Mais alors, puisque A ai es aussi smérique, on a, posan z = ( A a I), ( ) ( ) ( ) = B = A ai + b = ( A ai) ( A ai) + b =z z + b e comme z z e >, on doi avoir b =, donc b = 66

7 b) Soien λ, λ deux valeurs propres disinces de A, associées respecivemen aux veceurs propres x, x Alors puisque A es smérique, on a b g c h b g λ λ x x = λ x x λ x x = λ x x x λ x = Ax x x Ax = x A x x Ax = c) Il fau démonrer le processus d orhogonalisaion de Gram-Schmi qui di que oue base d un sous-espace S de R n peu êre remplacée par une base orhonormée (ie don les veceurs son à perpendiculaires e de longueur ) Voici l idée de la preuve : soi m n e soi lx, x,, x m q es une base de S Ici les x i son des veceurs-colonnes e uilisons la noaion habiuelle pour désigner le produi scalaire n pose = x = x x x x x = KJ m = x m m I KJ I x m m m l I I KJ m KJ x n vérifie facilemen que les élémens,,, m qson orhogonaux (perpendiculaires) à e donc indépendans n obien une base orhonormée en normalisan les veceurs, donc on i remplace i par (i =,,, m) Mais alors, éan donnée une marice smérique A, on i rouve oues ses valeurs propres (qui son réelles), pour chaque valeur propre λ de A, on rouve une base orhonormée de l espace propre ; si λ es de muliplicié k, cee base coniendra k élémens e polnôme caracérisique de A éan de degré n, on obiendra de cee façon n veceurs-colonnes que l on placera côe-à-côe pour obenir la marice orhogonale Q 9 Exemple n pourra vérifier qu en appliquan Gram-Schmi à la base de R donnée par les colonnes de la marice A suivane A = on obien celle de l exemple a «facorisaion QR» du ssème smbolique porable I- Nspire CAS confirme cela (Q es uniaire, R es riangulaire supérieure e A = QR) : m I KJ 67

8 Soluion d un ssème d ÉD linéaires du premier ordre à coefficiens consans Marices fondamenales Nous coninuons avec un exemple provenan de problèmes de réservoirs Exemple Imaginons réservoirs,, forman un ssème fermé dans le sens que es relié à qui es relié à qui es relié à Soi donc un cerain ssème d équaions différenielles comme le suivan : ou bien d = A avec ( ) = ( ) ( ) ( ) d = + d = 4 d = 4 e A = 4 4 En résolvan le ssème ci-hau, nous rouverions la quanié de sel au emps dans chacun des réservoirs Mais l analse maricielle laisse déjà présager que les poins saionnaires du ssème, c es-à-dire les soluions x à Ax = son, oure la soluion riviale (ce qui signifie que ous les 68

9 réservoirs éaien vides dès le dépar), les veceurs du pe c, c, c En effe, A n es pas inversible (de(a) = comme on peu le vérifier) e donc λ = es une valeur propre de A, don un veceur propre associé es de la forme c, c, c n peu monrer que les aures valeurs propres son les nombres complexes conjugués 4 ± i e qu alors la soluion es donnée par ( ) ( ) (( ) ( ) ) 4 = + ( ) c e c cos( ) c sin( ) 4 = + + ( ) c e c sin( ) c cos( ) 4 = ( ) c e c c cos( ) c c sin( ) n remarque que ( ) + ( ) + ( ) 5c (la quanié oale de sel dans les réservoirs es consane dans le emps puisque c es un ssème fermé) e que lim ( ) = c, lim ( ) = c e lim ( ) = c Ainsi, la quanié de sel dans chaque réservoir end à se sabiliser Si nous choisissons l exemple où () = 5, () = () =, alors nous obenons c =, c = e c = e les graphiques suivans : 69

10 Définiions Soi A es une marice carrée d ordre n n n Posons A = a ij n peu vérifier que cela défini une norme sur l espace i= j= (vecoriel) des marices e qu alors AB posiif k, on a A k A k A B si B es aussi d ordre n Ainsi, pour ou enier e donc le crière de comparaison des séries perme de dire que la série A k converge absolumen k k! = C es ce qu on appelle l exponenielle de la marice A, noée e A : e A k A = k! k = Exemples Cee définiion n es commode que dans cerains cas! Voici cerains cas où il n a pas de problèmes pour rouver e A Si A es diagonale, disons A = diag λ, λ,, λ b n g, alors e A = diag ce λ, e λ,, e h λ n Si A es nilpoene, ie si, à parir d une ceraine puissance k, A k =, alors la série sera finie Si A es diagonalisable, alors le héorème a) suivan qui sui nous di que e A es facilemen calculable héorème Soien P, S e des marices carrées d ordre n Alors a) Si Q = PP Q, alors e = Pe P S+ S b) Si S = S, alors e = e e S c) e = e S c h d) Si n = e = a b b a, alors e e cosb sinb a = sinb cosb a b Donc : b a a cosb sin b e = e sin b cos b Preuve : si k es un enier posiif, l associaivié du produi mariciel perme d écrire que c hc h c h k k Q = PP PP PP = P P 7

11 e le résula a) sui Pour b), on doi uiliser le résula sur les séries qui di que si n= b n convergen absolumen, alors la série-produi (de Cauch) n= c n où c n = n i= a b i ni a n n= e converge aussi absolumen Mais alors, par la formule du binôme de Newon e le fai que les marices commuen, on a e e n n n S S ( S + ) = n! n! i!( n i)! n! i n i n S S+ = H G I K J H G I K J = n= n= n= i= n= En posan = S, c) s obien de b) inalemen, si z es le nombre complexe z = a + bi, alors la formule d Euler donne e a+ ib = e a e ib = e a (cosb + i sin b) e la correspondance (bijecion) suivane donne alors e a b = e b a a cosb sinb sinb cosb a + ib a b b a = e 4 Exemples 4 Soi A = elle que n a rouvé à l exemple 7 une marice inversible P = P AP = 8 8 Mais alors on obien que e + e e e e e A e e e + e e e e = ( R) e e e e e + e 4 4 M 4 7

12 4 Soi B = (voir l exemple 7) Alors cos4 sin 4 e A = Pe P sin 4 cos4 5 E si l on prend (oujours à l exemple 7) la marice A = A = PDP, où D n es pas «diagonale» mais D = 4 4 = I + N = N M P = e 4 4 7, on a rouvé que = 4I + N Puisque I e N commuen D e que N es nilpoene d indice, on a e e ( ) e Mais alors A 4 4 e = e P N M + 4 Soi A = ( ) Alors on rouve facilemen les valeurs propres, ± i puisque de( A λi) = λ λ + n calcule la marice réduie-échelonnée correspondan à la valeur propre : A I = v = n calcule la marice réduie-échelonnée correspondan à la valeur propre complexe i : + i i A i I + i w = i = u + iv Soi donc où P = Alors P AP = e e d) donnen, puisque e =, 7

13 e finalemen, A e = P cos sin sin cos ( ) ( ) ( ) ( ) A e = + cos( ) cos( ) + sin ( ) + sin ( ) cos( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos sin cos sin cos sin + cos P n remarque que les dernières marices saisfon le problème dx = AX, X ( ) = I Ce n es pas un hasard 5 héorème a foncion e A es dérivable pour ou e d e = A e = e A A A A Preuve : d ( + h) A A ha e A e e A e I = lim = e lim puisque A e ha commuen En coninuan, h h h h on a k ( ha) d k k e A e A k k A h AI =! A A = lim = e A + lim = e A + = e A h h h k = k! KJ b g E A commuan avec chaque erme de la série, on a l aure égalié 6 héorème e ssème d équaions différenielles linéaires du premier ordre à coefficiens consans avec condiion iniiale d () = A, bg = adme la soluion unique A () ( ) = eb g e cee soluion es définie pour ou R Si g() es coninue sur R (ou sur un inervalle conenan le poin ), alors le problème (nonhomogène) 7

14 bg (4) d = A + g ( ), = adme la soluion unique z A A As (5) ( ) = e e + e g ( s) ds I KJ ou, si l on préfère uiliser une quelconque marice fondamenale M() : ( ) = M( ) M ( ) + M ( s) g ( s) ds Preuve : remarquons que (5) se rédui à () lorsque g Il suffi donc de prouver (5) (évidemmen, quelqu un qui aurai prouvé () obiendrai (5) par la méhode de variaion des paramères) Monrons que (5) es bien une soluion de (4) n a A A As A A bg = e e + e g s ds e ce h z KJ = ( ) + = e, en dérivan (5) e appliquan le deuxième héorème fondamenal du calcul inégral, on a d M N I P KJ Q z z d s s e A e A ( ) = + e A g ( s) ds Ae A e A e A g ( s) ds e A e A g( ) A( ) g( ) M P = + KJ + = + Il rese à démonrer l unicié Soi z() une aure soluion de (4) e soi () donnée par (5) A Posons w( ) = e z( ) n a d d w( ) = Ae A z( ) + e A z( ) = e A g( ) As A As d où w( ) wbg = e g ( s) ds e donc w( ) e e g ( s) ds z A Mais alors z( ) = e w( ) = ( ) I = + I 7 Définiion Une marice carrée M() es appelée une marice fondamenale ou une base du ssème () si ses colonnes formen un ensemble de n soluions linéairemen indépendanes de () Donc, en dénoan les colonnes de M() par x (), x (),, x n (), cela signifie deux choses : 74

15 dx i n = Ax i ( i =,,, n) e c i x i = c = c = = c n = i= e héorème suivan es uile pour vérifier si un ensemble de soluions de () forme une base n peu même le formuler pour des marices A non consanes : 8 héorème Soi P( ) = p ( ) une marice carrée coninue sur un cerain inervalle ouver I ij e soi ( ) = ( ) ( ) ( ) Considérons le ssème linéaire n (6) d = P( ) Soien x (), x (),, x n () n soluions de (6) sur I Ici, x i ( ) = xi( ) xi ( ) xin ( ) pour i =,,, n Posons le déerminan suivan (appelé wronskien des soluions x (), x (),, x n ()) : W = de N M x ( ) x ( ) x ( ) n x ( ) x ( ) x ( ) n x ( ) x ( ) x ( ) n n nn Alors : a) Si x, x,, x n son linéairemen dépendanes sur I, W = en ou poin de I ; b) Si x, x,, x n son linéairemen indépendanes sur I, alors W en ou poin de I Preuve : a) supposons que x, x,, x n son linéairemen dépendanes sur I Donc, il exise des n scalaires non ous nuls c, c,, c n els que cix i ( ) = e donc W es forcémen ideniquemen i= nul b) supposons que x, x,, x n son linéairemen indépendanes sur I mais qu il exise un poin de I el que W = en ce poin Alors il exise des consanes c, c,, c n non oues nulles elles que bg bg Avec ce choix de consanes, soi la foncion bg I Q P KJ c x + c x + + c x = n n f ( ) = cx ( ) + cx ( ) + + cnxn ( ) Cee foncion saisfai (6) puisque combinaison linéaire des x i e fbg = Par le héorème d exisence e d unicié (héorème 9, résumé ), on a f ( ) = pour ou Conradicion 75

16 9 Remarque Si nous nous resreignons au cas où P = A es consane (donc (6) es ()) e (au cas facile mais non oujours réalisé!) où les n soluions de () son de la forme x = v e, x = v e,, x = v e λ λ λ n n n avec v i n veceurs propres indépendans de A, alors on a GM H v e v e v e λ λ λ n n λ λ λ n ve ve vne n W = e M G P J = λ + + λ de de( P) λ λ λ n v e v e v e n n où P = v v v n E puisqu une exponenielle n es jamais nulle e que P es inversible (colonnes linéairemen indépendanes), le héorème 8b) es redémonré Exemple Revenons à l équaion linéaire d ordre, homogène (voir résumé, équaion (9)) n sai que la soluion de (*) + p( x) + q( x) = es ( x) = c ( x) + c ( x) lorsque, son soluions de (*) elles que nn I P J K ( x) ( x) W, ( x) = ( x) ( x) Cela peu êre reconfirmé en plongean (*) en un ssème du premier ordre en posan = z, d où = z Ainsi, (*) es équivalene au ssème du premier ordre = z q( x) p( x) N M Q P z héorème Commen calculer e A n peu procéder comme sui : e A = M( ) M ( ) où M es une quelconque marice fondamenale de () u encore, par ransformée de aplace inverse : b g A e = si A Preuve : remarquons que e A es aussi une marice fondamenale de (), par les héorèmes 5 e c) Soien M() e N() deux marices fondamenales de () Alors il exise une marice consane C elle que M() = N()C En pariculier, en prenan N() = e A, on a 76

17 e A = M( ) C A Mais, M( ) = e C = IC = C, d où le résula inalemen, appliquons la méhode des ransformées de aplace au ssème linéaire à coefficiens consans suivan, où X es une marice d ordre n, ssème don la soluion unique es évidemmen e A dx = AX, X() = I Soi X( s) X( ) Alors, on a sx( s) I = AX( s) puisque A es consane Donc, on a ( si A) X( s) = I, d où X( s) = si A Exemples Résolvons le ssème n a donc ici = + = N M x ( ) Ax( ) g ( ), x( ) Q P monre que M( ) = N M e e Q P b g b g e ainsi X( ) = s I A R S e x = x x +, x = + ( ) e x = x x +, x = + ( ), A =, g e ( ) = + N M Q P Un calcul simple es une marice fondamenale du ssème (en effe, les valeurs propres de A son e e des veceurs propres associés son e respecivemen) Mais alors le héorème 6 donne x( ) = M( ) M ( ) N M M ( s) g ( s) ds Q P + z I KJ Ce calcul peu êre effecué par une calcularice smbolique ou un quelconque logiciel de calcul smbolique e peu même êre auomaisé dans une procédure qu on peu facilemen programmer 77

18 a méhode des ransformées de aplace es for rapide pour calculer l exponenielle d une marice En effe, reprenons l exemple 4 où l on avai la marice A = Alors on a : e la ransformée de aplace inverse de chacune des enrées es rouvable immédiaemen ici : + cos( ) cos( ) + sin ( ) + sin ( ) cos( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos sin cos sin cos sin + cos Exemple e définiion Commen faire pour rouver une marice fondamenale dans le cas de valeurs propres muliples? Un héorème d algèbre linéaire di qu une quelconque marice carrée d ordre n possède oujours n veceurs propres généralisés indépendans Si λ es une valeur propre d une marice A, alors un veceur propre généralisé de rang r associé à λ es un veceur v el que ( A λ I) r v = mais ( A λi) r v Si r =, cela signifie simplemen que v es un veceur propre ordinaire associé à λ Si λ es une valeur propre de muliplicié k > mais pour laquelle il es quand même possible de rouver k veceurs propres indépendans, on di que λ es complèe e lorsque ce n es pas le cas, disons que λ ne possède que p < k veceurs propres indépendans, alors le nombre d = k p représene le nombre de «veceurs propres manquans» Considérons le ssème () d = A où la marice A d ordre n possède une valeur propre réelle muliple λ e un seul veceur propre v, donc on a une seule soluion de (), = e λ v n pourrai, s inspiran de l équaion scalaire 78

19 d ordre dans le cas de racine double, penser que e λ v sera une seconde soluion indépendane mais cela ne foncionne pas car d λ e λ e λ c v v λe v h = + andis que A e λ v e λ Av e = λ = λv e il faudrai donc que e λ v =!!! Supposons que λ es une valeur propre double Essaons (Kreszig page 67), comme seconde soluion, λ λ = e v + e v c es-à-dire = e λ b v + v g où v es à déerminer d λ n doi avoir = A, d où e λ e λ e λ e λ v λ λ λ e + v + v = v + Av, e donc v + λ v = Av Ainsi, ( A λi) v = v (e donc, ( A λi ) v = ( A λi ) v = ) n peu monrer qu on peu oujours rouver un el veceur v Supposons que λ es une valeur propre riple n rouve alors encore une seconde soluion = e v + v λ b g où ( A I) v = v λ où ( A I) v = v λ e on rouve une roisième soluion indépendane λ = e v + v + v e où ( ) I K J Plus généralemen, si λ es une valeur propre de muliplicié algébrique k e de muliplicié géomérique, alors cela se généralise pour donner des soluions du pe k = e = e λ v = e + v v λ b g λ = e v + v + v k v v k v k + v ( k )!! λ I K J k I KJ où les veceurs v, v,, v k son les veceurs u, u,, u els que k k 79

20 ( A λ I) u = u ( A λ I) u = u ( A I) u = u λ k k e ( A λ I) uk = Ici, v es un veceur propre (ordinaire) de A correspondan à la valeur propre λ e les aures v,, v k son des «veceurs propres généralisés» 4 Supposons mainenan que A possède une valeur propre riple λ e qu on puisse rouver veceurs propres indépendans, disons v e v Donc, on a soluions indépendanes = e λ v e = e λ v n peu monrer qu une roisième soluion sera de la forme = e v + v λ b g où v es une combinaison linéaire de v e v e où ( A λi) v = v es résoluble pour v 4 Exemple Nous rouverons une marice fondamenale pour le ssème d = A où A = Nous verrons que A possède une valeur propre riple λ = e veceurs propres indépendans v = e v =, ce qui donnera déjà soluions = e v e = e v En cherchan une roisième soluion de la forme = e v + u b g où v es une combinaison linéaire de v e v e où u saisfai ( A λi) u = v, nous rouverons, par exemple, u = Nous obiendrons alors la marice fondamenale suivane : M( ) = e 5 8 A n aurai ensuie que e = M( ) M( ) n pourra aussi calculer e A en faisan un développemen en fracions parielles d une ransformée de aplace inverse, comme indiqué au héorème 8