ÉCOLE POLYTECHNIQUE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X) (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve.

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D ADMISSION 28 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X) (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve Notations Dans ce problème, N, M et P désignent des entiers naturels non nuls Soit M N,M (R) l ensemble des matrices réelles à N lignes et M colonnes Si A = (a i,j ) i N, j M M N,M (R), on note A = max i N M a i,j Il s agit d une norme sur M N,M (R) On note M N (R) = M N,N (R) l ensemble des matrices carrées de taille N et on identifie R N à l espace vectoriel des matrices colonnes réelles M N, (R) L espace vectoriel R N est ainsi également normé : si X = (x i ) i N R N, X = max i N x i Si n N est un entier naturel et I un intervalle de R, on note C n (I) l espace vectoriel des fonctions sur I, à valeurs réelles, de classe C n, c est à dire n fois dérivables sur I et dont la n-ième dérivée est continue sur I On munit C ([, ]) de la norme définie par : j= f = sup f(t) t On note S le cardinal d un ensemble fini S Pour tout nombre réel a, on note a la partie entière de a, c est-à-dire le plus grand entier n Z tel que n a Partie I Dans cette partie, on considère p C (R), et x C 2 (R) une solution non nulle de l équation différentielle : t R, x (t) p(t)x(t) = () On note Z = t [, ] x(t) = } l ensemble des zéros de x sur [, ] a Soit s [, ] tel que x(s) = Montrer que x (s) est non nul b Montrer que Z est fini

2 2 On pose n = Z On suppose dans cette question que n 2 On note a,, a n les zéros de x, rangés en ordre croissant Soit q C (R) tel que On considère une fonction y C 2 (R) telle que t [, ], q(t) < p(t) (2) t [, ], y (t) q(t)y(t) = (3) On fixe j,, n } Le but de cette question est de montrer que y s annule sur ]a j, a j+ [ 2a On suppose d abord que et on note t ]a j, a j+ [, x(t) > et y(t) >, w(t) = y(t)x (t) y (t)x(t) Montrer que w(a j+ ) > w(a j ) En déduire une contradiction 2b Montrer qu il existe t ]a j, a j+ [ tel que y(t) = On fixe dans toute la suite du sujet p C (R) Pour tout réel, on note x C 2 (R) l unique solution de x (t) p(t)x (t) + x (t) = pour tout t R, x () =, x () = (E ) Partie II 3 Soient a, b, T trois réels strictement positifs 3a On considère une fonction f : [, T ] R continue telle que t [, T ], f(t) a + b f(s)ds Montrer que pour tout t [, T ], f(t) ae bt On pourra étudier les variations de la fonction définie par t ϕ(t) = e tb (a + b 3b On considère une fonction X : [ T, T ] M N,M (R) de classe C telle que ) f(s)ds t [ T, T ], X (t) a + b X(t) Montrer que pour tout t [ T, T ], X(t) ( X() + at )e b t 4 Soit A M N,M (R) et B M M,P (R) Montrer que AB A B ( ) x (t) On note X (t) = x (t) et on définit l application Φ : R 2 R 2 (, t) X (t) 2

3 5 Montrer que X est de classe C sur R et que pour tout t R, X (t) = A (t)x (t) où A (t) est une matrice de M 2 (R) que l on précisera Dans les question 6, 7 et 8, on se donne R > et on note c = sup A (t) (t, ) [ R, R] 2 } 6 Justifier que c est bien défini et montrer que t [ R, R], X (t) e c t 7a Soit (s, t, ) [ R, R] 3 Montrer que 7b Soit (t,, µ) [ R, R] 3 Montrer que 7c Conclure que Φ est continue sur R 2 X (t) X (s) ce cr t s X (t) X µ (t) Re 2cR µ 8a Montrer qu il existe une fonction ω : R + R + croissante, continue, et telle que ω(r) quand r et (s, t) [ R, R] 2, p(t) p(s) ω( t s ) 8b Montrer qu il existe une fonction α : R + R + continue telle que α(r) = o(r) quand r et (s, t, ) [ R, R] 3, X (t) X (s) (t s)a (s)x (s) α( t s ) 8c Pour tout µ R, on définit la fonction Y µ : R R 2, solution de l équation différentielle Montrer que t R, Y µ(t) = A µ (t)y µ (t) ( ) X µ (t), avec Y µ () = ( ) (t,, µ) [ R, R] 3, X (t) X µ (t) ( µ)y µ (t) R 2 e 3cR µ 2 8d Montrer que Φ est différentiable sur R 2 et préciser sa différentielle 9 On note B = ( ) Montrer que pour tout t R, X (t) = e tb ( ) + e (t s)b On suppose dans cette question que > ( ) ds p(s)x (s) 3

4 a Montrer que t R, b En déduire que x (t) = sin( t) + t [, ], x (t) e p t ( ) sin (t s) p(s)x (s)ds Partie III On note Z p l application qui à R associe le nombre de zéros de x sur ], ], autrement dit Z p () = t ], ] x (t) = } On remarquera que ce décompte ne tient pas compte de, qui est toujours un zéro de x Montrer que si pour tout t [, ], q(t) < p(t), alors Z p () Z q () En déduire que Z p est croissante sur R Montrer que si < µ et x µ () =, alors Z p (µ) Z p () + 2 On suppose dans cette question uniquement que p est une fonction constante Calculer x, puis déterminer Z p () en distinguant selon les valeurs de et p 3 Soit p + = sup p(t), p = inf p(t) t [,] t [,] 3a Justifier que p + et p sont des réels bien définis + p Montrer que si < p, alors Z p () =, et que si p, alors Z p () π p+ 3b Montrer que si + p +, alors Z p () π p+ Montrer que si de plus x () =, alors + Z p () π 4 On fixe dans cette question µ R On note k = Z p (µ), et (t j ) j k les zéros de x µ rangés en ordre croissant : = t < t < < t k Pour ε >, on pose et A ε := B ε := } t [, ] j,, k}, t j t ε } t [, ] j,, k}, t j t ε 4

5 4a Montrer qu il existe trois réels ε, θ, η > tels que les conditions suivantes sont vérifiées () pour tout j,, k }, on a t j+ t j 2ε et si t k <, alors t k + ε, (2) si µ < θ, alors x (t) η pour tout t A ε et x (t) η pour tout t B ε On pourra utiliser la continuité de la fonction Φ obtenue à la question 7c Jusqu à la fin de la question 4, on fixe R tel que µ < θ 4b Montrer que pour tout j,, k}, x a au plus un zéro t tel que t t j < ε Montrer que si de plus j et t j <, x a exactement un zéro t tel que t t j < ε 4c Montrer que si x µ (), alors Z p () = Z p (µ) 4d Montrer que si x µ () =, alors Z p () = Z p (µ) pour < µ et Z p () = Z p (µ) pour µ 5 Montrer que Z p () R} = N On pose, pour k N, k := sup Z p () = k } 6a Justifier que la suite ( k ) k est bien définie, croissante et tend vers + 6b Montrer que x k () = et que x k a exactement k zéros sur ], ] 7 Soit k N tel que k + p + 7a Donner une minoration et une majoration de k en fonction de k p et k p + 7b En déduire que k = πk + O ( ) quand k + k 7c Donner un équivalent de N() := k N k } quand + Partie IV On suppose dans toute cette partie que p est une fonction de classe C Le but de cette partie est de préciser les estimations obtenues dans la partie précédente, dont on reprend les notations 8 On suppose dans cette question que > On définit la fonction S : R R, t sin( t), et si f C ([, ]), on pose t [, ], I (f)(t) := S (t s)p(s)f(s)ds 8a Montrer que cette formule définit une application linéaire continue I de l espace vectoriel normé C ([, ]) dans lui même, et montrer qu il existe un réel K > tel que >, f C ([, ]), I (f) K f 5

6 8b Montrer que pour tout n N, x = S + n j= j+ 2 I I } (S } ) + r n,, j fois où r n, C ([, ]) et qu il existe un réel C n > tel que, r n, C n n+2 2 8c Montrer que, quand k +, sin( k ) + ( ) ( ) ( ) sin k ( s) p(s) sin k s ds = O k k k 3 8d On note ε k = k πk Montrer qu il existe un réel α R, que l on précisera, tel que sin( ( ) k ) = ( )k ε k α + O k k k 3 quand k + 8e Montrer qu il existe un réel β R, dépendant seulement de p et que l on précisera, tel que ( ) ( ) sin k ( s) p(s) sin k s ds = β( ) k + O ( ) k quand k + 8f Montrer qu il existe un réel γ, dépendant seulement de p et que l on précisera, tel que : k = πk + γ ( ) k + O k 2 quand k + 9 Montrer qu il existe une fonction h C ([, ]), ne dépendant que de p et que l on précisera, telle que pour tout entier k assez grand, t [, ], x k (t) = πk sin(πkt) + k 2 h(t) cos(πkt) + R k(t), où R k C ([, ]) vérifie ( ) R k = O k 3 quand k + 6