Théorie de l intégration de Lebesgue

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1 Théorie de l intégration de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 1 / 42

2 Lien entre intégrale et primitive (1) Soit f : [0, 1] R une fonction pour laquelle on peut définir F (x) := x 0 f (t)dt. Quelles hypothèses sur f garantissent que F est dérivable en presque tout point et que F = f? (2) Soit F : [0, 1] R une fonction que l on peut dériver en presque tout point. Quelles hypothèses sur F garantissent que F (x) F (0) = x 0 F (t) dt? Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 2 / 42

3 Complétude Muni de la norme l espace C (; R) n est pas complet. f 1 := f (x) dx, Peut-on définir un espace de fonctions définies sur, qui soit un espace de Banach pour la norme 1? Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 3 / 42

4 Passage à la limite Disposer de théorèmes (souples) d intégration terme à terme pour des suites ou des séries de fonctions. Énoncé type souhaité : Soit (f n ) n 0 suite croissante de fonctions intégrables sur un ouvert non vide R N alors lim f n(x) dx = lim f n (x) dx, n + n + l égalité ayant lieu dans ], + ]. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 4 / 42

5 Un exemple L ensemble Q est dénombrable (infini), donc, il existe une bijection N n r n Q. On note f n (x) := { 0 si x rn 1 si x = r n. La fonction f n est positive, continue par morceaux et f n (x) = 1 Q (x). n 0 La fonction 1 Q est discontinue en tout point de [0, 1] et n est pas intégrable au sens de Riemann. Néanmoins, on souhaite pouvoir écrire Q (x) dx = n f n (x) dx = 0. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 5 / 42

6 Intégration des fonctions continues Si f est une fonction continue sur [a, b] R, à valeurs dans R, son intégrale peut être calculée comme limite de sommes de Riemann : b b a n 1 ( f (x)dx := lim f a + k b a ). n + n n a Soit R N un ouvert et f C c (). On prolonge f par 0 en dehors de. Définition On définit f (x)dx := Bien entendu, si f 0 alors k=0 ( ) 1 N ( p ) lim j + 2 j f 2 j, où p = (k 1,..., k N ) Z N. p Z N f (x)dx 0. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 6 / 42

7 Théorème de Dini Proposition (Théorème de Dini) Soit (X, d) un espace métrique. Toute suite décroissante de fonctions continues à support compact, convergeant simplement vers 0, converge uniformément vers 0 i.e. ( ) f n+1 f n et x X, lim f n(x) = 0 lim (sup f n ) = 0. n + n + X Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 7 / 42

8 Formes linéaires positives Soit est un ouvert d un espace métrique (X, d), on note C c () l espace vectoriel des fonctions continues, à valeurs dans R, qui sont définies sur et à support compact dans i.e. {x : f (x) 0} est compact. Définition On dit que Λ : C c () R est une forme linéaire positive, si Λ est une application linéaire qui vérifie f C c () (f 0 Λ(f ) 0). Si tel est le cas, on a f g Λ(f ) Λ(g). Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 8 / 42

9 Formes linéaires positives Exemple : Prenons (X, d) := (R, ) et := ]a, b[ avec a < b [, + ]. Définissons Λ(f ) := b a f (t) w(t) dt. où w : ]a, b[ R + est une fonction continue. Exemple : Prenons x 0 et Λ(f ) := f (x 0 ). Exemple : Prenons (X, d) := (N, ) et = N. Définissons Λ(f ) := f (n). n N Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 9 / 42

10 Application du Théorème de Dini Proposition Soit un ouvert de (X, d), Λ une forme linéaire positive sur C c () et (f n ) n 0 une suite décroissante de fonctions continues à support compact dans, qui converge simplement vers 0. Alors, lim Λ(f n) = 0. n + Corollaire (Conséquence du Théorème de Dini) Soit (f n ) n 0 suite décroissante de fonctions de C c (), qui converge simplement vers 0 sur. Alors f n (x)dx = 0. lim n + Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 10 / 42

11 Définition de L + () Définition (Suites de Levi) Une suite de fonctions de C c (), (f n ) n 0, est une suite de Levi si cette suite est croissante et si f n (x)dx < +. sup n 0 On note L + () := { f : R {+ } : une suite de Levi (f n ) n 0, telle que f n f simplement sur }, et on définit f (x)dx := lim f n (x)dx. n + Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 11 / 42

12 Intégrale d une fonction de L + () Lemme La définition de l intégrale de f L + () est indépendante du choix de la suite de Levi (f n ) n 0 convergeant simplement vers f sur. Exemple : 1 ]0,1[ L + (R). Graphe de f n, n 1. f n+1 f n. (f n ) n 1 converge simplement vers 1 ]0,1[. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 12 / 42

13 Exemples Exemple : Soient a < b R. Une fonction f 0 continue, bornée, définie sur ]a, b[ appartient à L + (]a, b[). Exemple : La fonction f (x) := 1 x si x 0 et f (0) := + appartient à L + (] 1, 1[). Exemple : Soit α R. La fonction définie sur R par f α (x) := appartient à L + (R) si et seulement si α > x α, Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 13 / 42

14 Exemples et commentaire Définition On dit qu une fonction f : R est semi-continue inférieurement sur si, pour tout x et pour toute suite (x n ) n 0 de points de qui converge vers x, on a f (x) lim f (x n ). n + Proposition Toute fonction de L + () est semi-continue inférieurement sur. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 14 / 42

15 Exemples et commentaire Exemple : La fonction f (x) := 1 x n appartient pas à L + (]0, 1[). Exemple : Les fonctions n appartiennent pas à L + (R). 1 Q [0,1], 1 ]0,1], 1 [0,1[, 1 [0,1], Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 15 / 42

16 Propriétés de L + () 1 C c () L + () et l intégrale définie sur L + () coïncide avec l intégrale usuelle définie sur C c (). 2 Si a, b 0 et f, g L + (), alors af + bg L + () et (af (x) + bg(x)) dx = a f (x)dx + b g(x) dx. 3 Si f, g L + (), alors max(f, g) et min(f, g) L + () et si f g, alors f (x)dx g(x)dx. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 16 / 42

17 Liste des problèmes Problème 1 : L + () n est pas un espace vectoriel : si f L + (), f n appartient pas forcément à L + (). Problème 2 : Si f L + () alors f est à valeurs dans R {+ }. Comment peut-on définir f g aux points où f et g valent +? Observation clef : Si f L + () alors f (x) = + très rarement. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 17 / 42

18 Ensembles négligeables Définition On dit que Z est négligeable, s il existe une fonction f L + () telle que f (x) = + pour tout x Z. Exemple : Si x 0, l ensemble {x 0 } est négligeable. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 18 / 42

19 Caractérisation géométrique des ensembles négligeables Pour tout a R N et r > 0, on note C(a, r) l (hyper)cube ouvert de centre a R N et de côtés de longueur 2r > 0. C(a, r) := volume du cube C(a, r) = (2r) N. Théorème Un sous-ensemble Z R N est négligeable si et seulement si, pour tout ɛ > 0, il existe une famille dénombrable (C i ) i I de cubes de R N telle que Z i I C i et C i ɛ. i I Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 19 / 42

20 Ensembles négligeables 1 Un sous-ensemble dénombrable de R N est négligeable. 2 Q est négligeable dans R. 3 Q N est négligeable dans R N pour tout N 1. Proposition Toute réunion dénombrable d ensembles négligeables est négligeable. 4 Un ouvert non vide de R N n est pas négligeable dans R N. 5 Un ensemble négligeable de R N est d intérieur vide. 6 Le complémentaire d un ensemble négligeable de est dense dans. Exemple : Dans R N, N > 1, une droite affine et plus généralement un sous-espace affine de dimension d < N sont des sous-ensembles négligeables de R N. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 20 / 42

21 Propriétés vraies presque partout Définition Une propriété P(x), dépendant du point x, est dite vraie pour presque tout x ou encore vraie presque partout sur si l ensemble {x : P(x) est fausse}, est négligeable. On abrège presque partout en p.p.. Exemple : On notera f 0 p.p. sur si l ensemble des x tels que f (x) < 0 est négligeable. Exemple : On notera lim n + f n = f p.p. sur si l ensemble des x tels que (f n (x)) n 0 ne converge pas vers f (x) est négligeable. Exemple : La fonction 1 Q est nulle p.p. sur R. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 21 / 42

22 Fonctions définies presque partout Soient f 1,..., f N des fonctions définies p.p. sur et Φ : R N R. Alors est définie p.p. sur. x Φ(f 1 (x),..., f N (x)), Exemple : Φ(f 1, f 2 ) = f 1 f 2 ou Φ(f 1, f 2 ) = f 1 + f 2. Plus généralement, les opérations élémentaires mettant en jeu une famille finie (voire dénombrable) de fonctions définies p.p. sur fournissent des fonctions définies p.p. sur. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 22 / 42

23 Fonctions de L + () égales p.p. Proposition Si f, g L + (), et si f g p.p. sur, alors f (x)dx g(x)dx. En particulier si f, g L + () et si f = g p.p. sur, alors f (x)dx = g(x)dx. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 23 / 42

24 Fonctions intégrables au sens de Lebesgue Définition 1 Une fonction f définie p.p. sur et à valeurs dans R est intégrable au sens de Lebesgue (ou sommable) s il existe g, h L + () telles que f = g h p.p. sur. 2 On définit alors l intégrale de Lebesgue de f sur par la formule f (x) dx := g(x) dx h(x) dx. 3 On note L 1 () l ensemble des fonctions intégrables sur à valeurs réelles. Remarque : La définition de l intégrale d une fonction f est indépendante du choix de la décomposition f = g h avec g, h L + (). Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 24 / 42

25 Propriétés de l intégrale de Lebesgue 1 L 1 () est un R-espace vectoriel. 2 L application L 1 () f f (x) dx R, est une forme R-linéaire. 3 C c () L + () L 1 (). 4 L intégrale de Lebesgue définie sur L 1 () coïncide avec l intégrale usuelle sur C c (). 5 Si f, g L 1 () et f g p.p. sur, alors f (x) dx g(x) dx. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 25 / 42

26 Un exemple important Exemple : On sait que + 0 sin x x dx := R sin x lim dx = π R + 0 x 2, mais le membre de gauche n est pas une intégrale au sens de Lebesgue. En effet, la fonction x sin x x R lim R + 0 n est pas intégrable sur R +, puisque sin x x dx = +. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 26 / 42

27 Fonctions intégrables et ensembles négligeables Modifier une fonction intégrable sur un ensemble négligeable ne change pas son intégrale. En particulier φ = 0 p.p. sur φ(x) dx = 0, Exemple : Q est négligeable dans R, donc 1 Q = 0 p.p. sur R. Donc 1 Q L 1 (]0, 1[) et 1 Q (x) dx = 0. ]0,1[ 1 Si f L 1 () et si f (x) dx = 0, alors f = 0 p.p. sur. Comparer ce résultat au résultat classique : Si f C c (R) et si sur R. 2 Si f L 1 () alors f < + p.p. sur. R f (x) dx = 0, alors f = 0 Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 27 / 42

28 Intégrale de Riemann Théorème Une fonction f, bornée sur [a, b], est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] si et seulement si l ensemble des points où f est discontinue est un ensemble négligeable. Exemple : La fonction 1 Q n est pas intégrable au sens de Riemann sur [0, 1]. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 28 / 42

29 Théorème de la convergence monotone de Beppo Levi Théorème (Théorème de la convergence monotone de Beppo Levi) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 () qui est croissante p.p. sur et telle que f n (x) dx < +. sup n 0 Alors, il existe f L 1 () telle que f n f p.p. sur et f n (x) dx = f (x)dx. lim n Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 29 / 42

30 Théorème de la convergence monotone de Beppo Levi Exemple : La fonction x x 1/2 appartient à L 1 (]0, 1[). Soit N n r n Q ]0, 1[ une bijection. La fonction g définie par g(x) := j 0 2 j x r j 1/2, appartient à L 1 (]0, 1[). Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 30 / 42

31 Lemme de Fatou Lemme (Lemme de Fatou) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 () telles que f n 0 p.p. sur. On suppose que f n (x)dx < +. sup n 0 Alors, lim f n L 1 () et n + lim n + f n (x)dx lim f n (x)dx. n + Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 31 / 42

32 Théorème de la convergence dominée Théorème (Théorème de la convergence dominée de Lebesgue) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de L 1 (). On suppose que : 1 f n f p.p. sur ; 2 Il existe F L 1 () telle que f n F p.p. sur. Alors, f L 1 () et lim f n (x) dx = f (x) dx. n + Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 32 / 42

33 Un exemple Exemple : Soit f C ([0, 1]). On note A := {x ]0, 1[ : f (x) = 0}. Alors, 1 La fonction F (s) := f 2 (x) + s 2 dx, ]0,1[ est dérivable à droite en s = 0 ; 2 F (0) = 1 A (x) dx ; ]0,1[ 3 1 A L 1 (]0, 1[). Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 33 / 42

34 Phénomène de concentration et d évanescence Soit φ C c (R), telle que R φ(x) dx = 1, et φ 0. Par exemple φ(x) := (1 x ) +. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 34 / 42

35 Phénomène de concentration Phénomène de concentration : Pour tout n 0, on note f n (x) := n φ(n x). Alors 1 = lim f n (x)dx = φ(y)dy > n + R R R lim f n(x) dx = 0. n + Phénomène de concentration. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 35 / 42

36 Phénomène d évanescence Phénomène d évanescence : Pour tout n 0, on note g n (x) := φ(x n). Alors 1 = lim g n (x)dx = φ(y)dy > n + R R R lim g n(x) dx = 0. n + Phénomène d évanescence. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 36 / 42

37 Fonctions mesurables Définition Une fonction f : [, + ] est mesurable s il existe une suite (f n ) n 0, de fonctions continues à support compact qui sont définies sur, qui converge vers f p.p. sur. 1 Si f, g : R sont mesurables et si λ, µ R, alors λf + µg, fg, max(f, g) et min(f, g), sont des fonctions mesurables. 2 En particulier f + := max(f, 0), f := min(f, 0) et f, sont mesurables. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 37 / 42

38 Fonctions mesurables 1 Si f 1,..., f N, définies sur, sont mesurables et si Φ : R N R est continue, alors Φ(f 1,..., f N )(x) := Φ(f 1 (x),..., f N (x)), est mesurable. 2 Si de plus f (x) 0 p.p. sur, alors x 1/f (x) est mesurable. 3 Toute fonction continue sur est mesurable. 4 Toute fonction continue par morceaux sur un intervalle I R est mesurable. 5 Toute fonction appartenant à L 1 () est mesurable. 6 Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions mesurables, définies sur et f telles que f n f p.p. sur. Alors, f est mesurable. [3mm] 7 Remarque : Il existe des fonctions non mesurables (leur construction repose toujours sur l axiome du choix). Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 38 / 42

39 Intégration et fonctions mesurables Étant donnée une fonction f définie p.p. sur, comment vérifie-t-on que f L 1 ()? Théorème Soit f une fonction mesurable sur. Supposons qu il existe g L + () telle que f g p.p. sur. Alors f L 1 (). Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 39 / 42

40 Le cas des fonctions positives Soit f : [0, + ] une fonction mesurable définie p.p. sur. Alors : (i) Soit f L 1 () ; (ii) Soit f / L 1 () et auquel cas on pose f (x)dx := +. Avec cette convention, on a : Théorème (Théorème de la convergence monotone de Beppo Levi) Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions mesurables sur, à valeurs dans [0, + ]. Alors ( ) f n (x) dx = f n (x)dx [0, + ]. n=0 n=0 Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 40 / 42

41 Intégration des fonctions à valeurs dans C Définition 1 On dit que f, définie p.p. sur, à valeurs dans C, est intégrable si Rf et If sont intégrables. 2 On définit f (x) dx := Rf (x)dx + i If (x) dx. 3 On note L 1 (; C) l ensemble des fonctions intégrables à valeurs dans C. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 41 / 42

42 Intégration des fonctions à valeurs dans C 1 L 1 (; C) est un C-espace vectoriel et f f (x) dx est une forme C-linéaire. 2 C c (; C) L 1 (; C) et l intégrale de Lebesgue coïncide avec l intégrale usuelle sur C c (; C). 3 Pour tout f L 1 (; C), on a et f L 1 (), f (x)dx f (x) dx. Théorie de l intégration de Lebesgue Frank Pacard 42 / 42