Examen Gestion d Actifs

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1 ESILV 2012 D. Herlemont Gestion d actifs Examen Gestion d Actifs 2 pt 1. On considère un portefeuille investi dans n actifs risqués, normalement distribués d espérance en excès du taux sans risque µ = (µ 1,..., µ n ) et de matrice de covariance Q. On souhaite limiter la volatilité du portefeuille à σ Quelles sont les proportions optimales, sachant qu on peut également investir dans l actif non risqué. 2. Quels sont les inconvénients de cette approche Corrigé: On cherche à maximiser l espérance du rendement en excès du portefeuille E[R p ] = π T µ sous la contrainte π T Qπ = σ 2 p = σ 2 0, avec π le vecteur des poids dans les actifs risqués et Q la matrice de covariance des actifs. Le lagrangien est L = π T µ λ(π T Qπ σ 2 0. D où, µ 2λQπ = 0, en dérivant par rapport à π. La solution est π = Q 1 µ/(2λ), on en déduit λ = µ T Q 1 µ/(2σ 0 ); soit la solution π = σ 0Q 1 µ µt Q 1 µ On voit donc que la solution est ˆ proportionnelle à la volatilité objectif σ 0 ˆ inversement proportionnelle au ratio de sharpe s = µ T Q 1 µ ˆ proportionnelle à Q 1 µ ˆ on peut remarquer que le vecteur µ peut être défini à un facteur multiplicatif près. Autrement dit, on peut se donner les espérances de rendements en relatif les uns par rapport aux autres. Les inconvénients sont multiples: ˆ forte sensibilité aux rendements attendus µ ˆ dans le cas de fortes corrélations entre actifs, la martice Q devient proche de la singularité avec des petites valeurs propres et son inversion peut être problématique faisant exploser les proportions correspondantes au petites valeurs propres qui sont justement dues à des bruits d échantillonnage. afin de limiter ce genre de problème, on peut effectuer une allocation plus robuste par une décomposition en facteurs (ACP), ou en régularisant la matrice de covariance (Ridge, etc...), en utilisant des méthode dites re-échantillonnage (resampling), etc... 3 pt 2. On considère un fonds alternatif dont les valeurs (NAV) mensuelles sont les suivantes (en million d euros): Janvier Févier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Déc Quel est la perte maximale historique (maximum drawdown) sur l année. 2. Calculer les High Water Mark mensuels. Daniel Herlemont 1

2 3. La commission de sur-performance est de 15%, calculer les commissions mensuelles et totale sur l année. 4. Quels sont les effets négatifs de la commission de sur-performance. Citer des méthodes afin de limiter ces effets. Corrigé: La perte maximale historique est la perte qu aurait subie un investisseur malchanceux qui serait rentré à un plus haut et sorti à un plus bas. Le Maximum Drawdown est la perte maximale historique depuis pic vers un creux (peak to valley). De manière formelle, soit V (t) la valeur de l actif au temps t, M(t) le maximum depuis t = 0 M(t) = max 0 s t V (s) Le drawdown courant D(t) est défini par D(t) = M(t)/V (t) et le maximum drawdown et MDD(t) = max 0 s t D(s) Si on mesure le drawdown en %, D p (t) = (M(t) V (t))/m(t) et MDD p (t) = max 0 s t D p (s) En terme de P&L, on peut avoir une autre définition: D(t) = M(t) V (t) et MDD(t) = max 0 s t D(s) Le MDD est 5.77%. En terme de NAV, le MDD est 6 Millions d euros. Le High Water Mark est le maximum cumulé et la commission de sur perfornance est calculée sur la différence entre deux high water mark (M(t) M(t 1)) 20%. Le tableau ci dessous indique les high water mark et la comission en milliers d euros Janvier Févier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Déc. HWM Commission Le total de la commission de sur performance est 90 K euros. la rémunération a la performance peut conduire le gérant a prendre trop de risques lorsque le fond se trouve éloigné de son plus haut. Afin de réduire cet effet on peut demander au gestionnaire d investir une part significative de sa propre richesse. Ce faisant, le gestionnaire se comportera comme un investisseur. 3 pt 3. Vous gérez un portefeuille composé d actions A à hauteur de π a = 80% et d un investissement dans un hedge fund B à hauteur de π h = 20%. L espérance du rendement des actions est de E[r a ] = 16.3% avec une volatilité de σ a = 30%, Le fond est benchmarké sur un indice d actions, l espérance du rendement du benchmark est E[r b ] = 20%, la volatilité de l indice est identique a celle des actions du portefeuille. Le beta des actions du portefeuille avec l indice actions est de β a = 0.9. Le fond alternatif n est pas corrélé aux marchés actions (actions du portefeuille ou benchmark). Son rendement espéré est de E[r h ] = 30% avec une volatilité de σ h = 10%. Le taux sans risque est de r 0 = 3%. Questions: 1. Le CAPM est il vérifié? en supposant que le marché est représenté par l indice. 2. Calculer l espérance du rendement du fond E[r f ] et la volatilité du fond σ f, 3. l alpha α f et le beta β f du fond par rapport à l indice d actions, 4. l erreur de tracking σ e, 5. le ratio d information I du fond vis à vis du benchmark. 6. Commenter cette allocation en terme de performance et volatilité, d erreur de tracking, ratio d information? Est il meilleur que celui d un investissement dans les actions seulement? 7. S agissait il de la meilleure allocation possible entre les actions et le hedge fund? sinon quelle aurait du être cette allocation optimale, à calculer en terme de proportions Daniel Herlemont 2

3 8. en supposant que l erreur de tracking est limitée à 20% au maximum, quelle serait l allocation? Corrigé: 1. dans une modèle a un facteur, on peut écrire E[r a ] r 0 = α a + β a (E[r b ] r 0 ) Le CAPM suppose que α a = 0. Or ici E[r a ] r 0 = 13.3% et β a (E[r b ] r 0 ) = 15.3% et donc α a = 2% n est pas nul et le CAPM n est pas vérifié. 2. E[r f ] = π a E[r a ] + π h E[r h ] = 19% σ f = π 2 aσ 2 a + π 2 h σ2 h = 24.1% 3. l alpha est α f = π a α a + π h α h. L alpha du fond alternatif est l excès du taux de rendement du fond lui même, celui-ci n étant pas corrélé au benchmark α f = 3.8% Le beta est β f = π a β a + π h β h = π a β a, β h = 0 car non corrélé au benchmark. β f = L erreur de tracking est la racine carré de la variance de la différence des rendements entre le fond et le benchmark variance(π a r a + π h r h r b ) = variance(π a r a r b ) + variance(π h r h ) (1) D ou l erreur de tracking 13.6% = π 2 aσ 2 a + σ 2 b 2π a β a σ 2 b + π 2 hσ 2 h (2) 5. Le ratio d information du fond vis à vis du benchmark est le rapport entre l alpha du fond (voir ci dessus) et l erreur résiduelle. L erreur résiduelle (ou risque spécifique par rapport au benchmark) est σ 2 ɛ,f = π 2 aσ 2 ɛ,a + π 2 hσ 2 ɛ,h Avec σ ɛ,a le risque spécifique des actions, a savoir σ ɛ,a = σa 2 βaσ 2 b 2 = 13.1% et σ ɛ,h le risque spécifique du hedge fund, qui n est autre que la volatilité du fond, celui ci n étant pas corrélé au benchmark. D ou σ ɛ,f = 10.7% et I = α f σ ɛ,f = Le ratio d information du fond est amélioré par rapport à celui des actions en raison de la presence du hedge fund. 6. Les actions et le hedge fund ne sont pas corrélés. L allocation optimale consisterait donc à allouer de manière proportionnelle à µ i /σ 2 i, avec µ i, σ i le rendement en excès et volatilité des actions et du HF πa (r a r 0 )/σa 2 = (r a r 0 )/σa 2 + (r h r 0 )/σh 2 = 5.19% πh (r h r 0 )/σh 2 = (r a r 0 )/σa 2 + (r h r 0 )/σh 2 = 94.8% 7. L allocation optimale conduit a un investissement massif dans le fond alternatif ce qui n est pas conforme à un investissement avec un benchmark. 8. Soit x l allocation dans les actions. L erreur de tracking en fonction de x est σe 2 = x 2 (σa 2 + σh 2) 2(β aσb 2 + σ2 h )x + σ2 b + σ2 h, soit l equation à résoudre 0.1x x = 0 avec la seule solution admissible x = A noter que l allocation qui minimise cette erreur de tracking est x = 0.91 Daniel Herlemont 3

4 3 pt 4. Analyse en Composante Principale. On considère des actifs dont les caractéristiques sont les suivantes: Les volatilités sont σ A = 0.25 σ B = 0.2 σ C = 0.15 et Les valeurs propres de la matrice de covariance sont [1] Les vecteurs propres sont p1 p2 p3 A B C Quel est l objectif d une décomposition en composante principale? Quelles sont les propriétes des valeurs propres et vecteurs propres obtenus. 2. Commenter les résultats obtenus. En particulier, quel est le pourcentage de la variance expliquée par le premier vecteur propre? 3. Ecrire la décomposition des rendements du premier actif A dans la base des vecteurs propres, ainsi que la décomposition de la variance des rendements de cet actif en utilisant les vecteurs et valeurs propres de la matrice de corrélation. 4. Si on limite la décomposition aux deux premiers vecteurs propres, quel est le risque résiduel de l actif A? Corrigé: L objectif de l ACP est de réduire la dimension en un minimum de facteurs expliquant le maximum de variance. Pour ce faire, on décompose les actifs de base dans la base orthonormée des vecteurs propres, ordonnés de la plus grande à la plus petite valeur propre (toutes positives). Cette décomposition a de nombreuse applications en gestion d actif pour obtenir des allocations plus robustes (moins sensible aux erreurs d estimation de la matrice de covariance), en gestion des risques, etc... voir cours. Le pourcentage de variance expliqué par le premier vecteur propre est λ 1 / i λ i soit La décomposition du premier actif dans la base de vecteurs propres correspond à la première ligne de la matrice (orthogonale P T P = I) de passage des vecteurs propres. r A = i P 1ip i La variance de cet actif est tout simplement σ 2 A = i P 2 1i λ i Si on limite la décomposition dans les deux premiers vecteurs propres, le risque résiduel est P 2 13λ 3 3 pt 5. On suppose que les taux de rendements (en excès du taux sans risque) sont IID et normalement distribués de moyenne m et variance σ 2 = v. On estime m et v à partir d un échantillon de taille T. Notons m T et v T ces estimations. On rappelle que T (m T m) et T (v T v) sont asymptotiquement normalement distribués de moyennes nulles et de variances respectives v et 2v 2 et que ces deux estimations ne sont pas corrélées. En utilisant la méthode du delta, déterminer le comportement asymptotique de l estimation du ratio de Sharpe s T = m T /v T. Application: m = 20% et σ = v = 20%. Calculer 1. L intervalle de confiance à 90% du ratio de sharpe d une estimation effectuée à partir de données journalières sur un an. 2. Quelle est la part due à l erreur d estimation sur m comparée à l erreur d estimation sur v. 3. Conclusions? Corrigé: µ σ = µ σ µ σ 2 σ Daniel Herlemont 4

5 V as ( ( ) T (ˆµT µ) T (ŝ s)) = V as µ T (ˆσ σ) σ σ 2 = σ2 σ 2 + µ2 σ 4 2σ2 = 1 + 2s 2 Le ratio de sharpe journalier est s = sharpe annuel / 252 = en effectuant une estimation sur une periode T, T (ŝ s) a une variance de s 2. Ici il se trouve que T = 252, donc T (ŝ s) = sharpe ˆ annuel sharpe annuel d ou l intervalle de confiance à 95% du sharpe annuel est 1 ± soit [ 0.968, 2.97] 3 pt 6. Risk Budgeting On rappelle que la contribution au risque de l actif i est définie par la quantité P CT R i = π σ σ π i avec σ = π T Qπ la volatilité du portefeuille. On se propose de trouver les proportions qui égalisent les contributions au risque (equi répartition des risques). En supposant toutes les corrélations égales à une constante ρ, montrer que ces proportions sont inversement proportionnelles à la volatilité. Corrigé: On a vu en cours que le problème pouvait s écrire sous la forme de n équations à n inconnues x i x j ρ ij = 1/n avec x i = π i σ i /σ p σ p étant la volatilité du portefeuille. problème peut se mettre sous la forme j Si les corrélations sont constantes, le x 2 i x i ρ + ρ( j x j ) = 1/n Toutes ces équations sont identiques, conduisant donc à des x i tous égaux (si on choisit des positions longues). D ou π i σ i /σ p = x i = cste et donc π inversement proportionnel à la volatilité. Pour un portefeuille entièrement investi en actif risqué, on obtient π i = 1/σ i j 1/σ j 3 pt 7. On considère un actif dont la valeur est divisée par 3 ou multiplié par 2 avec une probabilité de Quel est le taux de croissance de l actif à long terme, a savoir lim T 1 T log S T 2. Peut on gagner de l argent avec cet actif? si oui, quelle serait la proportion optimale? Corrigé: la valeur de l actif au bout de T période est S T = 2 Tu (1/3) T d avec T u le nombre de hausses et T d le nombre de baisses et bien entendu, T = T u + T d. 1 T log S T = T u T log 2 + T d T log(1/3) Par la loi des grand nombres, l expression précédente tend vers 0.5 log log(1/3) = Donc un taux de croissance fortement négatif et la valeur de cet actif tend rapidement vers 0 presque surement. Si on investi une proportion constante π dans l actif risqué, le taux de rendement a chaque période est πr t avec R t = 2 1 = 1 en cas de hausse et R t = 1/2 1 = 2/3 en cas de baisse. la richesse au bout de T période est W T = (+π) Tu (1 2/3π) T d le taux de croissance tend vers G(pi) = lim 1 T log W T = 0.5 log(1 + π) log(1 2/3π) Daniel Herlemont 5

6 Ce taux de croissance possède un maximum pour π = 0.25 avec un taux de croissance positif!!! de G(0.25) = ce faisant la richesse la plus probable est multipliée par exp(t G) au bout de T périodes. Donc oui il est possible de gagner de l argent en investissant dans un actif qui baisse (sans pour autant faire des ventes à découvert). Fin de l énoncé, noté sur 20 points Daniel Herlemont 6

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