TS - Réviser exponentielle (1)

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1 TS - Réviser eponentielle () Correction a. e 3 e 4 e 3+4 e 7 b. e 4 e 4 e 4+( 4) e0 c. ( ) e 4 3 e 4 e 3 4 e 4 e e 4 e +4 e 6 d. e. f. e 5 e 3 e e5+( 3) e e e e ( ) e 4 5 e 4) ( e 5 + e 4) [ (e 5 ) e5 e 4 + 4) ] [ (e 5 ) + e5 e 4 + 4) ] 0 e 9 + e 8) 0 + e 9 + e 8) 4 e 9 e 6 e 3 e e e6 e 3 e 3 e6 e 3 e3 e 3 e3 Correction a. e + e e ) e + e e e ( + e ) e e ( ) b. e ( e ) e ( c. + e + e ) e e + e 0 e e + e + e d. e e + e e e + e e. e 3 e e 3 + e e3 f. e 6 e 8 8) Correction 3 a. ep() e ( e ) e 3 ( e + e ) + e ep() ep() Par la stricte croissance de la fonction eponentielle, on en déduit qu il eiste une unique solution à cette équation : S { } b. ep( ) ep( ) e 0 ep( ) ep(0) 0 On en déduit qu il eiste une unique solution à cette équation : S { 0 } c. ep( ) e ep( ) ep() L ensemble des solutions de cette équation est : S { } d. e + e + ep(0) + 0 ( + ) 0 Ainsi, l ensemble des solutions possèdent deu éléments : S { ; 0 } e. e e 0 ( ) e e e 0 e ( e ) 0 La fonction eponentielle est non nulle sur R : e 0 e e e 0 Par la stricte croissante de la fonction eponentielle : 0 0 On a : S { 0 } f. e +5 +) e +5 e (+) e +5 e ( ) 0 On a : S { } Correction 4 a. ep() < e ep() < ep() La fonction eponentielle est strictement croissante < L ensemble des solutions de cette inéquation est : S ] ; [ b. ep( ) ep( ) ep 0 La stricte croissante de la fonction eponentielle donne : 0 0 On a pour ensemble de solution : S R c. e > e La fonction eponentielle est strictement positive : e e > e e e > e > e 0 La fonction eponentielle est strictement croissante : > 0 >

2 L ensemble des solutions est : S ] ; + [ d. e + e < e + e < 0 La fonction eponentielle est strictement positif sur R e (e + e ) < e 0 e e + e + < e 0 e e + < 0 ) e + < 0 ) < 0 Or, le carré d un nombre réel n est jamais strictement négatif : S Correction 5 a. On a les transformations suivantes : e + e 3 0 ) + e 3 0 En posant X e, on a : X + X 3 0 Etudions le polynôme X +X 3 du seconde degré ; son discriminant a pour valeur : b 4 a c 4 ( 3) On a la simplification : 6 4 Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet deu racines : X b X b Cherchons les vérifiants : e X e X e 3 e Pas de solution e e 0 0 Cette équation admet une unique solution : S {0} b. On a : e + e < 0 ) + e < 0 Par le changement de variable : X e : X + X < 0 Etudions le polynôme X +X qui admet pour discriminant : b 4 a c 4 ( ) On a la simplification : 9 3 Le discriminant est strictement positif ; ce polynôme admet deu racines : X b 3 4 X b Le coefficient du second degré de ce polynôme est strictement positif ; on en déduit le tableau de signe suivant : X + X +X Ainsi, l inéquation X +X <0 a pour solution : S ] ; [ L ensemble des vérifiant la relation e S est l ensemble des solutions de l inéquation. - y y Plus précisément : S ] ; 0 [ Correction 6 On a la transformation algébrique : e + 6 e 8 < 0 (e ) + 6 e 8 < 0 Posons le changement de variable X e : X + 6 X 8 < 0 Le polynôme du second degré du membre de gauche a pour discriminant : b 4 a c6 4 ( 8) On a la simplification : 00 0 Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deu racnes suivantes : X b X b + X a 6 0 X 6 4 X 4 X X 4 4 X a Le coefficient du terme du second degré étant positif, on a le tableau de signe : X 4 + X +6 X Ainsi, l équation soit vérifiée, il faut que : X ] 4 ; [ e ] 4 ; [ 4<e < Voici la courbe représentative de la fonction eponentielle :

3 On en déduit l ensemble des solutions : S ] ; 0 [ Correction 7 a. La fonction f peut être vue comme la composée de la fonction u par la fonction eponentielle où : u() ; u () -4 La formule de dérivation de la fonction eponentielle peremt d obtenir l epression de la fonction dérivée f de la fonction f : f() u () e u() e b. La fonction g est définie par le produit des fonctions u u() ; v() e u () ; v () e La formule de dérivation d une produit permet d obtenir l epression de la dérivée de la fonction g : g () u () v() + u() v () e + e e + e e ( + ) c. La fonction h est définie comme la composée de la fonction u par la fonction eponentielle où : u() + ; u () + La formule de dérivation de la composée d une fonction par la fonction eponentielle permet d obtenir l epression de la fonction f : h () u () e u() ( + ) e + d. La fonction j est définie comme l inverse de la fonction u définie par : u() e ; u() e La formule de dérivation de l inverse permet d obtenir l epression de la dérivée de la fonction j : j () u () [ ] ( e ) u() e e ( ) e Correction 8 a. La fonction f est définie par le produit des fonctions u u() ; v() e + u () ; v () e + La formule de dérivation d un produit l epression de la fonction f : f () u () v() + u() v () e + + e + ( + ) e + b. La fonction g est la composée de la fonction u par la fonction eponentielle où : u() + ; u () La formule de dérivation de la fonction eponentielle donne l epression de la fonction g : g () u () e u() e + c. La fonction est définie par le produit u v où : y y u() + ; v() e 3+ u () ; v () 3 e 3+ La formule de dérivation d un produit permet d obtenir l epression de la dérivée de la fonction h : h () u () v()+u() v () e 3+ + ( 3+ + ) 3 e ( ) e 3+ ( ) e 3+ d. La fonction j est définie par le quotient des fonctions u u() e + ; v() + u () e + ; v () La formule de dérivation d un quotient permet d écrire : j () u () v() u() v () [ ] e+ ( + ) e + v() ( + ) e+ ( + ) ( + ) e+ ( ) ( + ) e. La fonction k est définie par le quotient des fonctions u u() e ; v() e u () e ; v () e La formule de dérivation d un quotient permet d écrire l epression de la fonction k dérivée ( de la fonction k : k () u () v() u() v () ) e e ( e ) e [ ] ( ) v() e e + e + e + e 3e e e e e + e e f. La fonction l est définie par le quotient des deu fonctions u et v définies par : u() e ; v() + e u () e ; v () e La formule de dérivation d un quotient permet d obtenir : l () u () v() u() v () [ v() ] Correction 9 ( ) ( e + e ) ( e ) ( e) ( ) + e (e + e e + e +) ( + e ) e + e 0 e + e 0 ( + e ) e e + ( + e ) Montrons que les courbes C f et C g s interceptent au point d abscisse : f() e e e 0 g() e e 0 Montrons que les deu tangentes respectivement au courbes C f et C g ont même coefficient directeur :

4 L epression de la fonction f est donnée sous la forme du produit des fonctions u et v définies par : u() ; v() e u () ; v () e La formule de dérivation d un produit permet d obtenir l epression de la fonction f dérivée de la fonction f : f () u () v() + u() v () ) e + ( e e e Le nombre dérivée de la fonction f en a pour valeur : f () e e e e e 0 e 0 La formule de dérivation de la composée d une fonction eponentielle permet d obtenir l epression de la fonction g dérivée de la fonction g : g () e Le nombre dérivée de la fonction g en a pour valeur : g () e e 0 Ainsi, les courbes C f et C g partagent une tangente commune au point d abscisse. Correction 0. a. La fonction f admet pour dérivée : f () ( e ) e ( + e ) La fonction eponentielle étant positive sur R, on en déduit [ ] que la fonction f est strictement positive sur 0 ; : la fonction f est strictement croissante sur son ensemble de définition. On a les deu valeurs suivantes pour la fonction f : f(0) 0 e 0 + e + + e e f() e + e e + e e Ainsi, on a le tableau de variations suivant de la fonction f sur l intervalle [ 0 ; ] : Variation de f 0 +e e b. Sur l intervalle [ 0 ; ] : On a les deu images au bornes de l intervalle : f(0),6 < 0 ; f(),6 > 0 De plus : la fonction f est continue sur [ 0 ; ] la fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; ] le nombre 0 est compris entre les images par la fonction f au bornes de l intervalle [ 0 ; ] D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel α appartenant à l intervalle [ 0 ; ] solution de l équation : f(α) 0. Voici la capture d écran de la calculatrice : On obtient la valeur approchée de α au centième : α 0,45. On a les transformations suivantes : e + e e + e + e + + e 0 e + e 0 e + e 0 f() 0 D après la question. b., cette équation admet sur l intervalle [ 0 ; ] le nombre α pour unique solution. Correction. Etudions la différence : f() g() e+ + e e+ e + + e ) + e ) e+ + e e + + e e e La fonction eponentielle étant strictement positive sur R, on en déduit que pour tout nombre réel : f() g() > 0 f() > g() On en déduit que la courbe C se situe au dessus de la courbe C.. a. La fonction f admet pour dérivée : f () e+ + ( e ) e+ e La tangente (T ) admet pour équation réduite : y f (a) ( a ) + f(a) +a e a ) ( y a ) + e+a + e a b. La fonction g admet pour dérivée : g () e+ ( e ) e+ + e La tangente (T ) admet pour équation réduite : y g (a) ( a ) + g(a) +a + e a ) ( y a ) + e+a e a 3. Le point M est le point d intersection des tangentes (T ) et (T ) a son abscisse qui est défini par l équation :

5 e +a e ( a a )+ e+a +e a e+a +e ( a a )+ e+a e a Ä e +a e a e+a +e a e +a e a +a +e a) e +a e a e +a e a e a ä ( a ) Ä e +a e a e+a +e a ( a ) e+a e a e +a e a ( a ) e a ( a ) e a e a ( a ) e a a e a e a a a + Ainsi, le point M a pour abscisse a+. 4. a. L ordonnée du point M est donnée par : +a e a ) ( y M M a ) + e+a + e a +a e a ) [(a y M + ) a ] + e+a + e a +a e a y M ) + e+a + e a y M e+a e a + e+a + e a y M e+a e a + e +a + e a y M e+a y M e +a Ainsi, le point M a pour coordonnées : M(+a ; e +a ) b. L epression des coordonnées du point M en fonction du nombre réel a montre que le point M appartient à la courbe représentative de la fonction eponentielle. Correction. L epression de la fonction g peut s écrire sous la forme : g() (e e ) + e u() v() + e où les fonctions u et v définies par : u() ; v() e e et admettent pour dérivée : u () ; v () e La formule de dérivation d un produit permet d obtenir la fonction dérivée g : g () u () v() + u() v () + 0 (e e) + e e + e e L epression de la fonction g peut s eprimer sous la forme : g () e + e e u() v() + e e où les deu fonctions u et v définies par : u() ; v() e u () ; v () e La formule de dérivation d un produit permet d obtenir la dérivée seconde g : g () u () v() + u() v () + e 0 e + e + e e + e ( + ) e ä. Sur [ 0 ; + [, les facteurs + et e sont positifs. Donc la fonction g est positive sur [ 0 ; + [. On en déduit que la fonction g est strictement croissante sur [ 0 ; + [. 3. On a les deu informations suivantes sur la fonction g : g (0) 0 e 0 + e 0 e e < 0 lim + g () lim + e + e e + De plus : la fonction g est continue sur [ 0 ; + [ la fonction g est strictement croissante sur [ 0 ; + [ 0 est compris entre les limites des bornes de l intervalle [ 0 ; + [. D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on déduit l eistence d un unique nombre α appartenant à [ 0 ; + [ tel que : g (α) 0. La capture d écran ci-dessous montre la recherche à la calculatrice de cette valeur approchée : On a la valeur approchée : α 0,6 4. Ainsi, la fonction g s annulant en α et étant strictement croissante, elle admet le tableau de signe suivant : 0 α + g () 0 + On en déduit les variations de la fonction g : Sur [ 0 ; α ], la fonction g est strictement décroissante ; Sur [ α ; + [, la fonction g es strictement croissante. Correction 3. Pour que ce quotient soit définit, il faut que son dénominateur soit non-nul ; cherchons les valeurs annulant le dénominateur : e 0 e 0 L ensemble de définition est : D R\{0} R. La fonction f est écrit sous la forme u où : u() e ; u () e La formule de dérivation de l inverse d une fonction permet d obtenir l epression de la fonction f : f () u () e [ ] ( u() e ) La fonction eponentielle est strictement positive sur R et le dénominateur de la fonction est strictement positif ; on en déduit que la fonction f est strictement négative sur D : la fonction f est strictement décroissante sur son ensemble de définition. On a les limites suivantes : lim f() lim e

6 lim f() + lim + e 0 lim f() lim 0 0 e lim f() lim e + On a le tableau de variations suivant : 0 + Variation de f La courbe C possède de trois asymptotes : Une asymptote horizontale en + d équation y 0. Une asymptote horizontale en d équation y. Une asymptote verticale d équation Voici le tracé de la courbe C f. 4 3 j i