Calculs dans le triangle rectangle

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1 alculs dans le triangle rectangle 10 De nombreuses situations de la vie professionnelle nécessitent le calcul de longueurs ou d angles. itons par exemple : pour une charpente, le calcul de la longueur des chevrons ou de l angle d inclinaison de la toiture ; pour une machine à commande numérique, le calcul des données à fournir de manière à obtenir le déplacement désiré de l outil ; pour l usinage d une pièce, le calcul de l angle d attaque de l outil. e chapitre va vous fournir les moyens mathématiques de résoudre certains de ces problèmes. Vous connaissez quelques propriétés géométriques des triangles. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus spécialement au triangle rectangle. Vous allez consolider vos connaissances des classes antérieures en utilisant le théorème de Pythagore et sa réciproque ou les rapports trigonométriques d un angle aigu : cosinus, sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoir reconnaître dans un triangle rectangle : l hypoténuse, le côté adjacent à un angle aigu, le côté opposé à un angle aigu. 117 Mots-clés du chapitre

2 À L DÉOUVERTE DE... ctivité 1 omment utiliser le théorème de Pythagore P 4 La figure ci-contre représente schématiquement une partie de charpente (cotes en mètre. omment calculer la longueur du chevron PM M 6 N Première partie 1. onstruire un triangle rectangle en tel que 8 cm, 6 cm. Vérifier à l aide du double décimètre que 10 cm. 2. alculer 2, puis omparer les résultats obtenus. L égalité obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un théorème connu Deuxième partie On se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus. On sait que le triangle MNP est rectangle en N. 1. Quelle est l hypoténuse du triangle MNP 2. Écrire la relation de Pythagore. 3. En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer MP En utilisant la touche M de la calculatrice (voir page 201, calculer MP (valeur arrondie au cm. ctivité 2 omment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore Pour construire des murs perpendiculaires, les maçons égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds : 1 nœud à chaque extrémité et 11 nœuds à égale distance l un de l autre. vec cette corde, le maçon réalise un triangle dont les côtés ont pour longueur 3 ; 4 et 5, en choisissant comme unité de longueur la distance entre deux nœuds. Les murs ainsi construits sont-ils «l équerre» à 118

3 10. alculs dans le triangle rectangle 1. onstruire un triangle tel que 3 cm, 4 cm et 5 cm. À l aide d un rapporteur, mesurer l angle. 2. omparer 2 et ctivité 3 omment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle face verticale 100 m 70 m horizontale Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une dernière face plane recouverte de glace. Son altimètre lui indique que, s il parcourt 100 m, il gagne en altitude 70 m. ette situation est illustrée par la figure de droite. Quelle est la mesure de l angle d inclinaison de la face L altitude du sommet est de m ; l altimètre indique m. Quelle distance reste-t-il à parcourir à l alpiniste L étude suivante va donner les réponses à ces questions. 1. Dans le tableau ci-contre, on note d la distance d (en m parcourue par l alpiniste et d le gain en altitude correspondant. d (en m 70 Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, le reproduire et le compléter. Quelle est la valeur commune des rapports d d 2. La valeur commune des rapports d est représentée dans le triangle rectangle d en par le rapport ; elle dépend de l angle. On l appelle sinus de l angle et on écrit sin. En utilisant la calculatrice (voir page 201, calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l angle. 3. Quelle distance reste-t-il à parcourir à l alpiniste On calculera d abord combien l alpiniste doit gagner en altitude Solutions pages suivantes

4 SOLUTIONS... SOLUTIONS DES TIVITÉS ctivité 1 omment utiliser le théorème de Pythagore Première partie 1. On construit un angle droit xy et, y sur les demi-droites [x et [y, on place les points et tels que 8 cm et 6 cm. 1 La figure est ici faite à l échelle. 2 6 cm Donc L égalité obtenue nous rappelle le théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle en, alors cm x Deuxième partie 1. L hypoténuse d un triangle rectangle est le côté opposé à l angle droit ; l hypothénuse du triangle MNP est MP MP 2 NP 2 + NM 2. MP , soit MP , d où MP À la calculatrice : M 52 M 6 P 4 N M 52 EXE On lit 7,2111 d où MP " 7,21 (valeur arrondie au cm. L utilisation du théorème de Pythagore va nous permettre, dans un triangle rectangle dont seuls deux côtés sont connus, de calculer le côté inconnu. ctivité 2 omment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore On constate, aux incertitudes de mesure près, que , soit

5 DE DÉOUVERTE 10. alculs dans le triangle rectangle insi : Le triangle est tel que et on constate qu il est rectangle en. Plus généralement, si un triangle est tel que , alors il est rectangle en. et énoncé est appelé réciproque du théorème de Pythagore. e résultat nous permet d affirmer que les murs construits en utilisant la corde à 13 nœuds sont bien perpendiculaires. ctivité 3 omment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle 1. Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient soit 0,7. d (en m ,7 d (en m La valeur commune des rapports d est 0,7. d 2. On utilise la calculatrice en mode degré (voir p 201. SIN ; SEONDE sn 0.7 EXE On lit : 44,42, donc ; 44. La calculatrice permet d obtenir la mesure d un angle aigu connaissant le cosinus, le sinus ou la tangente de cet angle. 3. L alpiniste doit gagner en altitude , c est-à-dire 125 m. On peut utiliser le tableau de proportionnalité où x représente la distance inconnue à parcourir. insi 125 d 100 x x ,7 d d où 125 0,7 x ; x 125 ; x " ,7 L alpiniste devra parcourir 179 mètres. On peut aussi représenter la situation par le triangle ci-contre. Dans ce triangle : sin, soit 0, m ; d où 125 ; " ,7 Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de calculer certains éléments (angles ou côtés. 121

6 L ESSENTIEL L ESSENTIEL Propriétés élémentaires Si le triangle est rectangle en, alors : 90 et +90. le cercle circonscrit au triangle est le cercle de diamètre []. 0 Théorème de Pythagore Si le triangle est rectangle en, alors hypoténuse Réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle, , alors le triangle est rectangle en. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle Dans le triangle rectangle en, le cosinus de l angle est : cos mesure du côté adjacent mesure de l hypoténuse le sinus de l angle est : sin mesure du côté opposé mesure de l hypoténuse la tangente de l angle est : Hypoténuse ôté adjacent ôté opposé tan mesure du côté opposé mesure du côté adjacent sont les rapports trigonomé- Le cosinus, le sinus, la tangente de l angle triques de cet angle. 122

7 EXERIES ET PROLÈMES 10. alculs dans le triangle rectangle QM Théorème de Pythagore Le triangle est rectangle en ; 35. EXERIES 1 Un triangle est rectangle en ; 3,5 cm et 2 cm. alculer. orrigé l hypoténuse est [] (3, ; kl ll. 2 alcul de 2, puis de : 2 3,5 35 Dans chaque cas, donner la bonne réponse. 1. L angle droit est l angle : a. b. c. 2. L hypoténuse est le côté : a. b. c. 3. L angle a pour mesure : a. 25 b. 45 c Le théorème de Pythagore s écrit : a b c Point méthode ; EXE ; À l affichage on lit : 4,03 d où " 4 cm(valeur arrondie au dixième. NS et ns permettent de rappeler le résultat obtenu au calcul précédent. 2 Un triangle IJK est rectangle en I ; IJ 3,2 cm et JK 4 cm. alculer IK. orrigé L hypoténuse est JK. JK 2 IJ 2 + IK (3,2 2 + IK 2 ; NS ns J 3,2 EXE I 4 K Pour calculer la mesure d un côté dans un triangle rectangle : on repère l hypoténuse ; on écrit le théorème de Pythagore ; on reporte les valeurs connues et on isole le terme inconnu ; on termine le calcul à l aide de la calculatrice. IK (3,2 2 ;. alcul de IK 2, puis de IK : ; EXE ; On lit : 2,4 ; IK 2,4 cm. NS ns EXE 123

8 3 Le triangle est rectangle en. alculer (valeur arrondie au mm. 4 Le triangle est rectangle en. alculer (valeur arrondie au mm. 5 Soit un triangle rectangle en tel que 5 cm et 4 cm. 1. onstruire ce triangle en vraie grandeur et mesurer. 2. alculer (valeur arrondie au mm. 6 Un triangle PQR est rectangle en Q ; QR 5 cm et PR 6 cm. 1. onstruire le triangle en vraie grandeur et mesurer PQ. On placera d abord [QR]. 2. alculer PQ (valeur arrondie au mm. Pour les exercices 7 à 9, le triangle est un triangle rectangle en ; les mesures de deux côtés sont connues. alculer la mesure du troisième côté ,5 cm 6 ; 9. 7 ; cm 3,8 ; 8,2. 2,5 cm 5 cm Réciproque du théorème de Pythagore Point méthode On connaît les mesures des trois côtés d un triangle. Pour reconnaître si ce triangle est un triangle rectangle : on repère le plus grand côté du triangle ; on calcule le carré de la mesure de ce plus grand côté ; on calcule les carrés des mesures des autres côtés et on ajoute ces carrés ; on compare les résultats obtenus et on conclut : si les résultats obtenus sont égaux, alors le triangle est rectangle (l hypoténuse est le plus grand côté ; si les résultats obtenus sont différents, alors le triangle n est pas rectangle. 10 On considère un triangle tel que 40 mm ; 42 mm et 58 mm. e triangle est-il rectangle orrigé Le plus grand côté est [] ; ; On a : , donc le triangle est rectangle ; l hypoténuse est [], le triangle est rectangle en. 11 On considère un triangle PQR tel que PQ 24 cm ; QR 18 cm ; PR 20 cm. e triangle est-il rectangle orrigé Le plus grand côté est [PQ]. PQ PR 2 + QR ; PR 2 + QR On a : PQ 2 PR 2 + QR 2, donc le triangle PQR n est pas un triangle rectangle. 12 Un triangle est tel que 16 mm ; 34 mm ; 30 mm. Prouver que ce triangle est rectangle en. 13 Un triangle PQR est tel que PQ 14 mm, QR 50 mm, PR 46 mm. Prouver que ce triangle n est pas un triangle rectangle onstruire un triangle MNP tel que MN 2,3 cm ; MP 4,5 cm ; NP 5 cm. Mesurer l angle PMN. 2. Prouver que ce triangle n est pas rectangle. 124

9 10. alculs dans le triangle rectangle Pour les exercices 15 à 18, on considère un triangle IJK dont on donne les mesures des côtés. Dans chaque cas, indiquer, en justifiant la réponse, si ce triangle est rectangle ou non. Lorsqu il est rectangle, préciser quel est l angle droit IJ 20 ; JK 21 ; IK 29. IJ 45 ; JK 53 ; IK 28. IJ 10 ; JK 8 ; IK 12. IJ 5 ; JK 7 ; IK 9. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle 19 QM Dans chaque cas, donner la réponse choisie : Le triangle PQR est rectangle en P. P Q 1. Le côté opposé à l angle Q est : a. PQ b. PR c. QR 2. Le côté adjacent à l angle Q est : a. PQ b. PR c. QR 3. Le cosinus de l angle Q est : a. PR PQ b. PQ QR c. 4. Le sinus de l angle Q est : a. PR b. PQ PQ QR c. 5. La tangente de l angle Q est : a. PR b. QR PQ PQ c. Pour chacun des triangles suivants, on peut calculer directement cos ou sin ou tan. R PR QR PR QR PR QR 1. Indiquer, dans chaque cas, quel rapport trigonométrique (cos, sin ou tan, on peut calculer directement. 2. En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au millième. 15 Utilisation de la calculatrice ttention! Pour l utilisation de la calculatrice dans les calculs trigonométriques de ce chapitre, il faut s assurer qu elle est en mode degré. Si elle n est pas en mode degré, il faut l y mettre en effectuant la séquence suivante : DRG, ou pour sélectionner le degré, ; MODE alculer cos 57 ; sin 57 ; tan 57. orrigé OS 57 cos 57 EXE on lit : 0,5446 ; cos 57 " 0,545. SIN 57 sin 57 EXE on lit : 0,8386 ; sin 57 " 0,839. TN 57 2 MODE 1,8 tan 57 EXE on lit : 1,5398 ; tan57 " 1, ,

10 21 a désigne la mesure en degré d un angle aigu ; calculer la valeur arrondie au dixième de a sachant que cos a 0,69. orrigé SEONDE on lit : 46,369 ; au dixième 22 a " 46,4 (valeur arrondie Dans chacun des cas suivants, calculer les valeurs arrondies au millième de cos a, sin a, tan a. 1. a a a désigne la mesure en degré d un angle aigu ; on connaît soit cos a, soit sin a, soit tan a. Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur arrondie au dixième de a. 1. cos a 0, sin a 0, tan a 0, tan a 1,769. alcul de la mesure d un angle aigu d un triangle rectangle 0 24 OS 1 alculer la valeur arrondie au dixième de la mesure de l angle IJK. J cs 3,2 I EXE Point méthode Pour calculer la mesure d un angle aigu d un triangle rectangle connaissant deux côtés du triangle : on écrit le cosinus, le sinus, la tangente de l angle cherché ; on repère le rapport trigonométrique que l on peut calculer ; à l aide de la calculatrice, on calcule ce rapport trigonométrique, puis la mesure de l angle. 5,6 K orrigé,. les données permettent de calculer : EXE SEONDE on lit : 60,255 ;. 25 Un triangle rectangle en est tel que 36 mm et 45 mm. 1. onstruire le triangle. 2. alculer (valeur arrondie au dixième onstruire un triangle MNP rectangle en M tel que MN 42 mm et NP 45 mm. 2. alculer MPN (valeur arrondie au degré onstruire un triangle PQR rectangle en Q tel que PQ 47 mm et PR 55 mm. 2. alculer RPQ (valeur arrondie au dixième. alcul de la mesure d un côté d'un triangle rectangle 28 TN 1 tn ns NS EXE Point méthode Pour calculer la mesure d un côté d un triangle rectangle connaissant un angle aigu et un côté : on écrit les rapports trigonométriques de l angle connu ; on repère le rapport trigonométrique qui contient le côté cherché et le côté inconnu ; on isole le côté inconnu ; on termine le calcul à l aide de la calculatrice. Le triangle est rectangle en ; 65 et 35 mm. alculer. 126

11 10. alculs dans le triangle rectangle orrigé. cos cos OS cos 65 EXE 35 mm 65 " 14,8 (valeur arron- On lit : 14,791 ; die au dixième. 29 On considère un triangle rectangle en tel que 37 et 58 mm. 1. onstruire le triangle. 2. alculer. 3. alculer et (valeurs arrondies au dixième. 30 On considère un triangle MNP rectangle en M tel que NP 70 mm et P onstruire le triangle. 2. alculer N. 3. alculer MN et PM (valeurs arrondies au dixième. PROLÈMES *, **, *** : niveau de difficulté du problème - : problème corrigé (voir solution page 196. Dans tous les problèmes, l utilisation de la calculatrice est nécessaire. 31 ** D est un rectangle alculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de. 2. alculer la valeur arrondie au degré de. 32 ** D T O T 1. alculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mm de T. 2. alculer la valeur arrondie au degré de TT. 3 OT 4 cm O 12 cm 33 ** (d après un sujet de EP Le schéma cicontre représente D l écran d un téléviseur de format α 16/9 (les proportions ne sont pas L respectées sur la figure. La diagonale a pour mesure D 66,1 cm. 1. alculer la longueur L de l écran sachant que sa largeur a pour mesure 32,4 cm. On donnera la valeur arrondie au mm. 2. alculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l angle α. 3. Le format 16/9 signifie que L En utilisant cette propriété, calculer la largeur d un écran 16/9 dont la longueur est 80 cm. 34 ** (d après un sujet de EP en béton ayant la H forme d un octogone Sur une terrasse, on K installe une table 50 cm régulier représenté ci-contre. G 0 D haque côté de cette table mesure 50 cm. F E 127

12 1. alculer la mesure de l angle O. Exprimer cette mesure en degré. 2. alculer la mesure de l angle OK. Exprimer cette mesure en degré. 3. alculer la longueur de [OK]. Exprimer le résultat arrondi au millimètre. 4. En prenant 60 comme mesure de [OK] exprimée en centimètre, calculer l aire du triangle O. Exprimer ce résultat arrondi au cm alculer l aire de la table. Exprimer ce résultat en m ** (d après un sujet de EP Un parterre a la forme d un carré D de côté 5 m. On peut planter des fleurs dans le losange IJKL et de la pelouse dans la partie restante (non colorée. I D K 1. alculer l aire, en m 2, du parterre D. 2. alculer l aire, en m 2, du losange sachant que LJ mesure 3 m. Rappel : D d ; D et d mesures des 2 diagonales du losange. 3. En déduire l aire de la partie semée de pelouse. 4. On souhaite protéger les fleurs par une bordure. On désigne par O le point d intersection des diagonales du losange. a alculer OI et OJ. b Dans le triangle rectangle OIJ, calculer IJ (valeur arrondie au dixième. 5. En déduire une valeur approchée de la longueur totale de la bordure IJKL. 36 L O *** (d après un sujet de EP Le plan d une salle est représenté ci-après. ette salle se divise en deux parties : DIF : salle de réunion ; EIF : sanitaires. La salle de réunion sera recouverte de moquette et les sanitaires seront carrelés. J E 1. Indiquer les mesures, en degré de l angle et de l angle. 2. Indiquer la nature du triangle en justifiant la réponse. 3. En déduire, en mètre, la longueur. 4. alculer la valeur arrondie au cm de la longueur H. 5. alculer l aire 1, en m 2, du triangle (valeur arrondie au dm alculer l aire 2, en m 2, du rectangle DI. 7. alculer l aire, en m 2, de la salle de réunion (valeur arrondie au dm alculer, en mètre, la longueur IE. 9. alculer, en mètre, la longueur FI (valeur arrondie au cm. 10. alculer l aire c, en m 2, de la surface EFI à carreler (valeur arrondie au dm *** (d après un sujet de EP La figure DEF ci-dessous représente une plaque de rue. La droite (OO est axe de symétrie de la figure. O D E H H O F L arc D est un arc de cercle de centre O et de rayon O 29,7 cm. 1. a alculer la valeur arrondie au cm de H. b En déduire la cote. 2. alculer, en cm 2, l aire du quadrilatère O. F I D 10 otes en 15 mètres cotes en cm 128

13 10. alculs dans le triangle rectangle 3. alculer la mesure, en degré, arrondie à 0,1 de l angle HO. En déduire la mesure de l angle OO. 4. L aire d un secteur circulaire est donnée par la relation : πr2 α, avec 360 R : rayon de l arc de cercle α : mesure en degré de l angle du secteur. alculer l aire du secteur circulaire coloré. On prendra α 32,6 o. rrondir le résultat à l unité. 5. Déduire des résultats précédents l aire totale de la plaque de rue. 38 *** (d après un sujet de EP On réalise une voile de planche à voile représentée par la figure ci-dessous. Les cotes sont en mètres. D 4,45 ; G 2,50 ; D 0,90 ; 0,43 et DE 60. 4,45 0,90 D E F 6. En déduire l aire du triangle EF, arrondie à 0,01 m Quelle est la nature du quadrilatère FG Justifier la réponse. 8. alculer la cote, arrondie à 0,01 m. 9. On donne : F 1,04 m et G 2,46 m. alculer l aire du triangle G, arrondie à 0,01 m 2, puis l aire du quadrilatère FG. 10. Donner l aire totale de la voile. 39 *** (d après un sujet de EP Première partie Un flipper est incliné d un angle α par rapport à l horizontale otes en mm alculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l angle α. Deuxième partie e flipper comporte trois «bumpers» disposés en triangle. Les points, et sont au centre des bumpers. 200 mm ; 300 mm ; ,43 2,50 1. alculer la cote G et donner sa valeur arrondie à 0,01 m. 2. alculer cos G (valeur arrondie au millième. En déduire la mesure arrondie au degré des angles G et G. 3. Soit le secteur circulaire coloré DE. alculer son aire, arrondie à 0,01 m Déterminer la mesure de l angle EF. 5. alculer la cote EF, arrondie à 0,01 m. G 1. Quelle est la nature du triangle 2. alculer la mesure du segment []. On donnera la valeur arrondie au cm. 3. alculer les mesures des angles et. 40 *** (d après un sujet de EP Pour signaler un véhicule immobilisé dans un virage, on place un triangle de signalisation assimilable à un triangle équilatéral de côté 45 cm (figure de gauche. 45 cm. 129

14 triangle K 1. alculer, en cm, la longueur K de la hauteur du triangle. rrondir le résultat au dixième. 2. Le triangle de signalisation fait avec la route un angle de 76 o (figure de droite. Il est maintenu dans cette position par une tige assimilable au segment [SH] tel que : (SH est perpendiculaire à (H ; KH 5 cm. alculer, en cm, la longueur SH. rrondir le résultat à l unité. 41 *** (d après un sujet de EP Un échafaudage destiné à soutenir un arc en plein centre est constitué comme l indique le schéma ci-dessous. E F S route G D H 76 K 5 D 1. alculer la longueur. 2. alculer la tangente de l angle. 3. En déduire la mesure, en degré, de l angle. On donnera la valeur arrondie à 0,1. 4. alculer l aire, en m 2, de la salle. On donnera la valeur à 0, *** (d après un sujet de EP On veut réaliser une table ayant la forme d un hexagone régulier à partir d un plateau circulaire de centre O et de rayon R 0,6 m comme l indique la figure ci-dessous. J K. O L M O 4 m Sachant que est le milieu du demi-cercle, E le milieu de l arc et D le milieu de l arc, calculer : 1. la longueur du segment [] ; 2. la mesure de l angle OE ; 3. la longueur du segment [EF] ; 4. la longueur de l arc ; 5. l aire du demi-disque de diamètre [] ; 6. l aire du triangle E. Les longueurs seront exprimées au centimètre près, l angle au degré près, les aires au décimètre carré près. 42 ** (d après un sujet de EP La salle de repos d une crèche a la forme d un rectangle prolongé d un demi-disque. 4,20 m ; 5,60 m. I 1. alculer la mesure en degré de l angle KOL. 2. onstruire un cercle de rayon r 6 cm qui représente le plateau circulaire précédent. Déterminer l échelle utilisée. 3. onstruire un hexagone régulier IJKLMN inscrit dans ce cercle. Les questions 4., 5. et 6. concernent la figure obtenue. 4. Tracer la médiatrice du segment [KL]. On appelle H le point d intersection de cette droite avec [KL]. alculer OH à 0,1 cm près. 5. Donner la nature du triangle OKL. Justifier la réponse. alculer l aire du triangle OKL. 6. alculer l aire de l hexagone IJKLMN. 7. Des résultats précédents, déduire : a l aire réelle, en m 2, de la table ; b le pourcentage de chute du plateau initial. N 130

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