Rappels sur le dénombrement

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1 Rappels sur le déombremet Das tout ce qui suit, les démostratios e sot pas évidetes. Elles sot rédigées pour que ce rappel sur les déombremets soit le plus complet possible mais il est bie sûr pas écessaire de coaître toutes ces démostratios (cela peut être itéressat). La partie délicate est das la démostratio des formules doat les cardiaux de l esemble des applicatios etre deux esembles fiis ou ecore de l esemble des ijectios etre deux esembles fiis. Ue fois ceci effectué (ce que vous pouvez admettre), ce qui importe est de faire le lie etre ces otios et les cocepts de déombremet que vous utiliserez régulièremet e probabilités (doc de bie reteir la sectio 4). Das la suite, pour tout etier aturel, ous otos N = {0,..., } et N = N \ {0} = {1,..., }. Pour la démostratio des théorèmes qui suivet, ous feros appel à u résultat cou sous le om de pricipe des bergers. Théorème 1. Soiet E et F deux esembles tels que F soit fii et φ ue applicatio de E das F. S il existe p N tel que pour tout y F, Card (φ 1 ({y})) = p, alors E est fii et Card (E) = pcard (F). 1. Esemble des applicatios de E das F Pour tout esemble E et tout esemble F, o ote F E l esemble des applicatios de E das F. Théorème 2. Soiet et p deux etiers aturels. O cosidère deux esembles fiis, E et F de cardiaux respectifs p et. L esemble F E des applicatios de E das F est fii et so cardial est Card ( F E) = (Card F) Card E = p. Pour tout etier aturel p, otos P(p) la propositio pour tout esemble fii E à p élémets et tout esemble fii F à élémets o a Card ( F E) = (Card F) Card E = p. Iitialisatio La propriété P(0) est vraie. E effet, il existe u seul esemble à 0 élémet, l esemble vide. Or, pour tout esemble fii F, il existe qu ue applicatio de l esemble vide vers F (que l o appelle l applicatio vide). Das ce cas o a bie Card F = 1 = (Card F) 0. Hérédité Soit p u etier aturel tel que la propriété P(p) soit vraie. O cosidère alors u esemble E à p + 1 élémets et u esemble fii F à élémets. E ayat au mois u élémet, fixos a E et posos E = E \ {a}. L esemble E ayat p élémets, ous avos par hypothèse de récurrece Card (F E ) = p. 1

2 2 O cosidère alors l applicatio suivate φ : F E F E f f E A toute foctio de f F E elle associe sa restrictio à E. C est-à-dire que pour toute foctio f F E et tout x E, f E (x) = f(x). Pour toute applicatio f F E, f a autat d atécédet par φ qu il y a de faço de la prologer e ue applicatio de E das F, c est-à-dire autat qu il y a de choix pour détermier f(a). f(a) peut predre autat de valeurs qu il y a d élémets das F : soit choix. O e déduit que pour tout f F E, Card ( φ 1 ({f}) ) =. E appliquat le pricipe des bergers, ous obteos d ue part que l esemble F E est fii et d autre part, e appliquat l hypothèse de récurrece, que Card (F E ) = Card (F E ) = p+1. L hérédité est bie prouvée. Le pricipe de récurrece ous permet doc de coclure que pour tout esemble fii E à p élémets et tout esemble fii F à élémets o a Card ( F E) = (Card F) Card E = p. 2. Esemble des ijectios de E das F Pour tout esemble E et tout esemble F, o ote maiteat Ij(E, F) l esemble des ijectios de E das F. Théorème 3. Soiet et p deux etiers aturels. O cosidère deux esembles fiis, E et F de cardiaux respectifs p et. L esemble Ij(E, F) des ijectios de E das F est fii et so cardial est Card (Ij(E, F)) = A p. Pour tout etier aturel p, otos P(p) la propositio pour tout esemble fii E à p élémets et tout esemble fii F à élémets o a Card (Ij(E, F)) = A p. Iitialisatio La propriété P(0) est vraie. E effet, il existe u seul esemble à 0 élémet, l esemble vide. Or, pour tout esemble fii F à élémets, il existe qu ue applicatio de l esemble vide vers F (que l o appelle l applicatio vide) et cette applicatio est ijective. Das ce cas o a bie Card (Ij(, F)) = A 0 = 1. Hérédité Soit p u etier aturel tel que la propriété P(p) soit vraie. O cosidère alors u esemble E à p + 1 élémets et u esemble fii F à élémets. Si o a Card E > Card F (doc si p + 1 > ) il y a pas d ijectios de E das F (si o choisit ue applicatio de E das F elle associera écessairemet la même image à deux élémets disticts de E). Das ce cas, Card (Ij(E, F)) = 0 et o a égalemet A p+1 = 0. La propriété P(p + 1) est doc vraie. Supposos maiteat que l o ait p + 1. E

3 3. ENSEMBLE DES PARTIES à k éléments DANS UN ENSEMBLE EN CONTENANT 3 ayat au mois u élémet, fixos a E et posos E = E \ {a}. L esemble E ayat p élémets, ous avos par hypothèse de récurrece O cosidère alors l applicatio suivate Card ( Ij(E, F) ) = A p. φ : Ij(E, F) Ij(E, F) f f E qui à toute ijectio de E das F associe sa restrictio à E (qui est bie ijective). Choisissos alors u élémet f Ij(E, F) et détermios le ombre d atécédets de f par l applicatio φ. f a autat d atécédets par φ qu il y a de faços de prologer f e ue applicatio ijective de E das F. Il faut doc détermier le ombre d image que l o peut choisir pour a qui e sot pas déjà des images d élémets de E par f. O peut doc choisir pour image de a par f importe quel élémet de F \ f(e ). Puisque f est ue applicatio ijective de E das F et que p <, ous avos Card (f(e )) = p. Fialemet, pour tout f Ij(E, F), Card ( φ 1 ({f}) ) = p. E appliquat le pricipe des bergers, ous obteos d ue part que l esemble Ij(E, F) est fii et d autre part, e appliquat l hypothèse de récurrece, que Card Ij(E, F) = ( p)card Ij(E, F) = ( p)a p = A p+1. L hérédité est bie prouvée. La propriété état héréditaire, le pricipe de récurrece permet d affirmer que pour tout esemble fii E à p élémets et tout esemble fii F à élémets o a Card (Ij(E, F)) = A p. 3. Esemble des parties à k élémets das u esemble e coteat Pour tout esemble fii E et tout k N, o ote C k (E) l esemble des parties à k élémets de E. Théorème 4. Soiet u etier aturel et p u etier aturel iférieur ou égal à. Soit alors E u esemble fii de cardial. L esemble C k (E) des parties à k élémets de E est fii et so cardial est Card (C k (E)) = ( ). k Soiet E u esemble fii de cardial et k u etier aturel iférieur ou égal à. O cosidère l esemble des ijectios de N k das E, Ij(N k, E) et l applicatio φ : Ij(N k, E) C k(e) f f(n k ) qui à toute ijectio f Ij(N k, E) associe f(n k ) = {f(1),, f(k)} qui est bie ue partie de E à k élémets puisque f est ue ijectio (e d autres termes, pour tout (i, j) (N k )2, si i j alors

4 4 f(i) f(j)). De plus, toute partie de E à k élémets à exactemet k! atécédets das Ij(N k, E) par φ. L utilisatio du pricipe des bergers ous permet doc de coclure que C k (E) est fii et que ( ) Card (C k (E)) = k!card (Ij(N k, E)) = k!ak =. k 4. Applicatios 4.1. p-listes. Soit E u esemble fii de cardial N. Pour tout p N, o appelle esemble des p-listes d élémets de E l esemble L(p, E) = {(x i ) 1 i p ; i N p, x i E} = E p. Il s agit doc de l esemble des p-uplets d élémets de E (o écrit toutes les listes de logueur p que l o peut créer à partir des élémets de E, e ayat le droit de répéter plusieurs fois le même élémet et e différeciat deux listes coteat les mêmes élémets mais écrits das u ordre différet). Par exemple, si p = 2 et si E = {1, 2, 3}, o a L(2, {1, 2, 3}) = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}. O a autat d élémets das L(p, E) qu il y a d applicatios de N p das E. D après le théorème 1 o sait qu il y a p applicatios de N p das E. Fialemet, il y a p listes de logueur p créées à partir d élémets de E Arragemets. Soit E u esemble fii de cardial N. Pour tout p N, o appelle esemble des p-arragemets d élémets de E et o ote A(p, E), l esemble des p-listes d élémets de E sas répétitio (o écrit toutes les listes de logueur p que l o peut créer à partir des élémets de E sas avoir le droit de répéter plusieurs fois le même élémet et e différeciat deux listes coteat les mêmes élémets mais écrits das u ordre différet). Par exemple, si p = 2 et si E = {1, 2, 3}, o a A(2, {1, 2, 3}) = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}. O a autat d élémets das A(p, E) qu il y a d ijectios de N p das E (o e compte pas les applicatios qui associe la même image das E à deux élémets disticts de N p). D après le théorème 2 o sait qu il y a A p =! ( p)! ijectios de N p das E. Fialemet, il y a A p p-arragemets d élémets de E p-combiaisos. Soit E u esemble fii de cardial N. Pour tout p N, o appelle esemble des p-combiaisos d élémets de E et o ote C(p, E), l esemble des parties de E à p élémets (o écrit toutes les listes de logueur p que l o peut créer à partir des élémets de E sas avoir le droit de répéter plusieurs fois le même élémet et sas différecier deux listes coteat les mêmes élémets mais écrits das u ordre différet). Par exemple, si p = 2 et si E = {1, 2, 3}, o a C(2, {1, 2, 3}) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

5 4. APPLICATIONS 5 D après le théorème 3 o sait qu il y a ( ) p =! p!( p)! parties de E à p élémets. Fialemet, il y a ( ) p p-combiaisos d élémets de E Permutatios. Soit E u esemble fii de cardial N. O appelle permutatio de E toute bijectio de E das lui même (c est-à-dire ue faço de lister tous les élémets de E sas répétitio). E état fii, o a autat de bijectios de E das E que d ijectios de E das lui-même. D après le théorème 2, il y a doc A =! permutatios das E.