Electromagnétisme 2 : Champ Magnétostatique

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1 Electromagnétisme 2 : Champ Magnétostatique I Sources et champ magnétostatique I - 1 a) Définition Distribution de courant Le courant électrique caractérise un mouvement d ensemble de particules chargées. On appelle intensité du courant électrique le débit de charge, soit la quantité de charge traversant la surface S par unité de temps. I = dq dt Soit n la densité particulaire de charges mobiles. La charge dq passant à travers la surface S pendant dt est la quantité de charges contenues dans le volume dτ = vdts dq = n q 0 dτ = n q 0 Svdt L intensité est alors I = n q 0 Sv On définit le vecteur densité volumique de courant par j = n q 0 v = ρm v On remarque que I = j.d S S L intensité du courant électrique est le flux du vecteur densité volumique de courant à travers la surface S b) Distribution de courant Distribution volumique : caractérisée par j Le courant se répartit dans un volume. On trouve l intensité qui circule à travers une surface S de la distribution par : I = j.d S S Distribution surfacique : caractérisée par j S Le courant se répartit uniquement à la surface. Nous n étudierons pas ce cas de figure (hors-programme) 1

2 Distribution linéique : caractérisée par I Le courant suit la courbe. Cette modélisation est valide pour S l, c est à dire si la section du volume est faible devant sa longueur. Remarque : Pour qu un courant circule il faut que le circuit soit fermé I - 2 Symétrie et invariances a) Distribution de courant Symétrie plane : Au point P = Sym Π (P ) on a j (P ) = Sym Π ( j (P )) antisymétrie plane : Au point P = Sym Π (P ) on a j (P ) = Sym Π ( j (P )) Invariances Par translation //(Oz) : j (r, θ, z) = j (r, θ) z Par rotation autour de (Oz) : j (r, θ, z) = j (r, z) θ Symétrie cylindrique : j (r, θ, z) = j (r) (θ, z) Attention : La direction de j est quelconque Symétrie sphérique : j (r, θ, ϕ) = j (r) (θ, ϕ) (plus rare) 2

3 b) conséquences sur le champ D après le principe du Curie, les symétrie et invariances des sources (ici courants) se répercutent sur le champ B Cependant à cause du produit vectoriel dans la définition de B par la force magnétique F = q v B, les symétries de B sont opposées à celles de la distribution. M = Sym Π (M) v (M ) = Sym Π ( v (M)) F (M ) = Sym Π ( F (M)) B (M ) = Sym Π ( B (M)) Plan de symétrie Un plan de symétrie de la distribution de courant devient un plan d antisymétrie du champ B Le champ B en un point M d un plan de symétrie est perpendiculaire à Π Plan d antisymétrie Un plan d antisymétrie de la distribution de courant devient un plan de symétrie du champ B Le champ B en un point M d un plan d antisymétrie appartient à ce plan. Remarque : B est appelé pseudo-vecteur ou encore vecteur axial Remarque 2 : Un plan d antisymétrie de la distribution de charge donne la direction de E Un plan de symétrie de la distribution de courant donne la direction de B 3

4 I - 3 Topographie a) Sprire circulaire Les lignes de champ se resserrent au centre de la spire (champ plus intense). Elles s enroulent autour des sources et sont fermées Symétries Le plan de la spire est un plan de symétrie des courants Π B est perpendiculaire au plan de la spire Le plan médiateur est un plan d antisymétrie des courants Π B appartient à ce plan Règle d orientation : Les lignes de champ sont orientées selon la règle de la main droite (ou du tir-bouchon) par rapport aux courants b) Fil infini Les lignes de champ s enroulent autour des sources et sont fermées La règle de la main droite donne l orientation des lignes de champ Symétries : Les plans contenant le fil sont des plans de symétrie, B leur est perpendiculaire Les plans perpendiculaires au fil sont des plans d antisymétrie, B leur est perpendiculaire 4

5 c) Le solénoïde Il s agit d une longue bobine (l R) Les lignes de champ sont canalisées par le solenoïde, elles s enroulent autour des sources et sont fermées Symétries : Les plans contenant l axe du solénoïde sont des plans de d antisymétrie, B leur appartient Les plans perpendiculaires à l axe du solénoïde sont des plans de symétrie, B leur est perpendiculaire II Circulation et flux II - 1 Circulation non conservative. Théorème d Ampère On définit la circulation de B sur un contour (Γ) par C Γ = B.dOM (Γ) Pour un contour orienté fermé (Γ), on peut définir une surface orientée (S) s appuyant sur ce contour. L orientation de la surface (ouverte) est déduite de celle de Γ par la règle de la main droite On admet que la circulation de B n est pas conservative. La circulation de B sur un contour fermé est liée aux sources de B par le théorème d ampère. Théorème d Ampère Soit B un champ magnétique créé par un courant I et un contour fermé (Γ) quelconque C Γ = B.dOM = µ0 I enlacee (Γ) La circulation de B sur le contour fermé (Γ) est égale à l intensité algébrique enlacée par ce contour On rappelle que I enlacee = (S) j.d S avec (S) s appuyant sur (Γ). Remarque : Dans les circuits filiformes I enlacee = k ɛ ki k avec ɛ k = +1 si I k dans le sens de n avec ɛ k = +1 si I k dans le sens opposé à n 5

6 II - 2 a) Principe Application au calcul du champ magnétique Comme pour le théorème de Gauss, on va mettre le théorème d Ampère à profit pour relier le champ à ses sources. On étudiera des systèmes à haute symétrie dans lesquels C s exprime simplement 1. Choix des coordonnées 2. Analyse des invariances et symétries 3. Choix du contour d Ampère fermé Passant par M Tel que B (M)//d OM Tel que B (M) = cst Alors C = B.dOM = (Γ) (Γ) B.dOM = B(M) dom = B(M)L (Γ) (Γ) 4. Calcul de l intensité enlacée : I enlacee = k ɛ ki k ou I enlacee = (S) j.d S 5. Application du théorème d Ampère C = µ 0 I enlacee = B(M)L Γ B(M) = µ 0I enlacee L Γ Remarque : Le contour d ampère est une ligne de champ de B ( B //d OM) b) fil infini On va utiliser les coordonnées cylindriques pour décrire le système B = Etudier les invariances et symétries de la distribution de courant et simplifier l expression de B(M) 6

7 En choisissant comme contour d Ampère un cercle de rayon r centré sur le fil et passant par M, exprimer la circulation du champ magnétique Appliquer le théorème d Ampère et déterminer B(M) c) Cylindre plein infini (fil de section non nulle) La densité de courant est uniforme dans le cylindre d axe Oz j = j 0 ez On va utiliser les coordonnées cylindriques pour décrire le système B = Etudier les invariances et symétries de la distribution de courant et simplifier l expression de B(M) 7

8 En choisissant comme contour d Ampère un cercle de rayon r centré sur le fil et passant par M, exprimer la circulation du champ magnétique Déterminer l intensité enlacée par le contour d Ampère, on distinguera les cas r < R et r > R. Appliquer le théorème d Ampère et déterminer B (M) d) Le solénoïde infini Le solénoïde possède n spires par unité de longueur parcourues par un courant I 0, enroulées sur un cylindre infini (l R) d axe Oz et de rayon R. On a vu avec l étude des lignes de champ que B (Mext ) = 0 on cherche donc B (M int ) On choisit le meilleur système de coordonnées : B = 8

9 On étudie les invariances et symétries de la distribution de courant pour simplifier l expression de B(M) En choisissant comme contour d Ampère un cadre de hauteur H et de longueur L entourant quelques spires déterminer l expression de la circulation du champ B On détermine l intensité enlacée par le contour d Ampère On applique enfin le théorème d Ampère pour déterminer B (M) III Flux conservatif Rappel : Le flux de B à travers une surface S est défini par φ B = S B.d S Le flux de B s exprime en Weber (Wb), 1W b = 1T.m 1 Propriété : Le flux de B à travers une surface fermée est conservatif φ B = B.d S = 0 Cette propriété s explique par le fait que les lignes de champ du champ magnétique soient fermées 9

10 Application : Canalisation du flux magnétique Considérons un tube de champ, constitué de lignes de champ s appuyant sur un contour fermé (Γ 1 ) La surface S 1 S 2 S lat est fermée B.d S = Or S lat est constituée de lignes de champ donc D autre part B. S 1 < 0 et B. S2 > 0 En notant φ 1 = S 1 B.d S et φ2 = S 2 B.d S On a alors φ 1 = φ 2 Le flux sortant par S 1 est l opposé du flux sortant par S 2, en d autre terme tout le flux entrant par S 1 ressort par S 2. On a canalisé le flux Remarque : Si B est uniforme sur S 1 et S 2 alors B 1 S 1 = B 2 S 2. Si S 2 S 1 alors B 2 B 1 IV Dipole magnétique IV - 1 Définition On remarque que les lignes de champ d un dipole électrostatique et d une spire de courant sont très similaires. Ceci nous amène à définir par analogie un dipôle magnétique. Le moment magnétique associé à une boucle élémentaire s écrit M = I S où I est le courant parcourant la boucle et S sa surface. Le moment magnétique est : Normal à la spire Dans le sens donné par la règle de la main droite Proportionnel à I et à S Bien que cela soit souvent le cas, la boucle élémentaire n est pas forcément circulaire 10

11 IV - 2 Champ du dipôle a) Symétries et invariances (M, e r, e θ ) = Π donc B ϕ = 0 On a invariance par rotation autour de Oz donc B est indépendant de ϕ Ainsi B r (r, θ) B (M) = B θ (r, θ) 0 Remarque : Le plan de la spire est plan d antisymétrie (Π ), si M = Sym Π (M) alors B (M ) = Sym Π ( B (M)) b) Approximation dipolaire On se place loin du dipôle, c est à dire r R On raisonne par analogie avec le champ E créé par un dipôle p On a alors : c) Topographie E B p M 1 ɛ 0 µ 0 µ 0 2Mcosθ B (M) = er 4π r 3 + µ 0 4π Msinθ eθ r 3 Les lignes de champ sont similaires à celles d un dipôle électrostatique IV - 3 Actions d un champ magnétique extérieur sur M a) Rappel : Force de Laplace Un élément de courant I dl soumis à l action d un champ extérieur B ext subit une force de Laplace élémentaire df = I dl B ext 11

12 b) Résultante des actions Force Lorsqu on intègre la force de Laplace sur la boucle de courant, sachant que I et B ext sont constants, il vient : ( ) F = df = I dl B ext = 0 Le Force de Laplace totale est nulle Couple spire spire En revanche il existe un couple de force de moment résultant Γ = M B c) Energie potentielle d intéraction On a vu en induction que E p = Iφ ext où φ ext est le flux de B ext à travers la surface de la boucle de courant Pour la spire élémentaire E p = Iφ ext = I B ext. S = I S B ext Finalement : E p = M. B ext d) Equilibre Le couple Γ = M B ext tend à aligner M sur B ext l équilibre est stable si M est dans le sens de B ext l équilibre est instable si M est opposé à B ext Remarque : Dans un champ extérieur non uniforme, il apparait une force résultante (d ordre 1) donnée par l énergie potentielle : F = grade p = grad( M. B ) IV - 4 Analogies entre p et M Dipôle électrostatique Dipôle magnétostatique Distribution doublet de de charges ( q, +q) Spire de courant Moment dipolaire Champ lointain Force sur le dipôle p = q A A + E = 2pcosθ 4πɛ 0 r 3 er + p sin θ 4πɛ 0 r 3 eθ F = 0 si E ext est uniforme B = 2Mcosθ M = I S µ 0 r 3 4π er + M sin θ r 3 µ 0 4π eθ F = 0 si B ext est uniforme Couple Γ = p E ext Γ = M B ext E p E p = p. E ext E p = M. B ext 12