Magnétostatique. Les équations de Maxwell lorsqu aucune grandeur ne dépend du temps, imposent aux champ magnétique de satisfaire les conditions :

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1 Magnétostatique Nous nous plaçons dans un cas de statique (aucune grandeur ne dépend du temps) et nous recherchons le champ électrique généré par une distribution de courants j ( M ). Les équations de Maxwell lorsqu aucune grandeur ne dépend du temps, imposent aux champ magnétique de satisfaire les conditions : div B = 0 Rot B = o j omme dans le cas de l électrostatique, nous allons interpréter les conséquences de ces deux relations. I. onséquence de la relation en divergence : flux conservatif omme en électrostatique, une équation en divergence conduit à une propriété sur le flux à travers une surface fermée (le lien étant fait par le théorème d Ostrogradski). 1. Flux du champ magnétique à travers une surface femée onsidérons un volume V entouré par une surface S (orientée par ses normales extérieures). Le théorème d Ostrogradski appliqué au champ magnétique donne : (S) B (P). d S P = (V) (div B ) Q d Q P : point de la surface, centre du ds Q : point dans le volume, centre du dτ (S) : surface fermée orientée vers l'extérieur (V) : volume intérieur à (S)

2 Or les équations de Maxwell imposent div B = 0 Donc (V) (div B ) Q d Q = 0 pour tout volume V. Donc finalement : (S) B (P). d S P = 0 S surface fermée orientée par ses normales extérieures Le flux du champ magnétique est nul à travers toute surface fermée. 2. Evolution du module de B Un tube de champ est la portion de l espace contenue à l intérieur des lignes de champ s appuyant sur une courbe fermée. En électrostatique, et en nous plaçant dans une portion de l espace ne comportant aucune charge, donc vérifiant l équation locale div E = 0, nous avions établi qu une divergence des lignes de champ électrique s accompagnait d une diminution du module du champ E. Donc en procédant de la même manière avec le champ magnétique qui vérifie div B = 0 : Un évasement des lignes de champ (on dit encore qu elles divergent!) correspond à une diminution du module du champ magnétique. II. onséquence de la relation en rotationnel : Théorème d Ampère omme en électrostatique, une équation en rotationnel conduit à une propriété sur la circulation le long d une courbe fermée (le lien étant fait par le théorème de Stokes). 1. Enoncé du théorème d Ampère La circulation du champ magnétique conduit au théorème d'ampère, qui s'exprime en respectant certaines conventions d'orientation.

3 a) Orientation d'une surface s'appuyant sur une courbe fermée orientée ds Σ Soit une courbe fermée et orientée. Soit Σ une surface s'appuyant sur ; cette surface n'est pas fermée. On déduit l'orientation de la surface Σ à partir de celle de par la règle du tire bouchon, qui, tourné dans le sens donné par, perce Σ dans le sens à donner aux ds. La face de Σ par laquelle entrent les vecteurs ds est appelée face Sud de Σ et de ; La face de Σ par laquelle sortent les vecteurs ds est appelée face Nord de Σ et de. b) irculation de B le long d'une courbe fermée Soit une courbe fermée et Σ une surface s'appuyant sur, orientée par la règle du tire bouchon à partir de l orientation de. alculons la circulation du champ magnétique le long de cette courbe : (c) B (N). d l N = (, TB ) (Rot B ) P. d S P d après le théorème de Stokes. Donc (c) B (N). d l N = (, TB ) o j (P). d S P Or (, TB ) j (P). d S P est le flux d un vecteur densité de courant à travers une surface, c est donc l intensité traversant cette surface qui est bordée par la courbe. (, TB ) j (P). d S P = I e appellée intensité enlacée par la courbe, comptée positivement quand elle traverse la surface Σ dans le sens des d S P donc de la face sud vers la face nord. On aura donc : (c) B (N). d l N = o I e Théorème d Ampère

4 Exemples : B. dl = µ ο Ι ο B. dl = µ ο Ι ο B. dl = 2 µ ο Ι ο B. dl = 0 2. Symétries et invariances De même que pour le théorème de Gauss, le théorème d Ampère ne permettra le calcul du champ en un point donné de l'espace que si l'on sait passer de la circulation de B, qui dépend de la valeur du champ en chaque point de la courbe, à B (M) valeur en un point M de. eci ne sera possible que si B présente des propriétés remarquables sur S : B (N) est en tout point colinéaire à d l N ou colinéaire sur une partie de la courbe et normal ailleurs, B (P) à même module partout... On commencera par rechercher l'existence éventuelle de propriétés remarquables présentées par le champ magnétostatique dans l'espace ; es propriétés guident alors le choix de la courbe sur laquelle on applique le théorème d Ampère. Il faut donc pourvoir prévoir de telles propriétés du champ... Avant de l avoir calculé! es propriétés résultent des éventuelles propriétés de symétries ou d invariances de la distribution de courants. Nous admettrons les propriétés suivantes : Lorsque la distribution de courants présentent des propriétés remarquables de symétrie, on peut en déduire des informations quant à la direction du champ B en certains points de l'espace : * si la distribution est invariante par translation, B sera aussi invariant par cette même translation ; * si la distribution est invariante par rotation, B sera aussi invariant par cette même rotation ;

5 Si Π est un plan de symétrie pour la distribution de courants si les lignes de courant de la distribution sont symétriques par rapport à Π, et parcourues dans le même sens ( fig 1 ) alors. B est normal à ce plan en tout point M de ce plan. Si Π est un plan d antisymétrie pour la distribution de courants si les lignes de courant de la distribution sont symétriques par rapport à Π, et parcourues en sens contraires ( fig 2 ). Alors B est contenu dans ce plan en tout point de ce plan. w Π fig 1 fig 2 Π III.Exemples d application Recherchons sur quelques exemples les expressions des champs créés par des distributions de courants. 1. Fil infini parcouru par un courant d intensité I Π2 Ι Μ Β Π1 Π 1 laisse les courants inchangés, Π 2 les changent en leurs opposés. Il en résulte qu'en coordonnées cylindriques B n'a de composante que sur e B est indépendant de θ (invariance par rotation) B est indépendant de z (invariance par translation). Donc B (M) = B(r) e Les lignes de champ sont donc des cercles concentriques, centrés sur le fil, et tracés dans des plans orthogonaux au fil. On choisit pour courbe pour appliquer le théorème d Ampère un cercle de rayon r, passant par M, tracé dans le plan Π 2 et centré sur le fil. On oriente cette courbe dans le sens des. Une surface Σ s appuyant sur cette courbe est le disque bordé par ; l orientation par la règle du tire bouchon donne des ds dans le sens de. Le courant I correspond alors au courant enlacé. e z e Le théorème d Ampère donne alors : (c) B (N). d l N = o I e Soit (c) B(r) e. r d e = 2 r B(r) = o I

6 Donc B(r) = o I 2 r soit B (M) = o I e 2 r 2. Fil épais et infini On améliore le modèle précédent en tenant compte du caractère non infiniment fin du fil : il a un rayon R. On admet que le courant s y répartit de façon uniforme, correspondant à une densité de courant j = j e z L étude des symétrie est invarainces est identique à celle du cas précédent, donc on aura de même B (M) = B(r) e ; on choisit donc le même cercle passant par M pour appliquer le théorème d Ampère; Le théorème d'ampère s'écrit alors : 2π r B(r) = µ o I encerclé. * en M 1 extérieur au fil : I encerclé par 1 = I M 2 M 1 B Donc B = o I 2 r * en M 2 intérieur au fil : I encerclé par 2 = j entourée par 2 * ds B I Or j Donc I encerclé = est uniforme, donc I R 2 ds = I r2 R 2 j = I R 2 e z ; ds = ds e z D'où B = o I 2 r R 2 R r 3. Solénoïde infini Un solénoïde est constitué d un très grand nombre de spires jointives, coaxiales, placées les unes à coté des autres. Toutes ces spires sont parcourues par le même courant I.

7 O Ι x 1 n dx spires x 2 x On peut découper ce solénoïde en petites tranches de largeur dx, et compter le nombre de spires contenues dans cette largeur ; elle sera proportionnelle à dx, donc pourra s écrire sous la forme : dn = n dx où n représente donc le nombre de spires par mètre. Si le solénoïde est infini, tout plan orthogonal à l'axe est un plan de symétrie. Donc en tout point de l'espace, B est colinéaire à l'axe. En coordonnées cylindriques, compte tenu de l'invariance par rotation autour de l'axe, et par translation parallèlement à l'axe, il vient donc B ( M) = B ( r ). e x Déterminons B(r) en utilisant le théorème d'ampère sur un contour rectangulaire, dont les grands cotés sont parallèles à l'axe, l'un sur l'axe et l'autre distant de r de cet axe, et de longueur h : r I h B * dl = h ( B (0) - B( r ) ) = µ o I e Or I e est nul si r < R ; Le champ est donc uniforme dans le volume intérieur au solénoïde. En tout point de ce volume, B int = B(0). Pour r > R, nous admettrons que le champ magnétique B(r) est nul (conformément aux cartes de champ magnétique vues en Sup). Le théorème d Ampère h ( B (0) - B( r ) ) = µ o I e devient alors h B int = µ o n h I D'où B int = o n I e x 4. Bobine torique Une bobine torique est constituée par un enroulement de spires autour d un tore. Voir exercice

8 IV. Actions mécaniques en présence d un champ magnétique es actions mécaniques (force et couple) ont été vues en Sup ; nous nous contenterons de les rappeler et éventuellement de compléter dans le cas d une description mésoscopique. 1. Force de Laplace subies par un circuit filiforme a) Force de Laplace sur un élément de circuit filiforme onsidérons le cas d un circuit filiforme parcouru par un courant I, et plongé dans un champ magnétique extérieur B. Dans le cas d'un circuit filiforme, on définit un vecteur courant. dl tangent au fil et orienté dans le sens du Il subit une force de Laplace d F donnée par : df = I dl. B force de Laplace sur dl Rmq : ette force est perpendiculaire au fil. Elle ne peut donc pas participer à la mise en mouvement des charges et donc ne peut pas modifier la valeur du courant dans le fil. b) Résultante des forces de Laplace sur un circuit filiforme onsidérons un circuit filiforme ; La force subie par une portion AB de ce fil sera : B B F = df = I dl. B A A Si en plus le circuit filiforme est plongé dans un champ uniforme : Β F = I ( dl ). B A B e F = I AB. B Ι F = I AB. B Α La force de Laplace subie par une portion AB de circuit est alors indépendante de la forme du circuit, en champ uniforme. Il résulte de cette expression que la résultante des forces de Laplace sur un circuit fermé plongé dans un champ uniforme ( = indépendant des variables d'espace) est nulle. R = 0 Ensemble du circuit fermé, champ uniforme

9 2. Forces de Laplace sur une distribution volumique de courant a) as d une densité de courant uniforme onsidérons un circuit non filiforme de section S faible, parcouru par un courant d intensité I correspondant à une distribution volumique de courant j uniforme j = j e z j Section ds, longueur dl Dans le cas d'un circuit filiforme, on définit un vecteur courant. dl tangent au fil et orienté dans le sens du D'où j = j dl / dl parcourt. et d = S dl ; or I= j S avec S section du fil et I intensité du courant qui le Donc I dl = j S dl = j e z d = j d L'expression de d F devient alors : df = j d. B force de Laplace sur dτ b) Généralisation Nous admettrons l expression générale de la force de Laplace subie par un volume parcouru par une densité de courant, même si cette densité de courant ou le champ ne sont pas uniformes : F = V j d. B

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