Equations Electromagnétiques Modifiées

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1 1 Equations Electromagnétiques Modifiées Equations de Maxwell Les lois du champ électromagnétique exprimées par Maxwell sous forme différentielle sont : ; (1) ; (2) ; (3),. (4) où est le champ électrique, le champ magnétique, - la densité de charge électrique, -la densité de courant, -la vitesse de la lumière, -la perméabilité diélectrique, et - la constante électrique. Le champ magnétique est un champ rotationnel ; on le désigne par de son potentiel vecteur ( ),,. (5)

2 2 Ce qui permet d exprimer le champ électrique comme suit :. (6) Puisque le système (1-4) ne détermine pas l équation de mouvement de la charge dans le champ électromagnétique, on le complète alors par l expression de la force de Lorentz :. (7) L analyse de la solution du système d équations (1-6) fait apparaître certains paradoxes. Considérons quelques-uns parmi eux. Synchronisation de phase entre les vecteurs et La solution de l équation ondulatoire obtenue à partir des équations (1) et (2) montre que les vecteurs et sont synchrones en phase, c.à.d. qu ils passent simultanément par leur maximum; cela signifie que la transformation mutuelle dans l onde électromagnétique entre les champs électrique et magnétique n existe pas en réalité. Par suite, le modèle physique connu pour la propagation des radio-ondes comme étant des oscillations des vecteurs et n est pas bien-fondé.

3 3 Absorption d énergie par un conducteur parcouru par un courant En électrodynamique traditionnelle le vecteur de Poynting s écrit sous la forme suivante :. Cette écriture confuse mène parfois à des contradictions. Considérons une d entre elles dans l exemple connu suivant. Soit I l intensité d un courant continu passant par un conducteur de résistance négligeable (fig.1). Ce courant crée un champ tique, dirigé suivant les tangentes aux cercles, construits autour du conducteur. En même temps, un champ électrique est créé parallèlement au courant à la surface de ce conducteur. Les vecteurs et sont perpendiculaires, c est pourquoi, le vecteur de Poynting est radial à l intérieur du conducteur. Ainsi, une certaine énergie de l espace environnant doit pénétrer dans le conducteur parcouru par un courant continu. I Fig.1. Vecteur de Poynting au voisinage d un conducteur Mais l expérience ne montre pas l existence de tels flux d énergie. Elle montre au contraire leur existence seulement pour le courant alternatif.

4 4 Méthode incorrecte pour le calcul de la f.é.m. de l induction électromagnétique La densité de courant dans l enroulement secondaire d un transformateur est déterminée par la loi d Ohm sous forme différentielle comme suit : où, on a utilisé la formule (6). Généralement la conductivité du métal de l enroulement du secondaire est très haute. C est pourquoi, le champ électrique est très faible pour des valeurs finies de la densité de courant : D autre part, la force électromotrice ( f.é.m.) dans le secondaire est calculée par : ce qui correspond bien aux valeurs expérimentales., Ainsi, on voit que la tension aux bornes du secondaire dépend de la conductivité de son métal. Mais cela ne correspond pas à la réalité, car la méthode de calcul de la force électromotrice est basée sur la contradiction suivante : d une part, on considère le champ électrique comme étant la cause de la polarisation du conducteur, créant cette

5 5 f.é.m. et d autre part, on calcule l expression de cette même f.é.m. à partir de la condition Cette méthode de calcul viole le principe de causalité et contredit la 3 loi de Newton. Modifications des équations de Maxwell Première modification Lors de l analyse des solutions des équations de Maxwell, on arrive à diviser le champ électrique en un champ électrostatique, et en un autre champ électrique rotationnel. Les charges sont la source du premier; c est par exemple le champ potentiel d un condensateur. La source du second est le champ magnétique variable. C est par exemple le champ électrique rotationnel des forces extérieures, créant la f.é.m. dans l enroulement secondaire d un transformateur. La première modification des équations de Maxwell est due aux exigences du calcul mathématique utilisé. On sait, d après le théorème de Helmholtz, que tout champ vectoriel, univoque, continu et s annulant à l infini comme, peut être de manière unique représenté par la somme du gradient d une certaine fonction scalaire et du rotationnel d une certaine fonction vectorielle dont la divergence est nulle.

6 6 Les vecteurs et dans le système d équations (1-6) sont des rotationnels. Leurs vecteurs sont fermés. Ils n ont pas d origines. La condition est une exigence du théorème mathématique de Helmholtz, et n est pas la jauge de Lorentz pour le potentiel vecteur. Les vecteurs et sont mixtes, c.à.d. chacun contient deux composantes qui peuvent être représentées l une sous forme d un gradient et l autre sous forme d un rotationnel. Ecrivons, d après le théorème de Helmholtz, la décomposition du vecteur :,,, (8). Représentons aussi le vecteur comme étant la somme de deux composantes irrotationnelle et rotationnelle :, (9) Les vecteurs irrotationnels et ont leurs origines sur les charges positives et leurs extrémités sur les charges négatives ou à l infini. En remplaçant les expressions de (6), (8) et (9) par leurs valeurs dans le système (1-4), les équations de Maxwell deviennent :

7 7 (10). La solution de ces équations donne finalement deux groupes de grandeurs caractérisant le champ : _ la fonction scalaire U et les gradients-vecteurs du type et ; _ les vecteurs vortex et. Dans le premier membre de la première équation du système (10), l opérateur agit sur le vecteur. Autrement dit ce vecteur est un vortex ; c est pourquoi, la somme des gradients vecteurs dans le second membre de cette équation doit être nulle. Ecrivons alors tout le système d équations sous la forme : (11) (12) (13) (14) En appliquant l opérateur à l équation (14) et en y remplaçant

8 8 de l équation (13) par sa valeur, on obtient l équation de continuité pour la composante du courant : (15) cette relation exprime la loi de conservation de charge. L expression de qui est égale à la dérivée du potentiel vecteur du champ magnétique, prise de sens opposé, est obtenue à partir de l équation (12) : (16) Le champ électrique rotationnel c est la force extérieure du champ magnétique. Elle apparaît lors de la variation dans le temps du potentiel vecteur. En remplaçant cette grandeur par sa valeur dans l équation (11), on obtient l équation de variation du potentiel vecteur magnétique dans le temps : (17) où est la source unique du potentiel vecteur du champ magnétique. En utilisant la formule connue dans l analyse vectorielle : écrivons (17) sous forme de l équation d ondes: (18)

9 9 où est la perméabilité magnétique absolue, et En l absence des courants, l équation (18) devient : (19) Cette équation admet une solution non nulle. En appliquant les opérateurs et à l équation (19), on arrive à démontrer que les vecteurs et vérifient aussi l équation d onde électromagnétique dans l espace libre. Finalement, compte tenu des conditions exigées par l appareil mathématique utilisé de la théorie de champ, écrivons le système modifié d équations de Maxwell sous la forme suivante : (20) (21) (22) (23) On peut ajouter à ces équations les relations suivantes : ;

10 11 Le système d équations de Maxwell (20-23) se divise en deux parties indépendantes : 1) description des phénomènes magnétiques dont la source est le courant électrique, et 2) description du champ électrique dont la source est la charge électrique Les équations (20) et (21) concernent la magnétodynamique. La première équation décrit le champ rotationnel du potentiel vecteur créé par le courant. Pour le courant continu, le potentiel vecteur ne dépend pas du temps. Dans ce cas, le second terme du premier membre de l équation (20) est nul. On obtient alors l équation de Poisson pour le potentiel vecteur du champ magnétique statique. La deuxième équation (21) donne la valeur de la force (non électrique) extérieure, agissant sur la charge de la part du champ magnétique. Cette force apparaît seulement quand le potentiel vecteur et par suite le champ magnétique varie au cours du temps. C est justement cette force extérieure qui crée la force électromotrice (f.é.m.) induite dans l enroulement secondaire d un transformateur. L équation (22) détermine le champ électrostatique irrotationnel, créé par les charges électriques immobiles. L équation (23), appelée équation de continuité, exprime la variation de la densité de charges en fonction du temps. Le champ électrostatique ne dépend pas du champ magnétique. L affirmation stipulant que le champ électrique variable se transforme énergétiquement en champ magnétique et le champ magnétique variable en champ électrique est désapprouvée.

11 11 Deuxième modification Dans le système d équations de Maxwell (1-4) on a affaire seulement avec les variations locales des grandeurs du champ électromagnétique, c est-à-dire avec les variations du champ en un point donné, sans qu il y ait déplacement de sa source. Mais si la source du champ se déplace avec une vitesse par rapport au sol, la dérivée partielle par rapport au temps doit être alors remplacée par la dérivée totale, car la charge d épreuve au point d observation ne peut pas distinguer si les variations du champ sont dues à la variation de l intensité de sa source ou bien à son mouvement. Ce remplacement par la dérivée totale à la place de la dérivée partielle constitue l idée principale de la deuxième modification du système d équations de Maxwell. La variation totale des vecteurs du champ en fonction du temps se compose de deux parties : 1) variation locale, exprimée par exemple pour le vecteur, par. 2) variation stationnaire avec des termes le long des axes de coordonnées : (, et de même pour et. La dérivée totale par rapport au temps s écrit :

12 12 Si la source du champ est immobile (cas stationnaire). :. Le système d équations (20-23) exprimé par les dérivées totales devient : (24) (25) (26) (27) membre de l équation (25), on obtient : En développant l expression de la dérivée totale dans le second (28) Ici on a utilisé l expression détaillée pour En tenant compte que c te et que d après (5),. Par définition le champ c est la force agissant sur l unité de charge positive en un point donné du champ. Le premier terme de l équation (28), détermine la compo-

13 13 sante de cette force. Elle est due au mouvement de la source du champ à la vitesse relativement au sol. Le second terme détermine la composante, due à la variation explicite en fonction du temps de l intensité de la source du champ au point d observation. Le signe moins, placé devant ce terme indique que le sens de cette force est opposé à celui du courant créant le champ magnétique. Compte tenu de ces remarques, on arrive finalement à exprimer le système modifié d équations de Maxwell comme suit : _ Pour le champ électrostatique (irrotationnel), 1) (29) 2) (30) 3) (31) 4) (32) 5) (33) Avec la condition : L équation (29) détermine le champ électrostatique. C est un champ d action à distance qui permet de trouver à l aide de (30) le potentiel scalaire L équation de continuité (33) exprime la loi de conservation de la charge.

14 14 _ Pour le champ électromagnétique rotationnel (magnétostatique et magnétodynamique), le système d équations de Maxwell s écrit : 1) (34) 2) (35) 3) (36) Avec la condition : = 0. L équation (34) permet de trouver le potentiel vecteur connaissant. Si le potentiel vecteur est connu, on peut trouver d après (36) et (35) le champ magnétique et le champ électrique rotationnel. L équation (12) redonne de nouveau le champ magnétique et ainsi de suite. L onde électromagnétique se trouve formée par les vecteurs et. Assad Khoury, atccm@ul.edu.lb Mars 2011