Σ surface fermée FLUX ET CIRCULATION D UN CHAMP DE VECTEURS
|
|
- Anatole Pierre-Louis Lheureux
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Nous allons, dans ce cours, revenir à deux concepts fondamentaux déjà vus en 1 ère année et qui seront utilisés dans de nombreux domaines d étude (électromagnétisme, phénomènes de transport, mécanique des fluides..) : le flux et la circulation d un champ de vecteurs. I. FLUX D UN CHAMP DE VECTEURS 1. Définition Définition : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit le flux élémentaire du champ A( M ) au travers de la surface orientée ds( M ) par la grandeur dφ telle que : dφ = A( M ).ds( M ) avec ds( M ) = ds( M )n( M ), ds( M ) représentant la surface de l élément considéré et n( M )un vecteur unitaire perpendiculaire à l élément de surface. RQ1 : cette définition autorise deux possibilités d orientation pour le vecteur n( M ). Le choix sera arbitraire (mais clairement indiqué) si la surface est ouverte. Si la surface est fermée, le vecteur n( M ) sera conventionnellement orienté de l intérieur vers l extérieur du volume délimité par la surface fermée. n ext( M ) n( M ) n( M ) ou S surface ouverte Σ surface fermée RQ2 : Le choix de l orientation de la surface détermine le signe du flux. A( M ) A( M ) ds ds dφ < 0 dφ < 0
2 DEFINITION : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit son flux au travers de la surface globale S par la grandeur Φ S telle que : Φ S = A( M ).ds( M ) S RQ : le flux dépend évidemment de l orientation que l on donne aux éléments de surface traversés, et donc à la surface S. DEFINITION : Le flux sortant de A( M ) au travers de la surface fermée Σ est défini par la grandeur Φ s telle que : Φ s = A( M ).ds ext( M ) Σ où ds ext( M ) = ds( M )n ext ( M ) et n ext ( M ) unitaire orienté vers l extérieur RQ : on peut évidemment définir un flux entrant Φ e = A( M ).ds( M )n int ( M ) mais dans ce cas, plutôt que de définir un autre vecteur unitaire, on préfèrera écrire Φ e = A( M ).ds( M )n ext ( M ) Σ Σ 2. Flux conservatif DEFINITION : On dit que le champ vectoriel A( M ) est à flux conservatif si, quelle que soit la surface fermée Σ, le flux sortant est nul Φ s = A( M ).ds ext( M ) = 0 Flux conservatif Σ Il existe une autre formulation de la conservation du flux, en séparant sur l ensemble de la surface fermée Σ une zone d entrée, de surface S e ouverte, et une zone de sortie, de surface S s ouverte : PROPRIETE : Φ Se = A.dS int = A.dS ext = Se Ss Φ Ss Flux conservatif
3 Cette relation se démontre à l aide de la définition du flux conservatif : A( M).dS ext(m) = 0 = A.dS ext + A.dS ext = A.dS int + Σ Se Ss Se Ss d où Φ Se +Φ Ss = 0 Une autre propriété découle de cela : A.dS ext PROPRIETE : Le flux à travers une surface ouverte S d un champ conservatif ne dépend que du contour sur lequel s appuie la surface S. ds 1 ds 2 Φ S1 =Φ S 2 3. Applications 3.a. Application à la détermination d un champ vectoriel possédant de hauts degrés de symétries Lorsque la structure du champ est parfaitement connue (à partir de symétries et d invariances) et correspond à un haut degré de symétrie (1 seule variable d espace, 1 direction fixe dans le système de coordonnées adapté), le calcul du flux permet de ressortir l expression du champ en le sortant de l intégrale de surface. En gros, on peut écrire Φ(haut degré de symétrie) = Champ*Surface Plusieurs exemples de ce type ont été traités à l aide du théorème de Gauss en électrostatique dans le cours de 1 ère année (s y référer). 3.b. Tube de champ On appelle tube de champ un volume engendré par l ensemble des lignes de champ s appuyant sur un contour. En considérant un volume Σ fermé par deux sections droites, S et S, et une surface latérale représentant un tube de champ, exprimer le flux sortant du champ A( M ) à travers Σ. Dans le cas d un champ à flux conservatif, justifier que les tubes de champ s évasent dans des zones où l intensité du champ diminue (et se resserrent là où l intensité augmente).
4 3.c. Bilans (très important!) Nous serons amenés, dans différentes situations (phénomènes diffusifs, électromagnétisme, mécanique des fluides..), à effectuer des bilans macroscopiques sur des grandeurs telles que énergie interne, quantité de matière, énergie électromagnétique, quantité de mouvement etc... Ces grandeurs pourront varier dans le temps par cause d échange à la surface-frontière du système déterminé ou de création (au sens algébrique et donc pouvant aussi traduire une perte effective) au sein même du système. Dans tous ces cas, nous pourrons mettre en place un schéma bilan du type : VARIATION dans le temps = ECHANGE à travers la surface + CREATION en volume Le terme d échange correspond au flux d un champ vectoriel adapté au système étudié. Nous allons illustrer cette notion en essayant de traduire l équation de la conservation de la charge électrique dans la matière. Pour cela, nous allons considérer un cas simple dans lequel des particules chargées ne peuvent se déplacer que selon un seul axe (Ox) (description unidimensionnelle). Dans le cours de 1 ère année, il a été établi que le courant électrique correspondait au flux d un vecteur, appelé densité volumique de courant (ou simplement courant volumique), noté j. Si le courant électrique est associé au déplacement de différentes charges, on peut écrire j = ρ i v i où ρ i désigne la densité volumique de charge de l espèce mobile «i» et v i sa vitesse moyenne. Considérons un volume élémentaire conducteur correspondant à un cylindre de section S et longueur dx. On suppose que le courant volumique n est pas nécessairement uniforme et qu il s écrit : j( x,t ) = j( x,t )e x à l abscisse x et à l instant t j( x + dx,t ) = j( x + dx,t )e x à l abscisse x + dx et à l instant t j = ρ i v i j( x,t ) j( x + dx,t ) x x x+dx
5 Si, sur une durée dt courte, j( x,t ) > j( x + dx,t ), cela signifie qu il entre plus de charges par la surface en x qu il n en sort par la surface en x+ dx. Conséquence, la charge totale contenue dans le volume V = Sdx augmenterait. A l inverse, elle diminuerait. Le bilan sert à quantifier cette relation. VARIATION dans le temps = ECHANGE à travers la surface + CREATION en volume La grandeur dont on cherche la variation est la charge. L échange de charges se fait par l intermédiaire du flux du courant volumique, c est à dire du courant électrique. La création... le terme de création caractérise l apparition ou la disparition sans échange de la grandeur étudiée, ici la charge. Dans certains cas, il existera un terme de création (particules créées ou absorbées, énergie absorbée, entropie créée...), dans d autres ce terme n a aucun sens : c est le cas de la masse et de la charge! Conséquence : étant donné qu il ne peut y avoir création de charges, le bilan de charge se simplifie et on parlera alors de l équation de conservation de la charge. Revenons à l échange : si on considère la surface d entrée en x, la quantité de charge entrant pendant une durée dt élémentaire vaut δq e = I e ( x)dt = j(x).ds int(x) dt S (x) Soit δq e = j( x,t )Sdt De même, la charge sortant en x + dx pendant dt vaut : δq s = I s ( x + dx)dt = S (x) j(x + dx).ds ext(x + dx) dt = j( x + dx,t )Sdt RQ : on notera ici qu on suppose que la durée dt est suffisamment courte pour considérer que j(x,t) et j(x+dx,t) ne varient pas dans le temps. On écrira donc, dans le volume V = Sdx et pendant la durée dt: Q(t + dt ) Q(t ) = δq e δq s = ( j( x) j(x + dx) )Sdt Or Q(t ) = ρ(x,t )Sdx (en considérant ici que dx est suffisamment petit pour supposer que la densité volumique est uniforme dans le tout petit volume) Ainsi Q(t + dt ) Q(t ) = ( ρ(x,t + dt ) ρ(x,tdt ))Sdx D où : ( ρ(x,t + dt ) ρ(x,tdt )) ( j( x) j(x + dx) ) = dt dx Un passage à la limite lorsque dx 0 et dt 0 donne alors : ( j( x + dx) j(x) ) = dx
6 ρ t = j x ou encore j x + ρ t = 0 NB : en modèle tridimensionnel, nous verrons plus tard que cette équation pourra s écrire div j + ρ = 0, où «div» est un opérateur vectoriel appelé divergence. t 3.d. Discontinuité de la composante normale du champ électrostatique à la traversée d une surface chargée Montrer que, de part et d autre d une interface chargée avec une densité surfacique de charge σ, la composante normale à l interface du champ électrostatique est discontinue et vérifie : E N 2 E N1 = σ ε 0 n12 on parle de relation de passage On utilisera pour cela le théorème de Gauss sur un cylindre élémentaire perpendiculaire à la surface dont on fera tendre la hauteur vers zéro. Que nous apporterait comme information la même opération sur le champ magnétostatique? II. Circulation d un champ de vecteurs 1. Définitions DEFINITION : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit la circulation élémentaire du champ A( M ) le long du déplacement d ( M ) par la grandeur dc telle que : dc = A( M ).d ( M ) avec d ( M ) = d ( M )t(m ), d ( M ) représentant un élément de longueur d un contour orienté et t(m )un vecteur unitaire tangent dans le sens du contour.
7 DEFINITION : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit la circulation du champ A( M ) le long d un contour Γ orienté par : C Γ = A( M ).d ( M ) Γ RQ1 : si le contour est fermé (s il forme une boucle) la notation est alors C Γ = A( M ).d ( M ) RQ2 : cette notion de circulation a déjà été vue en 1 ère année : Γ une différence de potentiel est l opposé d une circulation de champ électrique le théorème d Ampère le travail d une force correspond à sa circulation le long d une ligne bien particulière : sa trajectoire Signe de la circulation élémentaire A( M,t) A( M, t) A( M, t) d dc(m,t) > 0 dc(m,t) = 0 dc(m,t) < 0 d d PROPRIETE : La circulation d un champ calculée sur une de ses lignes de champ est - positive si le contour est orienté le même sens de la ligne - négative si le contour est orienté le sens opposé En effet, sur une ligne de champ, A( M ) d ( M ) = 0 : ces deux vecteurs sont colinéaires. De fait si t(m ) est dans le même sens que A(M ), alors dc = A( M ).d ( M )t(m ) = A( M )d > 0
8 2. Circulation conservative DEFINITION : On dit que le champ vectoriel A( M ) est à circulation conservative si, quelle que soit le contour fermé Γ, la circulation est nulle : C Γ = A( M ).d ( M ) = 0 circulation conservative Γ RQ : la circulation d un champ évalue la capacité du champ à «tourner». Si la circulation sur un contour fermé n est pas nulle, cela signifie que le champ (ou du moins une de ses composantes) a globalement tourné le long du contour. A l inverse, dans le cas d un champ à circulation conservative, on parlera d un champ irrotationnel. PROPRIETE : Un champ à circulation conservative est un champ dérivant d un gradient. RQ1 : il s agit en réalité d une autre formulation de la définition d un champ à circulation conservative, les deux étant équivalentes. Exemple : la circulation du champ électrostatique est nulle, la circulation d une force conservative est nulle. Dans ces deux cas, et de manière plus générale, tous les champs dérivant d un gradient sont à circulation conservative. En effet, si A( M ) = grad f ( M ), alors A( M ).d ( M ) = df et df = 0 Γ RQ2 : On choisira très souvent, et par seule convention d écriture, de donner une relation négative entre le champ et le gradient, c est à dire : A( M ) = grad f ( M ) Exemples : E = gradv ; F = grade p ; f v = gradp... PROPRIETE : La circulation entre deux points quelconques d un champ à circulation conservative est indépendante du contour considéré. En effet, dans ce cas A( M ) = grad f ( M ) et si on calcule la circulation sur un contour M 2 M 2 Γ orienté de M 1 vers M 2, alors C Γ = A( M ).d ( M ) = df M 1 = f ( M 2 ) f ( M 1 ) M 1 ( ) ne dépend que de f (M 1 ) et f (M 2 ) et donc pas du contour effectif.
9 3. Applications Reprendre les cas étudiés en 1 ère année avec le théorème d Ampère : 3.a. Fil rectiligne infini 3.b. Solénoïde infini 3.c. Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétostatique à la traversée d une interface parcourue par un courant surfacique Montrer que, de part et d autre d une interface parcourue par un courant surfacique j S, la composante tangentielle à l interface du champ magnétostatique est discontinue et vérifie : BT 2 BT 1 = µ 0 j S n12 on parle de relation de passage On utilisera pour cela le théorème d Ampère sur un rectangle élémentaire perpendiculaire à l interface dont on fera tendre la hauteur vers zéro. B1 B2 B2 Que nous apporterait comme information la même opération sur le champ électrostatique? EXERCICES Exercice 1 : Les noyaux de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution volumique de charge à l intérieur d une sphère de centre O et de rayon a. La densité volumique de charges est donnée par ρ = ρ 0 (1 r2 a 2 ) pour r < a avec ρ 0 une constante positive. 1. Calculer la charge totale Q du noyau. 2. Etudier les invariances et les symétries de la distribution. En déduire l orientation et les dépendances du champ électrique créé par cette distribution.
10 3. Déterminer l expression du champ électrique a l extérieur du noyau. 4. Même question a l intérieur du noyau. 5. En prenant l origine des potentiels à l infini, calculer le potentiel électrique à l extérieur du noyau. 6. Même question à l intérieur. Exercice 2 : Soit la distribution volumique de charges définie par : ρ 0 si 0 x a ρ = ρ 0 si a x 0 1. Etudier les symétries et les invariances de la distribution. 2. Calculer le champ électrostatique créé en tout point par cette distribution. 3. En déduire l expression du potentiel électrostatique créé en tout point par cette distribution. On notera V 0 la valeur du potentiel en x = 0. Exercice 3: Le soleil, de rayon R S, rayonne une puissance P 0 = W. On suppose que le rayonnement est à symétrie sphérique et qu il n est pas absorbé dans l espace. On définit un vecteur densité de puissance j( M ) tel que le flux de ce vecteur au travers d une surface corresponde à la puissance la traversant. 1) En fonction des hypothèses, proposer une structure pour le champ j( M ). 2) Calculer le flux de j( M ) en un point M distant de r R S du centre du soleil. Le flux est-il conservatif? 3) Donner la valeur de la puissance traversant S = 1m 2 au niveau de la terre, S étant perpendiculaire à la direction du rayonnement. 4) On suppose maintenant que le rayonnement est absorbé en partie au cours de sa propagation : cela se traduit par une perte de puissance par unité de volume caractérisée par le coefficient σ >0 (en W.m -3 ). 4.a. Le flux est-il conservatif? 4.b. Faire un bilan de puissance dans la couche sphérique comprise entre r et r + dr. 4.c. En déduire l expression de j(r) en fonction de P 0, σ, R S et r.
11 Exercice 4 : Le champ magnétostatique produit par un fil infini d axe Oz parcouru par un courant I s écrit dans la base cylindrique : B( M) = µ 0 I 2πr e θ Déterminer le flux de ce champ à travers la surface d un carré de côté a, situé dans un plan contenant l axe Oz et à la distance R de celui-ci. Exercice 5 : Soit un champ vectoriel tel que A( M) = α 2 ( ye x + xe y ). Déterminer la circulation de ce champ le long d un contour carré délimité par les points A 0,0), B(3,0), C(3,3) et D(3,0) et orienté dans le sens ABCDA. D C A B
12 Exercice 6 : Une bobine est constituée par un fil conducteur bobiné en spires jointives sur un tore circulaire à section carrée de côté a et de rayon moyen R. On désigne par n le nombre total de spires et par I le courant qui les parcourt. Après avoir étudié les symétries et invariances, déterminer : - l allure les lignes de champ magnétique - l expression du champ magnétique en tout point de l espace. Exercice 7 : On considère les trois distributions «cylindriques» ci-dessous, où J = Ju z est un vecteur densité volumique de courant uniforme. Déterminer, dans les deux premiers cas l expression du champ magnétique créé en tout point de l espace. Montrer, dans le troisième cas (cylindre creux excentré), que le champ à l intérieur de la cavité est uniforme.
Cours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailCours 1. Bases physiques de l électronique
Cours 1. Bases physiques de l électronique Par Dimitri galayko Unité d enseignement Élec-info pour master ACSI à l UPMC Octobre-décembre 2005 1 Champ électrique et ses propriétés Ce premier cours introduit
Plus en détailÀ propos d ITER. 1- Principe de la fusion thermonucléaire
À propos d ITER Le projet ITER est un projet international destiné à montrer la faisabilité scientifique et technique de la fusion thermonucléaire contrôlée. Le 8 juin 005, les pays engagés dans le projet
Plus en détailLes Conditions aux limites
Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailErratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2
Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailTravaux dirigés de magnétisme
Travaux dirigés de magnétisme Année 2011-2012 Christophe GATEL Arnaud LE PADELLEC gatel@cemesfr alepadellec@irapompeu Travaux dirigés de magnétisme page 2 Travaux dirigés de magnétisme page 3 P r é s e
Plus en détailPremier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie
Chapitre 5 Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie 5.1 Bilan d énergie 5.1.1 Énergie totale d un système fermé L énergie totale E T d un système thermodynamique fermé de masse
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailI - Quelques propriétés des étoiles à neutrons
Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailMichel Henry Nicolas Delorme
Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université
Plus en détailChapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique
Chapitre 7 Circuits Magnétiques et Inductance 7.1 Introduction 7.1.1 Production d un champ magnétique Si on considère un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courant I (figure 7.1). Ce courant
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailInteraction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n 2. Résonance magnétique : approche classique
PGA & SDUEE Année 008 09 Interaction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n. Résonance magnétique : approche classique Première interprétation classique d une expérience de résonance magnétique On
Plus en détailG.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction
DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner
Plus en détailContrôle non destructif Magnétoscopie
Contrôle non destructif Magnétoscopie Principes physiques : Le contrôle magnétoscopique encore appelé méthode du flux de fuite magnétique repose sur le comportement particulier des matériaux ferromagnétiques
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailChamp électromagnétique?
Qu est-ce qu un Champ électromagnétique? Alain Azoulay Consultant, www.radiocem.com 3 décembre 2013. 1 Définition trouvée à l article 2 de la Directive «champs électromagnétiques» : des champs électriques
Plus en détailIntroduction à l'electromagnétisme
Introduction à l'electromagnétisme 5 novembre 2014 Table des matières 1 Systèmes de coordonnées et vecteurs 6 1.1 Systèmes de coordonnées................................... 6 1.1.1 Repère cartésien...................................
Plus en détailPropriétés électriques de la matière
1 Propriétés électriques de la matière La matière montre des propriétés électriques qui ont été observées depuis l antiquité. Nous allons distinguer les plus fondamentales de ces propriétés. 1 Propriétés
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailDM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique
DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 200, avec une fusée Ariane, un satellite
Plus en détailLes calculatrices sont autorisées
Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte quatre parties indépendantes. Les parties 1 et portent sur la mécanique (de la page à la page 7). Les parties 3 et 4 portent sur la thermodnamique (de
Plus en détailModule d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détail5. Les conducteurs électriques
5. Les conducteurs électriques 5.1. Introduction Un conducteur électrique est un milieu dans lequel des charges électriques sont libres de se déplacer. Ces charges sont des électrons ou des ions. Les métaux,
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailLES APPAREILS A DEVIATION EN COURANT CONTINU ( LES APPREILS MAGNETOELECTRIQUES)
Chapitre 3 LES APPARELS A DEVATON EN COURANT CONTNU ( LES APPRELS MAGNETOELECTRQUES) - PRNCPE DE FONCTONNEMENT : Le principe de fonctionnement d un appareil magnéto-électrique est basé sur les forces agissant
Plus en détail10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)
0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailPOLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif -
POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70 Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : (
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailInteractions des rayonnements avec la matière
UE3-1 : Biophysique Chapitre 2 : Interactions des rayonnements avec la matière Professeur Jean-Philippe VUILLEZ Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
Plus en détailPHY2723 Hiver 2015. Champs magnétiques statiques. cgigault@uottawa.ca. Notes partielles accompagnant le cours.
PHY2723 Hiver 2015 Champs magnétiques statiques cgigault@uottawa.ca otes partielles accompagnant le cours. Champs magnétiques statiques (Chapitre 5) Charges électriques statiques ρ v créent champ électrique
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailCours d électricité. Introduction. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie
Cours d électricité Introduction Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Le terme électricité provient du grec ἤλεκτρον
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailSUJET ZÉRO Epreuve d'informatique et modélisation de systèmes physiques
SUJET ZÉRO Epreuve d'informatique et modélisation de systèmes physiques Durée 4 h Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, d une part il le signale au chef
Plus en détailCours d Electromagnétisme
Année Universitaire 2012-2013 Licence de Physique (S4) Cours d Electromagnétisme Chargé du Cours : M. Gagou Yaovi Maître de Conférences, HDR à l Université de Picardie Jules Verne, Amiens yaovi.gagou@u-picardie.fr
Plus en détailContenu pédagogique des unités d enseignement Semestre 1(1 ère année) Domaine : Sciences et techniques et Sciences de la matière
Contenu pédagogique des unités d enseignement Semestre 1(1 ère année) Domaine : Sciences et techniques et Sciences de la matière Algèbre 1 : (Volume horaire total : 63 heures) UE1 : Analyse et algèbre
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCaractéristiques des ondes
Caractéristiques des ondes Chapitre Activités 1 Ondes progressives à une dimension (p 38) A Analyse qualitative d une onde b Fin de la Début de la 1 L onde est progressive puisque la perturbation se déplace
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailChapitre I- Le champ électrostatique. I.1.1- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique
Chapitre I- Le champ électrostatique I.- Notions générales I..- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique Quiconque a déjà vécu l expérience désagréable d une «décharge électrique» lors
Plus en détailChapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide
Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence
Plus en détailMATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE
MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE Titulaire : A. Rauw 5h/semaine 1) MÉCANIQUE a) Cinématique ii) Référentiel Relativité des notions de repos et mouvement Relativité de la notion de trajectoire Référentiel
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailTS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu
P a g e 1 Phsique atellite à la recherche de sa planète Exercice résolu Enoncé Le centre spatial de Kourou a lancé le 1 décembre 005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération
Plus en détailPHYSIQUE Discipline fondamentale
Examen suisse de maturité Directives 2003-2006 DS.11 Physique DF PHYSIQUE Discipline fondamentale Par l'étude de la physique en discipline fondamentale, le candidat comprend des phénomènes naturels et
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailTechniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité
Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité Andreea Grigoriu avec Jean-Michel Coron, Cătălin Lefter and Gabriel Turinici CEREMADE-Université Paris Dauphine
Plus en détailChapitre 2 Les ondes progressives périodiques
DERNIÈRE IMPRESSION LE er août 203 à 7:04 Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques Table des matières Onde périodique 2 2 Les ondes sinusoïdales 3 3 Les ondes acoustiques 4 3. Les sons audibles.............................
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012
ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes
Plus en détailDIFFRACTion des ondes
DIFFRACTion des ondes I DIFFRACTION DES ONDES PAR LA CUVE À ONDES Lorsqu'une onde plane traverse un trou, elle se transforme en onde circulaire. On dit que l'onde plane est diffractée par le trou. Ce phénomène
Plus en détailComprendre l Univers grâce aux messages de la lumière
Seconde / P4 Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière 1/ EXPLORATION DE L UNIVERS Dans notre environnement quotidien, les dimensions, les distances sont à l échelle humaine : quelques mètres,
Plus en détailANALYSE SPECTRALE. monochromateur
ht ANALYSE SPECTRALE Une espèce chimique est susceptible d interagir avec un rayonnement électromagnétique. L étude de l intensité du rayonnement (absorbé ou réémis) en fonction des longueurs d ode s appelle
Plus en détailTD 9 Problème à deux corps
PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile
Plus en détailP17- REACTIONS NUCLEAIRES
PC A DOMICILE - 779165576 P17- REACTIONS NUCLEAIRES TRAVAUX DIRIGES TERMINALE S 1 Questions de cours 1) Définir le phénomène de la radioactivité. 2) Quelles sont les différentes catégories de particules
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailC est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au
1 2 C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position est constant et il est égal au rayon du cercle. = 3 A- ouvement circulaire non uniforme
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailPremier principe : bilans d énergie
MPSI - Thermodynamique - Premier principe : bilans d énergie page 1/5 Premier principe : bilans d énergie Table des matières 1 De la mécanique à la thermodynamique : formes d énergie et échanges d énergie
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailRupture et plasticité
Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements
Plus en détailIntroduction au pricing d option en finance
Introduction au pricing d option en finance Olivier Pironneau Cours d informatique Scientifique 1 Modélisation du prix d un actif financier Les actions, obligations et autres produits financiers cotés
Plus en détailTransformations nucléaires
Transformations nucléaires Stabilité et instabilité des noyaux : Le noyau d un atome associé à un élément est représenté par le symbole A : nombre de masse = nombre de nucléons (protons + neutrons) Z :
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailFUSION PAR CONFINEMENT MAGNÉTIQUE
FUSION PAR CONFINEMENT MAGNÉTIQUE Séminaire de Xavier GARBET pour le FIP 06/01/2009 Anthony Perret Michel Woné «La production d'énergie par fusion thermonucléaire contrôlée est un des grands défis scientifiques
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailRésonance Magnétique Nucléaire : RMN
21 Résonance Magnétique Nucléaire : RMN Salle de TP de Génie Analytique Ce document résume les principaux aspects de la RMN nécessaires à la réalisation des TP de Génie Analytique de 2ème année d IUT de
Plus en détailM6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL
M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL OBJECTIFS Jusqu à présent, nous avons rencontré deux méthodes pour obtenir l équation du mouvement d un point matériel : - l utilisation du P.F.D. - et celle du
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailOscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailTHEME 2. LE SPORT CHAP 1. MESURER LA MATIERE: LA MOLE
THEME 2. LE SPORT CHAP 1. MESURER LA MATIERE: LA MOLE 1. RAPPEL: L ATOME CONSTITUANT DE LA MATIERE Toute la matière de l univers, toute substance, vivante ou inerte, est constituée à partir de particules
Plus en détailIntroduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing
Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation
Plus en détailChapitre 11 Bilans thermiques
DERNIÈRE IMPRESSION LE 30 août 2013 à 15:40 Chapitre 11 Bilans thermiques Table des matières 1 L état macroscopique et microcospique de la matière 2 2 Énergie interne d un système 2 2.1 Définition.................................
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailSYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières
Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) TRAN Minh Tâm Table des matières Applications de la loi de Newton pour la rotation 93 Le gyroscope........................ 93 L orbite
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailTD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE
TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE Exercice en classe EXERCICE 1 : La fibre à gradient d indice On considère la propagation d une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique
Plus en détail3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels
3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détail