P5 SIB. Outils Mathématiques. Part I. Retours d Exercices. INSA de Rouen - STPI2 - Année Produit Scalaire : A B = A B cos(

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1 INSA de Rouen - STPI2 - Année P5 SIB Part I Outils Mathématiques Produit Scalaire : A B = A B cos A; B = x A x B + y A y B Produit commutatif, distributif sur l addition. A B = A B α V = β = α u x + β u y = V x + V V y = ux V ux + uy uy Produit Vectoriel : A x A x B B = y A y B = z A z B Produit non commutatif, distributif sur l addition. A \\ B = A B y A z B z A y B z A x B x A z B x A y B y A x B Retours d Exercices Coordonnées Polaires ρ,θ ds = ρdρdθ Intégrations Notables xdx [ ] x 2 + y = x 2 + y 2 2 [ ] xdx = x 2 + y x 2 + y 2 Gradient : f x,y,z = grad f x,y,z = Coordonnées sphériques : grad f r = r u r r V z Rotationnel : V = y V y z V = V x z V z x V y x V x y Divergente : V V = div = V x Laplacien : div grad f rot grad f = 0 div rot W x x,y,z y x,y,z z x,y,z x + V y y + V z z = 2 f = f = 2 f x f y f z 2 et d f x,y,z = grad f x,y,z d l Intégrale multiple particulière : f x,y = gxhy bornes de D indépendantes } = D x 2 y 2 f x,ydxdy = gxdx hydy x y Théorème de Stokes : w d l = w d S Γ S La circulation d un vecteur est égale au flux de son rotationnel.

2 Part II Electrostatique Charge et Force Electrique Charge Electrique q : unité : Coulomb C = Volumique Surfacique Linéique Densités ρ = q σ = q λ = q τ S l Partie élementaire Volume dτ Surface ds Longueur dl q q 2 Force Electrostatique : entre deux charges ponctuelles signées q et q 2, f /2 = K e u r 2 Ensemble de charges : f e = f i/m répartition ponctuelle ou f e = d f répartition continue où u = r r = r r 2 Potentiel et Champ Electrostatique Gravitationnel Electrique Champ Potentiel Relation Force Energie Relation f = m C E P = mϕ + E 0 f = grade P C = G m e r 2 u E = K q s r 2 u ϕ = Gm e r + ϕ 0 V = K q s r +V 0 dϕ = C d l et C = gradϕ dv = E d l et E = gradv f e = Q E E P = QV + E 0 f e = grade P Energie Mecanique : E Meca = E P +E C Force Conservative dissipative : de Meca = de P = de C Force Dissipative :δe P = δw nonconservatives Champ et Potentiel : Répartition Ponctuelle Répartition Ponctuelle Sources localisés Ensemble de charges : E = E i E = d E V 0 = lim V V = V i V = dv +V 0 r dv = E d l = Le champ électrique E est orienté dans le sens des potentiels V décroissants. 3 Flux, Théorème d Ostrogradsky, Théorème de Gauss Flux : Le flux Φ d un vecteur au travers d un surface S est l équivalent du débit en mécanique des fluides. On a Φ = v S avec S = S n le vecteur surface et n le vecteur normal à S. Si pas d uniformité, Φ = S v d S. Surface fermée : définit un volume non vide ex : sphère, d S orienté vers l extérieur. Surface ouverte : frontière = contour fermé Γ ex : sphère tronquée, d S selon sens positif attribué au contour. Flux de E : dφ = E M d S =... = KqdΩ unité : V.m S fermée : Charge extérieure : dφ Charge intérieure : dφ = KqdΩ = Φ total = q = Théorème de Gauss : Φ S = q i ε 0 ε 0 E S fermée contenant volume dτ: dφ = div dτ = Théorème d Ostrogradsky : E d S = dφ = S S V E div dτ 2

3 et discontinuité de E et de V : Distribution des Charges Volumique Surfacique Linéaire Ponctuelle Champ Electrique E ou Discontinuité finie Discontinuité sur les Charges Potentiel V Conditions aux interfaces : A la surface de séparation de deux milieux et 2, E E 2 = σ ε 0 n et V M = V 2 M Symétrie Sphérique : Dans une sphère, E = E r et S = 4πR 2 Plan infini u y, u z : Symétries : E = E x u x ; E x = E x et Invariance : E M = E M 2 4 Conducteurs et Condensateurs : Conducteur : Milieu qui contient des charges libres de se déplacer. Etat Electrique d un conducteur isolé charge totale conservée à l équilibre charges fixes : E interne = 0 et ρ interne mais σ 0 et V interne = V sur f ace = constante Influences réciproques entre conducteurs Superposition des états : V M = V k M ; Q = Q k et σ M = σ k M Influence Totale : Un conducteur présente une surface fermée contenant un autre conducteur. Conducteur neutre : Q Condensateur : Elément composé de deux conducteurs, nommés armatures. Condensateur de première espèce : Influence totale Condensateur de seconde espèce : Influence quasi-totale généralement par symétrie Calcul de capacité : Capacité : C = Q V unité : Farad F = C.V Condensateur C = Q > 0 V V 2 Conducteur sphérique : C = 4πε 0 R Calculer E entre les armatures utiliser le flux Calculer V entre les armatures Calculer V V 2 Calculer C 3

4 Part III Magnétisme 5 Magnétostatique : Le champ magnétique naît du déplacement des charges électriques. Force de Lorentz : Considérons une charge q test en mouvement F test = q test E source + v test B source Champ Magnétique : Considérons une source au point P. B source M = µ 0 4π Q source v source u 2 unité : Tesla T = N.s.C.m où u = = Force de Laplace : Action de B sur un fil électrique parcouru par un courant i constant : d F Laplace = ±id l B Force de Laplace dans un circuit fermé : F Laplace = 0 Loi de Biot et Savart : Champ magnétique produit par un courant électrique. d B = µ 0 4π Densités de courant : Courant Filiforme Surfacique di S = j S d l j S = σ v Volumique di = j d S j = ρ v id l u 2 Biot et Savart id l j S ds j dτ : Distribution Volumique j P Surfacique j P Linéique I Champ Magnétique B Discontinuité Potentiel Vecteur A Discontinuité Théorème d Ampère : C B d l = µ0 I traversant j Equation-Bilan : A travers une surface fermée, div + ρ t Approximation des régimes quasi-permanents ARQS : ρ t et i constant = div j 6 Potentiel Vecteur Définition : B = A Jauge/Condition de Coulomb : div A Analogie avec l Electrostatique : Distribution Constantes Champ Potentiel Relation Point Volume Surface Ligne µ 0 ε 0 c 2 = dq Electrostatique dq ρdτ σ ds λ dl E = u 4πε 0 r 2 r V = dq E = gradv K = 4πε 0 r 4πε 0 Magnétostatique µ 0 dq v dq j dτ j S ds Idl B = 4π r 2 v µ 0 v dq µ u r A = B = rot 0 A 4π r 4π 4

5 7 Induction L induction implique la modification du champ électrique ou du potentiel par les champs magnétiques. Loi de Faraday force électromotrice : e = dφ dt avec Φ flux de B Cas de Lorentz : Circuit mobile dans un champ B constant magnétostatique : V P V M = dφ dt Cas de Neumann : Circuit fixe indéformable et B = B t : E = gradv }{{} statique A t + v B } {{ } électromoteur Inductance : Un conducteur est doué d auto-induction : parcouru par un courant, il génère un champ magnétique et surtout une tension dite force électromotrice pour s opposer aux variations du flux magnétique. On a Φ = Li où L unité : Henry H est l inductance. Ainsi, e = L di dt. 8 Equations de Maxwell Ceci regroupe les grandes lois qui forment l électromagnétisme. Force de Lorentz : E F = q + v B E Equation de Maxwell-Gauss : div = ρ ε 0 B Equation de Maxwell-Thomson : div Equation de Maxwell-Faraday : E = B t Equation de Maxwell-Ampère : E B = µ 0 j + µ0 ε 0 t 5