Chapitre 2 : Les triangles

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1 Chapitre 2 : Les triangles Compétences à valider : Utiliser les définitions et les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers. Utiliser l'inégalité triangulaire. Construire un triangle connaissant des longueurs ou des angles. Utiliser le résultat sur la somme des angles dans un triangle. Savoir l appliquer aux triangles particuliers. I. Les triangles particuliers Il faut connaitre par cœur les propriétés sur les côtés et les angles des triangles particuliers! Triangle rectangle Triangle isocèle Triangle équilatéral Côtés 2 côtés de même longueur 3 côtés de même longueur Angles 1 angle droit 2 angles de même mesure 3 angles de même mesure Exemples avec codage II. Construire un triangle 1- Inégalité triangulaire Inégalité triangulaire: Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. En d autres termes, le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Exemple : Dans le triangle ABC, on a les inégalités suivantes : AB < AC + CB BC < BA + AC AC < AB + BC 1

2 Cas particulier : Si B [AC] alors AC = AB + BC Dans ce cas, les points A, B et C sont alignés. Réciproquement, on a aussi : si AC = AB + BC alors B [AC] C A B Conséquence de l inégalité triangulaire : Pour savoir si je peux construire un triangle, je regarde si la longueur du plus grand côté est bien plus petite que la somme des longueurs des deux autres. Applications : 1) Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm ; EF = 1,5 cm et DF = 3 cm? Le plus grand côté est DF (DF = 3 cm) Or ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 On a donc DF > ED + DF L inégalité triangulaire n est pas vérifiée, donc on ne peut pas construire un tel triangle. 2) Existe-t-il un triangle avec des côtés de longueurs 5 cm, 3 cm et 3,5 cm? La plus grande longueur est 5 cm. Or 3 + 3,5 = 6,5 Donc on a : 5 < 3 + 3,5 Il existe bien un tel triangle. 2- Connaissant les longueurs des trois côtés On vérifie que la plus grande des longueurs est inférieure à la somme des deux autres. (voir Inégalité triangulaire) On trace un des côtés à la règle. On utilise le compas pour trouver le dernier sommet. Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 6cm, BC = 7cm et AC = 5cm. 2

3 Construction : 3- Connaissant un côté et deux angles On commence par faire une figure à main levée avec toutes les informations fournies. On trace le côté dont on connaît la longueur. Puis on trace les deux angles, en prolongeant si nécessaire, les côtés des angles, de façon à obtenir le 3 ème sommet. Exemple : Construire un triangle DEF tel que DE = 6,5cm, EDF = 50 et DEF = 45. Construction : 4- Connaissant deux côtés et un angle On commence par faire une figure à main levée avec toutes les informations fournies. On trace un côté dont on connaît la longueur. On construit l angle. Puis on reporte la longueur du 2 ème côté sur le côté de l angle que l on vient de tracer, pour obtenir le dernier sommet. 3

4 Exemple : Construire un triangle GH = 5cm, GI = 6cm et HGI = 70. Construction : III. Somme des angles dans un triangle 1- A connaitre par cœur! Propriété : Dans tous les triangles, la somme des mesures des trois angles est égale à 180. Exemple : Dans un triangle ABC, ABC + ACB + BAC = 180 Propriétés : 2- Conséquences pour les triangles particuliers a. Le triangle rectangle 1. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors ABC + ACB = Si la somme des mesures de deux angles d un triangle vaut 90, alors ce triangle est rectangle. 4

5 Démonstrations : 1) On sait que BAC = 90. Or la somme des angles dans un triangle est de 180. Donc ABC + ACB = 180 BAC = = 90 2) On sait que ABC + ACB = 90 Or la somme des angles dans un triangle est de 180. Donc BAC = 180 (ABC + ACB) = = 90 ABC est bien un triangle rectangle. b. Le triangle isocèle Application n 1 : ABC est un triangle isocèle en A avec un angle au sommet de 56. Quelle est la mesure des angles de la base? La somme des angles dans un triangle est de 180. De plus, les angles de la base d un triangle isocèle sont de même mesure. Donc, on a : ABC = (180 56) 2 = = 62. Les angles de la base mesurent donc 62. Application n 2 : ABC est un triangle isocèle en A avec un angle de la base qui mesure 25. Quelles sont les mesures des autres angles de ce triangle? La somme des angles dans un triangle est de 180. De plus, les angles de la base d un triangle isocèle sont de même mesure. Donc, on a : BAC = = 130. L angle au sommet mesure donc 130 ; et les deux angles de la base mesurent 25 chacun. 5

6 Application n 3 : ABC est un triangle dont l angle BAC mesure 34 et l angle ACB mesure 112. Quelle est sa nature? Justifier. La somme des angles dans un triangle est de 180. On a donc : ABC = 180 ( ) = = 34. Donc ABC = BAC. ABC est donc un triangle isocèle en C. c. Le triangle équilatéral Propriété : Un triangle équilatéral a trois angles de 60 chacun. Démonstration : Soit ABC un triangle équilatéral. Je sais que dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure : ABC = ACB = BAC. Or ABC + ACB + BAC = 180 Donc : 3 ABC = 180, soit ABC = ACB = BAC = = 60. 6

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