Rappels d analyse vectorielle

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1 CHAPITRE I Rappels d analse vectoielle L'étude de l'électomagnétisme fait usage d'un cetain nombe d'outils d'analse vectoielle. L'objet de cette patie du cous est de appele les epessions mathématiques de ces outils dans les sstèmes de coodonnées couamment utilisés. 1. Notions fondamentales su les vecteus Dans un epèe diecte ( 1,ê2, ê3 sphéiques) deu vecteus A et B Dans ces conditions, on a ê de coodonnées othogonales (catésiennes, clindiques ou s écivent sous la fome A A1 ê1 A2 ê2 A3 ê3 et B B1 ê1 ê2 ê3 Somme et difféence de deu vecteus A B A1 B1 ê1 A2 ê2 A3 ê3 (1) Poduit scalaie de deu vecteus S A B B A A1 B1 A2 A3 A B cos : angle A,B (2) Si les nomes A et B epésentent des longueus alos S est la suface A cos B (cf. fig. 1). Poduit vectoiel de deu vecteus C A B B A A 2 B 3 A 3 B 2 ê 1 A 3 B 1 A 1 B 3 ê 2 A 1 B 2 A 2 B 1 ê 3 A A cos Fig. 1 Repésentation gaphique du poduit scalaie. B (3a) ê1 C A B A1 ê2 A2 ê3 A3 A2 A3 A3 B1 A1 (3b) B1 A1 A2 B1

2 12 Chapite I La diection et le sens du vecteu ésultant C sont données pa la ègle du tie-bouchon de awell (fig. 2a). La otation de la main doite se fait de ves A ves B et le pouce indique la diection et le sens de C. Autement dit, les tois vecteus A,B,C foment un tiède diect. Géométiquement, le module du vecteu C défini pa S C A B A B sin : angle A,B (3c) illuste la suface (fig. 2b) délimitée pa ces deu vecteus A et B. A C û B S A (a) (b Fig. 2 Repésentation gaphique du poduit vectoiel. C B Poduit mite C'est une opéation mathématique, faisant inteveni tois vecteus A, B et C, définie comme suit S A BC (4a) Le poduit mite est invaiant pa pemutation ciculaie, autement dit on peut écie B C C A B BC A A (4b) A B C A1 B1 C1 A2 C2 A3 C3 Géométiquement, le poduit mite mesue le volume (fig. 3) constuit su la base des tois vecteus A, B et C. (4c) C B A Fig. 3 Volume illustant le poduit mite. Double poduit vectoiel Il est défini pa l epession B C A CB A BC D A (5)

3 Rappels d analse vectoielle 13 Déivation de vecteus d du d du db da A B A B (6a) du du db da A B A B (6b) du du 2. Sstèmes de coodonnées Le sstème de coodonnées catésiennes est généalement le plus connu et il est tès utile dans l'étude de mouvements ectilignes. Cependant, il eiste des situations phsiques (calcul du champ électique en électostatique, magnétostatique, aonnement des antennes...) où l'utilisation de ce sstème s'avèe complee. Il seait donc plus judicieu d opte pou d'autes sstèmes de coodonnées. En électomagnétisme, on utilise souvent les coodonnées polaies (en 2D), les coodonnées clindiques et sphéiques en 3D. 2.1 Repésentation à deu dimensions (2D). Il s agit des coodonnées catésiennes, et polaies, illustés pa les figues 4a et 4b. F ˆ ˆ ˆ ˆ (a) (b) ˆ d (c) d d d d (d) Fig. 4 Codonnées catésiennes et coodonnées sphéiques. a) Coodonnées catésiennes Un point, du plan (fig. 4a) est défini pa ses coodonnées, et on écit, ou encoe ˆ (7a) ˆ et sont les vecteus unitaies associées au aes et. Un champ scalaie U, U (7b) Un champ de vecteus F F, F, F, Elément déplacement d ˆ d ˆ (7c) (7d) Elément de suface (fig.4c) d d ( 7e)

4 14 Chapite I b) Coodonnées polaies En coodonnées polaies (fig. 4b), un point est défini pa les coodonnées,. n écit, ou ˆ. 0 et 0 2. cos sin Les vecteus unitaies ˆ,ˆ sont définis pa avec 2 2 tg / (8a) ˆ cos ˆ sin ˆ sin ˆ cos ou invesement ˆ cos ˆ sin ˆ sin ˆ cos ˆ (8b) Un champ scalaie, U (8c) F F, F, ˆ F, d ˆ d ˆ Un champ de vecteus Elément déplacement ˆ (8d) (8e) Elément de suface (fig. 4d) d d ( 8f) 2.2 Repésentation à tois dimensions (3D). a) Coodonnées catésiennes, (fig. 5) Un point de l espace est défini pa ses coodonnées (,,) comme suit ˆ ou,. (9a) ˆ,, : vecteus unitaies associés espectivement au aes, et. Un champ scalaie U est définit,, U (9b) ˆ A Fig. 5. Coodonnées catésiennes. Un vecteu A est définit pa ses composantes A,, A,,ˆ A,, A,, (9c) Elément de longueu: un déplacement infinitésimal du point ves un point (fig. 6a) s écit ' d ˆ d d (9d) Un volume infinitésimal est un paallélépipède (fig. 6b) de volume d dd d (9e)

5 Rappels d analse vectoielle 15 Elément de suface (fig. 6b) dd dd dd ( : fié) ( : fié) ( : fié) (9f) d ˆ d ' d Fig. 6a Elément de longueu. d d dd d Fig. 6b Eléments de suface. dd dd b) Coodonnées clindiques (,, ) Un point est localisé pa les coodonnées (,, ) et on écit m m ˆ (fig. 7a) (10a) avec 0 ; 0 2 et ˆ cos 2 2 m sin tg (10b) Fig.7a. Coodonnées clindiques. Champ scalaie U est définit,, Un champ de vecteus A,, A U (10c) est défini pa ses composantes,, A,,ˆ A,,ˆ A,, ˆ ˆ (10d) Elément de longueu (fig. 7b) d ˆ d ˆ d (10e) Elément de volume d d ddd d d (10f)

6 16 Chapite I Elément de suface (fig. 7c) dd ( : fié) dd ( : fié) (10g) dd ( : fié) ˆ ' d ˆ ' d d Fig. 7b Elément de longueu en coodonnées clindiques. ˆ d d Fig. 7c Eléments de suface en coodonnées clindiques. ˆ d Tansfomation des coodonnées catésiennes en coodonnées clindiques et invesement ˆ cos sin 0 ˆ ˆ sin cos 0 et ˆ cos sin 0 sin cos 0 0 ˆ 0 ˆ 1 (10h) c) Coodonnées sphéiques (,, ) (fig. 8a) Un point est localisé pa les coodonnées (,, ) = ˆ (11a) Champ scalaie U( ) U,, (11b) 0, 0 et 0 2 ˆ P ˆ ˆ Un vecteu A est définit pa ses composantes A,, A,, ˆ A,, ˆ A,, ˆ Elément de longueu : d ˆ d ˆ sin d ˆ (11c) (11d) Fig. 8a Coodonnées sphéiques. 2 (11e) Volume élémentaie : d d d sin d d sin d d Sufaces élémentaies (fig. 8b)

7 Rappels d analse vectoielle 17 d sin d 2 sin d d ( : fié) d sin d d sin d ( : fié) (11f) dd dd ( : fié) d d sin d d d Fig. 8b Eléments de suface et volume élémentaie. Relations ente les coodonnées catésiennes et sphéiques Les elations de passage des coodonnées catésiennes en tg tg Fomules de tansfomation sin cos sin sin cos (11g) ˆ sin cos sin sin cos ˆ ˆ cos cos cos sin sin (11h) ˆ sin cos 0 ˆ sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin ˆ cos ˆ 0 ˆ (11i)

8 18 Chapite I 2.3 Elément d angle solide a) Angle solide élémentaie Pa définition l angle solide d sous lequel on voit une suface élémentaie à pati d un point (fig. 8c) est d ˆ nˆ ˆ cos (12a) Dans le cas ou l élément de suface est pis su une sphèe de cente et de aon (fig. 8d), alos on a nˆ ˆ. Dans ces conditions, on obtient 2 d sin d d 4 Stéadians. Sphèe 0 0 Pou un demi-espace 0 / 2 et 2 Stéadians. 3. Gadient, divegence, otationnel et laplacien 3. 1 L opéateu difféentiel Nabla L'opéateu difféentiel vectoiel, noté, est tès utile en analse vectoielle. Il pemet de détemine les notions de gadient, de la divegence, du otationnel et du Laplacien de manièe simple et concise. Cet opéateu, défini uniquement en coodonnées catésiennes s epime comme suit ˆ (13) Il peut ête appliqué, sous cetaines conditions, à des fonctions scalaies ou vectoielles. 3.2 Gadient d une fonction scalaie Le gadient d une fonction scalaie f, noté gad f ou f est un vecteu défini pa a) Coodonnées catésiennes f (,, ) d f f (14a) d Fig. 8c Illustation d un angle solide élémentaie. ˆ d sin d d 2 d (12b) Pou la Sphèe entièe (espace entie), on a Fig. 8d Angle solide élémentaie dans le cas d une sphèe. nˆ ˆ gadf f f f f ˆ (14b)