21. Calcul vectoriel

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1 Rappel du texte officiel : Épreuve de mise en situation professionnelle L épreuve comporte un exposé du candidat suivi d un entretien avec le jury. Elle prend appui sur les programmes de mathématiques du collège, du lycée et des sections de techniciens supérieurs. L épreuve permet d apprécier la capacité du candidat à maîtriser et organiser des notions sur un thème donné, et à les exposer de façon convaincante. Elle consiste en la présentation d un plan hiérarchisé qui doit mettre en valeur le recul du candidat par rapport au thème. Le candidat choisit un sujet parmi deux qu il tire au sort. Pendant vingt minutes, il expose un plan d étude détaillée du sujet qu il a choisi. Cet exposé est suivi du développement par le candidat d une partie de ce plan d étude, choisie par le jury, puis d un entretien portant sur ce développement ou sur tout autre aspect en lien avec le sujet choisi par le candidat. Pendant la préparation et lors de l interrogation, le candidat bénéficie du matériel informatique mis à sa disposition. Il a également accès aux ouvrages de la bibliothèque du concours et peut, dans les conditions définies par le jury, utiliser des ouvrages personnels. Durée de la préparation : deux heures et demie ; durée de l épreuve : une heure ; coefficient Calcul vectoriel Introduction : les vecteurs du plan sont introduits en classe de Seconde. Dès cette classe ils fournissent un outil performant pour établir l alignement de points et le parallélisme de droite. En classe de Première, on définit le produit scalaire de deux vecteurs du plan qui fournit alors un outil de démonstration de l orthogonalité de deux droites, de comparaison des longueurs de segments et de calculs trigonométriques. En classe Terminale, la notion de vecteur est étendue à l espace, le calcul vectoriel (produit scalaire y compris) permet d aborder l étude de certains solides et, dans le cadre de la géométrie repérée, la détermination d équations cartésiennes de droites et de plans. Dans cette leçon, on admettra que les définitions des vecteurs du plan et de l espace sont acquises, ainsi que les définitions et propriétés de l addition des vecteurs et de la multiplication d un vecteur par un nombre réel. Ce choix est justifié par la volonté de proposer, dans le temps imparti, des mises en œuvre du calcul vectoriel. 1. Colinéarité Dans ce paragraphe, les vecteurs sont des vecteurs du plan ou de l espace suivant le niveau de la classe à laquelle on s adresse (vecteurs du plan en Seconde et Première). Définition : Deux vecteurs ÝÑ u et ÝÑ v étant donnés, ont dit que ces vecteurs sont colinéaires si l une des conditions suivantes est réalisée ÝÑ u ÝÑ 0 ou ÝÑ v ÝÑ 0 ; il existe un réel λ 0, tel que ÝÑ u λ ÝÑ v. Théorème : Supposons le plan P rapporté à un repère. Deux vecteurs ÝÑ u pα ; βq et ÝÑ v pα 1 ; β 1 q sont colinéaires si, et seulement si, αβ 1 α 1 β 0. Théorème : Deux droites (du plan ou de l espace) sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de l une est colinéaire à un vecteur directeur de l autre. Démonstration (destinée à une classe de Seconde) : Supposons d{{d 1. Les droites sont les représentations graphiques des fonctions affines, leurs équations (cartésiennes) 1

2 dans un repère du plan sont de la forme y ax ` b ou x k. Plaçons nous dans le premier cas : les coefficients directeurs des droites sont égaux. Supposons que l équation de d et de d 1 s écrivent respectivement y mx ` p et y mx ` p 1. Un vecteur directeur de d est déterminé par deux points distincts de d, par exemple p0 ; pq et p1 ; m ` pq, d où ÝÑ u p1 ; mq. À partir des points p0 ; p1 q et p1 ; p 1 ` mq, on voit que le vecteur ÝÑ v p1 ; mq dirige d 1. Or, ÝÑ v 1. ÝÑ u, les deux vecteurs directeurs sont donc colinéaires. Dans le second cas, il est facile de voir que le vecteur de coordonnées p0 ; 1q est un vecteur directeur des deux droites. Supposons que d et d 1 admettent pour vecteurs directeurs (donc non nuls) respectifs ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs colinéaires. Dans un repère du plan, ÝÑ u pα ; βq et ÝÑ v pα 1 ; β 1 q. Si β 0, alors la condition de colinéarité implique que αβ 1 0. Mais, α 0 puisque ÝÑ u ÝÑ 0 et β 1 0. Dans ce cas, les équations des droites sont de la forme x k et elles sont bien parallèles (et parallèles à l axe des ordonnées). Si β 0, alors β 1 0 (supposer le contraire) et la condition de colinéarité s écrit α β α1 β 1. Si Mpp ; qq appartient à d, une équation cartésienne de d s écrit : y q mpx pq, où m P R. Mais alors, le point de coordonnées pp ` α ; q ` βq appartient aussi à d et m α. Il en résulte β que les deux droites ont même coefficient directeur. Elles sont donc parallèles. Exercice (Seconde/Première) : Soit ABCD un carré, E le sommet d un triangle équilatéral, intérieur au carré, de base rabs et F le sommet d un triangle équilatéral, extérieur au carré, de base rbcs. a) À partir d une figure précise, conjecturer les positions relatives des points D, E et F. b) Justifier que ÝÑ AE 1? ÝÑ 3 ÝÑ AB ` AD et que ÝÑ AF 2 `?3 ÝÑ AB ` 1 ÝÑ AD c) Justifier que les vecteurs ÝÝÑ DE et ÝÝÑ DF sont colinéaires. Conclure. 2. Produit scalaire de deux vecteurs du plan Définition 1 : Soient ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de ÝÑ u et de ÝÑ v le nombre, noté ÝÑ u. ÝÑ v, défini par : 0 si l un des deux vecteurs est nul ; } ÝÑ u }} ÝÑ v } cosp{ýñ u, ÝÑ v q sinon. Remarque : si ÝÑ u ÝÑ AB et ÝÑ v ÝÑ AC et si A B et A C, alors ÝÑ u. ÝÑ v AB.AC cosp { BACq. Le passage de l angle orienté de vecteurs à l angle géométrique s explique par la propriété du cosinus : cosp{ýñ u, ÝÑ v q cosp {ÝÑ v, ÝÑ u q ; l orientation de l angle ne joue donc aucun rôle dans la définition du produit scalaire. Cette définition sous-entend que la norme d un vecteur ait été définie au préalable. Soit ÝÑ u un veteur du plan, si ÝÑ u ÝÑ AB, alors } ÝÑ u } AB, où AB désigne la longueur du segment ra, Bs. La définition est cohérente car si ÝÑ u ÝÝÑ CD, alors ABDC est un parallélogramme et AB CD. 2

3 Proposition 1 : Soient ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs du plan, avec ÝÑ u ÝÑ AB et ÝÑ v ÝÑ AC. Alors, ÝÑ u. ÝÑ v & % AB.AC 1 si B et C 1 sont du même côté de A AB.AC 1 sinon., où C est le projeté orthogonal de C sur (AB). On déduit de cette proposition que ÝÑ u. ÝÑ v ÝÑ AB. ÝÝÑ AC 1. Cela résulte directement de la relation trigonométrique bien connue dans le triangle rectangle ABC 1 : cosp BAC { 1 q AC1. On distingue ensuite les deux cas pour arriver au résultat. AB Définition : Deux vecteurs ÝÑ u et ÝÑ v sont orthogonaux si ÝÑ u. ÝÑ v 0. Remarque : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, l angle qu ils forment est un angle droit, ou encore si, et seulement si, deux droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales. Théorème : Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie les propriétés suivantes. Pour tous vecteurs ÝÑ u, ÝÑ v, ÝÑ w : ÝÑ u. ÝÑ v ÝÑ v. ÝÑ u (c est la symétrie du produit scalaire) P R, pλ ÝÑ u q. ÝÑ v λp ÝÑ u. ÝÑ v q. La symétrie permet de justifier ÝÑ u.pλ ÝÑ v q λp ÝÑ u. ÝÑ v q. p ÝÑ u ` ÝÑ v q. ÝÑ w ÝÑ u. ÝÑ w ` ÝÑ v. ÝÑ w. La symétrie permet de justifier ÝÑ u.p ÝÑ v ` ÝÑ w q ÝÑ u. ÝÑ v ` ÝÑ u. ÝÑ w. ÝÑ u. ÝÑ u ě 0 et ÝÑ u. ÝÑ u 0 ô ÝÑ u ÝÑ 0. Démonstration : La symétrie découle de la définition et de la parité du cosinus. On a : et pλ ÝÑ u q. ÝÑ v }λ ÝÑ u } } ÝÑ v } cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q λ } ÝÑ u } } ÝÑ v } cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q λp ÝÑ u. ÝÑ v q λ} ÝÑ u } } ÝÑ v } cosp{ýñ u, ÝÑ v q. Si λ ą 0, alors λ λ et cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q cosp{ýñ u, ÝÑ v q, d où l égalité attendue. Si λ ă 0, alors λ λ et d où l égalité attendue. cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ u ` {ÝÑ u, ÝÑ v q cospπ ` {ÝÑ u, ÝÑ v q cosp {ÝÑ u, ÝÑ v q, Enfin, si λ 0, les deux produits scalaires sont nuls. Soit ÝÑ u ÝÑ AB, ÝÑ ÝÑ v BC et ÝÑ ÝÑ w AD. Alors, ÝÑ u ` ÝÑ ÝÑ v AC et - en notant B 1 et C 1 les projetés orthogonaux sur padq de B et de C respectivement - les vecteurs ÝÝÑ B 1 C 1 et ÝÝÑ AB 1 sont colinéaires. Il existe donc λ P R, tel que ÝÝÑ B 1 C 1 λ ÝÝÑ AB 1. Mais alors, p ÝÑ u ` ÝÑ v q. ÝÑ w ÝÑ AC. ÝÑ ÝÝÑ AD AC 1. ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ AD pab1 ` B 1 C 1 q. ÝÑ ÝÝÑ AD pp1 ` λqab 1 q. ÝÑ ÝÝÑ AD p1 ` λqpab 1. ÝÑ ADq ÝÝÑ AB 1. ÝÑ ÝÝÑ AD ` λpab 1. ÝÑ ÝÝÑ ADq AB 1. ÝÑ ÝÝÑ AD ` pλab 1 q. ÝÑ ÝÝÑ AD AB 1. ÝÑ ÝÝÑ AD ` B 1 C 1. ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ AD AB. AD ` BC. AD ÝÑ u. ÝÑ w ` ÝÑ v. ÝÑ w. 3

4 Évident. Proposition 2 : Si le plan est rapporté à un repère orthonormal et si les coordonnées de ÝÑ u et de ÝÑ v (dans ce repère) sont respectivement notées px ; yq et px 1 ; y 1 q, alors ÝÑ u. ÝÑ v xx1 ` yy 1. Proposition 3 : Soient ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs du plan. On a : ÝÑ u. ÝÑ } ÝÑ u ` ÝÑ v } 2 } ÝÑ u ÝÑ v } 2 v. 4 Exercice (à partir de la classe de Première) : Soit ABC un triangle. Montrer que BC 2 AB 2 ` AC 2 2AB AC cosp BACq. { Cette formule - qui généralise l égalité du théorème de Pythagore (pourquoi?) - est appelée la formule d Al Kashi 1 Exercice (Première) : Démontrer la formule d addition bq P R 2, cospa ` bq cospaq cospbq sinpaq sinpbq. En déduire que sinpa ` bq sinpaq cospbq ` sinpbq cospaq. 3. Applications du produit scalaire de vecteurs de l espace On admet dans ce paragraphe que les propriétés du produit scalaire des vecteurs du plan s étendent au produit scalaire des vecteurs de l espace. Les deux exercices proposés sont destinés à des classes Terminales Application 1 : Soit ABCDEF GH un cube. On considère les plans pbedq et pf CHq. a) Justifier que ÝÑ ÝÑ EB. AF 0. Que peut-on en déduire pour les droites pebq et pagq? b) Montrer que les droites pebq et pf Gq sont orthogonales. c) Déduire des deux questions précédentes que le plan pebdq est orthogonal à la droite pagq. d) Que peut-on dire du plan pf CHq et de la droite pagq? Justifier. Application 2 (géométrie repérée) : Dans un repère orthonormal R de l espace, on considère les deux droites d et d 1 d équations & x 2 ` λ & x µ pdq y 1 ` 2λ, λ P R pd 1 q y 4 ` µ µ P R. % % z 3λ z 2 ` 3, µ a) Déterminer un vecteur directeur de chaque droite et justifier que les deux droites ne sont pas coplanaires. 1. Al Kashi - mathématicien et astronome perse - v

5 b) Déterminer les coordonnées dans R d un vecteur, noté ÝÑ w, qui soit orthogonal à d et à d 1. c) Déterminer une droite dirigée par ÝÑ w qui rencontre d et d 1. Comment peut-on appeler une telle droite? 5