21. Calcul vectoriel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "21. Calcul vectoriel"

Transcription

1 Rappel du texte officiel : Épreuve de mise en situation professionnelle L épreuve comporte un exposé du candidat suivi d un entretien avec le jury. Elle prend appui sur les programmes de mathématiques du collège, du lycée et des sections de techniciens supérieurs. L épreuve permet d apprécier la capacité du candidat à maîtriser et organiser des notions sur un thème donné, et à les exposer de façon convaincante. Elle consiste en la présentation d un plan hiérarchisé qui doit mettre en valeur le recul du candidat par rapport au thème. Le candidat choisit un sujet parmi deux qu il tire au sort. Pendant vingt minutes, il expose un plan d étude détaillée du sujet qu il a choisi. Cet exposé est suivi du développement par le candidat d une partie de ce plan d étude, choisie par le jury, puis d un entretien portant sur ce développement ou sur tout autre aspect en lien avec le sujet choisi par le candidat. Pendant la préparation et lors de l interrogation, le candidat bénéficie du matériel informatique mis à sa disposition. Il a également accès aux ouvrages de la bibliothèque du concours et peut, dans les conditions définies par le jury, utiliser des ouvrages personnels. Durée de la préparation : deux heures et demie ; durée de l épreuve : une heure ; coefficient Calcul vectoriel Introduction : les vecteurs du plan sont introduits en classe de Seconde. Dès cette classe ils fournissent un outil performant pour établir l alignement de points et le parallélisme de droite. En classe de Première, on définit le produit scalaire de deux vecteurs du plan qui fournit alors un outil de démonstration de l orthogonalité de deux droites, de comparaison des longueurs de segments et de calculs trigonométriques. En classe Terminale, la notion de vecteur est étendue à l espace, le calcul vectoriel (produit scalaire y compris) permet d aborder l étude de certains solides et, dans le cadre de la géométrie repérée, la détermination d équations cartésiennes de droites et de plans. Dans cette leçon, on admettra que les définitions des vecteurs du plan et de l espace sont acquises, ainsi que les définitions et propriétés de l addition des vecteurs et de la multiplication d un vecteur par un nombre réel. Ce choix est justifié par la volonté de proposer, dans le temps imparti, des mises en œuvre du calcul vectoriel. 1. Colinéarité Dans ce paragraphe, les vecteurs sont des vecteurs du plan ou de l espace suivant le niveau de la classe à laquelle on s adresse (vecteurs du plan en Seconde et Première). Définition : Deux vecteurs ÝÑ u et ÝÑ v étant donnés, ont dit que ces vecteurs sont colinéaires si l une des conditions suivantes est réalisée ÝÑ u ÝÑ 0 ou ÝÑ v ÝÑ 0 ; il existe un réel λ 0, tel que ÝÑ u λ ÝÑ v. Théorème : Supposons le plan P rapporté à un repère. Deux vecteurs ÝÑ u pα ; βq et ÝÑ v pα 1 ; β 1 q sont colinéaires si, et seulement si, αβ 1 α 1 β 0. Théorème : Deux droites (du plan ou de l espace) sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de l une est colinéaire à un vecteur directeur de l autre. Démonstration (destinée à une classe de Seconde) : Supposons d{{d 1. Les droites sont les représentations graphiques des fonctions affines, leurs équations (cartésiennes) 1

2 dans un repère du plan sont de la forme y ax ` b ou x k. Plaçons nous dans le premier cas : les coefficients directeurs des droites sont égaux. Supposons que l équation de d et de d 1 s écrivent respectivement y mx ` p et y mx ` p 1. Un vecteur directeur de d est déterminé par deux points distincts de d, par exemple p0 ; pq et p1 ; m ` pq, d où ÝÑ u p1 ; mq. À partir des points p0 ; p1 q et p1 ; p 1 ` mq, on voit que le vecteur ÝÑ v p1 ; mq dirige d 1. Or, ÝÑ v 1. ÝÑ u, les deux vecteurs directeurs sont donc colinéaires. Dans le second cas, il est facile de voir que le vecteur de coordonnées p0 ; 1q est un vecteur directeur des deux droites. Supposons que d et d 1 admettent pour vecteurs directeurs (donc non nuls) respectifs ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs colinéaires. Dans un repère du plan, ÝÑ u pα ; βq et ÝÑ v pα 1 ; β 1 q. Si β 0, alors la condition de colinéarité implique que αβ 1 0. Mais, α 0 puisque ÝÑ u ÝÑ 0 et β 1 0. Dans ce cas, les équations des droites sont de la forme x k et elles sont bien parallèles (et parallèles à l axe des ordonnées). Si β 0, alors β 1 0 (supposer le contraire) et la condition de colinéarité s écrit α β α1 β 1. Si Mpp ; qq appartient à d, une équation cartésienne de d s écrit : y q mpx pq, où m P R. Mais alors, le point de coordonnées pp ` α ; q ` βq appartient aussi à d et m α. Il en résulte β que les deux droites ont même coefficient directeur. Elles sont donc parallèles. Exercice (Seconde/Première) : Soit ABCD un carré, E le sommet d un triangle équilatéral, intérieur au carré, de base rabs et F le sommet d un triangle équilatéral, extérieur au carré, de base rbcs. a) À partir d une figure précise, conjecturer les positions relatives des points D, E et F. b) Justifier que ÝÑ AE 1? ÝÑ 3 ÝÑ AB ` AD et que ÝÑ AF 2 `?3 ÝÑ AB ` 1 ÝÑ AD c) Justifier que les vecteurs ÝÝÑ DE et ÝÝÑ DF sont colinéaires. Conclure. 2. Produit scalaire de deux vecteurs du plan Définition 1 : Soient ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de ÝÑ u et de ÝÑ v le nombre, noté ÝÑ u. ÝÑ v, défini par : 0 si l un des deux vecteurs est nul ; } ÝÑ u }} ÝÑ v } cosp{ýñ u, ÝÑ v q sinon. Remarque : si ÝÑ u ÝÑ AB et ÝÑ v ÝÑ AC et si A B et A C, alors ÝÑ u. ÝÑ v AB.AC cosp { BACq. Le passage de l angle orienté de vecteurs à l angle géométrique s explique par la propriété du cosinus : cosp{ýñ u, ÝÑ v q cosp {ÝÑ v, ÝÑ u q ; l orientation de l angle ne joue donc aucun rôle dans la définition du produit scalaire. Cette définition sous-entend que la norme d un vecteur ait été définie au préalable. Soit ÝÑ u un veteur du plan, si ÝÑ u ÝÑ AB, alors } ÝÑ u } AB, où AB désigne la longueur du segment ra, Bs. La définition est cohérente car si ÝÑ u ÝÝÑ CD, alors ABDC est un parallélogramme et AB CD. 2

3 Proposition 1 : Soient ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs du plan, avec ÝÑ u ÝÑ AB et ÝÑ v ÝÑ AC. Alors, ÝÑ u. ÝÑ v & % AB.AC 1 si B et C 1 sont du même côté de A AB.AC 1 sinon., où C est le projeté orthogonal de C sur (AB). On déduit de cette proposition que ÝÑ u. ÝÑ v ÝÑ AB. ÝÝÑ AC 1. Cela résulte directement de la relation trigonométrique bien connue dans le triangle rectangle ABC 1 : cosp BAC { 1 q AC1. On distingue ensuite les deux cas pour arriver au résultat. AB Définition : Deux vecteurs ÝÑ u et ÝÑ v sont orthogonaux si ÝÑ u. ÝÑ v 0. Remarque : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, l angle qu ils forment est un angle droit, ou encore si, et seulement si, deux droites dirigées par ces vecteurs sont orthogonales. Théorème : Le produit scalaire de deux vecteurs vérifie les propriétés suivantes. Pour tous vecteurs ÝÑ u, ÝÑ v, ÝÑ w : ÝÑ u. ÝÑ v ÝÑ v. ÝÑ u (c est la symétrie du produit scalaire) P R, pλ ÝÑ u q. ÝÑ v λp ÝÑ u. ÝÑ v q. La symétrie permet de justifier ÝÑ u.pλ ÝÑ v q λp ÝÑ u. ÝÑ v q. p ÝÑ u ` ÝÑ v q. ÝÑ w ÝÑ u. ÝÑ w ` ÝÑ v. ÝÑ w. La symétrie permet de justifier ÝÑ u.p ÝÑ v ` ÝÑ w q ÝÑ u. ÝÑ v ` ÝÑ u. ÝÑ w. ÝÑ u. ÝÑ u ě 0 et ÝÑ u. ÝÑ u 0 ô ÝÑ u ÝÑ 0. Démonstration : La symétrie découle de la définition et de la parité du cosinus. On a : et pλ ÝÑ u q. ÝÑ v }λ ÝÑ u } } ÝÑ v } cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q λ } ÝÑ u } } ÝÑ v } cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q λp ÝÑ u. ÝÑ v q λ} ÝÑ u } } ÝÑ v } cosp{ýñ u, ÝÑ v q. Si λ ą 0, alors λ λ et cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q cosp{ýñ u, ÝÑ v q, d où l égalité attendue. Si λ ă 0, alors λ λ et d où l égalité attendue. cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ v q cosp { λ ÝÑ u, ÝÑ u ` {ÝÑ u, ÝÑ v q cospπ ` {ÝÑ u, ÝÑ v q cosp {ÝÑ u, ÝÑ v q, Enfin, si λ 0, les deux produits scalaires sont nuls. Soit ÝÑ u ÝÑ AB, ÝÑ ÝÑ v BC et ÝÑ ÝÑ w AD. Alors, ÝÑ u ` ÝÑ ÝÑ v AC et - en notant B 1 et C 1 les projetés orthogonaux sur padq de B et de C respectivement - les vecteurs ÝÝÑ B 1 C 1 et ÝÝÑ AB 1 sont colinéaires. Il existe donc λ P R, tel que ÝÝÑ B 1 C 1 λ ÝÝÑ AB 1. Mais alors, p ÝÑ u ` ÝÑ v q. ÝÑ w ÝÑ AC. ÝÑ ÝÝÑ AD AC 1. ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ AD pab1 ` B 1 C 1 q. ÝÑ ÝÝÑ AD pp1 ` λqab 1 q. ÝÑ ÝÝÑ AD p1 ` λqpab 1. ÝÑ ADq ÝÝÑ AB 1. ÝÑ ÝÝÑ AD ` λpab 1. ÝÑ ÝÝÑ ADq AB 1. ÝÑ ÝÝÑ AD ` pλab 1 q. ÝÑ ÝÝÑ AD AB 1. ÝÑ ÝÝÑ AD ` B 1 C 1. ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ AD AB. AD ` BC. AD ÝÑ u. ÝÑ w ` ÝÑ v. ÝÑ w. 3

4 Évident. Proposition 2 : Si le plan est rapporté à un repère orthonormal et si les coordonnées de ÝÑ u et de ÝÑ v (dans ce repère) sont respectivement notées px ; yq et px 1 ; y 1 q, alors ÝÑ u. ÝÑ v xx1 ` yy 1. Proposition 3 : Soient ÝÑ u et ÝÑ v deux vecteurs du plan. On a : ÝÑ u. ÝÑ } ÝÑ u ` ÝÑ v } 2 } ÝÑ u ÝÑ v } 2 v. 4 Exercice (à partir de la classe de Première) : Soit ABC un triangle. Montrer que BC 2 AB 2 ` AC 2 2AB AC cosp BACq. { Cette formule - qui généralise l égalité du théorème de Pythagore (pourquoi?) - est appelée la formule d Al Kashi 1 Exercice (Première) : Démontrer la formule d addition bq P R 2, cospa ` bq cospaq cospbq sinpaq sinpbq. En déduire que sinpa ` bq sinpaq cospbq ` sinpbq cospaq. 3. Applications du produit scalaire de vecteurs de l espace On admet dans ce paragraphe que les propriétés du produit scalaire des vecteurs du plan s étendent au produit scalaire des vecteurs de l espace. Les deux exercices proposés sont destinés à des classes Terminales Application 1 : Soit ABCDEF GH un cube. On considère les plans pbedq et pf CHq. a) Justifier que ÝÑ ÝÑ EB. AF 0. Que peut-on en déduire pour les droites pebq et pagq? b) Montrer que les droites pebq et pf Gq sont orthogonales. c) Déduire des deux questions précédentes que le plan pebdq est orthogonal à la droite pagq. d) Que peut-on dire du plan pf CHq et de la droite pagq? Justifier. Application 2 (géométrie repérée) : Dans un repère orthonormal R de l espace, on considère les deux droites d et d 1 d équations & x 2 ` λ & x µ pdq y 1 ` 2λ, λ P R pd 1 q y 4 ` µ µ P R. % % z 3λ z 2 ` 3, µ a) Déterminer un vecteur directeur de chaque droite et justifier que les deux droites ne sont pas coplanaires. 1. Al Kashi - mathématicien et astronome perse - v

5 b) Déterminer les coordonnées dans R d un vecteur, noté ÝÑ w, qui soit orthogonal à d et à d 1. c) Déterminer une droite dirigée par ÝÑ w qui rencontre d et d 1. Comment peut-on appeler une telle droite? 5

On note u = AB = AB. de (AB) tel que (CC ) est perpendiculaire à (AB). AB = u et AC = v et un point C

On note u = AB = AB. de (AB) tel que (CC ) est perpendiculaire à (AB). AB = u et AC = v et un point C I Pour bien commencer I.1 Norme d un vecteur Une unité de longueur étant choisie, la norme d un vecteur u = AB est la longueur AB. Si u = 1, le vecteur u est dit unitaire. On note u = AB = AB. Conséquences

Plus en détail

Oral 1 géométrie. Leçon n 10 : Géométrie vectorielle dans le plan et dans l espace. Niveau : Lycée. (De la seconde à la terminale.

Oral 1 géométrie. Leçon n 10 : Géométrie vectorielle dans le plan et dans l espace. Niveau : Lycée. (De la seconde à la terminale. Oral 1 géométrie Leçon n 10 : Géométrie vectorielle dans le plan et dans l espace. Niveau : Lycée. (De la seconde à la terminale.) Prérequis : Repérage dans le plan et dans l espace, translation, produit

Plus en détail

Chapitre X- Partie B : Vecteurs et repère de l espace

Chapitre X- Partie B : Vecteurs et repère de l espace Chapitre X- Partie B : Vecteurs et repère de l espace Extrait du programme : Les définitions et les calculs des vecteurs du plan peuvent-être étendus à l espace. 1 I Vecteurs La notion de vecteur vue dans

Plus en détail

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE DROITES ET PLANS DANS L ESPACE Ph DEPRESLE 30 juin 015 Table des matières 1 Parallélisme dans l espace Géométrie vectorielle.1 Vecteurs de l espace......................................... Vecteurs colinéaires-caractérisation

Plus en détail

Vecteurs et droites. A) Rappels sur les vecteurs. 1. Généralités. Définition :

Vecteurs et droites. A) Rappels sur les vecteurs. 1. Généralités. Définition : Vecteurs et droites A) Rappels sur les vecteurs.. Généralités. Définitions : ) Un vecteur u ou AB est défini par : une direction (la droite (AB)). un sens (de A vers B). une longueur : la norme du vecteur

Plus en détail

Chapitre 1 : Géométrie dans l espace

Chapitre 1 : Géométrie dans l espace Chapitre 1 : Géométrie dans l espace M. HARCHY T S 2 -Lycée Agora-2015/2016 1 Droites et plans de l espace 1.1 Règles d incidence (Rappels) Théorème 1 Par deux points distincts A et B de l espace passe

Plus en détail

1. Produit scalaire dans le plan

1. Produit scalaire dans le plan Produit scalaire 1. Produit scalaire dans le plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Ce n est pas une multiplication Le produit scalaire de u par v noté u. v est le nombre défini

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l espace ; ; ;. Partie A : Repère et vecteurs coplanaires

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace

Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace TS : Géométrie vectorielle / Produit scalaire dans l espace page 1 Géométrie vectorielle Produit scalaire dans l espace I. Caractérisation vectorielle (A) Vecteur dans l espace 1. Notion de vecteur dans

Plus en détail

@ Dans l espace personne ne vous entend crier *

@ Dans l espace personne ne vous entend crier * @ Dans l espace personne ne vous entend crier * A/ Droites et plans de l espace : incidence et parallélisme. I/ Positions relatives de droites et de plans. 1/ Deux droites. d 1 et d 2 sont sécantes d 1

Plus en détail

Géométrie _ Equations de droites

Géométrie _ Equations de droites Géométrie _ Equations de droites Exercice 1 : Cinéma et concert Sous thème : Coordonnées d un point, droites (livre Maths, 2 nde, Nathan 2010) Un groupe d amis, dont certains sont étudiants, va au cinéma.

Plus en détail

La géométrie dans l espace

La géométrie dans l espace Chapitre 2 terminale S La géométrie dans l espace 1 Vecteurs de l espace : La notion de vecteur du plan se généralise dans l espace. 1) Caractérisation : a) On donne deux points de l espace et, distincts.

Plus en détail

Vecteurs et droites. 1 Colinéarité de 2 vecteurs. 2 Equation cartésienne d une droite. 1.1 Rappels. 1.2 Lien avec les coordonnées

Vecteurs et droites. 1 Colinéarité de 2 vecteurs. 2 Equation cartésienne d une droite. 1.1 Rappels. 1.2 Lien avec les coordonnées 015 Chapitre Première S 1 Colinéarité de vecteurs 1.1 Rappels Vecteurs et droites Soient points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) points d un repère (O, I, J ) Alors le vecteur ( AB a pour coordonnées xb

Plus en détail

1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan

1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan TS Chapitre 07 Produit scalaire dans l Espace Droites et plans de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire dans le plan 11 Définition Définition : Soit u et v deux vecteurs non nuls Soit A, B et C des

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales.

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales. PRODUIT SCALAIRE I Produit scalaire Définition ( voir animation ) Soient et deux vecteurs du plan. On considère trois points O, A et tels que : OA = u et O =. On appelle produit scalaire du vecteur par

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (1/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES

PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (1/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (/4) : DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS Définition : Le projeté orthogonal d un point B sur une droite (OA) est le point H de la droite (OA) tel que (BH) (OA). Définition

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Produit scalaire dans l espace Notes : dans cette synthèse de cours, on suppose connues les notions du programme de 1 ère S relatives au produit scalaire dans

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

COURS N 9 : GÉOMÉTRIE I- RAPPELS SUR LES VECTEURS. 1) Coordonnées. 2) Equation d une droite. 3) Norme d un vecteur.

COURS N 9 : GÉOMÉTRIE I- RAPPELS SUR LES VECTEURS. 1) Coordonnées. 2) Equation d une droite. 3) Norme d un vecteur. I- RAPPELS SUR LES VECTEURS ) Coordonnées ) Equation d une droite 3) Norme d un vecteur 4) Vecteurs colinéaires 5) Vecteurs orthogonaux 6) Angles de deux vecteurs Application : Activité page 94 II- VECTEURS

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace.

Produit scalaire dans l espace. Terminale S, Espace Produit scalaire dans l espace. Produit scalaire: Définitions. Définitions du produit scalaire: Soit u et v deux vecteurs de l'espace. On appelle produit scalaire des vecteurs u et

Plus en détail

Chapitre G1 : Droites et vecteurs du plan

Chapitre G1 : Droites et vecteurs du plan Chapitre G : Droites et vecteurs du plan Sébastien DUMOULARD SITE WEB : http://www.mathslycee.fr version du er novembre 203 FIGURE Un champ de vecteurs, (source Wikipédia G Droites et vecteurs du plan

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs Index Prérequis... 2 I- Présentation du produit scalaire... 2 I-1- Vocabulaire... 2 I-2- Quoi, pourquoi, comment?... 2 I-3- Quelques calculs :... 3 I-3-1- Travail d'une force... 3 1er cas : La force est

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE.

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE. PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE. I. Produit scalaire dans l espace : 1) Repères orthonormés de l espace : Un repère (O ; I ; J ; K) de l espace est orthonormé lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont

Plus en détail

Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition

Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition Chapitre 10 Produit scalaire 10.1 Définition et expressions du produit scalaire 10.1.1 Définition Définition 18. u et v sont deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de u par v, noté u. v est défini

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7 PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des matières I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation....................................... I Norme d un vecteur........................................

Plus en détail

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3 Université Paris, IUT de Saint-Denis Année universitaire 0-0 Licence Pro MDQ Géométrie Fiche Calcul vectoriel dans R et R Dans les exercices suivants, on suppose le plan muni d un repère orthonormal (O,,

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme................................................. 1. Angle orienté-angle géométrique.................................. 1.3 Projection orthogonale........................................

Plus en détail

Classe de terminale Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de terminale Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de terminale Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE I- Orthogonalité de droites et de plans 1. Droites orthogonales Définition Soit d 1 et d 2 deux droites de l espace. On dit que d 1 et d 2 sont orthogonales

Plus en détail

Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace

Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace Chapitre X-B Vecteurs et repère de l espace Les définitions et les calculs des vecteurs du plan peut être étendus à l espace. I. Vecteurs La

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation )

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) PRODUIT SCLIRE I Produit scalaire : définition Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Soient et v deux vecteurs du plan. On considère trois points O, et tels que : O = u

Plus en détail

Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications

Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications Ex 1 Soit ABCD un losange de côté 5 avec AC=4. 1. Calculer la longueur BD. 2. Calculer les produits scalaires suivants : a. AB AC ; b. AB c. AB CD ; AD ; d.

Plus en détail

Chapitre 2 : Calcul vectoriel

Chapitre 2 : Calcul vectoriel Chapitre 2 : Calcul vectoriel 1 ière S I. Vecteurs La notion de vecteur, vue en géométrie plane, se généralise à l espace. Caractérisation d un vecteur : Deux points et B distincts, de l espace, définissent

Plus en détail

Bac S 2016 Liban. Commun à tous les candidats

Bac S 2016 Liban. Commun à tous les candidats Bac S 16 Liban EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Une représentation

Plus en détail

I. Définition et propriétés du produit scalaire

I. Définition et propriétés du produit scalaire Leçon 9 : Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan ; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d angles. On se place au niveau du secondaire. CADRE :

Plus en détail

Ch.1èVecteurs et droites du plan

Ch.1èVecteurs et droites du plan ChèVecteurs et droites du plan I Colinéarité de deux vecteurs ere S définition Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u Autrement dit, dans un repère ( O, I,

Plus en détail

Chapitre 8 Vecteurs et repérage dans l'espace

Chapitre 8 Vecteurs et repérage dans l'espace Chapitre 8 Vecteurs et repérage dans l'espace A) Vecteurs dans l espace 1) Définition À tout couple de points A et B de l espace, on associe le vecteur AB. Si A = B, on dira que AB= 0, vecteur nul. Sinon,

Plus en détail

Chapitre 10 Géométrie dans l Espace.

Chapitre 10 Géométrie dans l Espace. 1/ Géométrie dans l Espace Terminale S Chapitre 10 Géométrie dans l Espace I Le produit scalaire 1 Dans le plan On considère le plan orienté muni d une unité de longueur Définition 1 : Dans le plan, le

Plus en détail

I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan

I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1 ère S - Chapitre 12 : PRODUIT SCALAIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1. Vocabulaire Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u( x y) ( et v x ' y '). Le produit

Plus en détail

Repères et coordonnées. a) repérage sur une droite Choisir un repère sur une droite, c est se donner deux points distincts O et I de,

Repères et coordonnées. a) repérage sur une droite Choisir un repère sur une droite, c est se donner deux points distincts O et I de, I Repères et coordonnées a) repérage sur une droite Choisir un repère sur une droite, c est se donner deux points distincts O et I de, pris dans cet ordre. O est l origine du repère. Posons alors OI =

Plus en détail

CH1 Géométrie : Calcul vectoriel 2 ème Sciences Septembre 2009

CH1 Géométrie : Calcul vectoriel 2 ème Sciences Septembre 2009 CH1 Géométrie : Calcul vectoriel 2 ème Sciences Septembre 2009 A. LAATAOUI Rappel et compléments : Définition : Soient (A, B) et (C, D) deux bipoints du plan tels que les segments [AD] et [BC] ont.., alors

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. I et

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. I et APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE Cours Première S 1 Calculs de longueurs 1) Théorème de la médiane Théorème 1 : Soit I le milieu du segment [ BC ] Alors BC AB + AC = AI + Démonstration : On a : AB = AB

Plus en détail

Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/??

Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/?? Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre 1 Produit scalaire dans le plan 1.1 Expressions et propriétés du produit scalaire Si les vecteurs u et v sont deux vecteurs colinéaires Définition

Plus en détail

Géométrie dans le plan

Géométrie dans le plan Chapitre 2 Géométrie dans le plan 2.1 Vecteurs colinéaires Dénition. Deux vecteurs du plan u et v sont colinéaires si et seulement si : λ R u = λ v. Exemple. u 2 et v 6 sont colinéaires car : v = 3 u.

Plus en détail

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition:

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition: Produit scalaire dans l espace : Définition: Soit A, B et C trois points, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = si AB = 0 ou AC = 0 AB AC = si AB 0 et AC 0 Conséquence

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

Chapitre 3 GEO 2. Produit scalaire

Chapitre 3 GEO 2. Produit scalaire Chapitre 3 GEO Produit scalaire À la fin de ce td, vous devez être capale de : Calculer le produit scalaire de deux vecteurs : à l aide des normes et d un angle ; à l aide d une projection orthogonale

Plus en détail

Vecteurs de l espace

Vecteurs de l espace Vecteurs de l espace Définitions règles de calcul On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : somme de vecteurs multiplication par un réel Définition-

Plus en détail

Leçon n 17 : Produit scalaire. Présentation : Célia Giraudeau Questions : Léon Habert

Leçon n 17 : Produit scalaire. Présentation : Célia Giraudeau Questions : Léon Habert Leçon n 17 : Produit scalaire Présentation : Célia Giraudeau Questions : Léon Habert Lundi 5 Mars 2018 Prérequis Géométrie plane et dans l espace Angles Vecteurs Repère orthonormé On note E un espace vectoriel

Plus en détail

Strictement parallèles. peut être : Strictement parallèle

Strictement parallèles. peut être : Strictement parallèle 2 Géométrie dans l espace TS 2017/2018 1 Droites et plans 1. 1 Positions relatives de droites et de plans Proposition 2. 1 1. Deux droites et de l espace peuvent être : Coplanaires et sécantes Coplanaires

Plus en détail

1 Barycentre de deux points pondérées.

1 Barycentre de deux points pondérées. 1ère STI - Chapitre 7: Géométire Introduction Exercices de révision sur les vecteurs : 35, 37, 38 et 39 page 325. 1 Barycentre de deux points pondérées. 1.1 Présentation du problème. 2kg 5kg? 4kg 1kg On

Plus en détail

CESI - FIA Harmonisation Mathématiques. Intervenant : F.Dumetz. V Les vecteurs I ) LES VECTEURS 1) DEFINITIONS ET REGLES DE CALCUL

CESI - FIA Harmonisation Mathématiques. Intervenant : F.Dumetz. V Les vecteurs I ) LES VECTEURS 1) DEFINITIONS ET REGLES DE CALCUL CESI - FIA12-2015 Harmonisation Mathématiques Intervenant : FDumetz V Les vecteurs I ) LES VECTEURS 1) DEFINITIONS ET REGLES DE CALCUL Définition : Un vecteur de l espace est défini par sa direction, son

Plus en détail

Sommaire. Prérequis. Géométrie dans l espace

Sommaire. Prérequis. Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace Stéphane PASQUET, 22 mars 2015 C Sommaire Droites parallèles....................................... 2 s sur les droites................................... 2 Droite parallèle à un

Plus en détail

Vecteurs et droites. Colinéarité

Vecteurs et droites. Colinéarité Vecteurs et droites Colinéarité Définition - Colinéarité Deux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction. Propriété Soit et deux vecteurs non nuls. et sont colinéaires si et seulement si

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Repérages et vecteurs

Repérages et vecteurs Chapitre V Repérages et vecteurs I. Vecteurs et translations. 1.Translation de vecteur AB : a) Définition : Le point du plan a pour translaté l unique point dans la translation de vecteur AB si [A ] et

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES - spécialité ii Table des matières 1 Les fonctions affines par morceaux 1 1.1 Fonction affine.................................... 1 1.1.1 Définition

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Vallon 2 février 2016 Vallon 2 février 2016 1 / 13 Table : 1 2 Produit scalaire et orthogonalité dans l espace 3 Equations cartésiennes d un plan 4 Positions relatives de droites et de plans Vallon 2 février

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

Vecteurs-équations de droites

Vecteurs-équations de droites Table des matières 1 Vecteurs colinéaires 1 1.1 Définition............................................ 1 1.2 Critère de colinéarité de deux vecteurs dans un repère.................... 1 2 Décomposition

Plus en détail

Géométrie. Exercices 15

Géométrie. Exercices 15 MATH Géométrie Exercices 15 Géométrie du plan Exercice 1. Soient u et v deux vecteurs du plan. 1. Démontrer que u et v sont orthogonaux si, et seulement si, u + v = u v. 2. En déduire une CNS pour qu un

Plus en détail

Ch.8 : Produit scalaire

Ch.8 : Produit scalaire 1 e - programme 011 - mathématiques ch8 - cours Page 1 sur 7 (D après Hachte - Déclic 011 ch9) 1 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS 11 Deux définitions géométriques équivalentes DÉFINITION 1 Ch8 : Produit

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Chapitre G Produit scalaire dans l espace Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Vecteur normal à un plan.

Plus en détail

Colinéarité de vecteurs Équation cartésienne d une droite

Colinéarité de vecteurs Équation cartésienne d une droite Colinéarité de vecteurs Équation cartésienne d une droite Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur les vecteurs 3. Égalité de deux vecteurs.........................................

Plus en détail

Dans un repère orthonormé de l espace, si un vecteur u a pour coordonnées

Dans un repère orthonormé de l espace, si un vecteur u a pour coordonnées Chapitre n 16 Géométrie dans l espace (3) I. Etension du produit scalaire à l espace 1. Norme d un vecteur de l espace Définition 1 : On considère un vecteur u de l espace, A et B deu points de l espace

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Chapitre 11 Géométrie dans l espace Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Droites et plans Positions relatives de droites et de plans : intersection

Plus en détail

1. Définition du produit scalaire et orthogonalité

1. Définition du produit scalaire et orthogonalité Dans tout ce chapitre #» u, #» v et #» w désignent des vecteurs du plan. 1. Définition du produit scalaire et orthogonalité DÉFINITION Le produit scalaire de #» u et #» v,noté #» u #» v qui se lit «#»

Plus en détail

Droites du plan, droites et plans de l espace

Droites du plan, droites et plans de l espace Droites du plan, droites et plans de l espace Trois (plus deux) questions à se poser pour toute leçon d un oral de capes Quand et comment est abordé ce thème dans les programmes de collège et lycée? A

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN 1 sur 12 REPERAGE DANS LE PLAN I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (O, I, J). L origine O et les unités OI et OJ permettent de

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES. 1) La mesure algébrique. 2) Activités. 1.1 Définition et propriétés Définition :

LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES. 1) La mesure algébrique. 2) Activités. 1.1 Définition et propriétés Définition : LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES 1) La mesure algébrique 1.1 Définition et propriétés Définition : Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Lycée Edgar Quinet Année 2014-2015 Géométrie dans l espace exercices... Terminale S Exercice 1 L espace est muni d un repère orthonormé O, ı, j, ) k. P et R sont les plans d équations respectives 2x+ y

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Pˆr o dˆuˆiˆt Œs c a l aˆiˆr e d e l e sœp a c e Classe de Terminale S I. GÉNÉRALISATION DU PRODUIT SCALAIRE À L ESPACE. Exercice 1 ABCDEFGH est un cube d arête 1, O est le centre de la face EFGH. 1. a)

Plus en détail

Barycentre. Table des matières

Barycentre. Table des matières 1 Barycentre Table des matières 1 Rappels sue les vecteurs 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Opérations sur les vecteurs....................... 2 1.2.1 Somme de deux vecteurs....................

Plus en détail

Chapitre 5 : Géométrie

Chapitre 5 : Géométrie Chapitre 5 : Géométrie 1 Géométrie dans le plan Julien Reichert Les notions d abscisse et d ordonnée, avec lesquelles un élève sortant de collège est plus ou moins familier, sont intimement liées à celle

Plus en détail

CHAPITRE 6 : Géométrie dans l espace

CHAPITRE 6 : Géométrie dans l espace CHAPITRE 6 : Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans de l espace... 3 1.1 Définitions... 3 1.1.a Droites de l espace... 3 1.1.b Droites et plans de l espace... 3 1.1.c Plans

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Programme selon les sections : - formules de trigonométrie, produit scalaire dans le plan : toutes sections - produit scalaire dans l espace : ST2A, S - vecteur normal : S Pré-requis : Vecteurs

Plus en détail

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE I. Vecteurs, droites et plans de l'espace... 2 I.1 Vecteurs de l'espace 2 I.2 Droites de l'espace 2 I.3 Plans de l'espace 2 II. Coplanarité... 3 III. Repères de l'espace... 3 IV.

Plus en détail

Chapitre 12. Repères de l espace. Exercices Vecteurs de l espace CHAPITRE 12. REPÈRES DE L ESPACE

Chapitre 12. Repères de l espace. Exercices Vecteurs de l espace CHAPITRE 12. REPÈRES DE L ESPACE PITR 12. RPÈRS L SP hapitre 12 Repères de l espace I xercices 12.1 Vecteurs de l espace xercice 12.1 est le cube représenté ci-dessous. 1. a) Sur la figure ci-contre, construire le point I tel que I Ý.

Plus en détail

Géométrie dans l espace : exercices de bac

Géométrie dans l espace : exercices de bac Géométrie dans l espace : exercices de bac I Liban mai 04 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas

Plus en détail

Chapitre 4 Géométrie plane Activités

Chapitre 4 Géométrie plane Activités Chapitre Géométrie plane Activités Activité 1 : Rappels sur la géométrie plane, les vecteurs et la colinéarité : Enoncé 11 : construction 1. Dans le parallélogramme ci-dessous : a. Tracer la somme AB AC

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

DA ) est il un repère de l espace? DC, DJ et. DA ne sont pas coplanaires donc le repère est un repère de l espace

DA ) est il un repère de l espace? DC, DJ et. DA ne sont pas coplanaires donc le repère est un repère de l espace III- REPERAGE DANS L ESPACE 1) Repère Définition : soit un point de l espace ;, et trois vecteurs non coplanaires de l espace. n dit alors que ;,, est un repère de l espace. n dit que le repère ;,, est

Plus en détail

Produit dans le plan (2)

Produit dans le plan (2) Mr ABIDI Farid M-SE-ST Produit dans le plan () ABCD est un carré direct de côté 1. On construit le triangle équilatéral direct ABE, puis le carré direct EBGF. 1. Compléter la figure1. Que vaut l angle

Plus en détail

Chapitre 8 Produit scalaire.

Chapitre 8 Produit scalaire. Chapitre 8 Produit scalaire I - Définitions équivalentes Origine du produit scalaire (Physique) Le travail d une force : W AB ( = Calculer le travail de la force F 1 d intensité 3 et le travail de la force

Plus en détail

v = 3 v = 3 4 cos( 6 ) = 12 2 = 6 Le produit scalaire, comme je vous l ai dit en introduction, permet de démontrer l orthogonalité de deux vecteurs.

v = 3 v = 3 4 cos( 6 ) = 12 2 = 6 Le produit scalaire, comme je vous l ai dit en introduction, permet de démontrer l orthogonalité de deux vecteurs. Produit scalaire dans l espace L année dernière, nous avions vu le produit scalaire dans un espace de deux dimensions. Nous allons généraliser cette notion dans l espace à trois dimension. Je vais d abord

Plus en détail

CHAPITRE 9 : Produit scalaire

CHAPITRE 9 : Produit scalaire CHAPITRE 9 : Produit scalaire 1 Produit scalaire, propriétés de calcul et orthogonalité... 2 1.1 Notion de produit scalaire de deux vecteurs... 2 1.2 Un cas simple : les deux vecteurs sont colinéaires...

Plus en détail

Géométrie de l espace. Antoine Louatron

Géométrie de l espace. Antoine Louatron Géométrie de l espace Antoine Louatron Table des matières /9 Table des matières I Coordonnées 2 I. Bases de l espace.................................................. 2 I.2 Repères........................................................

Plus en détail

TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace

TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace TS Synthèse ch G1 : Géométrie dans l espace 1 ère Partie : Droites et plans de l espace Une droite est définie par deux points distincts Un plan est défini par trois points non alignés droite (AB) le plan

Plus en détail

Droites et plans de l espace - Vecteurs

Droites et plans de l espace - Vecteurs Chapitre 8 Droites et plans de l espace - Vecteurs Objectifs du chapitre : item références auto évaluation étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) vecteurs de l espace formules dans un

Plus en détail

GÉOMÉTRIE PLANE. Chapitre 2. I Colinéarité de deux vecteurs 2 I 1 Définition... 2 I 2 Propriété... 2

GÉOMÉTRIE PLANE. Chapitre 2. I Colinéarité de deux vecteurs 2 I 1 Définition... 2 I 2 Propriété... 2 GÉOMÉTRIE PLANE Chapitre 2 Table des matières I Colinéarité de deux vecteurs 2 I 1.............................................. 2 I 2.............................................. 2 II Expression d un

Plus en détail

Mathématique et Mécanique de Base

Mathématique et Mécanique de Base Mathématique et Mécanique de Base Pauline GERUS - Leila LEFEVBRE - Violaine SEVREZ Licence 1 STAPS BMC 51 2009-2010 Définition Repère = zone de référence Etablit en fonction des objectifs On choisit une

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

Géométrie analytique de l espace EM56

Géométrie analytique de l espace EM56 Chapitre Géométrie analytique de l espace Table des matières Rappels Repère dans l espace Vecteurs dans l espace 3 Colinéarité de deux vecteurs 5 Orthogonalité de deux vecteurs 6 Combinaison linéaire de

Plus en détail

Exercices proposés : semaine n o 7

Exercices proposés : semaine n o 7 Prépa ATS Exercices proposés : semaine n o 7 I. Géométrie dans le plan 1 Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. Montrer que : 1. BA 2 = BH BC 2. CA 2 = CH CB 3. AH 2

Plus en détail

DROITES ET PLAN DE L ESPACE

DROITES ET PLAN DE L ESPACE DROITES ET PLAN DE L ESPACE Classe de Terminale S 1 / 29 On considèrera que, dans chaque plan de l espace, on peut utiliser toutes les propriétés connues de géométrie plane, et que par deux points distincts

Plus en détail