Vecteurs, cours de seconde

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1 1 Translation et vecteur Propriété et définition : Vecteurs, cours de seconde Soit A et B deux points du plan. À tout point M du plan on associe le point M tel ABM M est un parallélogramme (éventuellement aplati). M est l image de M par On dit alors que M est l image de M par On dit aussi que MM et AB sont et on note On notera aussi u tout vecteur tel que u = AB = MM. Remarque : Deux vecteurs AB et A B sont donc égaux si et seulement si les trois conditions suivantes sont vraies : les droites (AB) et (A B ) sont... : on dit qu elles ont la même... ; le... de A vers B est le même que de A vers B ; les segments [AB] et [A B ] ont même... : on dit qu ils ont la même... Soit A et B deux points du plan. On appelle : vecteur opposé au vecteur AB le vecteur... On note le vecteur AA ou BB. On note AA = BB =.... Soit A, B et M trois points. M est le milieu de [AB] si et seulement si.... http: // mathsfg. net. free. fr 1

2 2 Coordonnées de vecteurs Un repère du plan est déterminé par : par On note alors... ce repère. ou par un point O et On note alors... ce repère. Soit (O; i; j) un repère du plan. On dit que (O; i; j) est un repère... si les directions de i et de j sont perpendiculaires. On dit que (O; i; j) est un repère... ou forme une base... si les directions de i et j sont perpendiculaires et si i = j. Soit un point M d un plan muni d un repère (O; i; j). Les trois propositions sont équivalentes : Les point M a pour coordonnées (x; y) dans le repère (O; i; j) ; le vecteur... a pour coordonnées (x; y) dans le repère (O; i; j)...= x i + y j. http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 Exemple : [Lecture graphique de coordonnées de vecteurs] Sur la figure ci-dessus, A a pour coordonnées... et B a pour coordonnées... Les coordonnées du point M tel que... sont.... Les coordonnées du vecteur AB sont donc... Remarque : ( Les coordonnées de vecteurs peuvent être notées verticalement : u(x u ; y u ) s écrit ainsi aussi Deux vecteurs u et v sont égaux si et seulement si x u y u ). Preuve : Soient A et B deux points tels que AB = u et C et D deux points tels que CD = v. Soit M le point tel que OM = AB et N le point tel que ON = CD. Alors u = v si et seulement si AB = CD c est à dire OM = ON = AB c est à dire encore M et N sont confondus ce qui signifie qu(ils ont les mêmes coordonnées dans le repère (O; I; J). http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 Soient A et B deux points de coordonnées (x A ; y A ) et (x B ; y B ) dans un repère (O; i; j). Alors les coordonnées de AB sont.... Exemple : [Calcul des coordonnées d un point vérifiant une égalité vectorielle] Soient A, B et C les points de coordonnées respectives ( 2; 3), (2; 1) et (1; 4) dans un repère du plan. Cherchons les coordonnées du point D tel que BA = CD BA a pour coordonnées... c est à dire... donc.... Le vecteur CD a lui pour coordonnées... Les deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales c est à dire... et... d où... et... donc... et... D a donc pour coordonnées... Algorithmique : Algorithme de calcul des coordonnées (x AB ; y AB ) du vecteur pour coordonnées (x A ; y A ) et (x B ; y B ) : AB dont les extrémités A et B ont Algorithme de test de l égalité de deux vecteurs u 1 et u 2 dont les coordonnées (x 1, y 1 ) et (x 2 ; y 2 ) sont données : http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 Entrées :... Début traitement Affecter à x AB la valeur... ; Affecter à y AB la valeur... ; Fin Sorties : x AB, y AB. Entrées : x 1, y 1, x 2, y 2 ; Début traitement si... alors Afficher vecteurs égaux ; sinon Afficher vecteurs pas égaux ; fin Fin 3 Distance dans un repère orthonormé On considère un vecteur u Si u a pour coordonnées (x u ; y u ) dans un repère orthonormé, alors sa norme u est donnée par :... Si u = AB avec A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dans un repère orthonormé, alors AB est égale à... La distance AB est donc égale à... http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 Preuve : On supposera afin d alléger les écritures que x A < x B et y A < y B, les autres cas se démontrant de la même manière. Soit H le point de coordonnées (x B ; y A ). Le repère est orthonormal donc les droites (AH) et (BH) sont perpendiculaires en H et l unité est la même sur les deux axes. La distance AH vaut x B x A et la distance BH est y B y A. Dans le triangle ABH rectangle en H, le théorème de PYTHAGORE permet donc d écrire que AB 2 = AH 2 + BH 2 c est à dire AB 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 d où la formule. Exemple : On considère les points A(8; 2) et B( 2; 5). Alors la distance AB est : AB =... donc AB =... d où AB =... et AB =... Algorithmique : Algorithme de calcul de la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) : Entrées : x A, y A, x B, y B Début traitement Affecter à... la valeur... Fin Sorties : d 4 Milieu d un segment Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) d un repère (O; i; j). Alors le milieu K du segment [AB] a pour abscisse et pour ordonnée , c est à dire, a pour coordonnées :... et... http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 Exemples : Soient A(5; 7) et B( 3; 2). Alors le milieu K de [AB] a pour coordonnées : x K =... et y K =... Soient A(2; 1) et K(4; 2). Le point B(x; y) tel que K est le milieu de [AB] vérifie :... et... donc... et... d où x =... et y =... c est à dire... Algorithmique : Algorithme de calcul des coordonnées du milieu du segment [AB] avec A et B de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) : Entrées : x A, y A, x B, y B Début traitement Affecter à... la valeur... ; Affecter à... la valeur... Fin Sorties : x K, y K 5 Somme de vecteurs 5.1 Relation de Chasles Soient u et v deux vecteurs et A, B et C trois points tels que u = AB et v = BC. La somme des vecteurs u et v, notée u + v, est le vecteur... résultant de l enchaînement des translations de vecteurs u et v. Propriété (relation de CHASLES) : Pour tous les points A, B et C on a donc... http: // mathsfg. net. free. fr 7

8 5.2 Somme de deux vecteurs de même point d origine Soient A, B et C trois points. Alors le point M tel que est le point M tel que AM = AB + AC 5.3 Différence de deux vecteurs Soient u, v deux vecteurs. On appelle différence du vecteur u par le vecteur v le vecteur noté u v égale à Coordonnées de sommes de vecteurs Propriétés : Soit (O; i; j) un repère du plan. On considère deux vecteurs u et v de coordonnées (x u ; y u ) et (x v ; y v ). u a pour coordonnées... ; u + v a pour coordonnées... ; http: // mathsfg. net. free. fr 8

9 Preuve : soient A et B sont deux points tels que u = AB. Les coordonnées de u sont donc.... Or BA = u et a pour coordonnées... qui sont opposées à celles de u ; Soient A, B et C trois points tels que u = AB et v = BC. D après la relation de Chasles on peut écrire que u + v = AB + BC =... Or les abscisses de AB et BC sont respectivement x B x A et x C x B. Leur somme est qui est l abscisse de.... De même pour les ordonnées. Exemples de calculs sur les coordonnées de sommes : [Calcul de coordonnées de sommes de vecteurs] Soient A, B et C trois points du plan de coordonnées respectives ( 3; 1), (1, 4) et (2; 3). Alors le vecteur AB a pour coordonnées (2; 3), le vecteur BC a pour coordonnées (3; 1). On peut vérifier que AC a pour coordonnées... soit.... [Calcul de coordonnées de points vérifiant une égalité vectorielle avec une somme] Soient A( 3; 1) et B(1; 4). On cherche les coordonnées du point M tel que MA + MB = 0. MA... donc... MB... donc... D où MA + MB... donc MA + De la contrainte MB... MA +... et... c est à dire... et... D où... et... D où M(...). MB = 0 on déduit : Exemple de calcul vectoriel : Soient A, B et C trois points du plan.soit u = AB AC + BC. Alors u =... D où u =... Donc u =... et u =... http: // mathsfg. net. free. fr 9