Expérimentation et démarches d'investigation en mathématiques. Formation continue Publications. Actes de l université d été

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1 Foration continue Publications Actes de l université d été Expérientation et déarches d'investigation en athéatiques Balistique, trajectoire d un projectile Saint Four du 0 au 4 août 007 octobre 008 eduscol.education.fr/forensactes

2 Actes de l'université d'été de Saint-Flour Expérientation et déarches d'investigation en Mathéatiques Balistique, trajectoire d un projectile Serge Etienne, Professeur de Mathéatiques au Lcée d Ajaccio Objectifs : utiliser les outils technologiques : calcul forel, tableur, faire travailler les élèves en groupes, faire des recherches sur l internet, en histoire des athéatiques et sur le sujet (en coençant par une recherche des ots clés balistique, balistique extérieure, projectile entre autre), appliquer les prograes actuels : éthode d Euler, tracer des courbes en ode paraétrique. Soaire : I. Un petit point de vue historique : à 548 avant J.C. Thales de Milet : à 500 avant J.C. Pthagore de Saos : avant J.C. Eudoxe de Cnide : avant J.C. Aristote : à 30 avant J.C. Aristarque de Saos :...5 Fin du IV e siècle Christianisation de l'epire roain :...5 VI e puis XIII e siècle, invention de la poudre en Chine, transport en Europe : environ, invention des ares à feu : Nicole (ou Nicolas) Orese : Léonard de Vinci : Niccolo Fontana dit Tartaglia ( ) : François Viète : Garcia de Palacios : Louis Collado : Thoas Harriot ( ) : Galilée ou Galileo Galilei ( ) : Marin Mersenne : René Descartes : Bonaventura Cavalieri : Diego Ufano : Evangelista Torricelli : John Wallis : Isaac Newton : Gottfried Wilhel von Leibniz : François Blondel : Jean Bernoulli : Leonhard Euler : Adrien-Marie Legendre : Siéon-Denis Poisson : (capitaine) Jouffret :...14 II. Résolution du problèe dans le vide (Torricelli) :...16 Horizontaleent : À la ain : Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel :...17 Verticaleent : À la ain : Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : Écriture de en fonction de x : Application nuérique : (calcul forel) La représentation graphique :...19

3 III. Influence de l air, force proportionnelle à la vitesse :...0 Horizontaleent : À la ain :...1. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel :...3 Verticaleent : À la ain :...3. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : Écriture de en fonction de x : Application nuérique : (calcul forel) La représentation graphique :...6 IV. Influence de l air, force proportionnelle au carré de la vitesse, Cas d un tir vertical :...7 A. La ontée : À la ain :...7. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Application nuérique : Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : La représentation graphique :...3 B. La descente : À la ain : Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Application nuérique : Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : La représentation graphique :...39 V. Influence de l air, force proportionnelle au carré de la vitesse, résolution par la éthode d Euler :...39 Avec le tableur de la calculatrice ou du logiciel TI_Nspire :...40 Avec un tableur connu :...41 VI. Influence de l air, force proportionnelle au carré de la vitesse, résolution du cas général :...4 Horizontaleent : À la ain :...4. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel :...43 Verticaleent : À la ain : Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Application nuérique : Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : Écriture de en fonction de x : La représentation graphique :...47 VII. Traiteent d une erreur intéressante et surprenante :...48 Petite bibliographie :...50 Calcul d'une flèche :...51 P.S. :...53 Préabule iportant et nécessaire : Aucune forule athéatique ne peret de décrire «exacteent» la trajectoire d un projectile sortant de la bouche d un canon, d un fusil, d une carabine, d une are de poing (pistolet, révolver). Pour tenter d en donner une «bonne approxiation» (qui dépend de ce que l on recherche!), chacun choisit un odèle. COX, statisticien reconnu disait «tous les odèles sont faux, certains peuvent rendre service». Quels que soient les calculs effectués par chacun, ce ne seront que des approxiations.

4 Dans les conditions qui nous intéressent (es conditions : tir au revolver à poudre noire), il est généraleent adis qu une assez bonne description de la trajectoire est réalisée en prenant une résistance à la pénétration de l air proportionnelle au carré de la vitesse du projectile. J ai choisi de décoposer le ouveent, la vitesse, sur les axes horizontal et vertical, selon UN odèle : la projection sur chacun des axes de la résistance due à la pénétration de l air par le projectile est ( v cos( α) 0 ) sur [Ox) et ( v sin( α ) 0 ) sur [O) où v 0 est la vitesse initiale du projectile, etα l angle entre l horizontale et l axe de tir initial. Les résultats sont «cohérents» avec les observations sur le terrain. En classe de terinale il est possible de déteriner avec un peu de phsique et de athéatique les équations du ouveent d un projectile, sur terre, «dans le vide». Ce cas n aant aucune coune esure avec la réalité, «on reste sur sa fai» pour toute association de l utilité de faire des aths et de la phsique pour coprendre les phénoènes du onde qui nous entoure. L utilisation, raisonnée et raisonnable, d un logiciel de calcul forel, qu il soit sur ordinateur ou ipléenté sur calculatrice, peret de ontrer que l on peut trouver des résultats utiles issus de forules et calculs au delà des prograes de la classe en cours, qu en respectant une éthode scientifique il est possible de dépasser ses savoirs et, qu il reste encore bien du chein à parcourir pour arriver à être capable de calculer toutes ces forules fort intéressantes «à la ain» sans outil inforatique. Poser le problèe à partir de points de vues historiques offre l intérêt suppléentaire de otiver les élèves par une recherche sur internet. Dans les fils où policiers et truands échanges des nobreux coups de feux, les lois de la phsique seblent différentes de celles de la réalité. C est du cinéa! (je déteste, ce genre d iage, voir tirer avec une are tenue à 90 de sa position norale). C est une des otivations à ce sujet. I. Un petit point de vue historique : On rearquera qu il est difficile d essaer de faire de l histoire des aths. L accès aux docuents est réservé à ceux qui le peuvent, pour le reste, l inforation sur le net dépend beaucoup des convictions de ceux qui écrivent, d après celui qui à écrit en aant lu ce que quelqu un d autre à écrit, qui n a pas forcéent eu accès aux docuents existants. On peut trouver entre autre sur le site galica, des nuérisations de livres, livrets, fascicules souvent intéressants. Ils n ont pas tout! Par exeple j ai trouvé une bonne partie des docuents produits par Adrien Marie Legendre. Sauf «Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les ilieux résistants», 178 ni «Dissertation sur la question de balistique proposée par l Acadéie roale des Sciences et Belles-Lettres de Prusse», Berlin, 178 alors que la référence en est faite dans plusieurs docuents. Euler à écrit un ouvrage intitulé «artillerie». Je ne l ai pas trouvé non plus (j en ai une douzaine de pages). Il était une fois, il a très longteps je ne sais pas et ils n ont pas laissé de quoi le savoir. Pas de papier, livre, revue, CD ou DVD

5 64 à 548 avant J.C. Thales de Milet : Astronoe, coerçant, ingénieur et philosophe, considéré coe le père de la géoétrie déductive Grecque. Il affire la sphéricité de la terre, et l inclinaison de l écliptique : l orbite apparente du soleil autour de la terre est inclinée par rapport au plan de l équateur terrestre. 570 à 500 avant J.C. Pthagore de Saos : Pour Pthagore, suivant en cela Thalès, la terre est sphérique et tourne sur elle-êe autour du Soleil (héliocentrise). Cette théorie fut hélas invalidée par Eudoxe, Aristote et Ptoléée (géocentrise) et plongea le onde dans l'erreur pendant 000 ans jusqu'à l'entrée en scène de Galilée et Copernic avant J.C. Eudoxe de Cnide : Astronoe, géoètre, édecin et philosophe. Disciple de Platon, ses travaux nous sont connus par Archiède. Il est principaleent connu pour sa théorie dite des "sphères hoocentriques". Pour Eudoxe, les astres tournent tous autour de la Terre, qui est iobile : le Soleil, la Lune et toutes les planètes alors connues (Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne). Eudoxe est aussi l'initiateur de la éthode d'exhaustion qui lui perettra, par des quadratures proches de celles de Rieann, le calcul d'aires et de volues coplexes, que reprendra et affinera Archiède. Iage de représentation du onde sur son site avant J.C. Aristote : Pour nous, concernant le problèe de la balistique, tout coence avec Aristote et SA description du onde dans : Questions écaniques-traité du ciel-phsique. Sa vision cosologique géocentrique (la Terre est centre du Monde), confortant celle d'eudoxe, reprise par Saint Thoas d'aquin (philosophe et religieux italien du 13e siècle) et, érigée en doge, entrava le développeent de la science, sinon celle de l'astronoie, jusqu'au 17è siècle : autour de la Terre, sphérique et fixe, gravitent la Lune, le Soleil et les autres planètes (Mercure, Mars, Vénus, Jupiter et Saturne) à l'exception d'uranus, Neptune et Pluton (car trop éloignées et invisibles alors et découvertes respectiveent en 1781 par Herschel, 1846 par Le Verrier et Adas, 1915 par Lowel). En phsique, il considère deux tpes de ouveents, les ouveents naturels et les ouveents violents. En gros, le ouveent naturel concerne les astres (ouveent circulaire) et les corps qui se déplacent sans action apparente : les corps légers coe la fuée ontent, les corps lourds (ou «graves») tobent vers le centre du onde (la terre). Le ouveent violent dérange l haronie (de l équilibre) du ouveent naturel. Il est périssable (causé par une ipulsion) et donc provisoire. Le oteur en est l air qui conserve les vibrations lors du lancer. Pour Aristote, il ne peut avoir de ouveent dans le vide, ni êe d ailleurs de vide.

6 Pour Aristote ce qui est iportant est de savoir ce qui peret le déplaceent, pas de prévoir le ouveent. Il laisse cette partie aux «écaniciens». On peut considérer que pour lui, le javelot, la flèche à un ouveent en deux parties, une droite dans le sens du lancer (ouveent violent), une deuxièe droite verticale (l objet tobe). Pourtant, si la trajectoire d une balle, d un boulet de canon, n est pas observable à l œil, aucune difficulté n apparaît pour décrire le ouveent d une flèche ou d un javelot, fort utilisés à l époque! C est l introduction de la poudre en occident qui ravivera la flae de la recherche du ouveent balistique. 310 à 30 avant J.C. Aristarque de Saos : Il fut directeur de la bibliothèque d Alexandrie. Siplifiant forteent le sstèe planétaire is en place par Eudoxe, il avança l idée d une terre tournant sur elle êe et autour du soleil, héliocentrise, s opposant au géocentrise d Aristote, ce qui à cette époque déjà déplut grandeent!. Thèse pourtant soutenue un peu plus tôt par Pthagore. Fin du IV e siècle Christianisation de l'epire roain : Le christianise s'est développé à partir du I er siècle de notre ère dans le contexte des counautés juives du Moen-Orient et en particulier les counautés juives hellénisées. Le no «christianise» vient du ot Christos, qui traduit l'hébreu Messie («celui qui a reçu l'onction»). Avec la conversion au christianise de l'epereur Constantin, les persécutions contre les chrétiens s arrêtèrent. Vers la fin du IV e siècle, le catholicise devient la religion officielle de l'epire roain, replaçant ainsi le culte roain antique. Cette date arque sboliqueent le début de la chrétienté : période de l'histoire de l'europe où le christianise est la seule religion adise. VI e puis XIII e siècle, invention de la poudre en Chine, transport en Europe : Vraiseblableent, la poudre apparaît en Chine vers le VI e siècle. Les Chinois utilisaient des flèches incendiaires propulsées par un élange seblable à la poudre à canon au XI e siècle. La poudre noire arrive en Europe au ilieu du XIII e siècle par l'interédiaire de la civilisation islaique. Pari les avantages de la poudre noire, notons qu'elle est peu onéreuse, stable et qu'une faible quantité d'énergie en provoque la cobustion. Ainsi, peut-on l'enflaer à l'aide d'une flae, d'un ipact, d'une friction, d'une étincelle, ou êe d'un laser. Il en résulte que sa anipulation est dangereuse. Elle produit : d'abondants résidus solides, surtout coposés de calaine, qui encrassent les ares. C'est l'une des raisons pour lesquelles une are à feu ancienne présente un fort calibre qui augente la tolérance donc réduit la fréquence des nettoages nécessaires, de la fuée, gênant la visée lors des tirs répétés si le vent ne la chasse pas. Pour ces raisons on lui préfère aujourd'hui la poudre sans fuée (poudre proxlée inventée en 1886) environ, invention des ares à feu : Une are à feu est une are perettant d'envoer à distance des projectiles, au oen des gaz produits par la cobustion rapide et confinée d'un coposé chiique détonnant, la déflagration. Les preières ares à feu utilisables apparaissent environ cinquante ans après l apparition de la poudre noire en Europe.

7 La preière certitude de leur existence se trouve dans un anuscrit anglais de 136 intitulé De Notabilitatibus, Sapientia, et Prudentia Regu, rédigé par Walter de Mileete, chapelain du roi Édouard II d'angleterre, à l'intention et pour l'éducation du futur roi Édouard III. Le ot canon vient du grec ancien κανών (anôn) qui signifie règle ou odèle ; le ot, d'origine séitique (cf. l'hébreu qaneh), désigne en effet priitiveent le roseau ou la canne, qui servaient d'étalon pour esurer les distances. Les preières ares à feu sont des bouches à feu que l on noera «canons», bobardes, ortiers qui ne seblent pas avoir le oindre intérêt! en effet, ils explosent souvent et ne perettent pas de tirer beaucoup sur l ennei car ils sont longs à charger et l ennei ne seble pas très disposé à rester au loin sur la position de tir. Il faut près d une heure entre deux tirs, entre autre pour laisser refroidir le canon!. Les preières unitions en pierre éclatent soit dans le canon, soit contre les urs des forteresses sans pour autant les entaer. De la «terrible» efficacité des canons en 1673 lors du siège de Maëstricht, la chanoinesse de Franclieu écrit, terrifiée, dans ses éoires «une bobe toba dans notre cour et arracha un pavé». Assez rapideent se développent des ares individuelles ousquet, arquebuse, qui auront une précision suffisante pour devenir utiles au cobat, êe si les preières ares fabriquées n ont une portée efficace que d une trentaine de ètres. Bouche à feu suédoise du XIV èe siècle Depuis les années 1500 les artilleurs ont procédé à de nobreuses expériences pour écrire des abaques, des tables dans lesquelles ils trouvaient les réglages devant perettre de frapper l ennei. Les artilleurs ont essaé de trouver une «loi» qui par un calcul (siple autant que possible) offre les réglages pour chaque nouvelle condition de tir. Ils ont rapideent rearqué que la proportionnalité ne s appliquait pas entre les charges de poudre et la portée, les angles de tir et la portée, etc. Pour obtenir une théorie balistique (qu ils espèrent siple!) et construire des tables de tir fiables, sans accorder trop de teps à une certaine expérientation qui ne pouvait qu être approxiative, les artilleurs avaient besoin d un phsicien, athéaticien, d un «écanicien» aurait dit Aristote. Mathéaticiens, phsiciens, (ingénieurs) et artilleurs aant plus ou oins œuvrés pour la ise au point de forules de calcul de la trajectoire d un projectile :

8 Nicole (ou Nicolas) Orese : Ses recherches le conduisent aux preières notions de représentation graphique, de fonction (lien entre distance, teps et vitesse) et d'extrea (recherche d'un iniu ou d'un axiu) à travers une preière approche de la géoétrie analtique dont les grands fondateurs seront Ferat et Descartes. Dans «Traité sur la configuration des qualités et du ouveent» afin de décrire et d'étudier un ouveent rectiligne, Nicole Orese a l'idée de représenter graphiqueent la vitesse instantanée du obile en fonction du teps. Sur une droite horizontale il porte des graduations proportionnelles au teps et au dessus de chaque graduation il élève une perpendiculaire dont la longueur est proportionnelle à la vitesse du obile à l'instant correspondant. Ce qui l intéresse dans cette construction, c'est la portion de plan balaée par ces perpendiculaires successives. Par l'exaen de cas particuliers siples et en généralisant, il aboutit à la conclusion que l'aire de la surface balaée par les perpendiculaires élevées au dessus de chaque graduation d'un intervalle de teps donné est proportionnelle à la distance parcourue par le obile pendant cet intervalle de teps. On rearquera qu il en arrive à l étude du ouveent rectiligne uniforéent accéléré de vitesse nulle au teps zéro, ce qu il dessine et calcule à partir d un triangle (et trapèzes) et découvre que «la distance parcourue est proportionnelle au carré du teps is pour la parcourir». Il est vraiseblable que Galilée en ait eu connaissance Léonard de Vinci : Léonard de Vinci est incontestableent un génie technologique. Il vante la prépondérance absolue de l expérience par rapport à la spéculation pure et au savoir livresque ais qui néanoins n est qu une assise pour la construction de la théorie qui la supplante et la replace. Son apport essentiel réside dans l analse des cas concrets et des dessins qui les accopagnent : c est plus un ingénieur qu un théoricien. Très influencé par les idées d Aristote, on ne lui doit pas de découvertes théoriques ais une étude intéressante des chocs ou percussions. Léonard, contraireent à Orese, ne pensait pas que c était l air qui donnait au corps son ipetus ais qu au contraire, l air ralentissait l objet. Il en voulait pour preuve le siffleent de la pierre lancée en l air qu il analsait coe un frotteent. Dans son étude des poids et réaction du support, Léonard s approche du principe de l égalité de l action et de la réaction Niccolo Fontana dit Tartaglia ( ) : Mathéaticien connu pour sa résolution de l équation du 3 ièe degré (cas particuliers). Tartaglia écrit «La Nova Scientia» en (1537) sur l'application des athéatiques à l'artillerie. Il décrivit de nouvelles éthodes balistiques et de nouveaux instruents ainsi que des tables de tir. Prisonnier de son éducation (Aristote), il lui est difficile d accepter une réalité qu il pressent. Dans ce livre il reste très traditionnaliste en considérant la trajectoire coe une droite. Quelques années plus tard, essaant de ieux tenir copte de l expérientation des artilleurs, dans «Quesiti et Inventioni Diverse» en 1546, il abandonne l axioe

9 d incopatibilité des deux ouveents «naturel» et «violent» pour indiquer que les parties d apparence rectiligne sont légèreent incurvées ais de façon insensible. Ses rearques restèrent ignorées de ses conteporains, c est doage. J ai trouvé son «General trattato di nueri et isure» à pas ses deux autres livres alors que sur le site de la Biblioteca Nazionale Centrale Firenze ils ont pas al d autres livres en PDF François Viète : En 1591, il publie un nouvel ouvrage de 18 pages, "In arte anantica isagoge" qui représente une avancée considérable pour l algèbre. Avec Viète, le calcul littéral trouve ses bases dans le but de résoudre tout problèe. Les grandeurs cherchées sont désignées par des voelles et les grandeurs connues par des consonnes. La notion d équations est longueent développée et une théorie sérieuse coence à se ettre en place. Avant les équations étaient résolues de façon géoétrique. Les identités rearquables, par exeple, reposant par le passé sur des concepts géoétriques deviennent avec Viète des forules propreent dites Garcia de Palacios : Auditeur à l audiencia de Guateala puis à celle de Mexico, rédige ses dialogues ilitaires dont le troisièe livre traite «de la nature et coposition de la poudre, du bon usage des arquebuses et de l artillerie et des règles de perspective avec quelques instruents nécessaires» 1586 Louis Collado : Il écrit (en italien) «Pratica anuale de artigleria». Six ans plus tard, une édition augentée est publiée en espagnol à Milan sous le titre de «Practica de artilleria en que se trata del arte ilitar, de los aquinas de los antiguos, de la invençion de la polvora un exaen de artilleros». Rearque : si son travail est avant tout le fruit de sa propre expérience il reprend et critique les travaux de Tartaglia sur la balistique Thoas Harriot ( ) : Mathéaticien et astronoe anglais a écrit quatre anuscrits sur la balistique : «Shooting in ordnance» (rearque : ordnance se traduit par artillerie) seble consacré au recueil de données bibliographiques ou expérientales sur le tir au canon, le jet ou la chute de projectiles, l ignition de la poudre et la «force» du tir selon l angle de hausse. «Propositiones eleentares de otu» contient des calculs de séries (soe infinie de fractions forées selon une régularité donnée) à partir de diagraes de ouveent varié qui évoquent les représentations géoétriques du ouveent et des changeents proposées par Nicole Orese, et coente des passages du Liber de triplici otu du régent portugais Alvarus Thoas. «For oblique otions» applique les éthodes exposées par Alvarus à la coposition de deux ouveents, l un naturel, l autre violent. Le cahier se conclut sur le calcul des portées pour différentes hausses. «Velocities & randons» applique la théorie dnaique du cahier «For oblique otions» au calcul des vitesses initiales des projectiles pour différentes ares, en se fondant sur les esures de Bourne

10 et de Capobianco. Un livre le concernant aurait dû sortir en 006 peut être sous le titre «journal de la renaissance 4» de P. Brioist éditions BREPOLS. 160 Galilée ou Galileo Galilei ( ) : A 35 ans, Galilée étudie les ouveents et décrit la chute des corps. Du haut de la tour de Pise, il lâche des balles de plob, de bois, de papier et découvre que, quelle que soit leur asse, tous les corps sont aniés du êe ouveent. Il est égaleent le preier à énoncer le principe de relativité. Lorsqu on est à bord d un navire qui vogue en ligne droite et à vitesse constante, on ne ressent aucun ouveent. On est iobile par rapport au navire ais le navire se eut par rapport à la Terre. En fait, rien n est absoluent iobile et tout dépend du référentiel dans lequel on se place Marin Mersenne : Abbé, philosophe et phsicien, il se passionna pour les athéatiques de son époque. Il établit une correspondance avec les plus grands phsiciens et athéaticiens coe Hugens, Roberval, Torricelli, Pascal, Ferat et, tout particulièreent, Descartes qui peret d'établir une sorte de journal de la recherche scientifique de son époque. En phsique, ses travaux portent essentielleent en écanique galiléenne (tendant à confirer la rotation de la Terre sur elle-êe) et en acoustique René Descartes : Mathéaticien, phsicien et philosophe français, considéré coe l'un des fondateurs de la philosophie oderne. Le principal apport de Descartes en athéatique est l'application des éthodes de l'algèbre (réforée par Viète au début du siècle) aux problèes de la géoétrie, pratiqués presque sans changeent depuis l'antiquité Bonaventura Cavalieri : Bonaventura Francesco Cavalieri (en latin, Cavalerius) précurseur du calcul intégral. Cavalieri a créé la géoétrie des indivisibles (dont Roberval lui disputa cependant l'invention) : il concevait les lignes coe forées d'un nobre infini de points ; les surfaces, d'une infinité de lignes et, les solides, d'une infinité de surfaces. Il réussit, à la faveur de cette éthode à résoudre un grand nobre de problèes.

11 1610 Diego Ufano : Il écrit un traité considéré coe exeplaire (il sera réédité, cité et repris à de nobreuses occasions). Dans sa preière édition, il considère, suivant en cela l étude de Tartaglia qu il cite, un ouveent pratiqueent constitué de deux droites, la preière selon l axe du tir puis verticale «avec toutefois un petit bout indéteriné». Rearque : de sa conception d une trajectoire est tiré un sujet de bac de phsique centre étranger en juin 003 avec un prolongeent «Résolution nuérique de l équation du ouveent d un projectile d artillerie, par la éthode d Euler, en utilisant un logiciel tableur, et en odélisant la résistance de l air par une force opposée au vecteur vitesse et proportionnelle au carré de la vitesse». Dans une réédition, il seble s en affranchir et se laisser guider par ses observations et son expérience, il augente notableent la partie «ixte» Evangelista Torricelli : Phsicien et athéaticien italien qui pour la preière fois invente la notion d'enveloppe et, trouve la solution coplète de la chute libre «avec violence» ainsi que la description coplète de la parabole de sûreté, via une éthode peu connue de l époque (Cavalieri). Malheureuseent, il ne copléta pas son travail : sans introduction de la résistance de l'air, la notion d'asptote n'existe pas ; et son travail est la risée des artilleurs (les bobardieri). Proposition de Torricelli : Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tobant dans le vide, dans un chap de pesanteur unifore g. Sa trajectoire sera dans le plan vertical (O, Vo, g). Selon la célèbre loi de la chute libre énoncée en 160 par Galilée ( ), son ouveent ne dépend ni de sa asse, ni de sa densité. Soit O l origine du repère et B le point sbolisant le boulet, le ouveent est régi par la seule uuur 1 ur uur équation : OB = g t + V0 t, qui est l'équation d'une parabole. Pour un odule V 0 donné, quelle que soit la direction donnée à la «hausse» du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'enseble de ces points fore une région du plan liitée par une courbe (C) qui «entoure» le point O ; au-delà de (C), «on est en sûreté», d'où le no de la courbe. Dans le cas présent, sans résistance de l air, (C) est une parabole, d'où le no : parabole de sûreté.

12 John Wallis : En 1649, après avoir perfectionné ses connaissances en athéatiques dans les livres d'oughtred, il accède à la chaire de géoétrie d'oxford qu'il occupera jusqu'à sa ort. Wallis est surtout réputé pour avoir perfectionné la éthode des indivisibles de Cavalieri, ouvrant ainsi la voie au calcul infinitésial de Newton. En 1687 dans «Transactions philosophiques» il étudie le ouveent d un projectile dans un ilieu résistant Isaac Newton : Sir Isaac Newton, philosophe, athéaticien, phsicien et astronoe anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien au anoir de Woolsthorpe près de Grantha et ort le 31 ars 177 à Kensington. Figure ebléatique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitation et la création, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitésial. En 1687, il publie son œuvre ajeure : «Philosophiae naturalis principia atheatica». Cette œuvre arque le début de la athéatisation de la phsique. Newton expose le principe d inertie, la proportionnalité des forces et des accélérations, l égalité de l action et de la réaction, les lois du choc, il étudie le ouveent des fluides, les arées, etc. Depuis Newton, on applique le principe fondaentale de la dnaique : L'application d'une force ur F sur un objet, odifie la vitesse de ce dernier. L'accélération résultante a r, de êe direction et de êe sens que la force appliquée, lui est proportionnelle. Elle est inverséent proportionnelle à la asse de l objet. ur r Ce qui peut être résué dans la relation F = a. Dans «Philosophiae naturalis principia atheatica» livre section 7 proposition 40, il a essaé de donner une théorie de la résistance de l air Gottfried Wilhel von Leibniz : Créateur (en concurrence avec Newton) du calcul intégral. Les travaux athéatiques de Leibniz se trouvent dans le Journal des savants de Paris, les Acta Eruditoru de Leipzig (qu'il a contribué à fonder) ainsi que dans son abondante correspondance avec Hugens, les frères Bernoulli, le arquis de l Hopital, Varignon, etc. L'algorithe différentio-intégral achève une recherche débutée avec la codification de l'algèbre par Viète et l'algébrisation de la géoétrie par Descartes. Tout le XVIIe siècle étudie l'indivisible et l'infinient petit. Coe Newton, Leibniz doine tôt les indéterinations dans le calcul des dérivées. De plus il développe un algorithe qui est l'outil ajeur pour l'analse d'un tout et de ses parties, fondé sur l'idée que toute chose intègre des petits éléents dont les variations concourent à l'unité. Ses travaux sur ce qu'il appelait la "spécieuse supérieure" seront poursuivis par les frères Bernoulli, le arquis de l'hospital, Euler et Lagrange. Dans l'histoire du calcul infinitésial, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé l'art de lever les indéterinations dans le calcul des tangentes ou dérivées. Mais Newton a publié tard (son procès intervient en 1713, presque 30 ans après les publications de Leibniz: 1684 et 1686) et, surtout, Newton n'a ni l'algorithe différentio-intégral fondé sur l'idée que les choses sont constituées de petits éléents, ni l'approche arithétique nécessaire à des différentielles conçues coe "petites différences finies".

13 Dans Acta eruditoru en 1689 il publie un essai de prise en copte de la résistance de l air sur la trajectoire d un projectile François Blondel : Il serait le preier à décrire la bonne trajectoire dans son «Art de jeter les bobes» Il fait de nobreuses citations de Tartaglia, par exeple la conception de cette équerre des canonniers. Juste après, il cite Diego Ufano, pour qui la trajectoire serait celle du boulet ci-contre. Blondel, décrit coent Ufano, interprète la trajectoire : «il distingue trois ouveents, dont le preier qu il appelle violent est en ligne droite, le second qu il appelle ixte est en ligne courbe, & le troisièe qu il appelle pur ou naturel est aussi en ligne droite». Un peu plus loin il indique : «ce sentient lui est coun avec la plupart des ingénieurs et canoniers (écrit avec un seul n) Italiens et Alleans (sans d) qui n ont pas copris que la gravité d un corps n est jaais oisive».

14 Il l honore pour plusieurs de ses découvertes, entre autre pour l indication des tirs équivalents pour des angles de tirs sétriques de l angle Jean Bernoulli : Il professa les athéatiques à Groningue (1695), puis à Bâle, après la ort de son frère Jacques (1705), et devint associé des Acadéies de Paris, de Londres, de Berlin et de Saint-Pétersbourg. Foré par son frère Jacques Bernoulli, il avait longteps travaillé de concert avec lui à développer les conséquences du nouveau calcul infinitésial inventé par Gottfried Leibniz ; ais il s'établit ensuite entre eux, une rivalité qui dégénéra en iniitié. Il a aussi contribué dans beaucoup de secteurs aux athéatiques copris le problèe d'une particule se déplaçant dans un chap de gravité. Il trouva l'équation de la chaînette en 1690 et développa le calcul exponentiel en En 171 il donne une solution du problèe de la trajectoire d un boulet par n quadrature de courbes transcendantes (odèle choisi : F() v = b v ). Solution théorique non applicable par les artilleurs. Il fut le professeur de Leonhard Euler Leonhard Euler : Mathéaticien et phsicien suisse. Il est considéré coe le athéaticien le plus prolifique de tous les teps. Il doine les athéatiques du XVIII e siècle et développe très largeent ce qui s'appelle alors la nouvelle analse. Coplèteent aveugle pendant les dix-sept dernières années de sa vie, il produit presque la oitié de la totalité de son travail durant cette période. La «éthode d Euler» est au prograe de preière et terinale S. Il écrit un traité d artillerie en En dehors de quelques pages, je n ai pas pu le consulter.

15 Adrien-Marie Legendre : Il fit d iportantes contributions à la statistique, à la théorie des nobres, aux algèbres abstraites et à l'analse. Une grande partie de son travail fut perfectionné par d'autres : son travail sur les racines des polnôes inspira la théorie de Galois ; le travail de Abel sur les fonctions elliptiques fut construit sur celui de Legendre ; certains travaux de Gauss en statistique et en théorie des nobres coplétèrent ceux de Legendre. Il écrit un traité d artillerie lors de son passage coe professeur à l école d artillerie. Ce serait le preier à utiliser un repère lié au projectile Siéon-Denis Poisson : En 1798, à peine âgé de dix-sept ans, il est reçu preier à l'ecole poltechnique. Il attire alors l'attention de Lagrange et Laplace qui voient en lui un brillant athéaticien. Il fut exainateur à l école d artillerie. Il a publié dans le journal de l Ecole Poltechnique en un éoire sur le ouveent d un projectile dans un ilieu résistant en tenant copte d une résistance proportionnelle au carré de la vitesse dans le cas d un projectile sphérique. Dans le toe 3 du «Méorial de l artillerie» il publie «Forules de probabilité relatives au résultat oen des observations» qui est la théorie des erreurs de Laplace, et notaent la «loi des erreurs» en artillerie qui deviendra la loi norale. En probabilité, la loi de Poisson porte son no (capitaine) Jouffret : Capitaine d artillerie à l école de Metz, il enseigne les probabilités liées au tir, étudie la dispersion des tirs. Il écrit dans son cours «Si on tire un grand nobre de coups et qu ensuite on aille placer l un au dessus de l autre, en chaque point du sol, tous les projectiles tobés en ce point, la surface enveloppe de ces projectiles sera seblable à une cloche». Cette iage sera reprise par Joseph Bertrand en 1887 dans son livre de calcul des probabilités. Elle aura un succès tel que l on oubliera la «loi des erreurs» de Laplace pour ne plus parler que de courbe en cloche. D autres ont participé coe J. d Alebert, F.Siacci (gros travail, réalisation de tables de tir, souvent repris et cité), J. H. Labert (développeents en séries 1767), B. Rieann, I. Didion, F. Hélie, je ne les ai pas tous cités, j en ai forcéent oublié, qu ils e pardonnent. Malgré ce qui précède, n aant pas de loi siple, les artilleurs continueront à utiliser les données «epiriques» écrites dans leurs tables. Fin 1800, début 1900, certains auteurs (athéaticiens, phsiciens, ingénieurs et/ou artilleurs) écrivent des traités de «balistique extérieur» qui résolvent correcteent le problèe de la trajectoire d un boulet de canon (par exeple Charbonnier en 191). Il faut rearquer que par la suite, de nouvelles conditions de tir ont deandé de nouveaux calculs. Le canon qui bobarda Paris (1918) : longueur 36, poids 750 t, calibre 10, obus 104 à 106 g, vitesse d éjection 1600 /s, porté 16! Par exeple, le canon qui bobarda Paris, appelé à tort «la grosse Bertha» (c est pas le êe) pour qui la hauteur atteinte par le projectile lui fait passer des couches d air oins dense et change la portée attendue, les raures intérieures du canon produisent un effet déviant l obus (effet Magnus), enfin, l effet Coriolis s applique aussi à ce projectile sur des tir à très longue distance (erreur de tir pouvant atteindre entre 3 à 5 de déviation sur le côté, en dehors de l effet suppléentaire pouvant être induit par le vent!).

16 Aujourd hui, avec une odélisation sur ordinateur, les calculs sont effectués rapideent, de façon satisfaisante, à condition de savoir prograer les calculs à effectuer! Résolution du problèe en quatre parties : La preière, c est un cas d école, coe Torricelli, considère le projectile dans le vide. On sait que les résultats sont très éloignés de la réalité (l expérientation des artilleurs). La seconde fait intervenir la résistance de l air, en considérant que cette force est proportionnelle à la vitesse du projectile. C est beaucoup plus proche des résultats de l expérientation, l allure de la courbe obtenue peut être considérée coe un bon odèle. Nous savons que ce odèle s applique bien pour des vitesses d objets aniés d une faible vitesse (v 10 /s), ce qui n est pas le cas considéré. La troisièe correspond d avantage à la réalité, on constate en effet par coparaison avec la réalité qu une résistance de l air proportionnelle au carré de la vitesse du projectile fait partie «des bons odèles». Le calcul est alors netteent plus copliqué! Cette troisièe partie donne lieu à trois subdivisions : la preière concerne le tir vertical, la seconde résout le problèe par l application de la éthode d Euler, enfin, la troisièe utilise le calcul forel coe support de résolution. Pour la quatrièe partie, c est une rearque concernant la façon de procéder suite à une erreur qui peut apparaitre lors de l intégration des fonctions trigonoétriques. Rearques : il n existe pas UN odèle ais plusieurs qui dépendent des conditions : vitesse du projectile en sortie du canon de l are, fore du projectile, longueur du canon de l are et fore de ses raures Il est généraleent adis que les odèles de tpe v n, pour n= ou 3, 4, 5 voir êe av +bv 3 sont de bons odèles selon la vitesse d éjection du projectile. Dans les conditions du problèe (calcul de la portée, calcul d une flèche, unition siple, vitesse initiale inférieure ou égale à 50 /s) v seble être LE odèle utile. l utilisation d un logiciel de calcul forel peret non seuleent d essaer de nous aider à trouver des réponses aux questions que nous nous posons, en plus, il peret de récupérer directeent par copier-coller le texte ou les forules des calculs utilisés. Le problèe est traité dans les conditions suivantes : l are utilisée est un revolver à poudre noire (reproduction du Reington New Ar 1858), calibre.45 (soit un diaètre de 11,55 ou 1, ). v 0 =0 /s = vitesse de sortie de la balle du canon. Masse de la balle (ronde en plob) : 9,5 g = 9, g). Surface frontale de la balle : ½ sphère de raon 5, : 1 4 S1/ sphère 4 π r,1 10 = ;. 1 On prendra R1 air = 1 v avec 1 =0,001. Rair = ρair S Cx v = v avec ρ air =1,5 g/ 3 asse voluique de l air (qui varie de 1, à 1,3 g/ 3 au niveau de la er), S la surface frontale du projectile, C x =0,5 pour une balle ronde, le coefficient de pénétration dans l air (0,5 à 0,0 pour une bonne voiture) 5 et v la vitesse du projectile. On prendra donc = 3, 7 10 g/. Rearques : habituelleent, pour résoudre les équations différentielles de ce problèe on procède par séparation des variables et intégration (recherche d une priitive). On peut aussi appliquer la éthode de résolution de l équation différentielle +a=b au prograe de la classe de terinale S, au oins pour les deux preières parties, depuis Bernoulli et Legendre on utilise dans le cadre de la résolution générale un repère lié au projectile (dit de Fresnel), ce qui n est pas retenu ici, l are utilisée est en réalité de calibre.44 (soit un 11,43) dans laquelle il faut ettre en force des balles en plob de calibre.45! Cela peret un bon ajusteent du projectile au canon. Seule une très faible partie de plob est enlevée lors du chargeent (donc la asse à prendre en considération est celle des balles de.45).

17 II. Résolution du problèe dans le vide (Torricelli) : Les calculs «classiques» depuis Torricelli, calculs «dans le vide», sans frotteent. A t=0 le projectile est lancé à la vitesse V 0 selon un angle α (en degrés) avec l horizontale. On considère que seul le poids s applique à la asse M du projectile. Dans un repère orthogonal, la décoposition sur les axes [ox) et [o) peret d écrire : v0x = v0 cos( α) où v0 = V uuur 0. v0 = v0 sin( α) En un point M quelconque de la trajectoire nous avons : Horizontaleent : 1. À la ain : d x dvx F r x i = a r x i = i i 0 dt r = dt r = r avec 0 où ax représente la valeur absolue de l accélération horizontale. dv Ce qui peret d écrire x = 0. Par intégration directe : v x (t)=k 1x où K 1x est une constante. dt Déterination de la constante : v 0x =v x (0)=v 0 cos(α). Donc v x (t)=v 0 cos(α). dx Alors = v0 cos( α) qui par intégration donne x() t = v0 cos( α) t+ Kx. Les conditions initiales dt perettent d écrire x() t = v0 cos( α) t (1).. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : Rearque : on utilise ici un logiciel de calcul forel bien que les élèves soient capables d effectuer les différents calculs, un peu pour son apprentissage et, surtout pour ettre en place un odèle de procédure d utilisation. Maple est fréqueent utilisé dans l enseigneent supérieur. Il est «inabordable» en lcée (question de prix). J utilise ici TI-Nspire qui correspond à ce que l on obtient avec Dérive ou une calculatrice forelle TI89 ou V00 (puis sans doute la TI-Nspire) que possèdent certains élèves de T ale S.

18 3. Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : Tout cela correspond, avec parfois une écriture «inattendue», à ce qui est calculé dans le texte cidessus, pour la éthode utilisée : résolution par intégration après séparation des variables. Verticaleent : 1. À la ain : d dv F r j = a r j = j j g j dt r = dt r = r avec 0, où a représente la valeur absolue de l accélération verticale et g=9,81.s - une approxiation de l accélération de la pesanteur terrestre. dv Ce qui peret d écrire = g. Par intégration directe : v (t)=-g t+k 1 où K 1 est une constante. dt Déterination de la constante : v0 = v(0) = v0 sin( α). Donc v () t = -g t+ v0 sin( α). d 1 Alors = g t+ v0 sin( α) qui par intégration donne = g t + v0 sin( α) t + K. dt 1 Les conditions initiales perettent d écrire t () = g t + v0 sin( α) t (). En éliinant t entre les expressions (1) et (), on trouve 1 x x ( ) = tan( ) g x α v cos ( α) + 0 (3). Avec g=9,81 (/s²), α=45 (en degrés) et v 0 =0 (/s). Dans ce cas, on rearque que le résultat est indépendant de la asse, de la taille (surface frontale) du projectile.. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales :

19 3. Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : 4. Écriture de en fonction de x : Rearque : d habitude le logiciel écrit certaines conditions lors de l écriture des solutions d une équation. π Ici il seble ne pas s intéresser aux quantités en dénoinateur, a et v0 0. Il est vrai que dans les conditions du problèe nous savons que c est le cas (le logiciel non!). 5. Application nuérique : (calcul forel)

20 6. La représentation graphique : Insérer une page «graphiques et géoétrie». En ode coordonnées polaires (paraétriques), plage des paraètres : x variant de 0 à 5 000, de 0 à 1 600, le teps varie lui de 0 à 3 s. Prendre un pas de 1. Recopier les forules obtenues (copier-coller), ne pas oublier d indiquer la valeur des coefficients, angle a (vérifier que l on est en ode degré), g et v 0. Valider. En ode trace nous obtenons l affichage de deux points caractéristiques : la portée, 4933 au teps 31,71 s (le teps n est pas affiché avec les coordonnées visibles sur le graphique, pourtant il est bien présent lorsque l on est en train d utiliser le ode trace), ainsi que l altitude atteinte lors de ce tir 133 au teps 15,8 s. On fera rearquer que pour deux angles sétriques vis à vis de 45 la portée est identique (dans ce cas). Ci-contre deux tirs, l un à 35, l autre à 55, êe portée.

21 Rearque : On aurait pu bien évideent tracer =f(x). Après tout, travailler en ode paraétrique est une bonne chose. Calcul de la portée (distance axiale de tir) : il faut =0. La solution triviale x=0 n offre pas d intérêt pour le problèe. 1 L expression = g t + v0 sin( α) t est la plus pratique à utiliser. 1 En factorisant, = g t+ v0 sin( α) t, d où 0 t = ou v0 sin( α) t =. C est le teps de vol du g projectile pour la plus grande distance atteinte. v0 sin( α) v0 sin( α) cos( α) Reporter cette valeur dans l autre équation : x= v0 cos( α) = g g v 0 sin( α) Or sin( α) cos( α) = sin( α ) donc finaleent x =. g Cette expression est axiale pour sin(α) axiu, soit α=45. Rearque : il est aussi possible d utiliser le logiciel ou une calculatrice forelle : C est bien l expression trouvée précédeent (replacer sin(α)cos(α) par sin(α)). Avec les résultats obtenus et d après les données du problèe il est possible de calculer : v0 sin( α) 0 sin(90) Portée : x = = ; C est beaucoup pour les utilisateurs g 9,81 (expérientateurs), totaleent irréaliste. v0 sin( α) 0 sin(45) Teps de vol : t = = ; 31,7 s. g 9,81 Altitude axiale (dans le cas de portée axiale) : elle sera atteinte lorsque la vitesse v0 sin( α) 0 sin(45) ascensionnelle s annule. v = -g t+ v0 sin( α) = 0 pour t = = ; 15,86 s. g 9,81 D où l altitude atteinte lors de ce tir : 1 1 = g t + v0 sin( α) t = 9,81 15, sin(45) 15,86 ; Tir vertical, altitude axiale : t = ;,43 puis 9, = + = 9, ,81 ; 9,81 g t v0 t Ce qui est totaleent irréaliste. On coprend que les artificiers de l époque de Torricelli se soient oqués de lui. III. Influence de l air, force proportionnelle à la vitesse : On considère une force de réaction due à l air proportionnelle à la vitesse. Ce qui est vrai pour un obile à faible vitesse (véhicule lent, parachutiste, boule de pétanque, boulle de pétanque par exeple).

22 A t=0 le projectile est lancé à la vitesse V 0 selon un angle α (en degrés) avec l horizontale. Dans un repère orthogonal, a décoposition sur les axes [ox) et [o) peret d écrire : v0x = v0 cos( α) où v0 = V uur 0. v0 = v0 sin( α) La force de réaction de l air est proportionnelle à la vitesse. Le odèle choisi considère uur r uur r Rx = vx i et R = v j où v = v cos( α) et v = v sin( α). Rearque : pour les calculs anuels ainsi que pour coparer avec les forules données par le logiciel de calcul forel, d un vieux grioire du illénaire dernier que j utilisais en tant qu étudiant, j extrais les forules suivantes (à donner aux élèves) : x La preière forule s utilisant copris pour n négatif (ce qui n est pas habituel pour les élèves de lcée), la forule N 7 deande un coentaire suppléentaire : on obtient cette fore lorsque l on travaille en radians, en degré un coefficient π/180 intervient alors. Enfin, on rearquera dans les forules 8 et 17, l ancienne écriture Log pour ln. La résolution : en un point M quelconque de la trajectoire nous avons : Horizontaleent : 1. À la ain : r r d x r dv r r r x Fx i= ax i= i= i= R x i= vx i avec 0 où ax représente la valeur absolue de dt dt l accélération horizontale, un coefficient fonction du projectile (on prendra =0,001 g s -1 ). dvx dvx Ce qui peret d écrire = vx. Puis séparation des variables = dt, avec et positifs. dt vx Rearque : dans les conditions du problèe, v x > 0 donc vx = vx. Par intégration : ln( vx ) = t +K 1x. D après les conditions initiales K 1x = ln( v 0x ). v x Alors ln( vx) = ln( v0 x) t s écrit ln( vx) ln( v0x) = ( ln( vx) ln( v0x) ) = ln = t. v0 x vx ln v t 0 x Puis e = e, soit v v x 0x t t dx e = et finaleent vx = v0 x e =. dt

23 t Une nouvelle intégration : x() t = v0xe +K x. t Coe x(0)=0, x = v0xe + v0x. Ce qui avec une ise en facteur en tenant copte de t v0x = v0 cos( α) s écrit : xt () = v0 cos( α) 1 e.. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales :

24 3. utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : Verticaleent : 1. À la ain : r r d r dv r r F j = a j = j = j = ( v + g) j avec 0, où a représente la valeur absolue dt dt de l accélération verticale et g=9,81.s - une approxiation de l accélération de la pesanteur terrestre. dv dv Ce qui peret d écrire = ( v +g ), puis dt v + g = dt. Equation différentielle aux variables séparées. ln( v + g ) = t + K 1. Pour t=0 v(0) = v0 d où K1 = ln( v0 +g ) et donc ln( v + g) = t + ln( v0 + g) Que l on écrit ln( v + g) ln( v0 + g) = t = ( ln( v + g) ln( v0 + g) ) v + g Soit : ln = t. On cherche v, donc e v0 + g v + g ln v 0 + g t v = e soit v 0 + g = e + g d t Puis, v = = ( v0 + g ) e g et, finaleent d t = v0 + g e g. dt dt Ce qui est encore une équation différentielle aux variables séparées. t = v0 + g e g t+ K. Pour t=0 (0)=0 donc K = v0 + g t.

25 t t = v0 + g e g t+ v0 + g = v0 + g 1 e g t t t () = v0 sin( α) + g 1 e g t en fonction de x : v cos( α) ( sin( α) v ) g x v0 cos( α) g ln v0 cos( α) x x ( ) = cos( α) v Avec g=9,81 /s², =9, g, = 1 =0,001 g s -1, α=45 (en degrés) et v 0 =0 /s.. Avec un logiciel de calcul forel, recherche de priitives et intégrales : 0

26 Rearque : on est parfois surpris (par la fore) du résultat, qu une réécriture peret de prendre une fore siilaire aux résultats trouvés. 3. Utilisation d une «boite noire», résolution d équations différentielles par calcul forel : 4. Écriture de en fonction de x : 5. Application nuérique : (calcul forel)

27 La portée est donc de 1348 (pour un tir à 45 ) et il faut 3,13 s au projectile pour parcourir cette distance. 6. La représentation graphique : Copier directeent les forules dans l éditeur de fonctions pour tracer la courbe représentative. Ne pas oublier d indiquer la valeur des coefficients a, g,, et v 0. Valider. J ai tracé cette courbe dans le êe repère que la précédente pour coparaison. Le résultat est rearquable. On se rapproche très forteent de la réalité (expérientation). On peut rearquer une très grande différence de portée entre les calculs des preière et deuxièe parties. L allure de la courbe est très différente de la parabole précédente, assez seblable à ce que Diego Ufano en 1610 à pu déteriner (avec quelques erreurs) par expérientation. [On recherchera les êes questions que précédeent : portée, altitude axiale, directeent sur la courbe tracée par la achine, les résultats ne sont de toute façon qu une certaine approxiation de la réalité, c est indicatif sans plus.] On trouve environ 1350 de portée pour un teps de vol de 3,1 secondes. Une altitude axiale (pour ce tir) de 608 à une distance de 93 après 9,1 s. La trajectoire n est pas sétrique par rapport à son soet. Il faut un peu plus de 900 pour la ontée et, seuleent un peu plus de 400 pour la descente. Il est conseillé de vérifier que pour des angles proches de 45 la distance est ou non inférieure. Pour un angle a= 8 la portée est plus iportante. 150 après 16,5 s de vol.