CHAPITRE 2. 50, en distribuant;

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1 Chapire 2 Modélisaion affine 11 CHAPITRE 2 EXERCICES a) (y 1) y = 2y (y 2) devien : y y = 2y y + 2, en disribuan; 2y = y + 2, en simplifian; 2y + = y + 2 +, en addiionnan au deu membres; 2y = y +, en simplifian; 2y y = y + y, en sousrayan y au deu membres; y =, en simplifian; y =, en divisan les deu membres par ; y =, en simplifian. L ensemble-soluion es { /}. b) (r 2) = r + 4(r ) + 2 devien : r = r + 4r , en disribuan; r = r, en simplifian; r =, en sousrayan r e en addiionnan au deu membres; L ensemble-soluion es R. c) 2(l +,2) = + (1,7 + ) devien : 2 +, = 2 + 1,7, en disribuan e en simplifian;, = 1,7, en sousrayan 2 au deu membres. On obien une équaion impossible e l ensemble-soluion es l ensemble vide,. c c d) 98, , 7 6, = devien : 98, 9c , 7c + = 6,, en disribuan; 98, 9c , 7c + = 6,, en muliplian les deu membres par ; 98,9c ,7c = 6, en simplifian; 8,2c = 6, en simplifian; 8,2c = 448, en sousrayan 187 au deu membres; c =,82..., en divisan les deu membres par 187. En appliquan les règles de présenaion des résulas, l ensemble-soluion es {,8}. ( 18, )( 26, ) e) = d où : + (,18)(,26) = puisque le quoien es nul e qu il es défini seulemen si + ; (,18) = ou (,26) =, un produi de faceurs es nul si e seulemen si l un des faceurs es nul; De,18 =, on ire =,6 e de,26 =, on ire =,26. L ensemble-soluion es {,6;,26}. f) 6( θ 2) = θ+ ( θ 4), d où : 6( θ 2) = 2θ 4, en simplifian; 6 ( θ 2 ) = 2 ( θ 4), en muliplian les deu membres par ; 6θ 12 = 6θ 12, en simplifian e en disribuan; θ =. L équaion es saisfaie pour ous les nombres réels. L ensemble-soluion es R.

2 12 Chapire 2 Modélisaion affine g) h) 1 1 =, d où : =, en muliplian les deu membres par 6; 6 ( 1) 61 ( ) = 6, en disribuan; 2 6 ( 1) 61 ( ) = 6, en disribuan; 2 ( 1) 2(1 ) = 6, en simplifian; = 6, en disribuan; 11 = 6, en simplifian; =, en sousrayan 6 e en addiionnan au deu membres e en simplifian; = 1, en divisan les deu membres par. L ensemble-soluion es {1} = +, d où : 2 4 = + +, en muliplian les deu membres par, puisque l équaion es définie seulemen si ; 2 4 = ( + ) +, en disribuan; () = + ( + 4), en simplifian; 2 = , en disribuan; = + 4, en sousrayan 2 au deu membres; 4 =, en sousrayan 4 au deu membres; i) j) =, en divisan les deu membres par 4; 4 = 2,. L ensemble-soluion es { 2,}. ( 1) 4 = + 2. L équaion es définie seulemen si les faceurs son ( ) e ( ) non nuls, d où : + ( )( + ) ( 1) ( )( + )( 4) = + 2( )( + ), en muliplian les deu membres par ( )( ); + ( + )( 1) = ( )( 4) + 2( )( + ), en simplifian; ( ) = ( ), en disribuan; = , en disribuan; = 2 18, en simplifian; 12 1 = 18, en sousrayan 2 au deu membres; 1 =, en addiionnan e 1 au deu membres; = /1 =,2, en divisan les deu membres par 1. L ensemble-soluion es {,2}. µ 1 µ =. L équaion es définie seulemen si les faceurs son µ ou µ, d où : µ µ 1 ( µ ) ( ) µ = µ, en muliplian les deu membres par µ ; µ µ = 1, en simplifian; µ =, en divisan les deu membres par. Ce qui es une impossibilié puisque le dénominaeur es nul lorsque µ =. L ensemble-soluion es donc l ensemble vide,.

3 Chapire 2 Modélisaion affine 1 2. a) On doi avoir y =, d où : 7 7 y 1 1 =, en simplifian; 7 1 y 1 = ( 7), en muliplian les deu membres par 7; y 1 = 7 +, en disribuan; 7 y = + + 1, en addiionnan 1 au deu membres; 7 y = + +, en mean au même dénominaeur, y = + 17, en simplifian. L équaion de la droie es donc y = En procédan de la même façon, on rouve : b) y = c) y = a) On doi avoir y 2 1 =, d où : 8 1 y 2 = ( 8 ), en muliplian les deu membres par 7; y 2 = 8 +, en disribuan; 8 y = + + 2, en addiionnan 2 au deu membres; 8 y = + +, en mean au même dénominaeur, 18 y = +, en simplifian. L équaion de la droie es donc y = En procédan de la même façon, on rouve : b) y = c) y = a) La variable indépendane es le nombre de demi-heures e la variable dépendane es le coû pour la main d oeuvre. Les frais fies son de 2 $ e les frais variables son de $, le modèle es : c() = + 2 b) La réparaion ayan duré une demi-heure, on cherche c(1), soi : c(1) = = $

4 14 Chapire 2 Modélisaion affine. a) Soi la masse en kg e f() la masse en lbs. La correspondance éablie es (7; 14), cependan on doi égalemen avoir (; ). La droie passe par l origine e le modèle sera de la forme f() = a. On a donc : 14 a = = 7 Le modèle es f() = 2,2. c) Pour rouver la masse en livres, il fau rouver l image par la foncion décrivan la correspondance, ce qui donne : f(8) = 176 ; f() = 22 d) Pour rouver l équivalen en kg, il fau rouver la préimage par la foncion décrivan la correspondance, ce qui donne : f() = 2,2 = 8 e, en isolan, on rouve,6 kg. 22, Masse (lbs) f() 2 4 Masse (kg) 6. a) Soi F la empéraure en Fahrenhei e C la empéraure en Celsius. On a alors les correspondances (2;) e (212;). On cherche donc l équaion d une droie don deu poins son connus, ce qui donne : (; 2) (2; ) C = ( F 2) 9 c),9 ; 7,8 ; 82,2 d) On doi isoler la variable F dans la règle de correspondance, ce qui donne 9 F = C + 2 Elle perme de ransformer les degrés cenigrades en degrés Fahrenhei. 7. On peu considérer deu poins sur chacune des droies e en esimer les coordonnées. Sur la droie décrivan T S, on a les poins (2; 2) e (4; 4,1). On doi donc avoir : T S 2 4, 1 2 = =, 74, d où : T S =,74T + 1, T Sur la droie décrivan H, on a les poins (2; 4,6) e (4; 9,). On doi donc avoir : H 4, 6 9, 4, 6 = =, 47, d où : H =,47T + 7,. T H ou T S (kj) ( 4; 4) Eemple de vaporisaion de l eau H T S Tempéraure ( K) 1 8. a) Le coû dépend de la superficie à couvrir. b) C 1 () = 1, e C 2 () = 2,1 c) C 1 () = 66 $ e C 2 () = 6 $ d) Cela devien avanageu au-delà de 4 m 2, graphiquemen c es l abscisse du poin de renconre des droies. Coû de l insallaion ($) (4; 84) Superficie (m 2 ) 9. a) C 1 () = e C 2 () = b) C 1 () = $ e C 2 () = 6 $, C 1 (9) = 9 $ e C 2 (9) = 72 $ c) 4 jours. Choisir le fournisseur 1 si la durée prévue es inférieure à 4 jours. 1 8 Coû ($) Durée (h)

5 Chapire 2 Modélisaion affine 1. En esiman que la meilleure droie passe par les poins (,;,7) e (,1;,7). On a : A 7, 7, 7,, = = =, d où : C, 1,,, 1 A = C +,82. Absorbance Courbe d éalonnage à 4 mn,8,7,6,,4,,2,,,,,,1,2 Concenraion (mol/l) 11. a) La disance parcourue par la camionnee es décrie en foncion du emps par : d 1 () = b) Lorsque la camionnee ename la poursuie, les cyclises on déjà parcouru 1,7 = 2, km. La disance parcourue par les cyclises à parir du momen où la camionnee se me en roue es donc décrie en foncion du emps par : d 2 () = + 2, d) L abscisse représene le emps écoulé enre le momen où la camionnee prend le dépar e le momen où elle rarape les cyclises. L ordonnée de ce poin es la disance parcourue par la camionnee e les cyclises au momen où la camionnee rejoin le groupe. e) Pour rouver le emps pris par la camionnee pour raraper le groupe de cyclises, on peu procéder par comparaison des ordonnées, car on cherche à quel momen les deu auron parcouru la même disance. On pose donc : d 1 () = d 2 () = + 2, 2 = 2, = 2,62 Le emps requis es donc de 2 heures 7 minues e secondes. La disance parcourue es alors: d 1 (2,62) = 11,2 km. 12. a) Représenons par le emps en heures écoulé depuis le momen du dépar, par d A la disance d André par rappor au poin A e par d B la disance de Berrand par rappor au poin A. On a alors : d A () = 22 d B () = 26 A B 1, 2,, Temps écoulé depuis le débu de la poursuie (h) c) L abscisse du poin de renconre des droies représene le emps écoulé enre le dépar des cyclises e leur renconre. L ordonnée du poin de renconre des droies indique à quelle disance du poin A les cyclises von se renconrer. d) On peu déerminer l insan de la renconre par comparaison des ordonnées. On a alors : 22 = = = 6,2 Le emps écoulé es donc de 6 heures 1 minues. e) La disance parcourue par André es d A (6,2) = 22 6,2 = 17, km. Puisque Berrand parai du poin B e qu au momen de la renconre ils son à la même disance du poin A, Berrand a donc parcouru 17, = 162, km. Disance parcourue (km) Disance des cyclises par rappor au poin A (km) Temps écoulé (h) d2 d1 d A d B 12

6 16 Chapire 2 Modélisaion affine 1. a) 6 C (cm) C k(g) 148 C/ (kg/cm) 29,6 Charge (kg) ,7 29,6 29,6 29,6 29, Largeur de la poure (cm) ,6 Le modèle es C() = 29,6 b) C(8) = 27 kg. 14. Soi la viesse de l engrenage de 24 dens e y la viesse de l engrenage de 1 dens. On a alors : y =, d où y = = y 8/ 16/ 24/ 2/ y (;24/) (2;16/) (1;8/) Puisque y = k, on a k = 2 km/cm, d où y = 2. Ce qui donne les correspondances suivanes : cm 8 6,2 1,7 y km Soi y la viesse de roaion de la poulie de cm e la viesse de roaion de la poulie de cm, on a alors : y = e y = Cee dernière égalié décri la relaion enre les viesses. Si = 6 ours/s, alors y = 11 /s. 17. a) Le volume es donné par,4 kg =,129,42 m kg/m b) Soi y la masse de la sculpure en bronze e la masse de la maquee en bois, on a alors : y 8, = =2,2onadonc y =2,2,42 Sachan que =,4 kg, on rouve y = 9 kg. On aurai égalemen pu résoudre en faisan le produi du volume par la masse volumique du bronze, soi,129 m 8, kg/m = 9 kg. 18. Soi la viesse de la roue de dens, y e z les viesses des roues de 2 e 1 dens respecivemen. On a alors : y = 2 e z = 1 Sachan que: = 1 ours/s, on a donc : d où y = e z = 2 1 y = 1 = 22, /s e z = 1 = /s 2 1

7 Chapire 2 Modélisaion affine a) Puisque les rappors A/C son relaivemen consans, le modèle es de la forme A = ac. La moyenne des rapporses 1,467, en arrondissan, on obien 1,41. Le modèle es alors A = 1,41C. b) 21,1 c) 7,9 g/ml, 14,18 g/ml C 4, 6, 8, 12, 1, 16, A,64 9, 11,6 16,8 22,1 22,94 A/C 1,4 1,4 1,42 1,4 1,42 1,9 1, a) Les données son à pas consan. C es foncion de A, soi [ α] Puisque f( + p) f() consane, le modèle es de la forme : [ α] = a + b, où a =,1/,,266, d où [ α] = f(). =,266 + b La moyenne des abscisses es 21,7 e la moyenne des ordonnées es 66,4. On doi donc avoir : 66,4 =,266 21,7 + b d où b = 71,82 Le modèle es alors [ α] =, ,82. b) Si = 21,2, on a [ α] =,266 21,2 + 71,82 = 66,167 c) En isolan dans [ α] =, ,82, on obien : 2, 21, 21, 22, 22, 2, 21,7 [α] 66,67 66,24 66,1 6,968 6,8 6,72 66,4 f( + p) f() -,1,1,1,1,1,1 [ α] 71, 82 = =, 794[ α] + 27, 266 Si [ α] Si [ α] = 67, on a : =, = 18,122. On accepera 18,12. = 6, on a : =, = 2,69.On accepera 2, a) Les données son à pas consan. T f es foncion de T f, soi T f = f(t a ). Puisque f(t a + p) f(t a ) consane, le modèle es de la forme : T f = at a + b, où a =,26/,26, d où T f =,26T a + b La moyenne des abscisses es 9 e la moyenne des ordonnées es 27,. On doi donc avoir : 27, =, b d où b = 24,8 Le modèle es alors T f =,26T a + 24,8. b) Si T a = 1, on a T f =, ,8 = 28,48, on reiendra 28,. c) Si T f =, on a =,26T a + 24,8, d où T a = 28,46, on reiendra 28,. Si T f = 26, on a 26 =,26T a + 24,8, d où T a = 4,61, on reiendra 4,6. T a T f 27,7 27,4 27,2 26,9 26,7 26,4 27, f(t a + p) f(t a ),,2,,2,, a) Le graphique ne perme pas de faire l hypohèse d un lien affine, puisque les poins semblen donner une courbe e non une droie. Pression (po de Hg) P Volume (po ) V

8 18 Chapire 2 Modélisaion affine b) Le ableau des correspondances es donné ci-conre. c) Le graphique perme de faire l hypohèse d un lien affine enre V e 1/P, puisque les poins semblen former une droie. d) On peu uiliser le crière algébrique puisque les données son à pas consan. (po ) 12, 16, 2, 24, 28, 2, 6, 4, 44, 48,, (po de Hg) 117, 87,9 7,7 8,8,4 44,2 9,2, 2,1 29,4 6, 1/P,8,114,141,17,198,226,2,28,12,4,21 Inverse de la pression (1/po de Hg),6,,24,18,12,8 1/P Volume (po ) V e) 1/P es foncion de V, soi 1/P = f(v). Puisque f(v + p) f(v) consane, le modèle es de la forme : 1/P = av+ b, où a =,28/4,77, d où : 1/P =,77V + b La moyenne des abscisses es e la moyenne des ordonnées es,21. On doi donc avoir :,21 =,77 + b d où b =,7 Le modèle es alors 1/P =,77V +,7. f) Si P = 4 po de Hg, on a 1/P =,2. D où,2 =,77V +,7 qui donne V =, On reiendra, po. g) Si V = 28 po, on a 1/P =, ,7, d où 1/P =,1988, on reiendra,199 1/po de Hg. (po ) 12, 16, 2, 24, 28, 2, 6, 4, 44, 48,, (po de Hg) 117, 87,9 7,7 8,8,4 44,2 9,2, 2,1 29,4 6, 1/P f(v + p) f(v),8,114,141,17,198,226,2,28,12,4,21,287,277,286,28,278,289,282,282,286,28 2. a) Le ableau des correspondances e le graphique son donnés ciconre. b) Le graphique perme de faire l hypohèse d un lien affine enre P e PV, puisque les poins semblen former une droie. (am),,2,4,,7,8 1,, (L) 22,88 89,6,7 4,44 1,71 26,6 22, 6,8971 PV L am 22, ,88 22,4 22,292 22,2 22,1 22,242 22,197 22, 22,1 22, 22,244,2,4,6,8 1, 1,2 P c) PV es foncion de P, soi PV = f(p). Puisque f(p + p) f(p) consane, le modèle es de la forme : PV PV = ap+ b, où a =,48/1 =,2, d où : (am) (L) L am PV =,2P + b La moyenne des abscisses es, e la moyenne des ordonnées es 22,244. On doi donc avoir : 22,244 =,2, + b d où b = 22,42 Le modèle es alors PV =,2P + 22,42. d) La consane idéale es l image de par la relaion, compe enu de la précision des données, on a 22,42 L am. Remarque: dans le cas des gaz réels, la loi de Boyle-Marioe n es qu approimaive. C es en déerminan l influence,,2,4,,7,8 1,, 22,88 89,6,7 4,44 1,71 26,6 22, 6, ,88 22,4 22,292 22,242 22,197 22,1 22, 22,244 d une variaion de la pression sur le volume que l on éudie l imporance de ces déviaions. Produi pression volume (L am) PV Pression (am) f(p + p) f(p),48,48,,4,46,,48

9 Chapire 2 Modélisaion affine 19 EXERCICES a) Dans cee siuaion, la variable indépendane es la concenraion e la variable dépendane es l absorbance. ( )( ) n CiAi Ci Ai b) a = 2 2 n C C i ( i) = (, 14), 4 2, 27 =, , 44 (, 4) Ai a Ci b = n 227, ( 49, 28...), 4 = =, Concenraion (mol/l),,,8,9,1,4 Absorbance à 4 mn,7,61,4,,16 2,27 CA C 2,22,,6,27,24,14,9,2,64,81,22,44 2. a) Le modèle es A = 49,2C +,8. c) La somme des carrés des résidus es,16, le coefficien de corrélaion es,96 e le coefficien de déerminaion es,9216. Mazou consommé (L) Q T Tempéraure ( F) ( )( ) n TQ i i Ti Qi b) a = 2 2 n T T i ( i) 6 = ( 41) 1 18 =, () 1 Qi a Ti b = n 18 (, ) 1 = =, Valeurs epérimenales T Q TQ T , 41, 2, 27, 2, 11, a) Le modèle es Q(T) = 1,69T +,27, en enan compe de la précision des données. c) Q(9) = 1,789 e on arrondi à 1,8 L. d) Q( 12) = 49,78 e on arrondi à 49,6 L. La consommaion mensuelle sera 49,6 1 = 1 7,6 L. En arrondissan, on dira 14 L. e) Q( 2) = 62,4 L e on arrondi à 62, L. Nombre d heures N 2 7 Superficie (milliers de m 2 ) S S N (m 2) (h) SN S b) N(s) =,9s + en arrondissan. c) Environ 27 h. Il es à remarquer que si on reien N(s) =,84s + 4,8 comme modèle, on rouve 27,6 h e en prenan N(s) =,9s +, on rouve 27,4 h. Cee différence es négligeable dans le conee car cee différence n es que de 1 % [(27,4 27,6)/27] alors que le coefficien de corrélaion es,82, On ne peu, de oues façons, garanir une précision aussi grande. On doi conclure que le emps requis es d environ 27 h.

10 2 Chapire 2 Modélisaion affine d) Le coefficien de corrélaion es de,82: il indique que la corrélaion n es pas parfaie. Le modèle donne un ordre de grandeur du emps nécessaire, pas une esimaion juse. On remarquera la dispersion des poins. Ils ne son pas ous groupés de façon à suggérer une droie. On peu déjà dire, sans effecuer de calculs, que le coefficien de corrélaion sera posiif sans êre rès proche de 1. Le coefficien de corrélaion es une mesure de la dispersion des poins par rappor à la droie des moindres carrés. 4. a) Mises en chanier (milliers d uniés) N Tau hypoécaire T T (%) N TN T 2 11,7 1 14, 18, 19,7 77, , ,2 44,2 9,62 121,477 b) On rouve a = 49,4496 e b = 124,422. On peu conserver ous les chiffres pour les calculs e arrondir à la fin. On accepera N(T) = 49T + 1. c) Le coefficien de corrélaion es de,67: il indique que la corrélaion es négaive e rès faible. Cela signifie que le modèle affine es peu représenaif du phénomène. Il y a cerainemen d aures faceurs qui inerviennen dans le nombre de mises en chanier..a) Par la méhode des moindres carrés, on rouve : a = 211, e b = 77,9169. Le modèle es : A = 211,c + 77,9 b) L image de, es 77,9. L image héorique semble éloignée de l image observée. c) r =,999. Le choi d un modèle affine semble jusifié. 6.a) Les correspondances son données dans le ableau ci-conre. b) Par la méhode des moindres carrés, on rouve : a =,7784 e b =,1768. Le modèle es : 1/P =,778V +,171 c) Si la pression es de 4 po de Hg, on a 1/P =,2. On cherche V el que :,2 =,778V +,171 D où V =,29, on accepera, po. Pression (po de Hg) AAS (mg/l) d) Si le volume es de 28 po, on doi avoir : 1/P =, ,171 1/P =,198411, d où P =, On accepera,4 po de HG. e) r =, Le choi d un modèle affine semble jusifié P Aire (mm 2 ) Volume (po ) (po ) 12, 16, 2, 24, 28, 2, 6, 4, 44, 48,, (po de Hg) 117, 87,9 7,7 8,8,4 44,2 9,2, 2,1 29,4 V AAS (c) (mg/l) Inverse de la pression (1/po de Hg),6,,24,18,12,8 1/P (1/po de Hg),864,11766, ,1768, ,226244,22,282861,1126,4161,2129 Aire (A) (mm 2 ) /P ca c Volume (po ) V 1/P V 2,212766,1822,282884,481627,6,729819, , , ,6266 7,96224 V 144, 26, 4, 76, 784, 24, 1296, 16, 196, 24, 2,

11 Chapire 2 Modélisaion affine a) Les correspondances son données dans le ableau ci-conre. b) Par la méhode des moindres carrés, on rouve : a =,18 e b = 22, Le modèle es : PV =,18P + 22,419 c) La consane idéale es l image de par la relaion. Compe enu de la précision des données, on a 22,42 L am. d) r =, Le choi d un modèle affine semble jusifié. (am),,2,4,,7,8 1,,8 (L) 22,88 89,6,7 4,44 1,71 26,6 22, 489,28 PV L am 22,88 22,4 22,292 22,242 22,197 22,1 22, 22, ,2 22,1 22, PV 1,7,2,4,6,8 1, 1,2 P Pression (am) (am),,2,4,,7,8 1,,8 Produi pression volume (L am) (L) 22,88 89,6,7 4,44 1,71 26,6 22, 489,28 PV L am 22,88 22,4 22,292 22,242 22,197 22,1 22, 1,7 P PV 2,288,8 8, ,2 1,79 18,828 22, 8,499 P 2,,62,16,2,49,722 1, 2, a) Les correspondances son données dans le ableau ciconre. b) Par la méhode des moindres carrés, on rouve : a =, e b = 22, Le modèle es : PV =,174P + 22,4 c) La consane idéale es l image de par la relaion. Compe enu de la précision des données, on a 22,4 L am. d) r =, Le choi d un modèle affine semble jusifié. e) Lorsque la pression es de,62 am, on doi avoir : PV =,174, ,4 = 22,2122 e V = PV P = 22, = 6, 21..., Compe enu de la précision des données, on accepera 6, L (am),,2,4,,7,8 1,,8 (L) 224,2 89,6,9 4,62 1,87 26,22 22,26 49,6 PV L am 22,42 22,9 22,6 22,41 22,9 22,287 22,26 16,67 P PV 2,242,97 8,944 12,287 1,616 18,949 22,26 8,89 P 2,,62,16,2,49,722 1, 2,747

12 22 Chapire 2 Modélisaion affine