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1 DS - Corrigé Parie I cf dernier DL On peu obenir les deux limies à la fois en écrivan que b a b fe ix [ eix e ix ix f]b a a ix f i eixb fb e ixa fa + i x x b a e ix f Le module du premier erme es majoré par fb + fa x donc end vers quand x + par le héorème d encadremen. Ainsi ce premier erme a une limie nulle quand x +. Il en va de même pour le second erme en majoran son module par b x a f ce qui fai sens car f es coninue sur le segmen [a, b]. Ainsi b a imaginaire. fe ix end vers quand x, e il en va donc de même de ses paries réelle e a La foncion f : sin n es coninue sur ], ] e, quand, on a f O. Comme n ]. Donc l inégrale définissan es inégrable au voisinage de, f es inégrable sur ], J n converge. b J, J. J cos [ sin] / J 3 cos + cos sin cos + cos cos cos + + cos + [sin ]/ c [ ] sin p sin q Ime ip e iq Im e ip+q/ e ip q/ e iq p/ Imi sinp q/e ip+q/ sinp q/ree ip+q/ sinp q/ cosp + q/ en uilisan que le sinus es réel e la propriéé Imiz Rez valable pour ou complexe z /8

2 d Par linéarié de l inégrale e par la propriéé précédene, J n J n cosn sinn [ ] / n sinn n n cosn/ { si n es impair si n es pair n/ n e On en dédui que pour n impair, J n J, e pour n pair, J n J n J n J J + J + J k J k k k f Par c, J n J n avec f : ], ] cos n/ k cosn. cos n/ k f cosn Comme cos es C e ne n annule pas sur [, 4 ], la foncion f se prolonge en une foncion de classe C sur le segmen [, ]. De plus n. Par la quesion, on a donc J n J n On a donc J p J p J p + J p Soi ɛ >. Il exise P N el que. + p. p P, J p ɛ. Posan N P, on a pour ou n N, si n es pair, J n ɛ car n p avec p n e si n es impair, J n ɛ Ainsi J n. 3 On a par la quesion e e le changemen d indice q k, p J p p p + q enier plus grand que P Par la quesion f, p q q q+ p, donc la série q q+ q N converge e sa somme es 4. 4 Les deux inégrandes foncions à inégrer son coninues sur ], a] e son des O en, donc son inégrables sur ], a]. /8

3 sin x x 5 a fx x sin x o x + x xx+ox o +o. x + Donc f es prolongeable par coninuié en. De plus, f es de classe C sur ], a] avec f : x x + cos x sin x. Enfin, quand x +, f x x + x + ox x x3 6 + ox3 x [ + x + ox x 6 + ox ] x [ + x + ox + x 3 + ox ] x [ + x 6 + ox ] 6 + o f x x + 6 limie finie Par le héorème de limie de la dérivée, le prolongemen de f es de classe C sur [, a]. b a sin n a sin n par la quesion précédene e la quesion. 6 Par la quesion précédene, Par la quesion f, J n donc a sinn J n + o sinn f sin n De plus pour ou a R +, a sin n par la quesion e car es de classe C sur le segmen d exrémiés Ainsi pour ou a R +, a sinn + e a. 7 a En effecuan le changemen de variable nu e ndu, F n sinnu nu ndu sinnu du u par la quesion précédene avec a. 3/8

4 b Pour ou réel X, posan nx X, F X F nx X nx X X nx nx nx nx Comme nx > X, on dédui du héorème d encadremen que nx, puis par X le même héorème e la majoraion précédene, F X F nx. X Ainsi, F X F X F nx + F nx 8 vu en cours: par changemen de variable e croissance de l inégrale, Ainsi Parie II n+ n n + n n k k X + n + Or la suie des sommes parielles d une série divergene à ermes posiifs a pour limie +. Par le héorème d encadremen, donc n diverge, ce qui signifie que n es pas inégrable sur ], [. 9 L inégrande es coninue sur ], [ e es un O en e un O n O à l infini, donc elle es inégrable sur ], [. I sin [ sin ] par le changemen de variable u, du. cos + sin I L inégraion par paries ci-dessus es bien jusifiée car les faceurs dans le croche son de classe C sur ], [ e leur produi a des limies finies nulles aux bornes de ce inervalle. En effe sin e sin O a La foncion f : a pour dérivée cos, qui es négaive e ne s annule sur aucun inervalle non rivial. f es donc sricemen décroissane. Ean nulle en, elle es à valeurs sricemen négaive sur ], [. Ainsi >, <. De même, en uilisan les variaions de +, on obien >, >. b Posons f n : n. Pour ou ], [, fn comme suie géomérique don la raison es de module sricemen inférieur à par la quesion précédene. On a de plus : >, f n f e f es inégrable sur ], [. 4/8

5 Par le héorème de convergence dominée, I n Si n es pair, I n es sricemen posiive comme inégrale sur un inervalle non rivial d une foncion coninue posiive non ideniquemen nulle. Supposons n impair. I n k k+ k n k k sin u n u + k par les changemens de variables k + u e la -anipériodicié de sin. Comme sin es posiive sur [, ], la série de erme général v k k par posiivié de l inégrale. De plus, pour ou k N, v k+ sin u u+k n es alernée n sin u n u+k+ sin u u+k vk par croissance de l inégrale e car pour ou u ], ] u+k + u+k > e sin u. Ainsi v k k décroî. Enfin pour ou k, v k k n donc, par encadremen, v k. k Or I n es le rese de rang de cee série, il es du même signe, au sens sric, que v, c es-à-dire sricemen posiif. Variane : écrire I n v + v + R, avec R du même signe, au sens large, que v, donc posiif ou nul, e v + v sricemen posiif comme inégrale sur un inervalle non rivial d une foncion coninue sricemen posiive. Parie III 3 a On fixe n e on procède par récurrence sur k. La propriéé es évidene pour k, avec P. Soi k [, n ] el que la propriéé soi vraie au rang k. Pour ou >, g n k+ g n k n k cos sin n k P k cos + sin n k P k cos sin n k [ n k cosp k cos sin P k cos ] sin n k P k+ cos avec P k+ n kxp k + X P k. b Soi k [, n ]. h n,k es coninue sur ], [. Pour ou >, h n,k sinn k P n k k cos. Or sin es bornée sur R e P k éan coninue es bornée sur le segmen [, ], donc la foncion P k cos es bornée sur R. Ainsi h n,k O. n k Donc h n,k es inégrable au voisinage de car n k. De plus, h n,k n k P k cos P k cos P k donc h n,k O donc h n,k es inégrable sur ], [. 4 Soi k [, n 3]. 5/8

6 h n,k k n g n k k n+ [ k n + gk n ] k n+ k n + gk+ n car les deux faceurs dans le croche son de classe C e leur produi a des limies finies en e + puisque par la quesion 3, e k n+ car k n + < Ainsi d où ce qu il fallai démonrer. k n + gk n k n+ O n k O k n+ k n + gk n k n+ O n k! h n,k n k + h n,k+ h n,k n k! h n,k+ 5 Reprenan le calcul précéden pour k n, le croche exise encore e es oujours nul avec k n + <. Donc l inégrale au second membre converge e la relaion obenue à la quesion précédene rese vraie pour k n. La valeur de n k! h n,k es donc la même pour ou k [, n ] e vau n n! h n,n h n,n car!. 6 Pour k, on a n k! h n,k n! on a donc I n n! h n,n g n n n!i n e par la quesion précédene, n! g n n 6/8

7 7 a 4 p sin p 4 p ei e i p i p p e ik p k e ip k k De même, k p e ik p k k p p k k +p e ik + p k p Re k p p p k p p k e ik + p k p p k e ik car 4 p sin p es réel p k cos k + p + k p k cos k par le changemen d indicek k + p car cos es paire 4 p sin p+ 4 p ei e i p+ i p+ p + i p p+ k e ik p k k p + i p p + k p k e ik + + p + k p k p par le changemen d indicek k + p + p + k e ik+ i k p k p k p + k Re eik+ i p + k sink + p + k sink + par imparié de sin b Par la quesion 6, I n n! sinn n 7/8

8 On a donc, en uilisan la quesion précédene, p I p 4 p + k k p cos p k p! k p p 4 p k k p p sink p! k p p k k p sinu p! u du k par le changemen de variable u k, p p! p k k k p du u De même, p + I p+ 4 k + p sin p k + p! k p p + 4 p k k + p sink + p! k p.4 p p! p + k k + p k Ainsi : I 3 I.+.4. I I. 3 I 4 I ! /8

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