Ainsi, avant ces deux augmentations, le matériel coûtait, à l euro près, 552 e. x = 5 x 1 2

Transcription

1 Exercice (3,5 points) Voir annexe. Exercice 2(2 points) Après deux augmentations successives, la première de 0 %, la seconde de 20 %, un matériel coûte 729 euros.,, 2 =, 32 Le coefficient multiplicateur global est donc égal à, 32. Le coefficient multiplicateur réciproque sera donc égal à, 32. Or , 27., 32 Ainsi, avant ces deux augmentations, le matériel coûtait, à l euro près, 552 e. Exercice 3 (6,5 points). Résolvons algébriquement les équations données : (a) /, 5 x 2 3x + 2 = 0 est une équation du second de degré. = ( 3) = 9 8 = donc > 0, par conséquent l équation admet deux solutions distinctes : x = 3 2 = et x 2 = = 2 Soit S = {; 2} (b) / 2x = 9 2x = 3 2x 0 Or 5 2 donc S = {5}. x = 5 x 2 (c) /0, 5 8x 3 = 25 x 3 = 25 x = x = Résolvons graphiquement les inéquations données : (a) / Résoudre graphiquement l inéquation x > 2 revient à déterminer les abscisses des point de la courbe représentative de la fonction racine carrée situés au dessus de la droite d équation y = 2. Donc S =]44; + [ (voir schéma ci-joint). (b) / Résoudre graphiquement l inéquation x 3 2 revient à déterminer les abscisses des point de la courbe représentative de la fonction cube situés en dessous ou sur la droite d équation y = 2. Donc S =] ; 3 2] (voir schéma ci-joint). (c) /, 5 Résoudre graphiquement l inéquation x 2 > x + 2 revient à déterminer les abscisses des point de la courbe représentative de la fonction carré situés au dessus de la droite d équation y = x + 2. Donc ] ; [ ]2; + [. (voir schéma ci-joint). Vérifions algébriquement notre réponse : x 2 > x + 2 x 2 x 2 > 0. Or x 2 x 2 est l expression d une fonction polynôme f avec : = ( ) 2 4 ( 2) = 9 donc > 0. Par conséquent f s annule en deux valeurs : x = 9 2 = et x 2 = = 2. De plus le coefficient du terme de degré 2 est, soit strictement positif. Donc f(x) sera strictement positive sur ] ; [ ]2; + [. ce qui vérifie bien notre conjecture. page

2 Exercice 4 (4 points + point bonus) Une entreprise fabrique un produit «Bêta». La production mensuelle ne peut pas dépasser articles. Le coût total, exprimé en milliers d euros, de fabrication de x milliers d articles est modélisé par la fonction C définie sur ]0; 5] par : C(x) = 0, 5x 2 + 0, 6x + 8, 6 On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 e.. / C(4) = 0, , , 6 = 8, 56 et 8 4 8, 56 = 32 8, 56 = 3, 44. Ainsi fabriquer et vendre articles rapporte 3 440e. C(2) = 0, , , 6 = 87, 36 et , 36 = 96 87, 36 = 8, 64. Ainsi fabriquer et vendre articles rapporte 8 640e. Il est clairement plus avantageux pour l entreprise de fabriquer et vendre articles. 2. On désigne par R(x) le montant en milliers d euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d articles du produit «Bêta». On a donc R(x) = 8x. (a) /0, 5 Voir annexe (b) / Déterminer la production x pour laquelle l entreprise réalise un bénéfice positif, revient à déterminer les abscisses de la courbe Γ, courbe représentative du coût total, situés sur ou au-dessus de la droite D, courbe représentative des recettes. (Voir graphique en annexe). Donc x [; 3, 5], par conséquent la production doit se situer entre 000 et 3500 articles pour que l entreprise réalise un bénéfice positif. Le bénéfice maximal est repéré par l écart maximal entre Γ et D sur l intervalle ]0; 5]. Graphiquement la production x 0 pour laquelle le bénéfice est maximal est 7,5. Autrement dit le bénéfice sera maximal si l on produit articles. 3. On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d euros, réalisé lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles. (a) /0, 5 Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total : B(x) = 8x (0, 5x 2 + 0, 6x + 8, 6) = 8x 0, 5x 2 0, 6x 8, 6 = 0, 5x 2 + 7, 4x 8, 6 Ainsi, le bénéfice exprimé en milliers d euros, lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles, est donné par B(x) = 0, 5x 2 + 7, 4x 8, 6 avec x ]0; 5]. (b) / 0, 5x 2 + 7, 4x 8, 6 est l expression d une fonction polynôme de degré 2 avec 0, 5 le coefficient du terme de degré 2, coefficient strictement négatif. Par ailleurs, = 7, ( 0.5) ( 8, 6) = 38, 44. Donc > 0 et donc il existe deux racines distinctes : x = 7, 4 38, 44 = 7, 4 6, 2 = 3, 6 et x 2 = 7, , 44 = 7, 4 + 6, 2 =, 2. On a donc : B(x) > 0 sur ], 2; 3, 6[ B(x) < 0 sur ]0;, 2[ ]3, 6; 5[ B(x) = 0 pour x =, 2 ou x = 3, 6 On en déduit que la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif) est entre 200 et page 2

3 (c) / Comme vu précédemment, la fonction B est la restriction d une fonction polynôme sur ]0; 5] avec le coefficient du terme de degré 2 strictement négatif. Donc B est strictement 7, 4 croissante pour x < α puis strictement décroissante, avec α = = 7, 4. De plus B(α) = β donc β = 0, 5 7, , 4 2 8, 6 = 9, 22 On en déduit qu il faut fabriquer et vendre articles chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Le montant maximal sera alors de e. Remarque : on retrouve les résultats trouvés graphiquement avec davantage de précision. Exercice 5 (2 points) Soit f une fonction définie sur [ 3; 2] par f(x) = 3 x / Soit x [ 3; 2] et x 2 [ 3; 2] tels que x x 2 3 x x x + 4 x x + 4 x x + 4 x (par croissance de la fonction racine carrée sur R + ) 3 x x x x f(x ) f(x 2 ) Les images étant rangées dans le sens contraire de celui des antécédants, la fonction f est décroissante sur son ensemble de définition. 2. /0, 5 f( 3) = = = = f(2) = = = = 0 Pour tout réel x appartenant à l intervalle [ 3; 2], on a : 3 x 2 f( 3) f(x) f(2) (puisque f est décroissante sur [ 3; 2]) f(x) 0 0 f(x). 3. /0, 5 D après la question précédente, f(x) < 0 sur [ 3; 2], donc la courbe représentative de la fonction f est située en dessous à l axe des abscisses. Exercice 6 (5 points) Le tableau suivant donne le montant qu ont eu à payer en 2007 les adhérents à une médiathèque, selon la catégorie à laquelle ils appartiennent : Adhérents Catégories Cotisations Résidents Catégorie A : scolaires Catégorie B : autres Catégorie C : étudiants Gratuit 60 e 00 e Non résidents Catégorie D 40 e La recette totale de la médiathèque se compose : d une subvention municipale ; des cotisations des adhérents. page 3

4 .(a) / Il y a eu au total adhérents, dont 72 % de résidents = et = Il y a résidents et 400 non résidents. Parmi les résidents, 45 % appartiennent à la catégorie A et 30 % à la catégorie B = 620, = 080 et = Finalement il y a respectivement 620, 080, 900 et 400 adhérents dans les catégories A, B, C et D. (b) / La recette totale est composée de la subvention de e et des cotisations. Le tableau donne : = La recette totale est donc égale à e. 2. En 2008 : (a) / Pour équilibrer le budget, la recette totale doit augmenter de 0% , = La recette en 2008 est donc égale à e. La subvention municipale est augmentée de 3% , 03 = La subvention municipale en 2008 est donc égale à e = Pour équilibrer le budget, la part de la recette totale provenant des cotisations en 2008 doit être égale à e. (b) / On modifie uniquement les cotisations des catégories C et D ; la cotisation de la catégorie C passe à 05 e. Par ailleurs, le nombre d adhérents augmente en 2008 de 0% dans chaque catégorie, donc en multipliant par, le nombre d adhérents de chaque catégories, on obtient le tableau suivant, en notant x la cotisation de la catégorie D en : Catégorie Nombre d adhérents Cotisations Catégorie A : scolaires 782 Gratuit Catégorie B : autres e Catégorie C : étudiants e Catégorie D 540 x e On souhaite que la part de la recette provenant des cotisations en 2008 soit au moins de e. Soit : x x Or 45, La cotisation minimale de la catégorie D, à 0 e près par excès, est donc de 50 e. (c) / La cotisation de la catégorie C en 2007 est de 00 e et celle en 2008 est de 05 e = page 4

5 Le pourcentage d augmentation de la cotisation de la catégorie C entre 2007 et 2008 est de 5%. La cotisation de la catégorie D en 2007 est de 40 e et celle en 2008 est de 50 e , Le pourcentage d augmentation de la cotisation de la catégorie D entre 2007 et 2008 est de 7%. page 5