Fiche d exercices Trigonométrie. Sommaire :

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1 Fiche d exercices Trigonométrie Sommaire : Page Ligne brisée (sujet inventé, lundi 6 novembre) Angles, vecteurs et Chasles (exercice P198 du livre, vendredi 0 novembre : groupe ) Page Trouver le sinus et la tangente d un angle dont on connait le cosinus (sujet inventé Vecteurs, angles associés, repérage dans un plan (exercice 1 fiche polycopiée, à faire pour le mercredi décembre) Page Angles, équations classiques, trigonométrie collège (exercice fiche polycopiée, à faire pour le mercredi décembre) Page Equations trigonométriques, formules de duplication (exercice fiche polycopiée) Page 6 Exemples de résolutions d équations trigonométriques. Exemple du cours (à terminer à la maison) Exemple fait avec le groupe 1 le 7 décembre Page 7 Exemple fait avec le groupe 1 le 10 décembre 18 (point méthode) Page 9 Exemple fait avec le groupe le 17 décembre 18 (point méthode) Page 11 Formules d additions (pas vu en classe à reprendre une fois qu on aura terminé les produits scalaires) Exercices et 7 de la fiche polycopiée Programme de révision : Déterminer le sinus d un angle dont on connait le cosinus et le domaine d appartenance (P) Jouer avec la relation de Chasles (P1 + 6P19) Arcs associés :Savoir déterminer le cosinus et le sinus de n importe quel angle de la famille d un angle important + (utiliser exercice P pour déterminer sin ( π ) sin 10 (π π Equations trigonométriques Placer des angles sur le cercle trigonométrique Trouver la mesure principale d un angle ) et sin (9π 10 )

2 Exercice trigo 1 On sait que (BC ; BA ) π [π] (ED ; EF ) 1π (DE ; DC ) π [π] 1 [π]et(ab)//(ef) Déterminer (CB ; CD ) Comme BA et EF sont de même direction mais de sens différent on aura : (BA ; EF) π[π] (BA ; BC ) + (BC ; CB ) + (CB ; CD ) + (CD ; DC ) + (DC ; DE) + (DE ; ED) + (ED ; EF) π[π] π + π + (CB ; CD ) + π + π (CB ; CD ) π + π + 1π π[π] 1 (CB ; CD ) 0[π] + π + 1π 1 π[π] Exercice P198 a) (AC ; FG ) (AC ; AB ) + (AB ; AD ) + (AD ; FG )[π]découle de la relation de chasles sur les angles, appliquée deux fois. b) (AC ; AB ) π [π] (AB ; AD ) π [π] c)

3 (AD ; FG ) (AD ; BE ) + (BE ; EH ) + (EH ; FG )[π] Or ADEB est un carré donc AD BE et donc (AD ; BE ) 0[π] EFGH est un parallélogramme EH FG et donc (EH ; FG ) 0[π] Ainsi (AD ; FG ) (BE ; EH )[π] π + (EB ; EH )[π] π + ( π )[π] d) ainsi (AC ; FG ) (AC ; AB ) + (AB ; AD ) + (AD ; FG )[π] π π + π + ( π )[π] π 1 [π] Exercice Bonus Soit x [ π ; π] tel que sin(x) 0, 6, déterminer la valeur exacte de cos(x) et celle de tan(x) On sait que sin (x) + cos (x) 1 donc 0,6 + cos (x) 1 donc cos (x) 1 0,6 Ainsi cos (x) 0,6 donc cos x 0,6 ou cos x 0,6 Or x [ π ; π] donc cos x 0 donc cos x 0,6 0,8 De plus tan(x) sin(x) cos(x) 0,6 0,8 0,7 Exercice 1 (fiche) 1) Les angles au centre associés aux côtés d un polygone régulier sont égaux, pour les obtenir on divise un tour complet : π par le nombre de côté Ainsi (OA ; OB ) (OB ; OC ) (OC ; OD ) (OD ; OE ) π [π] (OA ; OC ) (OA ; OB ) + (OB ; OC )[π] π [π] (OA ; OD ) (OA ; OB ) + (OB ; OC ) + (OC ; OD )[π] (OA ; OB ) + (OB ; OC 6π [π] (OA ; OE ) ) + (OC ; OD ) + (OD ; OE )[π] 8π [π] ) A(cos(0) ; sin(0)) A(1; 0) donc OA ( 1 0 ) B (cos ( π ) ; sin (π )) C (cos ( π ) ; sin (π )) et donc OB ( cos (π) sin ( π )) et donc OC ( cos (π ) sin ( π ))

4 D (cos ( 6π ) ; sin (6π )) D (cos (π π ) ; sin (π π )) D (cos ( π ) ; sin ( π )) D (cos ( π ) ; sin (π )) et donc OD ( cos (π) sin ( π )) E (cos ( 6π ) ; sin (6π )) E (cos (π π ) ; sin (π π )) E (cos ( π ) ; sin ( π )) E (cos ( π ) ; sin (π )) et donc OE ( cos (π) sin ( π )) Ainsi V OA ( 1 0 ) + OB ( cos (π) sin ( π + OC ( cos (π) )) sin ( π + OD ( cos (π) )) sin ( π + OE ( cos (π) )) sin ( π )) ) cos ( π OB ( ) cos ( π sin ( π ) + OE ( ) cos ( π ) sin ( π ) (OB + OE ) ( ) + cos ( π ) ) sin ( π ) sin ( π ) (OB + OE ) ( cos (π ) ) ) 0 cos ( π ) (OA ( 1 0 )) cos ( π OC ( ) cos ( π sin ( π ) + OD ( ) cos ( π ) sin ( π ) (OC + OD ) ( ) + cos (π ) ) sin ( π ) (OC + OD ) ( cos (π ) ) ) sin (π ) 0 cos ( π ) (OA ( 1 0 )) Ainsi V OA ( 1 0 ) + cos (π) (OA ( 1 0 )) + cos (π) (OA ( 1 0 )) (1 + cos (π) + cos (π )) OA ( 1 0 ) Donc V et OA sont colinéaires. On aurait pu travailler dans un autre repère, par exemple (O; OB ; j) avec j un vecteur unitaire perpendiculaire à OB et tel que (OB ; j) π [π] et en utilisant un raisonnement analogue on aurait tout aussi bien pu prouver que V et OB sont colinéaires. ) OB etoa ne sont pas colinéaires donc (O; OA ; OB ) est un repère du plan. V etoa colinéaires donc il existe un réel x tel que V xoa xoa + 0OB c est-à-dire V ( x 0 ) de plus V etob colinéaires donc il existe un réel y tel que V yob 0OA + yob c est-à-dire V ( 0 y ) Or dans un repère un vecteur ne peut avoir qu un couple de coordonnées ainsi V ( x 0 ) V ( 0 ) et on aura x y 0 y donc V 0 Et ainsi : OA + OB + OC + OD + OE 0 Exercice (fiche) On se place dans un carré de côté BC c. Si on pose AM xalors AN x, MB c x, CM c + (c x) c xc + x (Pythagore dans MBC), MN x + x (Pythagore dans AMN) MNC équilatéral MN CM MN CM x c xc + x x + xc c 0 b ac (c) 1 ( c ) 1c > 0et donc on aura deux racines : x 1 b c 1c c c a c( 1 ) < 0 donc inacceptable

5 Et x b+ a c( 1 + ) MCB ACB ACM π π 6 π 1 tan ( π 1 ) tan(mcb ) MB c( 1 + ) ( 1 + ) cos ( π 1 ) cos(mcb ) BC MC BC MN ( 1 ) (( 1) ) cos ( π ) cos(bmc ) MB bonus sin(mcb ) 1 MC BC c x ( 1 ) ( ) c c c( 1 + ) 6 c( 1 ) c( 1 + ) ( 1 ) + 6 cos ( π 1 ) MB MC MB c x c c( 1 + ) c( ) ( )( + 1) MN x c( 1 + ) c( 1 + ) ( 1)(1 + ) ( + ) ( 1 ) ( 1) 6 Exercice On sait que a [0; π] avec cos a 1 1) Si on utilise la fonction cos 1 on obtienta cos 1 ( 1 ) 1,7 t π [π] ) a)cos t 1 cos t cos (π) { ou t π [π] or ici on est sur [0; π] Donc cos t 1 t π (ici on a gardé un seul angle de la première famille et aucun de la deuxième (pour savoir quoi faire il faut générer les valeurs possibles et voir si on peut les garder. ( π π [π] donne : ; ; π ; 7π π ; en fait les valeurs : petites donc encore plus en dessous de la borne inférieure de l intervalle. 7π est avant 0 et les valeurs précédentes sont encore plus l intervalle et les valeurs suivantes sont encore plus grandes donc aussi hors de l intervalle.) > π donc on est en dehors de La fonction cos t étant décroissante sur [0; π] on aura π t π >cos (π ) cos(t) cos (π) >1 cos(t) 0 Et ailleurs? π > t 0 >cos (π) < cos(t) 1 >1 < cos(t) 1 donc les t considérés ne sont pas solution. S [ π ; π] cos(a) cos a sin a cos a 1 ( 1 ) cos(a) cos( a) cos 1 a 1 ( ) + 8 a a [π] cos(a) cos(a) { ou a a [π] 1 + cos(a) a 0 [π] { ou a 0 [π] a 0 [ π ]correspond à ; π ; π ; 0; π ; π ; 6π ; 8π ; a 0 [ π ] { ou a 0 [ π ] Dans l intervalle considéré 0 et π sont acceptables mais pas les autres 1 ( )

6 a 0 [ π ]correspond à ; π ; π ; 0; π ; π ; 6π ; 8π ; Dans l intervalle considéré 0 ; π et π sont acceptables mais pas les autres Donc on sait que a est une des valeurs 0 ; π ; π et π De plus cos(0) 1, cos ( π ) 1, et cos (π ) < 0 donc la mesure recherchée est π 1

7 Equations trigonométriques Exemple du cours (à terminer à la maison) cos(x + π) cos(x + π) cos (π)carcos (π) cos (π π ) cos (π) x π π + kπ x + π π + kπ x π + kπ { ou { ou { ou { x + π π + kπ x π π + kπ x 7π + kπ x 7π Version avec modulo : x + π π [π] x π π [π] x π [π] x π 0 [π] { ou { ou { ou { ou x + π π [π] x π π [π] x 7π [π] x 7π x π 0 + kπ ou 0 [π ] + kπ 0 Exemple fait avec le groupe 1 le 7 décembre sin (x + π ) sin (x + π ) sin ( π )conseil : faire un dessin pour trouver l angle x + π π [π] x π π [π] { ou { ou { x + π π ( π ) [π] x π π [π] x π [π] 6 ou { x π [π] 6 x π 18 [π ] ou x π 18 [π ] Résoudre l équation cos (x + π ) 1 dans R x + π π [π] x π π [π] cos (x + π ) cos (π) { ou { ou x + π π [π] x π π [π] x π [π] x π 1 [π] x π 1 [π] { ou { ou { ou x π [π] x π 1 [π] x π La résoudre dans [0; π] 1 [π ] x π 1 [π] On reprends les solutions sur R :{ ou et on ne gardera que les valeurs dans [0; π]. x π 1 [π] π ; 7π ; 1π 1 1 ; 19π 1 1 pour la première ligne et on se rend compte que les solutions de l autres lignes sont les mêmes.

8 Soit l équation : cos (x π ) 1) Résolution de l équation dans R ) visualisation sur un cercle ) résolution dans [ π; π] 1) actions cos (x π ) cos (x π ) cos (π ) x π π [π] { ou x π π [π] x π + π [π] { ou x π + π [π] x 1π [π] 1 { ou x π [π] 1 x 1π 1 [π 1 ] x 1π 1 8 [π] { ou { ou x π 1 [π 1 ] x π 1 8 [π ] description On remplace le membre de gauche par le cosinus d un angle pour avoir la forme cos x cos a.* On adapte la propriété du cours : x a [π] cos x cos a { ou x a [π] On isole le x Quand on divise par le coefficient de, il faut bien penser à TOUT diviser par lui (y compris le modulo) * comment trouver le bon angle? D abord faire abstraction du signe. Retrouver l angle associé dans le tableau des cosinus et des sinus des angles importants. Astuce radicale : si l angle est négatif, pas de changement l utilisation du tableau suffit, par contre s il est négatif, alors il suffit de rajouter π à l angle du tableau pour avoir l angle attendu : dans l exemple j aurai pu remplacer par cos (π + π ) cos (π ) ) quand on a du modulo [ π ], ça veut dire que l on va n avoir n points sur le cercle pour cette égalité, donc on sait déjà qu on aura dans cet exercice 8 points. Pour placer les angles un peu compliqués on fait une conversion en degré puis on les place avec le rapporteur. 1π π rad 8,7 et rad 18,7 8 8 De plus π rad 90 donc pour passer d un angle à l autre associé à une même équation on ajoute 90 Les points B sur les droites noires correspondent à la première ligne de solution (celle qui tourne autour de 1π 8 ) Les point C sur les droites rouges correspondent à la seconde ligne de solution (celle qui tourne autour de π ) 8 ) Résolution de cos (x π ) dans [ π; π] x 1π 8 [π 1π ] x 8 [π 9π π ] xest dans : ; ; ; 11π ; 1π ; 7π ;61π ;. 8 De cette infinité de valeurs on ne va conserver que les qui sont dans l intervalle x π 8 [π π ] x 8 [π π 9π ] xest dans : ; ; ; π ; 19π ; π ;67π ;. Idem 8 Du coup S { π ; 9π ; 11π ; π ; 1π ; 19π ; 7π ; π }

9 A la manière des exemples fait avec le groupe le 1 décembre Exercice 1 soit x un réel dans ] π ; π [ tel que sin x 0,7 déterminer cos x et tan x On sait que sin (x) + cos (x) 1 donc ( 0,7) + cos (x) 1 donc cos (x) 1 0,9 Ainsi cos (x) 0,1 donc cos x 0,1 ou cos x 0,1 Or x ] π ; π [ donc cos x 0 donc cos x 0,1 De plus tan(x) sin(x) 0,7 0,7 0,1 cos(x) 0,1 0,1 Exercice Soit une ligne brisée ABCDE avec (BA ; BC Déterminer (AB ; DE) ) π 7 [π], (CB ; CD ) π Réponse : (AB ; DE) (AB ; BC ) + (BC ; DC ) + (DC ; DE)[π] π + (BA ; BC ) + (CB ; CD ) + (DC ; DE) [π] [π], (DC ; DE) π [π] 9 π + π 7 π + π 9 6π [π] + 7π 1π + 8π [π] 97π 6 [π] Remarques : autres valeurs possibles : 97π 6 + π π 6 ou encore 97π 6 + π 9π 6 Exercice Résolution dans R et dans [0; π[ de cos (x + π 6 ) cos (x π ) Réponses : dans R π x + x π [π] cos (x + π ) cos (x π ) { 6 ou 6 x + π (x π ) [π] 6 pour une équation en sinus. (Attention la décomposition aurait été très différente x π π [π] x 11π [π] x 11π [π] { ou { ou { ou x π + π [π] x π [π] 6 x π 0 Résolution dans [0; π[ 10 [π ] x 11π 60 [π], vu que π 60π 11π cette formule correspond à ; 11π 9π ; 9π 109π ; 169π

10 x π 10 [π], vu que π 60π cette formule correspond à : 10 π 60π 9π ; π ; π 61π ; 61π 11π ; 11π 181π ; 181π 1π Ainsi les solutions dans [0; π[ seront S { 9π 60 ; 109π 60 ; π 10 ; 61π 10 ; 11π 10 ; 181π 10 } Exercice Conversion et mesure principale Convertir les angles suivants : et π rad Donner la mesure principale d un angle dont une des mesures est 1π Réponses : 7π π rad et π rad π π 60 π 0 π +π or π ] π; π] donc π sera la mesure principale de mon angle. Exercice Donner les valeurs des cosinus et sinus suivants : cos ( π 6 ), sin ( π ), sin (π ), cos (7π 6 ) Réponses : cos ( π 6 ) cos (π π 6 ) cos (π 6 ), sin ( π ) sin (π ), cos ( 7π 6 ) cos (7π 6 ) cos (π + π 6 ) cos (π 6 ) sin ( π ) sin (π + π ) sin (π ), BONUS inédit : Sachant que cos ( π 8 ) + et sin ( π ) calculer sin ( π ) et cos 8 8 (π) 8 sin ( π ) sin 8 (π + π ) cos 8 (π) + et cos ( π π ) sin 8 8 (π) 8

11 Pour plus tard (quand on aura fait le chapitre sur le produit scalaire). Exercice sin(8t) sin( t) (cos(t) sin(t)) 8 sin t 8 sin t 8 sin t (cos(t) sin( t)) 8 sin t (cos(t) cos(t) sin(t)) 8 sin t (cos(t) cos(t) cos(t) sin(t)) 8 sin t (cos(t) cos(t) cos(t) sin(t)) cos(t) cos(t) cos(t) sin t Exercice 7 sin(t) sin(t + t) sin(t) cos(t) + cos(t) sin(t) ( sin(t) cos(t)) cos(t) + (cos (t) sin (t)) sin(t) ( sin(t) cos (t)) + cos (t) sin(t) sin (t) sin(t) cos (t) sin (t) cos(t) cos(t + t) cos(t) cos(t) sin(t) sin(t) (cos (t) sin (t)) cos(t) ( sin(t) cos(t)) sin(t) cos (t) sin (t) cos(t) sin (t) cos(t) cos (t) sin (t) cos(t)