b) La fonction f admet-elle des tangentes parallèle à la droite d équation y = 3 2 x?

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1 Devoir Commun de Mathématiques - Classes de première S - Lycée Saint-Exupéry Mercredi 5 février Durée : 3 h. La clarté du raisonnement et de la rédaction comptera pour une part importante dans la note finale. Exercice : Etude d une équation 6,5 points Partie A : Soit le polynôme P défini sur IR par P(x) 4 x 3 x + 3 x + a) Vérifier que est une racine b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, P(x) (x ) (a x + b x + c) c) Résoudre l équation P(x) 0 Partie B : Dans un repère orthonormé (O; i ; j ) on donne les courbes respectives C f et C g de deux fonctions telles que :. f est définie sur IR par : f (x) x x. g est définie sur IR \ 3 par : g (x) x 3 a) Quelle équation les abscisses des points d intersection des courbes C f et C g vérifient-elles? b) En utilisant la partie A résoudre l équation trouvée au à la question a). Exercice : Optimisation 6,5 points 4 Soit f la fonction définie sur [ 0 ; 6 ] par : f (x) x + 4 Démontrer que f est décroissante sur [ 0 ; 6 ]. On donne la courbe représentative f de la fonction f dans un repère orthonormé (O; i, j ) Soit M un point de f d'abscisse x. H est le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. On appelle (x) l'aire du triangle OMH. a) Exprimer (x) en fonction de x. x b) Etudier les variations de la fonction g définie sur [ 0 ; 6 ] par : g (x) x + 4 c) En déduire les variations de la fonction A. d) Quelle est la position de M sur f, pour laquelle l'aire du triangle OMH est maximale? Piste : pour le a), la distance MH est égale à l'ordonnée du point M qui est un point appartenant à la courbe. Exercice 3 : Dérivation et variations 7 points Soit f la fonction définie par : f (x) (x 5) x + a) Préciser sur quels ensembles f est définie puis dérivable. b) Démontrer que f (x) Etudier les variations de f sur [ ;+ [. On pourra dresser le tableau de variations de la fonction f. 3 a) Déterminer l'équation de la tangente à f au point d'abscisse 0. b) La fonction f admet-elle des tangentes parallèle à la droite d équation y 3 x? Exercice 4 : Barycentres 4 points Partie A : R.O.C Soient et des réels tels que + 0. Démontrer que, si G est le barycentre des points pondérés (A, ) et (B, ), alors, pour tout point M du plan, on a : MA+ MB ( + ) MG Partie B : Soient A. B et C trois points non alignés du plan. On note I le milieu de [ AC ], J le milieu de [ BC ] et K le barycentre de (A ; 3), (C ;) Préciser la position de K par une égalité vectorielle et placer le sur la figure donnée en annexe. On note G le barycentre de (A ;3), (B ; ) et (C ; ). Exprimer G comme barycentre de B et K. préciser sa position et le placer. 3 Etablir que G est aussi le barycentre de (I ;3) et (J ; ). 4 Monter que le quadrilatère AG est un parallélogramme. Partie C : Soit M un point quelconque du plan. Justifier que MA MB + MC est égal au vecteur Déterminer et construire sur la figure donnée en annexe l ensemble des points M du plan tels que MA MB + MC 3 MA MB + MC 3 Déterminer et construire sur la figure donnée en annexe l ensemble des points M tels que MA + MC 3 MA MB + MC

2 Nom Classe Exercice 5 : QCM : 6 points Pour chaque question une seule réponse a, b, c ou d est exacte. Choisir la bonne réponse en entourant la lettre correspondante. Vous justifierez sur votre copie les réponses aux questions, 3, 4 La courbe représentative de la fonction x (x + ) + s'obtient à partir de la courbe de la fonction carré par : a) une translation de vecteur i + j b) une translation de vecteur i j c) une translation de vecteur i + j d) une translation de vecteur i j La mesure principale de 7 est : a) 7 b) 5 c) d) 5 3 On considère l expression A cos x sin ( x) + sin 5 x cos ( x). On a alors : a) A 0 b) A cos x sin x c) A cos x d) A sin x 4 EAD et BHI sont des triangles équilatéraux ; ADB est rectangle isocèle en A EFGD est un parallélogramme tel que ( ED, EF ) 6 B [ AI ]. On a alors : a) ( IH, GD) 5 6 b) ( IH, GD) c) ( IH, GD) 3 d) Les vecteurs IH et GD sont colinéaires Figure exercice 4 à compléter.

3 Exercice (Partie A : 0,5 + +,5 Partie B : +,5 ) TOTAL : 6,5 points Partie A a) P () b) P(x) (x ) (a x + b x + c) 4 x 3 x + 3 x + a x 3 + b x + c x a x b x c 4 x 3 x + 3 x + a x 3 + (b a) x + (c b) x c. Par identification il suffit de prendre a, b et c solutions du système a 4 b a c b 3 P (x) (x ) (4 x 4 x ) c) P (x) 0 x 0 ou 4 x 4 x Racines de 4 x 4 x : ( ) 3 Les racines de 4 x 4 x sont donc x P (x) 0 x ou x + ou x + Les solutions sont donc : ; + et + ou x c et x a 4 b 4 c Partie B a) Les abscisses des points d intersection des courbes C f et g vérifient l équation suivante : f (x) g (x) x x x 3 (E) b) Dans R\{ 3 } : x x x 3 (x x ) ( x 3) x 3 x 4 x x 0 4 x x 3 x 0 4 x 3 4 x + 3 x + 0 P (x) 0 x ou x + Les abscisses des points d intersection de C f et g sont donc ; + ou x et Exercice (,5 +,5 +,5 + + ) TOTAL : 6,5 points f est une fonction rationnelle elle est donc dérivable sur son ensemble de définition [0 ; 6]. u (x) x + 4 et u (x) x donc f (x) 4 x (x + 4) 4 x (x + 4) pour tout x de [0 ; 6] Sur [0 ; 6] : 4x 0 et 0 x donc f (x) 0 4 D où f est décroissante sur l intervalle [0 ; 6]. a) M(x ; f (x)) donc MH f (x) f (x) car f (x) est toujours positif et OH x x car x 0. (x) OH MH x 4 x x. D où (x) + 4 x, pour tout x de [0 ; 6] + 4 b) g est une fonction rationnelle elle est donc dérivable sur son ensemble de définition [0 ; 6]. u (x) x et u (x) v (x) x + 4 et v (x) x donc g (x) x + 4 x x (x + 4) pour tout x de [0 ; 6] Le numérateur a deux racines et, mais seule appartient à l ensemble de définition [0 ; 6] x 0 6 Signe de g '(x) + 0 Variation de g 4 D où le tableau de variation de la fonction g : 0 3/0

4 c) (x) g (x) > 0 donc et g ont les mêmes variations sur [0 ; 6]. D où le tableau de variation de la fonction : d) est maximale pour x, autrement dit l aire du triangle sera maximale lorsque M est le point de la courbe C d abscisse. Exercice 3 ( ) TOTAL : 7 points a) f (x) u (x) v (x) avec u (x) x 5 et v (x) x +. La fonction polynôme u est définie sur IR. La fonction x x est définie sur [ 0 ; + [ et x + 0 x donc v est définie sur [ ; + [ donc la fonction f est définie sur [ ; + [ La fonction polynôme u est dérivable sur IR. La fonction x x est dérivable sur ] 0 ; + [ et x + > 0 x > donc v est dérivable sur ] ; + [ donc la fonction f est dérivable sur ] ; + [ b) u (x) x 5 et u (x) v (x) x + a x + b avec a et donc v (x) a On a donc, pour tout réel x de ] ; + [, f (x) u (x) v (x) + u (x) v (x) x + + (x 5) f (x) est du signe de x d où le tableau de variation 3 a) L'équation de la tangente à f au point d'abscisse 0 est : y f (0) + f (0) (x 0) avec f (0) 5 et f (0) 3 donc l équation de la tangente est : y 3 x - 5. b) Il faut résoudre l équation dans [ ; + [ : f (x) 3 x x + x x 3 x 0 x (x + ) + x 5 3 x x + x 0 x 0 ou x 3 x 3. x f admet donc une seule tangente parallèle à la droite d équation y 3 x, la tangente au point d abscisse 3 (x ) x + x 0 Exercice 4 (ROC,5 + (+0.5) + (+0.5) +, (,5+0.5) + (,5+0,5)) TOTAL : 4 points Partie A : voir cours Partie B K le barycentre de (A ; 3), (C ;) donc AK AC AC G est le barycentre de (A ;3), (B ; ) et (C ; ) et K barycentre de (A ;3) et (C ; ) donc, par associativité des barycentres, G est le barycentre de (K ;3 + ) et (B ; ) donc G est le barycentre de (K ; ) et (B ; ) KG KB KB 3 3 GI GJ 3 GA + 3 GC GB GC 3 GA GB + GC (3 GA GB + GC) 0 Donc G est le barycentre de (I ;3) et (J ; ) Variante : G est le barycentre de (A ;3), (B ; ) et (C ; ) donc G est le barycentre de (A, 3), (C, 3), (C, ) et (B, ) c'est à dire, par associativité des barycentres, G est le barycentre de (I, 3) et (J, ). 4 IG 3 IJ IJ IC CJ CA + BC BA Donc AG est un parallélogramme. Variante : AK 4 AC et I est le milieu de [AC] donc AI Variation de AC et K milieu de [AI] x x + Signe de f '(x) + 0 Variations de f 9/5 4

5 KG KB donc K est le milieu de [GB]. Les diagonales de AG se coupent en leur milieu K c est donc un parallélogramme. Partie C MA MB + MC MA + BM + BM + MC BA + BC. Or I milieu de [AC] donc isobarycentre de A et C d où BA + BC ( + ) Finalement, MA MB + MC Variante : MA MB + MC MA MA AB + MA + AC BA + AC + IA + AC Or I milieu de [AC] donc AC - IA d où MA MB + MC G est le barycentre de (A ;3), (B ; ) et (C ; ) donc 3 MA MB + MC (3 + ) MG MG MA MB + MC 3 MA MB + MC MG MG est donc le cercle de centre G de rayon. Remarque Le point A à donc est le cercle de centre G passant par A. 3 On a vu que pour tout point M : 3 MA MB + MC MG. I est le milieu de [ AC ] donc, pour tout point M, MA + MC MI M MA + MC 3 MA MB + MC MI MG MI MG est donc la médiatrice de [ IG ] QCM (,54 6 points) QCM : c) une translation de vecteur i + j b) et 5 ] ; ]. 3 d) A sin x En effet : cos x sin x ; sin ( x) sin x ; sin 5 x cos x et cos ( x) cos x Donc A cos x sin ( x) + sin 5 x cos ( x) sin x sin x + cos x cos x sin x. 4 d) Les vecteurs IH et GD sont colinéaires ( IH, GD) ( IH, IB ) + ( BA, DA) + ( DA, DE) + ( DE, FE ) ( IH, GD) ( IH, IB ) + ( IB, BA) + ( BA, DA) + ( DA, DE) + ( DE, FE ) ( IH, GD) ( IH, IB ) + ( IB, BA) + ( AB, AD) + ( DA, DE) + ( ED, EF) ( IH, GD)