Chapitre : 1 Cours : Nombres complexes Prof :Mr Gary Badreddine 4 ème Année : sectionsciences-expérimentales

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1 Chapitre : 1 Cours : Nombres complexes Prof :Mr Gary Badreddine 4 ème Année : sectionsciences-expérimentales /2019 Lycée El Montazeh I ) Rappels et compléments : -1- Définition et opérations sur les nombres complexes: a) Rappel 1. i² = 1 2. z = x + i y x = R z et y = Im ( z ) 3. z = 0 équivaut x = 0 et y = 0 tel que x R et y R 4. z = x + i y et z = x + i y z = z équivaut x = x et y = y a) z + z = x + x + i y + y. b) z z = x x + i y y. c) z. z = xx yy + i xy + x y. d) 1 z = x x 2 + y ² + i y x 2 + y ². e) z z = xx + yy x 2 + y ² + i yx xy x 2 + y ². 5. x + i y. x iy = x 2 + y x + iy 2 = x 2 y 2 + 2ixy. 7. x iy 2 = x 2 y 2 2ixy. 8. z. z = 0 équivaut z = 0 ou z = i 4n = 1, i 4n+1 = i, i 4n+2 = 1, i 4n+3 = i. b) Activité 1 P 6 Déterminer l écriture cartésienne de chacun des nombres complexes ci-dessous. 2 2i (1 + i)²= 21/09/ Page 1 sur 27

2 2 i i 3 = (1 + i) 4 (1 i) 20 = Remarque 1 + i 2 = 2 i, 1 i 2 = 2 i, 1 + i 1 i = 2. Rappel n z + z n = C n k z n k z k, k=0 Activité Calculer :(3 + 2i) 5 = (z z ) n = n k=0 C k n ( 1) k z n k z k Formule de binôme. (1 2i) 4 = 21/09/ Page 2 sur 27

3 c) Conjugué d un nombre complexe Retenons soit z = x + i y, où x R et y R, le conjugué de z est le nombre complexe z = x iy. z = x + iy ; z = x iy et z = z z. z = z. z z + z = z + z z n = z n ( 1 z ) = 1 z avec z 0 ( z z ) = z z avec z 0 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). z = x + iy, z R équivaut z = z M z O, u y = 0 z = x + iy, z ir imagimaire pure équivaut z C, R z = z z = x² + y². z+ z 2 et Im ( z ) = z z 2i.. z = z M z O, v x = 0. d) Activité 2 P 6 Soit les nombres complexes z = 1 + 2i et z = i. 1. Donner l écriture cartésienne de z² et z 3, ainsi que leurs conjugués. z² = z 3 = z ² = z 3 = 2. Donner l écriture cartésienne de zz, (zz )² et (zz ) 3, ainsi que leurs conjugués. zz = zz = 21/09/ Page 3 sur 27

4 zz 2 = zz 2 = zz 3 = zz 3 = 3. Donner l écriture cartésienne de z, ( z z )² et ( z z z )3, ainsi que leurs conjugués. z z = ( z z ) = z z 2 = z z 2 = ( z z )3 = ( z z )3 = -2- Affixe d un point, affixe d un vecteur a) Représentation géométrique d un nombre complexe 21/09/ Page 4 sur 27

5 Retenons Le plan est muni d une repère orthonormé direct (O, u, v). Affixe d un point : A tout point M (x, y), on associe le nombre complexe z = x + i y, appelé affixe du point M, noté M(z). Affixe d un vecteur : A tout vecteur W x y z = x + i y appelé affixe du vecteur W, noté aff(w). M O, u équiveaut z est réel. M O, v équiveaut z est imaginaire pur. on associe le nombre complexe A et B deux points d affixes respectives z A et z B. alors l affixe du vecteur AB noté : aff (AB) = z B z A M z = x + i y, S O,u M = M z S O M = M ( z)., S O,v M = M z et Pour tous vecteurs u et v et tous réels α et β, aff(α u) = α aff(u ) ; aff( u + v ) = aff( u) + aff(v) et aff α u + βv = α aff u + β aff(v) I est le milieu de [AB] alors aff ( I ) = aff A + aff (B) G le barycentre des points (M, α) et M, β a pour affixe 2. 21/09/ Page 5 sur 27

6 aff(g) = α aff M +β aff (M ) α+β avec α + β 0. G le centre de gravité du triangle ABC équivaut à aff(g) = P 1 : 1/ Soit u et v deux vecteurs tels que v est non nul. aff A + aff B +aff (C) Les vecteurs u et v sont colinéaires, si et seulement si, z u z v est réel. 2/ u et v sont deux vecteurs non nuls sont colinéaires ssi il existe un réel k ε R tel que u = k v. 3/ u a b et v a b sont colinéaires ssi det u, v = 0 ssi ab a b = 0 P 2 : 1/ Soit u et v deux vecteurs tels que v est non nul. Les vecteurs u et v sont orthogonaux, si et seulement si, z u z v est imaginaire pur. b) Activité 3 P 7 a 2/ AB b et AC a sont orthogonaux ssi AB. AC = 0 ssi aa + bb = 0 b 3/ ABC un triangle rectangle en A ssi AB² + AC² = BC² Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). 1. Placer les points A,B et C d affixes respectives i, 1 3i, 1 + 2i /09/ Page 6 sur 27

7 2. Donner les affixes de leurs symétriques par rapport à l axe des abscisses. 3. Donner les affixes de leurs symétriques par rapport au point O. 4. Donner les affixes de leurs symétriques par rapport à l axe des ordonnées. 5. Donner les affixes des vecteurs OB 2OC, AB AC. 6. Déterminer l affixe du centre de gravité du triangle ABC. C) Exercice résolu 1 P 7 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). Soit A et B les points d affixes respectives 2 2i et 1 + i. 21/09/ Page 7 sur 27

8 1. Montrer que les points O, A et B sont alignés. 2. Déterminer l ensemble des points M d affixe z = k 2 2i, k R. Propriété P 8 Soit w et w 1 deux vecteurs tels que w 1 0. Les vecteurs w et w 1 sont colinéaires,si et seulement si, z w z w 1 est réel. d) Activité 4 P 8 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). Soit A et B les points d affixes respectives 1 + 2i et i 1 + 2i. 1. Placer les points A et B. 21/09/ Page 8 sur 27

9 2. Montrer que les vecteurs OA et OB sont orthogonaux. Propriété P 8 Soit w et w 1 deux vecteurs tels que w 1 0. Les vecteurs w et w 1 sont orthogonaux,si et seulement si, z w z w 1 est imaginaire pur. e) Exercice résolu 2 P 9 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). Déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que z i z 1 soit imaginaire. 21/09/ Page 9 sur 27

10 -3- Module d un nombre complexe Retenons Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). Soit z = x + i y et M(x, y) le point d affixe z. On appelle module de z le réel positive, noté z, définie par z = zz = x 2 + y 2 = OM. Pour tous points M et N d affixes z M et z N, z N z M = MN. z = 0 équivaut z = 0 z = z = z = i z z ε C 1 = z z z z z = x, x ε R z = iy, y ε R = z z 2 z = x z = y Pour tous points A et B d affixes respectives z A et z B on a : AB = z B z A Pour tous nombres complexes z C et z C et pour tout entier naturel nul n on a : non zz = z z ; z n = z n ; zz = z 2 ; 1 z = 1 z ; 1 z n = 1 z n ; z = z z z ( z 0 ) Pour tous nombres complexes z et z et pour tout réel λ, on a : z + z z + z et λ. z = λ. z 21/09/ Page 10 sur 27

11 a) Activité 5 P 9 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v).on considère les points A et B d affixes respectives z A = 1 + i 3 et z B = 1 i 3. Calculer OA, OB et AB. b) Activité 6 P 9 Soit z = 2 i et z = 3 + 4i. 1. Donner les écritures cartésiennes de z + z ; zz ; z z ; z4 ;(z z ) Calculer les modules de z + z ; zz ; z z ; z4 ;(z z ) 2. 21/09/ Page 11 sur 27

12 c) Activité 7 P 10 Calculer les modules de (1 + i) 5, (1+i)11 (1 i) 6 et (1 i)5. d) Exercice résolu 3 P 10 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). 1. Déterminer l ensemble des points M d affixes z tels que z 1 + 2i = Déterminer l ensemble des points M d affixes z tels que z + 2 i = z 2 + 2i. 21/09/ Page 12 sur 27

13 -4- Argument d un nombre complexe non nul Définition Le plan est muni d un repère orthonormé direct O, u, v. Soit z un nombre complexe non nul et M son image.on appelle argument de z et on note arg (z) toute mesure de l angle u, OM. a) Activité 8 P 10 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). 1. Placer les points A,B,C et D d affixes respectives z A = i ; z B = 4 ; z C = 2 + 2i et z D = 1 + i et déterminer, graphiquement, un argument de chacun de ces nombres complexes. 21/09/ Page 13 sur 27

14 2. Soit A 1, B 1, C 1 et D 1 les symétriques respectifs de A,B,C et D par rapport à l axe des abscisses. Déterminer un argument de chacun de leurs affixes. 3. Reprendre la question précédente pour les symétriques respectifs de A,B,C et D par rapport à O. 4. Reprendre la question précédente pour les symétriques respectifs de A,B,C et D par rapport à l axe des ordonnées. Propriétés Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul. 1) arg z arg z 2π. 2) arg z π + arg z 2π. 3) Si k > 0 alors arg kz arg z 2π. 4) Si k < 0 alors arg kz π + arg z 2π. 21/09/ Page 14 sur 27

15 -5- Ecriture trigonométrique Définition Soit z un nombre complexe non nul tel que arg(z) θ[2π].alors z = z cosθ + i sinθ. L écriture précédente est appelée écriture trigonométrique de z. Si M est l image de z dans le repère orthonormé direct (O, u, v) alors M appartient au cercle de centre O et de rayon z et à la demi droite [OB) telle que u, OB θ 2π. Soit un nombre complexe non nul = a + ib,a et b des réels. arg(z) θ[2π], Si et seulement si, cos θ = a a²+b² et sin θ = b a²+b². Rappel a cos x + b sin x = a 2 + b 2 cos x θ, cos θ = a a²+b² et sin θ = b a²+b². 21/09/ Page 15 sur 27

16 a) Activité 10 P12 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v).soit z = i. 1. Déterminer l écriture trigonométrique de z et placer le point d affixe z. 2. En déduire l écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes. z, z, 1 z et 3 z, puis placer leurs points images /09/ Page 16 sur 27

17 b) Activité 11 P12 Soit les nombres complexes z = 1 + 9i et z = 2 8i.Donner une valeur approchée de leurs arguments à 10 2 prés. c) Activité 12 P12 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v).donner l écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes z A = 4, z B = 1 + i 3 et z C = 1 i 3. 21/09/ Page 17 sur 27

18 -6- Propriétés d un argument d un nombre complexe non nul a) Activité 13 P12 Soit z et z deux nombres complexes non nuls tels que z = z cosθ + i sinθ. z = z cosθ + i sinθ. 1. Donner les écritures trigonométriques de z, 1 z et. z z 2. a) Montrer par récurrence, sur l entier naturel n, que z n = z n cos ( nθ) + i sin ( nθ). 21/09/ Page 18 sur 27

19 b) En déduire que pour tout entier naturel n, z n = z n cos ( nθ) + i sin ( nθ) Propriétés Soit z et z deux nombres complexes non nuls. arg z z arg z + arg z 2π. arg 1 arg z 2π ; arg z arg z arg z 2π z z arg z n n arg z 2π, n N ; arg 1 n arg z 2π, n N n Soit un nombre complexe non nul z = z cosθ + i sinθ. Pour tout entier n, z n = z n cos nθ + i sin nθ. La formule précédente est appelée formule de Moivre. z 21/09/ Page 19 sur 27

20 b) Activité 14 P13 Donner l écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes ci-dessous. 1 + i 6 = 1 i 9 3+i 5 3 i 8 = 2 3 2i i 3 3 = II ) Ecriture exponentielle d un nombre complexe a) Activité 1 P13 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v).soit les points A,B et C d affixes respectives z A = i, z B = i et z 2 C = 2 (1 i) Donner les écritures trigonométriques de z A, z B et z C. 2. En déduire que les points A,B et C appartiennent au cercle trigonométrique. 21/09/ Page 20 sur 27

21 Notation Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). Un point M appartient au cercle trigonométrique, si et seulement si,m a pour affixe z = e iθ = cosθ + i sinθ, où θ u, OM 2π. Conséquences e i 0 = 1, e i π 2 = i, e i π 2 = i, e i π = 1. Pour tout réel θ et pour tout entier k, e iθ = e i θ+2kπ. Pour tout réel θ, e iθ = 1 et e i θ = e i θ et e iθ = e i θ +π. b) Activité 2 P 14 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). On donne les nombres complexes z = e iπ 3 et z = e i3π Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes z ; z, zz, 1 z, z z, et zn, n N. 21/09/ Page 21 sur 27

22 2. Ecrire sous la forme e iθ les nombres complexes z ; z, zz, 1 z, z z, et zn, n N Propriétés Soit deux réels θ et θ. e iθ. e iθ = e i θ +θ ; c) Exercice résolu 4 P 14 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). 1 e iθ = e iθ ; eiθ e iθ = ei θ θ ; e iθ n = e i nθ, n Z On considère le nombre complexe = 1 + i + e iθ, θ [0,2π[ et on désigne par E l ensemble des points M du plan d affixes z. 1. Vérifier que le point B d affixes z B = 1 + 2i appartient à E. 2. Déterminer l ensemble E. 21/09/ Page 22 sur 27

23 Rappel cos θ = cos θ sin θ = sin θ cos θ + π 2 = sin(θ) sin θ + π 2 = cos(θ) cos θ + π = cos(θ) cos π θ = sin(θ) 2 sin sin θ + π = sin(θ) π θ = cos(θ) 2 d) Activité 3 P 15 Le plan est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v). 1. Donner les écritures trigonométriques de z 1 =2i, z 2 = 3i, z 3 = 5 2 et z 4 = 2 3+2i Ecrire chacun des nombres complexes précédents sous la forme, r e iθ avec r > 0. 21/09/ Page 23 sur 27

24 Théorème et définition Tout nombre complexe non nul, s écrit sous la forme z = r e iθ, où r = z et arg(z) θ[2π]. L écriture z = r e iθ est appelée écriture exponentielle de z. 21/09/ Page 24 sur 27

25 e) Activité 4 P 15 On considère les deux nombres complexes z = 3 + i et z = 1 + i. Donner l écriture exponentielle des nombres complexes z, z, z, z, zz, 1 z, z 5, z z et z ². f) Activité 5 P Ecrire sous la forme exponentielle les nombres complexes z = 3 i et z = 1 + i 2. En déduire l écriture cartésienne de (1+i)14 ( 3 i) 8. 21/09/ Page 25 sur 27

26 g) Activité 6 P Vérifier que pour tout réel θ, 1 + e iθ = (e iθ 2 + e iθ 2)e iθ Donner l écriture exponentielle des nombres complexes z = 1 + e i2π 5 et z = 1 + e i3π 5. III) Nombres complexes et trigonométrie Théorème Pour tout réel x et pour tout entier n, (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx. (Formule de Moivre). Pour tout réel x, cos x = e i x + e i x 2 et sin x = e i x e i x. (Formules d Euler). 2 i Les formules de Moivre et d Euler permettent d établir un grand nombre de formules trigonométriques. Elles permettent aussi d exprimer des puissances de cos x et sin x à l aide de cos nx et sin nx. 21/09/ Page 26 sur 27

27 a) Activité 3 P 17 Linéariser cos 3 x, sin 3 x où x est un réel. b) Exercice résolu 5 P 16 Linéariser sin 5 x, où x est un réel. 21/09/ Page 27 sur 27