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1 7. bilités Objectifs et pré-requis On introduit dans ce chapitre la notion de variable aléatoire qui permet de modéliser des situations et de justifier certaines expériences effectuées en classe de seconde. Extrait du programme (Bulletin officiel n du septembre ) : Contenus Capacités attendues bilités Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance. Déterminer et exploiter la loi d une variable aléatoire. Interpréter l espérance comme valeur moyenne dans le cas d un grand nombre de répétitions. QCM Pour bien commencer Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p.. Corrigés des activités Espérance d une variable aléatoire a. b. c. a. p(«obtenir boule blanche») = p(n ; N) =. p(«obtenir boule blanche») = p(b ; N) + p(n ; B) = =. p(«obtenir boules blanches») = p(b ; B) =. On peut remarquer que la somme des probabilités vaut. b. On obtiendra en moyenne fois «boules blanches». c. Le nombre moyen de boules blanches est d. + = = fois «boule blanche», fois «boule blanche», + + = =,. d. On obtiendra en moyenne = fois «boule blanche», fois «boule blanche», fois «boules blanches». + + Le nombre moyen de boules blanches que l on peut espérer est =,. e. Le nombre moyen de boules blanches que l on peut espérer ne dépend pas du nombre d expériences. a. On peut espérer faire des gains car, >. b. Pour parties, on peut espérer gagner en moyenne, = jetons. 7. bilités

2 Avec ou sans remise? PARTIE A : Expérience avec remise Réalisation de l arbre. Les issues sont ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). Ces issues sont équiprobables de probabilité. a. p(«on tire deux fois le même nombre») = p({(( ; ), ( ; ), ( ; ))} =. b. p(«le premier nombre tiré est strictement inférieur au second») = p({( ; ), ( ; ), ( ; )}) =. c. p(«la somme des deux nombres est») = p({( ; ), ( ; ), ( ; )}) =. PARTIE B : Expérience sans remise Les issues sont ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). Ces issues sont équiprobables de probabilité. a. p(«on tire deux fois le même nombre») =. b. p(«le premier nombre tiré est strictement inférieur au second») = p ({( ; ), ( ; ), ( ; )}) =. c. p(«la somme des deux nombres est») = p ({( ; ), ( ; )}) =. PARTIE C : Comparaison des expériences a. «Avec remise». b. «Sans remise». c. Même probabilité pour les deux expériences. Corrigés des Travaux pratiques TICE L espérance de vie En C, apparaît le nombre :,. Après duplication de la formule on trouve en C :,77. D après ce modèle, il reste environ personnes âgées de ans. 7. bilités

3 Le nombre de décès dans la première classe d âge. La formule à mettre en D est «=SOMME(D:D)/». On trouve ainsi,7. L espérance de vie est environ, ans. Pour obtenir l espérance de vie des femmes et des hommes, des «copier/coller/dupliquer» des formules précédentes conduisent rapidement aux résultats. Attention toutefois, dans la cellule G la formule que l on doit obtenir est «A*(F-F)» et non «D*(F-F)». De même dans J on doit trouver «A*(I-I)». L espérance de vie trouvée est : pour l ensemble de la population :, pour l ensemble des individus de sexe masculin : 77, pour l ensemble des individus de sexe féminin :,. Ce calcul étant réalisé avec des «âges par défaut», on peut ajouter, aux valeurs trouvées ci-dessus. 7 Il suffit de mettre dans la cellule C et d effacer les contenus des cellules D à D. L espérance de vie est,7 =,7 ans. Espérance de vie en 7 : 7, ; en : 7, ; en : 77, ; en :,. (7, ; 7, ; 77, ;,7 avec la correction de, ans.) On met par exemple dans la cellule F et dans la cellule I. C est à partir de ans que le nombre d hommes () est inférieur au nombre de femmes (7). Algorithmique Un jeu équitable? a. Le lancer d une pièce de monnaie symétrique est modélisé par le tirage d un nombre au hasard dans l ensemble { ; } : entaléat(,). On conviendra que représente le côté «pile», et le côté «face». b. N est le nombre de lancers et I est le rang du tirage. c. L (I) est le gain de la partie de rang I. d. Programmation de l algorithme sur la calculatrice. e. Le jeu est équilibré. a. PROGRAM : PILEFACE : Prompt N : EffListe L : For(I,,N) : entaléat (, ) + entaléat (, ) + entaléat (, ) -> L (I) : If (L (I) = ) : Then : - -> L (I) : End : End : Disp MOYENNE, moyenne (L ) b. Programmation de l algorithme sur la calculatrice. c. Le jeu est équilibré. a. Le premier modèle conduit à la loi de probabilité suivante : x p(x = x) E(x) = + + =. L espérance mathématique est nulle. 7. bilités

4 b. Le gain dans le second jeu est défini par le tableau suivant : Issue PPP PPF PFP FPP PFF FPF FFP FFF Gain L espérance de gain est donc =. c. Dans les deux jeux, l espérance mathématique est nulle. Les jeux sont équilibrés. D où la difficulté de donner des réponses aux questions.e. et.c. Corrigés des exercices et problèmes Exercices d application. Points 7 Points 7. Les tirages possibles équiprobables sont,,,,,.. La loi de probabilité de X est définie par le tableau suivant : X 7. p (X ) =. X X 7. E(X) = 7. S. E(S) = NOTE Dans le spécimen et certains manuels, il faut lire que le secteur vert permet de gagner euros et non de les perdre.. La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau suivant : Gain bilité E(S) = =,. La mise doit être de, euros pour que le jeu soit équitable. Cet exercice est corrigé dans le manuel, p.. 7., =,. Le nombre moyen d appels par minute est,. X bilité 7. bilités

5 . X bilité. E(X) =. X bilité. E(X) = 7. La probabilité d avoir au moins un stylo défectueux est,. Sur paquets on peut s attendre à avoir paquets contenant au moins un stylo défectueux.. E(X) =,. Le nombre moyen de points est,7. Il est de,7 pour le Scrabble français. Le nombre moyen de points est donc supérieur dans le Scrabble anglais. Cet exercice est corrigé dans le manuel, p.. a. D b. B c. B. La probabilité d une issue quelconque (dé ; dé ) est.. Dé Dé 7 7. X 7. Avec deux dés à faces, la probabilité d une issue quelconque (dé ; dé ) est. Dé Dé X 7 X NOTE Dans le spécimen et certains manuels, à la question.c., il faut lire une probabilité égale à.. a. p( ; ; ) = b. p(«obtenir chiffres identiques») = c. p(«obtenir chiffres différents») =. a. p(«obtenir chiffres identiques») = =, d où la loi de probabilité de X : X b. E(X) =, le jeu est favorable au joueur. 7 Traduction de l énoncé Un enfant vise la cible ci-contre avec des fléchettes. S il la rate il obtient point, sinon il obtient le nombre de points marqués dans la zone atteinte. =. Il lance une série de deux fléchettes. On appelle X la variable aléatoire qui associe à la série réalisée le score obtenu. Déterminer l ensemble des valeurs que peut prendre X. 7. bilités 7

6 . Il lance une série de trois fléchettes. On appelle Y la variable aléatoire qui associe à la série réalisée le score obtenu. Déterminer l ensemble des valeurs que peut prendre Y.. X peut prendre les valeurs,,,,, 7,, et.. Y peut prendre les valeurs,,,,, 7,,,,,,, 7,,,. Cet exercice est corrigé dans le manuel, p... Le montant total des lots est euros. Il faut donc participants au moins pour que le jeu soit rentable.. a. La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau suivant : Gain,,,, bilité 77 b. L espérance de gain vaut :, =,.. p(x ) =,. Utilisation de la calculatrice.. E(X) =, Cet exercice est corrigé dans le manuel, p... E(X) =.. a. E(Y) = b. E(Z) =. a. E(T) = b. E(U) = Raisonnement logique a. P : «Si E(X) est négative alors toutes les valeurs prises par X sont négatives» ; cette proposition est fausse. b. P : «Si E(X) est positive alors il existe des valeurs prises par X positives» ; cette proposition est vraie. c. P : «S il existe des valeurs prises par X positives alors E(X) est positive» ; cette proposition est fausse. Restitution des connaissances Considérons une expérience aléatoire caractérisée par E = {e ; e ; ; e n } un ensemble de résultats numériques et p, p,, p n une loi de probabilité définie sur E. Si on réalise N fois cette expérience aléatoire, on obtient les résultats e, e,, e n avec des fréquences d apparition f, f,, f n. La moyenne des résultats sera x = f e + f e + + f n e n. Comme les fréquences f, f,, f n se rapprochent des probabilités p, p,, p n lorsque N devient grand, la moyenne x se rapproche de l espérance mathématique μ. Se tester sur les probabilités Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p.. Problèmes. L espérance de gain est à peu près égale à 7,.. 7 = Comme les fractions du type «sur n» sont beaucoup plus parlantes, l organisateur du jeu a fait un arrondi. On peut remarquer en effet que,7.. L espérance de gain est environ,.. La probabilité d avoir bons numéros est 7... = La probabilité de n avoir aucun bon numéro est = Le produit du gain par la probabilité de l obtenir est respectivement :, pour bons numéros,, pour bons numéros,, pour bons numéros,, pour 7 bons numéros,, pour bons numéros,,7 pour bons numéros et, pour bon numéro.. a. La somme des probabilités est : =. b. Gain : euros. c. La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau suivant : Gain L espérance de gain est dans ces conditions, euros. Si on tient compte de la mise de euros on obtient alors un gain de,. 7. bilités

7 d. Si on mise euros à un jeu simple sans multiplicateur, l espérance de gain est,77 d après la question. Le jeu avec multiplicateur semble donc plus intéressant. Si Coline choisit le dé A et Lucas le dé C, alors Lucas a une probabilité de gagner égale à 7 et il a une probabilité de perdre égale à. La probabilité de match nul est. Si Coline choisit le dé B alors Lucas choisit le dé A. Dans ce cas les probabilités de gagner de perdre et de match nul sont les mêmes que dans la situation précédente. Si Coline choisit le dé C alors Lucas choisit le dé B. Mêmes résultats que dans les situations précédentes. REMARQUE Cet exemple montre que le joueur qui a l initiative n est pas nécessairement avantagé. NOTE Dans le spécimen et certains manuels, à la question., il faut lire :, questions, et non,.. 7 questions au maximum ; =,7 questions en moyenne.. questions =,. +, car un groupe de nombres nécessite une question complémentaire pour deviner le nombre.. L espérance de gain pour Killian est p ( p) = p.. Si l espérance est nulle p =. D où p =. Killian a donc moins de chance de gagner ( chance sur ) que Charly ( chances sur ).. L espérance de gain pour Killian est p ( p) = p. L espérance est nulle d où p =. Killian a une chance sur de gagner et Charly chances sur. REMARQUE Dans un jeu équilibré, le joueur qui possède la plus grande fortune a une probabilité de gagner plus importante...,,77. a. La loi de X est donnée par le tableau suivant : X,,,,, X,,,,, b. E(X) =,. 7. a. La probabilité de gagner est sur un numéro, 7 si on mise 7 si on mise sur «pair» ou «impair» ou sur une couleur, si on mise sur une 7 douzaine. b. L espérance de gain est si on mise sur un 7 numéro, si on mise sur «pair» ou «impair» ou 7 sur une couleur, si on mise sur une douzaine. 7. Il est moins défavorable au joueur de parier sur la parité, la couleur ou la douzaine.. Le jeu est désavantageux. La probabilité de gagner est.. L espérance de gain est + ( ) =.. a. Si une face non marquée sort on perd deux euros, sinon le gain et la perte s annule, d où l espérance : + ( ) =. b. La probabilité de gagner est nulle. c. La probabilité de perdre est égale à.. Les deux techniques de jeu conduisent à la même espérance, mais la seconde stratégie n a aucun intérêt car on est sûr de ne pas gagner!. a. b. 7. bilités

8 . La loi de probabilité du gain est donnée par le tableau suivant : Gain Gain 7. a. L espérance de gain de Tatiana est ducats.. a. Si l arrêt du jeu s effectue au e lancer, l espérance de gain est ducats. b. Anton peut perdre = 7 ducats.. Une somme infinie.. a.... b. L espérance de gain est nulle. c. 7. bilités