Devoir surveillé 2 Stockage de l'énergie électrique

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1 Devoir surveillé 2 Stockage de l'énergie électrique Durée : 2h Samedi 13 octobre Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. de lui. Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de vérier que l'erreur ne vient pas LES CALCULATRICES SONT AUTORISÉES. Le sujet comporte 2 exercices indépendants.

2 1 Batterie d'accumulateurs Une batterie au plomb est un ensemble de six accumulateurs (cellules électrochimiques plomb-acide sulfurique) raccordés en série et réunis dans un même boîtier. Une batterie possède un caractère générateur durant sa décharge et un caractère récepteur durant sa charge (conversion réversible entre énergie électrique et énergie chimique). Ce type de batterie est largement utilisé dans l'industrie, dans l'équipement des véhicules automobiles ou pour stocker de l'énergie produite par intermittence (énergie solaire ou éolienne). 1.1 Étude d'un accumulateur On ne s'intéresse pour le moment qu'à un seul des six accumulateurs de la batterie. Par dénition, sa tension à vide E accu est la tension à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant. On donne ci-dessous (gure 1) la courbe représentant la tension à vide d'un accumulateur en fonction de son pourcentage de charge. Lorsque l'accumulateur débite un courant I non nul, la tension U à ses bornes devient inférieure à sa tension à vide. On donne ci-dessous (gure 2) la courbe représentant la tension U aux bornes d'un accumulateur chargé à 50% en fonction du courant I qui le traverse en convention générateur. 2/6 October 21, 2018

3 Dans cette partie, la charge de l'accumulateur étudié sera constamment comprise en 20% et 90%. 1.1 Un accumulateur est-il un dipôle linéaire ou non, actif ou passif, symétrique ou polarisé (justier les réponses)? 1.2 Justier que l'on puisse modéliser l'accumulateur par l'association en série d'une source idéale de f.é.m. constante E accu et d'un résistor de résistance r accu et donner la représentation de Thévenin équivalente à un accumulateur. Exprimer alors la tension à ses bornes U en fonction de E accu,r accu et I l'intensité du courant qui le traverse en convention générateur. 1.3 Déterminer graphiquement les valeurs numériques de E accu et r accu. 1.2 Caractéristiques de la batterie La batterie étudiée comporte un ensemble de six accumulateurs identiques à celui étudié précédemment. 1.4 Comment doit-on associer ces six accumulateurs de façon à obtenir une batterie de tension à vide E bat maximale? 1.5 Donnez la représentation de Thévenin équivalente à la batterie alors constitué. On précisera la valeur de E bat et celle de r bat, la résistance interne de la batterie. Quel est le nom de cet ingénieur dont le théorème éponyme énonce qu' un réseau électrique linéaire vu de deux points est équivalent à un générateur de tension parfait dont la force électromotrice est égale à la diérence de potentiels à vide entre ces deux points, en série avec une résistance égale à celle que l'on mesure entre les deux points lorsque les générateurs indépendants sont rendus passifs. De quelle école est-il diplômé? 1.3 Charge de la batterie On étudie maintenant la "charge" d'une batterie initialement complètement déchargée (pourcentage de charge nul), on considère alors E bat = 0. Au fur et à mesure de la charge E bat augmentera. De façon à eectuer la charge, on utilise une alimentation électrique modélisée par un générateur de force électromotrice E = 16 V constante et de résistance interne négligeable. 3/6 October 21, 2018

4 On réalise le montage représenté gure 3 ci-dessous : on a placé deux résistors de résistances respectives R 1 = 2, 0 Ω et R 2 = 5, 0 Ω pour contrôler la charge de la batterie. 1.6 Au début de la charge, la batterie est totalement déchargée, on considère alors E bat = 0 V. À quel dipôle passif la batterie est-elle alors équivalente? En déduire, par la méthode de votre choix, la valeur i 0 de l'intensité i du courant la traverse. Faire l'application numérique. 1.7 Lorsque E bat n'est pas nul, c'est-à-dire en cours de charge, montrer, par la méthode de votre choix, que i = ER 2 (R 1 + R 2 )E bat (R 1 + R 2 )r bat + R 1 R Pour quelle valeur de E bat l'intensité i s'annule-t-elle? D'après le graphe de la gure 1, quel sera alors le pourcentage de charge des accumulateurs de la batterie? 1.9 On souhaite que i s'annule lorsque la batterie est chargée à 100 %. Quelle sera alors la valeur de E bat? On conserve R 1 = 2, 0 Ω. Quelle valeur numérique faut-il maintenant donner à R 2? On cherche à estimer la durée de la charge ainsi que le rendement de cette charge. Pour cela, on va idéaliser la courbe représentant la tension à vide en fonction de son pourcentage de charge : 1.10 Sur la batterie, on lit qu'elle peut stockée une charge q = 50 A h. Déduire de la courbe et des résultats précédent la durée qu'il faut pour charger la batterie à 100%. Faire l'application numérique. 4/6 October 21, 2018

5 1.11 Déterminer l'expression de la puissance dissipée par eet Joule dans l'ensemble du circuit de charge. En déduire l'énergie dissipée par eet Joule pendant la durée de la charge. Faire l'application numérique On dénit le rendement de la charge de la façon suivante ρ = Énergie stockée dans la batterie Énergie fournie par le générateur. Donner l'expression du rendement et calculer sa valeur. 2 Utilisation d'un condensateur De façon à utiliser un système de stockage plus "portable" que la batterie étudiée précédemment, on décide d'utiliser un condensateur de capacité C élevée. Ce condensateur réel comporte des éléments résistifs que l'on modélisera par une résistance R f dit "résistance de fuite" placée en parallèle avec C (gure 4). On donne : C = 100 µf et R f = 10 MΩ. On considèrera le condensateur comme initialement complètement déchargé. 2.1 Charge d'un condensateur réel à travers un résistor On place un interrupteur K, une résistance R = 10 Ω et le condensateur réel de capacité C et de résistance de fuite R f en série aux bornes d'un générateur de tension idéal de force électromotrice constante E = 12 V (gure 4). À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K. 2.1 Déterminez la valeur u C (0 + ) et u C ( ) de la tension u C (t) respectivement juste après la fermeture de K et au bout d'un temps très long (inni). Justiez vos réponses (sans utiliser de calcul diérentiel). 2.2 Même question pour i, l'intensité du courant qui traverse R : on donnera i(0 + ) et i( ). 2.3 On se place à t Etablir l'équation diérentielle à laquelle obéit u C (t) sous la forme : du C dt + u C τ Expliciter la quantité τ en fonction de R, R f et C. = E RC 5/6 October 21, 2018

6 2.3.2 En déduire l'expression de la tension u C (t) pour t Tracez l'allure de la courbe représentative de la fonction u C (t). On fera apparaître la tangente à l'origine et l'asymptote. 2.4 Exprimez l'énergie E C ( ) stockée par le condensateur lorsque sa charge est terminée en fonction de C, R, R f et E. Calculer numériquement E C ( ). 2.5 Quelle est la puissance dissipée par eet Joule dans le condensateur réel lorsque sa charge est terminée? Faites l'application numérique pour R f = 10 MΩ. Commentez. 2.6 On déconnecte le condensateur. En combien de temps sera-t-il déchargé? 6/6 October 21, 2018