FONCTION LINEAIRE & FONCTION AFFINE. fonction linéaire a x

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1 FONCTION LINEAIRE & FONCTION AFFINE 3 e I. Fonction linéaire a désigne un nombre relatif. Définition La fonction qui, à tout nombre x, associe le produit de a par x est appelée fonction linéaire de coefficient a. x fonction linéaire a x produit de a par x Dans la suite, f désigne une fonction linéaire. Notation : f : x ax g : x -5x g est une fonction linéaire de coefficient -5. Images particulières d une fonction linéaire f(0) = 0 et f(1) = a Cas particulier de fonction linéaire si a = 0, f : x 0 est la fonction nulle

2 Tout nombre y admet, par une fonction linéaire non nulle, un unique antécédent (qui est ). Application au calcul d un antécédent par une fonction linéaire : On se donne la fonction linéaire suivante : Déterminer l antécédent de 25 par f. f : x x On résout l équation : f(x) = 25 Elle équivaut à : x = 25-5x = 25 2 x = = est l antécédent de 25 par f. L image de x par une fonction linéaire de coefficient a est proportionnelle à x. a est alors le coefficient de proportionnalité. Exemples : On se donne la fonction linéaire suivante : f : x 1,6 x La fonction f est, par définition, une fonction linéaire de coefficient 1,6. Le nombre f(x) est proportionnel à x. Le coefficient de proportionnalité est 1,6.

3 (inspiré du brevet - Asie / Juin 2007) Au cours d une embauche pour la cueillette des pêches, on propose à un ouvrier agricole la formule de salaire suivante : x désignant le nombre de tonnes de pêches cueillies, le salaire s(x) en de cet ouvrier est défini par : s(x) = 80 x Le salaire proposé à cet ouvrier est-il proportionnel au nombre de tonnes de pêches cueillies? La fonction s est, par définition, une fonction linéaire de coefficient 80. L image de x par cette fonction s est donc proportionnelle à x et le coefficient de proportionnalité est 80. Le salaire proposé est donc bien proportionnel au nombre de tonnes de pêches cueillies. A toute situation de proportionnalité on peut associer une fonction linéaire. Pour la réalisation de cookies, la quantité de farine à prévoir est proportionnelle au nombre de personnes qui en mangeront. On sait que 250g de farine sont nécessaires dans la préparation de cookies pour 4 personnes. Définir la fonction f permettant de déterminer la masse de farine à prévoir en g en fonction du nombre de personnes qui mangeront des cookies. On est dans une situation de proportionnalité donc la fonction f recherchée est linéaire et est donc définie par : f(x) = ax où a est le coefficient de proportionnalité à déterminer. On sait que f (4) = 250. On résout donc l équation d inconnue a : a 4 = 250 qui équivaut à : = a = 62,5 La fonction f recherchée est donc définie par f(x) = 62,5 x

4 II. Fonction affine a et b sont deux nombres relatifs. Définition La fonction qui, à tout nombre x, associe la somme du produit de a par x et de b est appelée une fonction affine. x fonction affine a x + b somme du produit de a par x et de b Dans la suite, f désigne une fonction affine. Notation : f : x ax + b Exemples : g: x x + 1 g est une fonction affine (a = et b = 1) h: x 3x 2 h est une fonction affine (a = 3 et b = -2) Images particulières d une fonction affine Cas particuliers de fonction affine f(0) = b et =0 est la solution de l équation f(x) = 0. si a = 0, f : x b est une fonction constante. si b = 0, f : x ax est une fonction linéaire de coefficient a.

5 Tout nombre y admet, par une fonction affine, un unique antécédent (qui est ) Remarque : en particulier, est l antécédent de 0 par une fonction affine. Application au calcul d un antécédent par une fonction affine : On se donne la fonction affine suivante : f : x 7x 5 Déterminer l antécédent de 16 par f. On résout l équation : f(x) = 16 Elle équivaut à : 7x 5 = 16 7x = = =3 3 est l antécédent de 16 par f. On NE peut PAS associer une situation de proportionnalité à une fonction affine non linéaire (cas où b 0). En effet, l image de 0 par une fonction affine non linéaire est égale à b donc non nulle. (inspiré du brevet - Pondichéry / Avril 2010) Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Son offre est la suivante : x désignant le nombre de morceaux de musique téléchargés, le prix t(x) en comprenant l abonnement en fonction du nombre de morceaux téléchargés, est défini par : t(x) = 0,5 x Le prix est-il proportionnel au nombre de morceaux téléchargés? La fonction t est par définition une fonction affine non linéaire. L image de x par t n est donc pas proportionnelle à x. Le prix n est pas proportionnel au nombre de morceaux téléchargés.

6 III. Représentation graphique d une fonction linéaire a désigne un nombre relatif. Dans un repère, la représentation graphique d une fonction linéaire de coefficient a est la droite passant par l origine du repère et, en particulier, par le point de coordonnées (1 ; a). On se donne f la fonction linéaire de coefficient 2, soit f : x 2x. C f On note C f sa courbe représentative dans le repère ci-contre. Il s agit de la droite passant : - par l origine du repère - par le point A de coordonnées (1 ; 2) Vocabulaire La représentation graphique d une fonction linéaire de coefficient a est appelée la droite représentative de cette fonction. a est appelé le coefficient directeur de la droite représentative de cette fonction. Conséquence : la droite représentative d une fonction linéaire peut aussi se noter (d), (d1), (d ), etc. 2 est le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction linéaire de coefficient 2 de l exemple précédent.

7 IV. Représentation graphique d une fonction affine a et b désignent deux nombres relatifs. Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine x : ax + b est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b) et le point de coordonnées (1 ; a + b). On se donne f la fonction affine : C f f : x -3x + 1. On notec f sa courbe représentative dans le repère ci-contre. Il s agit de la droite passant : - par le point M de coordonnées (0 ; 1) - par le point N de coordonnées (1 ; ) c est-à-dire (1 ; -2). Vocabulaire La représentation graphique de la fonction affine x ax + b est appelée la droite représentative de cette fonction. a est appelé le coefficient directeur b est appelé l ordonnée à l origine de la droite représentative de cette fonction. -3 est le coefficient directeur et 1 est l ordonnée à l origine de la droite représentative de la fonction affine f : x -3x + 1 de l exemple précédent.

8 V. Interprétation graphique du coefficient directeur de la droite représentative d une fonction linéaire ou affine On cherche à exprimer f(x + 1) en fonction de f(x) suivant que f soit une fonction linéaire ou une fonction affine. f est une fonction linéaire de coefficient a f est la fonction affine f : x ax + b 1 1! 1! 1! Dans les deux cas, on remarque que, pour tout nombre x, On en déduit la propriété suivante : A partir d un point de la droite représentative de la fonction f, si on «avance» d une unité en suivant l axe des abscisses et si on : o «monte» de a unités si a > 0 o «descend» de a unités si a < 0 en suivant l axe des ordonnées alors on est placé en un deuxième point appartenant à cette droite. Dans le repère ci-contre, est tracée la droite représentative d une fonction linéaire dont le coefficient directeur a est positif. A partir du point A appartenant à la droite, on avance d une unité suivant l axe des abscisses puis on monte de a unités en suivant l axe des ordonnées. On se place alors en un deuxième point appartenant à cette droite, qu on a appelé B. C f

9 VI. Proportionnalité des accroissements f désigne une fonction linéaire ou une fonction affine. a désigne le coefficient directeur de la droite représentative de cette fonction. Propriété Les accroissements entre les images par f de deux nombres sont proportionnels aux accroissements entre ces deux nombres. Le coefficient de proportionnalité est a. Autrement dit, pour tous nombres x1 et x2, on a a = "# $"# % # $ # % Illustration : droite représentative d une fonction affine

10 Application : calcul du coefficient directeur de la droite représentative d une fonction affine g est une fonction affine définie par les deux images suivantes : g(2) = 3 et g(-1) = -3. Calculer le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction g. a désigne le coefficient directeur recherché. On a, d après la propriété sur la proportionnalité des accroissements finis : a = && a = a = ' a = ( Le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction g est 2. Remarque : on peut en déduire l ordonnée à l origine de la droite représentative de la fonction g : b désigne l ordonnée à l origine recherchée : g(2) = 3 et g(2) = a 2 + b g(2) = b g(2) = 4 + b C g ce qui revient à résoudre l équation d inconnue b : 4 + b = 3 qui équivaut à : b = 3 4 b = -1 L ordonnée à l origine de la droite représentative de la fonction g est -1. Remarque : On peut ainsi obtenir pour tout nombre x, l expression de g(x) de la fonction g. La fonction g est définie pour tout nombre x par g(x) = ax +b c est-à_dire g(x) = 2x 1 dont la droite représentative, notée C g, est représentée dans le repère cicontre.