COORDINATION DE CHAINES LOGISTIQUES

Transcription

1 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» COORDINATION DE CHAINE LOGITIQUE UNE APPROCHE PAR LA THEORIE DE JEUX Yase ARDA LAA-CNR 7 Avenue du Colonel Roe 377 Toulouse Cede 4 FRANCE yarda@laasfr Jean-Claude HENNET LIA 6 avenue Notre-Dame-du-La 49 Angers FRANCE ennet@laasfr REUME : Les aînes logistiques étudiées sont onstituées de différentes entrerises qui interviennent dans le roessus de fariation d une famille de roduits Pour aque entrerise il s agit rinialement d otimiser sa olitique de rodution et d arovisionnement ar raort à ses rores ritères éonomiques Puisque les ojetifs des ateurs sont souvent antagonistes le aratère distriué de la struture déisionnelle eut onduire à une erte d effiaité our l ensemle de la aîne et néessite des méanismes de oordination ermettant d améliorer les erformanes gloales tout en limitant les risques enourus ar aun des artenaires Dans et artile nous analysons un maillon élémentaire à deu niveau d une aîne logistique omosé d un roduteur onfronté à une demande aléatoire et d un fournisseur qui gère sa rodution et son stok de roduit intermédiaire Nous étudions les effets des déisions loales sur les délais de livraison et nous roosons un ontrat de oordination qui ermet d amener les erformanes du système distriué vers les erformanes téoriques du modèle entralisé MOT-CLE : Caîne logistique Files d attente Gestion de stoks Téorie des jeu INTRODUCTION La rolématique de gestion des réseau de rodution de iens et de servies susite de nomreu travau de reere qui visent à analyser les situations réelles et leurs éventuels dysfontionnements our rooser des solutions effiaes et erformantes grâe à des formulations et à des teniques adatées Au niveau international de nomreu rojets et réseau de reere ont été lanés omme ar eemle l ation euroéenne «CO-DENET» Collaorative Demand and uly Networks our mieu maîtriser l organisation informationnelle et logistique des réseau d entrerises elon la terologie atuelle les aînes logistiques oordonnent les séquenes d ativités néessaires au fontionnement de toute une filière industrielle : l arovisionnement en omosants et matières remières la rodution de roduits semi-finis l assemlage de roduits finis la livraison au lients Les évolutions mondiales vers une lus grande séialisation géograique et industrielle des ativités éonomiques et vers une meilleure intégration informationnelle au sein de aque filière onourent à l émergene de nouveau aradigmes organisationnels omme les réseau de déisions distriuées et de nouveau modes de oordination ar la négoiation stratégique et oérationnelle et les ontrats interentrerises L étude des réseau de déisions distriuées doit se faire En mise à disosition de son oste au LAA-CNR 7 avenue du Colonel Roe 377 Toulouse Cede 4 Frane à différents niveau de détail et à différentes éelles de tems afin de ouvrir les dimensions stratégiques tatiques et oérationnelles Cette étude rivilégie la dimension tatique ar l analyse des modalités d éange de roduits entre deu entrerises adjaentes au sein d une aîne logistique Par ommodité de terologie l entrerise aval sera aelée «le roduteur» et l entrerise amont «le fournisseur» Par leurs ativités de transformation et/ou d assemlage es deu entrerises ontriuent à l augmentation de la valeur des roduits de la filière Elles disosent en outre de stoks qui leur ermettent de ontrôler leurs rodutions et leurs livraisons Dans les systèmes de rodution ar antiiation le fariant roduit des iens avant d avoir reçu les ommandes du lient Ainsi des stoks sont réés à artir desquels les lients vont être servis Bien que souvent oûteu les stoks euvent être onsidérés omme néessaires à la rédution des délais et à la roustesse de la rodution vis-à-vis des irrégularités et des aléas en interne ou en eterne Les stoks d entrée servent rinialement à asorer les délais d arovisionnement les stoks intermédiaires ermettent d équilirer les flu fae à la disersion des durées oératoires en artiulier en as de annes de maines Les stoks de sortie ermettent de lisser les variations de la demande et de réduire le tems de réonse au lients L eistene et l utilisation de ressoures de rodution et de stokage génèrent des oûts our le fournisseur mais euvent assurer au roduteur un arovisionnement satisfaisant en quantité et en délai Pour aque

2 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» entrerise artiulière il s agit rinialement d otimiser sa olitique de rodution et d arovisionnement ar raort à ses ritères loau Dans le ontete de la aîne logistique ei se traduit ar une otimisation individuelle souvent effetuée d une façon onurrentielle Pour omrendre et maîtriser l organisation des transations entre artenaires d une aîne logistique il est don essentiel de rerésenter les antagonismes entre leurs ojetifs éonomiques ainsi que les éventuelles relations de doane entre les entrerises onernées L outil matématique rivilégié our ette analyse est la téorie des jeu Cette téorie ermet en effet de révoir les omortements d ateurs rationnels dans différents ontetes d interation et d information : situations de onflit de doane ou de ooération information artielle ou omlète L ojetif de e travail est d eloiter la aaité de révision et d antiiation de la téorie des jeu our évaluer les erformanes gloales du système et leur dégradation due à la déentralisation des déisions Nous montrons en outre que ette dégradation eut être omensée en adatant les modalités et les aramètres des ontrats liant les différents artenaires La deuième setion de et artile est onsarée au aliations de la téorie de jeu à la gestion des aînes logistiques La troisième setion dérit le modèle élémentaire d un maillon d une aîne logistique omrenant un roduteur et son fournisseur et déveloe les résultats analytiques assoiés Nous terons ar des onlusions et ersetives THEORIE DE JEUX POUR LA GETION DE CHAINE LOGITIQUE La téorie des jeu est un domaine sientifique fondé sur un ensemle d outils analytiques ermettant de omrendre ertains énomènes oservés quand lusieurs entres de déision interagissent en artiulier lorsqu ils ont des intérêts onflituels Ces outils sont effiaes our analyser les situations dans lesquelles la déision d un ateur a une influene sur la fontion d utilité des autres ateurs du jeu La téorie des jeu a our yotèses : a que les ateurs les joueurs sont rationnels est-à-dire qu ils rennent leurs déisions dans le ut de maimiser leur satisfation et que les ateurs rennent en omte l information dont ils disosent sur les stratégies des autres ateurs Pour une introdution à la téorie des jeu le leteur eut onsulter le ours d Osorne et Ruinstein 994 Il eiste lusieurs formes de jeu qui indiquent les règles fiées ar les joueurs en termes de suession d étaes du jeu La forme normale ou «jeu statique» se déroule en une seule étae dans laquelle les joueurs oisissent leurs stratégies simultanément Les formes etensives ou «jeu dynamiques» se déroulent en deu ou lusieurs étaes dans lesquelles les joueurs oisissent leur stratégie simultanément ou suessivement dans un ordre rédéteré En utilisant les notations de Caon et Netessine 4 un jeu statique est un tule <N X i π i > où N est l ensemle des joueurs ave ardn n et our aque joueur i Є N X i est l ensemle de stratégies disoniles π i n est la fontion d utilité La fontion d utilité de aque ateur est son gain à la fin du jeu qui est déteré selon la stratégie qu il a adotée ainsi que les stratégies adotées ar les autres joueurs Dans un jeu de n joueurs le joueur «i» ere une stratégie i Є X i qui maimise sa fontion d utilité π ar raort i i i au stratégies adotées ar les autres joueur notées i Don la meilleure stratégie du joueur «i» est définie ar : i i arg ma π i i i i L équilire de Nas aratérise l état ermanent du jeu statique L ensemle de stratégies est un équilire de Nas si n i est la meilleure stratégie our tous les joueurs i Є N : i i i arg ma π i i i i n Pour arriver à et équilire aque joueur i rédit les stratégies des autres joueurs i et oisit i en onséquene il eiste un équilire qui satisfait les onditions auun joueur n aura intérêt à dévier unilatéralement de et équilire elon ette définition deu rolèmes euvent se oser : la non-eistene d un équilire et l eistene d équilires multiles L eistene d équilires multiles eut générer des rolèmes de oérene ar les différents ateurs euvent oter our des équilires différents e qui eut aoutir à une solution qui n est as un équilire de Nas Il eiste lusieurs travau qui analysent dans le adre de jeu statiques la ométition entre les entrerises d une même aîne logistique Caon et Zikin 999 ont étudié une aîne logistique à deu niveau onstituée d une art d un détaillant ayant une demande aléatoire stationnaire et d autre art de son fournisseur Les deu entrerises ont des délais d arovisionnement ertains La gestion de stok dans les entrerises est aomlie suivant la olitique de stok noal dans laquelle une ommande qui ramène la osition de stok à un niveau rédéteré «i» est effetuée à aque ériode Les ateurs ossèdent des oûts de stokage loau et ils artagent les oûts de ruture de stok du détaillant Le rolème de aque ateur est de trouver le niveau «i» aelé niveau de stok noal qui imise son oût moyen Les auteurs ont montré que e jeu statique ossède un équilire de Nas unique qui ne orresond as à la solution otimale du système entralisé Ils ont roosé les ontrats de oordination aratérisant les aiements de transfert linaires qui euvent ramener le système à ses erformanes otimales Caon a analysé un rolème similaire où il y a lusieurs détaillants identiques et un seul fournisseur La demande

3 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» arrive ez les détaillants suivant un roessus de Poisson La gestion de stok dans les entrerises est aomlie suivant la olitique RQ dans laquelle une ommande de quantité «Q» est assée lorsque la osition de stok devient inférieure au niveau «R» Les stratégies des ateurs sont les oints de ommande «R i» Dans e jeu entre les détaillants et le fournisseur il eiste des équilires multiles qui ne orresondent as à la solution otimale du système entralisé Ceendant ave un aiement de transfert entre les ateurs la solution otimale du système gloal eut être otenue omme un équilire de Nas Les jeu sous la forme etensive sont eauou moins traités dans les travau s intéressant au aînes logistiques à l eetion des jeu en deu étaes Les jeu en deu étaes suessives aelés jeu de takelerg sont ien indiqués our modéliser les interations entre les entrerises dans le as où une entrerise est doante La situation de doane est très fréquente dans les aînes logistiques ar eemle our un donneur d ordre fae à ses fournisseurs Dans un jeu de takelerg le remier joueur aelé aussi le meneur agit en remier et oisit une stratégie armi l ensemle de ses stratégies Le deuième joueur le suiveur oserve e oi et réond en adotant une stratégie dans l ensemle de ses stratégies ossiles Le jeu de takelerg définit une relation de fore non équitale en faveur du meneur ar le meneur eut imoser l équilire qui lui onvient en agissant en remier L équilire de takelerg eut être erimé ar les relations Caon et Netessine 4 : arg ma et π Parmi les travau qui se sont intéressés au jeu de takelerg Lariviere et Porteus ont étudié une aîne logistique à deu niveau où le fournisseur le meneur déide du ri de vente et le détaillant le suiveur onfronté à une demande aléatoire détere la quantité à ommander qui maimise son esérane de rofit Dans les travau réédents les stratégies des différents ateurs ainsi que leurs fontions d utilité sont suosées onnues de tous les joueurs Ceendant dans les aînes logistiques il est fréquent de trouver des entrerises énéfiiant d une meilleure révision que d autres ou d une onnaissane suérieure des fontions d utilité de leurs artenaires La téorie de jeu traite e tye de situations dans le adre de jeu ave information asymétrique Dans ette atégorie Caon et Larivière se sont intéressés à un modèle dans lequel le roduteur le meneur qui fait fae à une demande aléatoire roose un ontrat qui est onstitué de quantités maimum et imum de ommande et du aiement de transfert orresondant i le fournisseur aete e ontrat il déide de la aaité de rodution qu il va mettre en oeuvre Dans e jeu les aramètres du ontrat traduisent les stratégies du roduteur Les auteurs ont montré que dans le as d informations omlètes le roduteur eut gagner le rofit du système entralisé en laissant le fournisseur ave un rofit nul Dans le as d informations asymétriques où le roduteur a une meilleure onnaissane de la révision de la demande le roduteur a tendane à transmettre des révisions fausses our otenir une aaité de rodution lus élevée Corett et Tang ont traité un système où le fournisseur offre un ontrat à son roduteur et le roduteur déide du ri de vente Les ontrats onstitués d un ri d aat et d un aiement fie sont analysés dans les as d informations omlètes et d informations asymétriques où le oût unitaire de rodution ez le roduteur est une variale aléatoire our le fournisseur Le oi des aramètres de ontrat est ruial dans les analyses des aînes logistiques déentralisées Les ontrats renforent les engagements des artenaires ar artage des risques des rofits ou des oûts à travers un aiement de transfert entre les ateurs et motivent les ateurs à oter our les ations otimales du système entralisé Un ontrat oordonne la aîne logistique si son aliation ositionne l équilire du système déentralisé à la solution otimale du système entralisé Caon 3 Le ri d aat les remises sur quantité et les suventions/énalités sont des eemles de aramètres de ontrat utilisés dans le ut de oordonner les aînes logistiques déentralisées 3 EVALUATION DE PERFORMANCE D UNE CHAINE LOGITIQUE A DEUX NIVEAUX Dans et artile nous analysons une aîne logistique à deu niveau qui est onstituée de deu étages de rodution/stokage gérés ar deu ateurs différents : un roduteur ayant une demande aléatoire d un roduit fini et son fournisseur de roduit intermédiaire La demande arrive ez le roduteur à aque fois en quantité unitaire et selon un roessus de Poisson ayant le tau Les tems de fariation du roduit intermédiaire ez le fournisseur et du roduit fini ez le roduteur sont des variales aléatoires à distriution de roailité eonentielle ayant resetivement les tau µ et µ La gestion de stok dans les entrerises est aomlie suivant la olitique de stok noal elon ette olitique le stok de l entrerise de niveau «i» iє{} ontient une quantité «i» de roduit à l instant initial Quand la demande arrive elle est satisfaite s il y a des roduits dans le stok sinon elle est retardée L arrivée d une demande délene en interne un ordre de fariation unitaire et en même tems une ommande unitaire our l entrerise de niveau «i-» Par yotèse l entrerise de niveau est un stok infini de matière remière et le délai d arovisionnement du fournisseur est négligeale ous es yotèses les matières remières sont toujours disoniles Nous modélisons e système en utilisant le formalisme des files d attente Figure où l évolution du système est dérite en utilisant des variales d état en régime

4 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» Fournisseur Produteur I I P µ µ B P B Arrivées Figure Modélisation du système ar les files d attente ermanent : our aque niveau i iє{} P i rerésente le nomre de ommandes en attente de fariation ;K i le nomre de ommandes en attente de fariation et en fariation P i lus l unité éventuellement en ours de fariation; I i le niveau de stok ; B i le niveau de ruture de stok elon la olitique de stok noal la osition de stok osition de stok ommandes attendues quantité en stok demandes retardées reste onstante au niveau «i» Don i K i I i B i en régime ermanent Par onséquent I i i -K i et B i K i - i où dénote ma Nous ouvons mentionner lusieurs travau qui analysent les systèmes ave demande et tems de fariation aléatoires en s auyant sur la téorie des files d attente Caldentey et Wein 3 ont étudié un rolème simlifié dans lequel le niveau de stok noal est égal à zéro ez le fournisseur et le tems de fariation est négligeale ez le roduteur Ils ont montré qu un équilire de Nas eiste quand le fournisseur ontrôle le tau de rodution «µ» et le roduteur le niveau de stok noal Jemai 3 a analysé un système ave tems de fariation du roduteur négligeale et où les joueurs ontrôlent leurs niveau de stok noau Il a montré qu un équilire Nas ou takelerg eiste sous différentes yotèses et il a roosé les ontrats de oordination Guta et Weerawat 5 se sont intéressés à un système où le niveau de stok noal est égal à zéro ez le roduteur Dans ette étude nous nous intéressons à un système lus général ave > > et des tems de fariation non négligeales Nous définissons un jeu de takelerg où le roduteur le meneur roose un ontrat fiant son ri d aat en fontion du délai d arovisionnement oservé Nous suosons que le niveau de stok noal du roduteur est donné et les variales de déision du roduteur sont les aramètres de ontrat Le fournisseur reçoit le ontrat roosé et déide de son niveau de stok noal Notons enfin selon une yotèse lassique de as limite our un maré arfaitement ométitif que le fournisseur aete un ontrat si e ontrat lui ermet d otenir un rofit suérieur ou égal à zéro Cette yotèse n est as limitative dans la mesure où les résultats euvent être failement transosés au as où le seuil d aetation du ontrat n est lus nul et orresond à une valeur de rofit imale 3 Prolème du fournisseur ous l yotèse qu il n y a as de énurie de matières remières nous ouvons modéliser le système de fariation ez le fournisseur omme une file d attente M/M/ ave tau d utilisation /µ qui doit satisfaire la ondition < ous es onditions le nomre de ommandes dans le système de fariation K est égal au nomre de lients dans la file M/M/ µ La roailité d avoir k ommandes dans le système de fariation est définie omme suit : k P k Pr{ K k} En utilisant ette définition le niveau moyen de stok E[I ] et le niveau moyen de ruture de stok E[B ] sont alulés ar les eressions : k Pk k k Pk k E [ I ] E [ B ] La fontion d utilité du fournisseur est la différene entre son revenu moyen de vente et ses oûts moyens de rodution et de stokage Caque unité dans le stok induit un oût de stokage ar unité de tems et aque unité roduite induit un oût de rodution D autre art le revenu moyen de vente déend du ontrat roosé ar le roduteur Nous aelons e ontrat Il définit le ri d aat en fontion du délai d arovisionnement oservé noté «D» : D En suosant que le tems de transort entre le fournisseur et le roduteur est nul le délai moyen d arovisionnement du roduteur E[D ] déend du niveau de stok noal et du tems d attente dans la file M/M/ noté «W» :

5 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» E[ D ] Pr{ I } E[ W ] Pr{ K } E[ W ] / µ E[ B ]/ où ln Nous ouvons érire l esérane de aiement de transfert orresondant omme : E[ T ] E[ D ] E[ B ] Le rofit moyen du fournisseur s érit alors de la manière suivante : π E[ I ] E[ B ] - Dans la suite nous suosons que est une variale de déision ontinue stritement ositive La fontion d utilité du fournisseur est une fontion onave Guta et Weerawat 5 et la meilleure stratégie du fournisseur détere son niveau de stok otimal qui déend diretement de la énalité de délai d arovisionnement : 3 ln / ln ln Cette eression n est toutefois valale que sous la ontrainte > Cette ondition est naturellement vérifiée si : > ave ln On vérifie aisément que la ondition i-dessus est oérante ar our < < Dans le as > < la fontion π est déroissante our a valeur otimale est alors otenue our Notons aussi que en utilisant l équation 3 Le as eut don être elu dans la mesure où le roduteur ere à imoser > Proriété : Dans le jeu de takelerg entre le roduteur et le fournisseur le roduteur imose un ontrat ave > i le fournisseur aete e ontrat il installe le niveau de stok noal > qui lui ermet de maimiser son esérane de rofit : 4 ln / ln Dans la suite nous suoserons que le ontrat est aetale ar le fournisseur si son esérane de rofit maimisé n est as négative : π La ontrainte d aetailité du ontrat orresond don à la ondition suivante our tout > et our donné ar la relation 4 : ln ln 3 Prolème du roduteur Dans le système élémentaire étudié le roduteur utilise un roduit intermédiaire délivré ar le fournisseur our fariquer un roduit fini elon ette déendane quand le nomre de ommandes en attente dans le système de fariation du fournisseur «K» devient suérieur ou égal au niveau de stok noal une énurie de roduit intermédiaire est rovoquée ez le roduteur Cette énurie loque le système de fariation de roduits finis L évaluation eate de e système de fariation néessite l analyse de la aîne de Markov en tems ontinu orresondante en s auyant ar eemle sur des outils de simulation En effet omme l arrivée des roduits intermédiaires n est lus un roessus de Poisson dans le as où > l analyse eate devient omlee Afin de déveloer des résultats analytiques nous adotons la métode aroimative de Lee et Zikin 99 our analyser le système de fariation de roduits finis La métode aroimative de Lee et Zikin se ase sur l yotèse que l arrivée des roduits intermédiaire est un roessus de Poisson ayant le tau L attente rovoquée ar une énurie de roduit intermédiaire due au fournisseur est modélisée omme une oération sulémentaire ez le roduteur ette oération n étant eéutée qu ave une roailité égale à la roailité de ruture de stok ez le fournisseur Ce séma de fontionnement est rerésenté sur la Figure Cette yotèse nous ermet alors d érire K B N où N est le nomre de lients dans la file M/M/ µ Lee et Zikin définissent le tems de séjour des demandes dans le système de fariation «L» omme la somme du délai rovoqué ar le fournisseur «D» et du tems de séjour dans la file M/M/ «W»: L D W Pour aque étage de rodution i Є {} le tems de séjour dans la file M/M/ «W i» est une variale aléatoire qui suit une loi eonentielle ayant le tau µ i - Par la suite le tems de séjour de demandes dans le système de fariation du roduteur «L» eut être rerésenté ar une loi de tye ase Figure

6 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» Figure Rerésentation de L ar une loi de tye ase La roailité de énurie est { } Pr I En suosant nous ouvons érire la fontion de densité de roailité du tems de séjour «L» de la manière suivante : L e e f µ µ µ µ Le nomre de ommandes dans le système de fariation «K» étant égal au nomre de demandes arrivant endant le tems de séjour «L» nous ouvons otenir la roailité d avoir k demandes dans le système de fariation : { } Pr k k k k K P A artir de ette eression nous alulons le niveau moyen de stok et le niveau moyen de ruture de stok et nous alulons la fontion d utilité du roduteur omme suit : ] [ ] [ ] [ B E I E B E π où est le ri de vente le oût de rodution le oût de stokage et le oût de ruture de stok Le rolème du roduteur onsiste à trouver les valeurs otimales des aramètres du ontrat qui maimisent son rofit moyen et qui satisfont les deu ontraintes suivantes : la ontrainte de omatiilité d initation assurant que le fournisseur adote la stratégie désirée et la ontrainte de rationalité individuelle assurant l aetation du ontrat ar le fournisseur Le rolème du roduteur se formule alors ainsi : ma π sous les ontraintes ma arg > π et π En onnaissant la meilleure stratégie de gestion de stok du fournisseur 4 le rolème du roduteur devient : ma π > sous la ontrainte π Le Lagrangien de e rolème est : u u L π π Nous alulons la dérivée artielle du Lagrangien ar raort à : / u u L et nous otenons la valeur otimale du aramètre de Lagrange u qui satisfait la ondition d otimalité / L Don d arès la ondition néessaire d otimalité de Karus-Kun-Tuker le rofit du fournisseur est égal à zéro à l otimum e qui indique que le roduteur eut otenir le rofit total du système déentralisé en offrant : ln ln 5 Le rolème d otimisation restant onsiste à trouver la valeur otimale de maimisant la fontion π : ln ln π En offrant le ri moyen ] [ D E le roduteur ouvre les oûts moyens de stokage et de rodution du Pr{I > } µ - µ - Pr{I } Pase Pase

7 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» fournisseur Oservons aussi que la énalité de délai d arovisionnement sert à ontrôler le niveau de stok noal oit la fontion τ définie ar : τ Pour > la dérivée remière de la fontion π s érit : dπ d τ et la dérivée seonde : d π d ln 3 τ ln La fontion π est quasi-onave our > si τ > ous ette ondition la valeur otimale de est égale à τ et ette valeur est suérieure à Dans le as où τ la fontion π est déroissante our > La valeur otimale du rofit est alors otenue our et Ce as doit don être elu dans le adre de e ontrat dont le ut est d initer le fournisseur à garder un stok noal ositif On otient don la roriété suivante Proriété : Dans le jeu de takelerg entre le roduteur et le fournisseur si les aramètres du roduteur et du fournisseur vérifient la ondition τ > alors le roduteur offre le ontrat maimisant son esérane de rofit ave τ 6 Remarque : aant que la fontion τ est ositive et déroissante our ave τ et lim τ il eiste ma qui satisfait l égalité ma τ si Le ontrat ermet alors au roduteur d otimiser son rofit en limitant son stok noal à ma < Le niveau de stok noal du fournisseur est alors imosé à > 33 Calul des erformanes du ontrat Pour évaluer l effiaité gloale du ontrat nous analysons le rolème entralisé Le rofit moyen du système entralisé est : π π π Il déend seulement de la variale de déision La dérivée remière de la fontion π s érit : dπ ln τ d et la dérivée seonde : d π d τ ln La fontion π est onave si τ et déroissante si τ < otimale qui maimise π est : Don la valeur ma ln / ln τ ln On onstate que our τ > la valeur otimale est égale à d où la roriété suivante Proriété 3: Dans le jeu de takelerg entre le roduteur et le fournisseur le roduteur offre le ontrat maimisant son esérane de rofit En reevant e ontrat le fournisseur installe le niveau de stok noal Ce ontrat ermet au roduteur d otenir l esérane de rofit total du système entralisé en laissant le fournisseur ave une esérane de rofit nulle

8 6 e Conférene Franoone de MOdélisation et IMulation - MOIM 6 - du 3 au 5 avril 6 Raat- Maro «Modélisation Otimisation et imulation des ystèmes : Défis et Oortunités» 4 CONCLUION ET PERPECTIVE Cet artile a été onsaré à l analyse des interations entre un roduteur ayant une osition doante et son fournisseur Le ontrat qui a été roosé relie le ri d aat du roduteur au délai d arovisionnement oservé L aliation de e ontrat our les valeurs otimales de ses aramètres élève les erformanes gloales du système déentralisé au niveau de elles du système entralisé L etension atuellement à l étude onsidère le niveau de stok noal du roduteur omme une variale de déision sulémentaire Une question imortante est alors d étudier si les erformanes de la métode de modélisation aroimative utilisée ii en sont affetées A lus long terme notre défi sera d analyser les modèles similaires dans le ontete de jeu multi étaes Dans ette artie du travail la reere ortera sur l identifiation des ontrats dynamiques et la omaraison des résultats otenus en régime ermanent et en fontionnement dynamique REFERENCE Caon G P and P H Zikin 999 Cometitive and ooerative inventory oliies in a two-stage suly ain Management iene Caon G P tok wars: Inventory ometition in a two-eelon suly ain wit multile retailers Oerations Resear Caon G P and M A Lariviere Contrating to assure suly: ow to sare demand foreasts in a suly ain Management iene Caon G P 3 uly ain oordination wit ontrats Handooks in Oerations Resear and Management iene: uly Cain Management Nort-Holland Caon G P and Netessine 4 Game teory in suly ain analysis Handook of Quantitative uly Cain Analysis: Modeling in te ebusiness Era Kluwer 4 Caldentey R and L M Wein 3 Analysis of a deentralized rodution-inventory system Manufaturing and ervie Oerations Management 5-7 CO-DENET ation oordonnée euroéenne n site we tt://wwwodesnetolitoit/ Corett C J and C Tang Designing suly ontrats: ontrat tye and information asymmetry Quantitative models for suly ain management Kluwer Guta D and W Weerawat 5 uliermanufaturer oordination in aaitated two-stage suly ains Euroean Journal of Oerational Resear in ress Jemai Z 3 Modèles stoastiques our l aide au ilotage des aînes logistiques : l imat de la déentralisation Tèse de Dotorat Laoratoire Génie Industriel Eole Central Paris Frane Lariviere M A and E L Porteus elling to te newsvendor: an analysis of rie-only ontrats Manufaturing and ervie Oerations Management Lee Y J and P Zikin 99 Tandem queues wit lanned inventories Oerations Resear Osorne M J and A Ruinstein 994 A Course in Game Teory Te MIT Press