CORRIGÉ DES EXERCICES DU CHAPITRE 4 Partie 1

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1 GEL1516 Électrotechnique 1 CORRIGÉ DES EXERCICES DU CHAPITRE 4 Partie a) Circuit équivalent du transformateur référé au primaire: R 1 X 1 X I R 1 I 0.75 Ω 1 Ω 1 Ω 0.75 Ω 33.3 kω 5 kω b) Circuit équivalent du transformateur référé au secondaire: R 1 X 1 X I R 1 I Ω 0.01 Ω 0.01 Ω Ω R c X m Ω 50 Ω c) Le primaire est connecté à une source par une ligne de transport. Le secondaire est relié à une charge nominale (avec un facteur de puissance = 0.8 AR) Ligne I 1 I Charge Z li = (0.5j) Ω Le circuit équivalent réfléchi au primaire: A = 40 Z φ = 36.9 fp = 0.8 AR Ligne I R 1 eq Z li = (0.5j) Ω 1.5 Ω Ω I A = 400 Charge Z fp = 0.8 AR φ = 36.9 La tension de la source est donnée par la relation suivante: = ( j )I Z li I La tension est prise comme référence de phase: = 400/0 Le courant I est en retard de phase p/r à : I = 0.833/36.9 A La tension de la source est: = ( 0.5 j 1.5 j) =

2 GEL1516 Électrotechnique Diagramme vectoriel: I j4i I 4. Essai à vide: I co = 4.85 A co = 40 I c φ co = arcos(173/(40x4.85)) = 81.5 co = 40 P co = 173 W Le courant I c est: I c P co co I m 173 = = = 0.7A 40 I co = 4.85 A Le courant I m est: La résistance est: La réactance est: I m I co = I c = = 4.8A co 40 = = = Ω I c 0.7 co 40 = = = 50Ω I m 4.8 La résistance au primaire: La résistance au primaire: Essai en courtcircuit: = a = Ω = 33.33kΩ = a = Ω = 5kΩ = 0.83 A cc = 5 cc = 5 j P 1cc = 650 W φ 1co = arcos(650/(5x0.83)) = 53.1 La résistance est: P 1cc 650 = = 0.83 = 1.5Ω

3 GEL1516 Électrotechnique 3 La réactance est: cc ( ) = =.18Ω On peut partager en deux et pour obtenir la valeur de R 1, R, X 1 et X : R 1 = R = = 0.75Ω et X 1 = X = = 1.09Ω 4.3 On considère le tranformateur de l exercice 4.. Les paramètres du transformateur sont: 50 ka 400:40 60 Hz R 1 = 0.75 Ω R = Ω X 1 = 1.09 Ω X = Ω = kω = 5000 Ω a) Calcul du rendement du transformateur Cas 1: Pleine charge avec un facteur de puissance 0.8 AR La puissance délivrée à la charge est: P = x 0.8 = W Les pertes Cuivre sont mesurées dans le test en courtcircuit: P Cu = 650 W Les pertes Fer sont mesurées dans le test à vide: P Fe = 173 W Le rendement du transformateur dans ce cas est: P η = = = 0.98 P P Cu P Fe Cas : Demicharge avec un facteur de puissance 0.6 AR La puissance délivrée à la charge est: P = 5000 x 0.6 = W Les pertes Cuivre sont proportionnelles au carré du courant. À demicharge, le courant secondaire est égal à 0.5 fois le courant nominal. Par conséquent, les pertes Cuivre sont égales à ¼ des pertes à pleine charge: 650 P Cu = = 16.5 W 4 Les pertes Fer sont égales aux pertes nominales (car la tension n a pas changé): P Fe = 173 W Le rendement du transformateur dans ce cas est: P η = = = P P Cu P Fe b) Calcul du rendement maximal Le rendement du transformateur est maximal lorsque les pertes Cuivre sont égales aux pertes Fer. Les pertes Fer sont constantes car la tension demeure constante. Alors, la condition pour obtenir un rendement maximal est: P Cu = = P Fe = 173 W On déduit: = A Ce courant correspond à (10.74/0.833) = fois le courant nominal. La puissance apparente de la charge dans ce cas est: x A = 5800 A Avec un facteur de puissance égal à 1, le rendement maximal est: η( max) P 5800 = = = P P Cu P Fe On considère le tranformateur de l exercice 4.. Les paramètres du transformateur sont: 50 ka 400:40 60 Hz R 1 = 0.75 Ω R = Ω X 1 = 1.09 Ω X = Ω = kω = 5000 Ω Le courant nominal au primaire: (nom) = 50000/400 = A Le courant nominal au secondaire: I (nom) = 50000/40 = A Le secondaire alimente une charge nominale (50 ka) avec un facteur de puissance 0.8 AR. La tension

4 GEL1516 Électrotechnique 4 secondaire doit être 40. a) Calcul de la tension secondaire I Z I I I On prend comme référence de phase: = Le courant secondaire réfléchi au primaire I est égal à A. Il est en retard de phase par rapport à la tension d un angle φ égal à: φ = arccos( 0.8) = 36.9 La tension au primaire est donnée par: = ( j )I = 400 ( 1.5 j.18) ( ) = b) Calcul du rapport de transformation Si la tension primaire est de 400, on doit avoir une tension approximativement égale à: = ( j )I = 400 ( 1.5 j.18) ( ) = Le rapport de transformation à utiliser dans ce cas sera de: a = 347.8/40 = = 0 A I = 500 = 0.3 Ω = 5. Ω Z P 1 = 8 kw Le facteur de puissance au primaire est: Le déphasage entre et est: P fp 1 = = = S 1 φ 1 = arccos( 0.8) = 36.9 La tension secondaire réfléchie au primaire est égale à: = ( j ) = 500 ( 0.3 j5.) = La tension secondaire est: = = = a 5 En négligeant le courant d excitation I0, on a: I = A Le déphasage entre la tension et le courant dans la charge est: φ = I = ( 10.4 ) ( 36.9 ) = 6.5 Le facteur depuissance de la charge est: fp = cos( 6.5 ) = 0.895

5 GEL1516 Électrotechnique Le rapport de transformation: a = La valeur nominale du courant primaire: (nom) = 30000/40 = 15 A La résistance est: = R 1 R = = 0.8 Ω La réactance est: = X 1 X = = 0.44 Ω = 15 A I Charge 0.8 Ω 0.44 Ω = 40 = 40 Z Diagramme vectoriel: I B I C On écrit: Alors: φ 15 A tgβ = = = β = 57.5 AH ( AB) ( ) On a: cosα = = = = AC AC 40 Alors: α = 8. On déduit: φ = 180 α β = = 40.3 Le facteur de puissance de la charge est: fp = cos( 40.3 ) = A α H A β 55 φ I L essai en courtcircuit donne: cc = 57.5 = 8.34 A P 1cc = 84 W La résistance est: La réactance est: P 1cc 84 = = 8.34 = 4Ω cc ( ) = = 5.6Ω 0000 Le courant nominal au primaire est: ( nom) = = 8.33A 400 La chute de tension dans le transformateur est égale à ( j ). On a: = 33.3 et = 46.65

6 GEL1516 Électrotechnique 6 Diagramme vectoriel: = 400 Le facteur de régulation maximal (le plus mauvais!) est obtenu lorsque la différence entre et est maximale. Cette condition est illustrée dans le diagramme vectoriel suivant: φ = = φ = Dans ce cas, et sont en phase. La chute de tension est: = = Le facteur de régulation dans ce cas est: reg = =.4 % Les conditions nominales de fonctionnement du transformateur sont indiquées dans la figure suivante 0 A 100 A a) Autotransformateur de rapport 600 / 480 Schéma de câblage 0 A 100 A Charge Capacité en puissance: S = 480 x 100A = 48 ka b) Autotransformateur de rapport 600 / 70 Schéma de câblage 0 A 100 A Charge Capacité en puissance: S = 70 x 100A = 7 ka

7 GEL1516 Électrotechnique 7 c) Autotransformateur de rapport 10 / 480 Schéma de câblage 480 Charge 0 A 100 A Capacité en puissance: S = 480 x 0A = 9.6 ka d) Autotransformateur de rapport 10 / 70 Schéma de câblage Charge 70 0 A 100 A Capacité en puissance: S = 70 x 0A = 14.4 ka 4.9 aleurs de base au primaire S b = 0 ka bp = 00 I bp = S b / bp = 9.09 A Z bp = bp /I bp = 4 Ω aleurs de base au secondaire S b = 0 ka bs = 0 I bs = S b / bs = 90.9 A Z bs = bs /I bs =.4 Ω a) On convertit les paramètres du transformateur en unités réduites: R 1 =.5/4 = pu R = 0.03/.4 = pu X 1 = 10/4 = pu X = 0.1/.4 = pu = 5000/4 = pu b) Une charge de 0.75 pu (avec fp = 0.85 AR / angle φ = 31.8 ) est connectée au secondaire. La tension secondaire est prise comme référence de phase: = 1/0 Le courant secondaire est: I = 0.75/31.8 Le circuit équivalent: I = 0.75/31.8 = 1/0 Z Charge La tension au primaire est: En valeur numérique: = ( j )I = 1 ( 0.07 j0.086) = = =

8 GEL1516 Électrotechnique Essai à vide: I co = 5.41 A co = 40 I c φ co = arcos(186/(40x5.41)) = 81.8 co = 40 P co = 186 W I m I co = 5.41 A Le courant I c est: Le courant I m est: La résistance est: I c I m P co 186 = = = 0.775A 40 co I co = I c = = 5.354A co 40 = = = Ω I c La réactance est: La résistance au primaire: La résistance au primaire: Essai en courtcircuit: co 40 = = = 44.83Ω I m = a = Ω = kΩ = a = Ω = 4.483kΩ = 0.83 A cc = 48 cc = 48 j P 1cc = 617 W φ 1co = arcos(617/(48x0.83)) = 51.9 La résistance est: P 1cc 617 = = 0.83 = 1.4Ω La réactance est: On peut partager en deux et pour obtenir la valeur de R 1, R, X 1 et X : R 1 = R = = 0.71Ω et X 1 = X = = 0.91Ω b) Calcul du rendement du transformateur dans les conditions nominales de fonctionnement: Le rendement est: cc ( ) = = 1.8Ω P η = = = 0.98 P PertesFer PertesCuivre

9 GEL1516 Électrotechnique 9 c) Tension primaire: On a: = ( j )I = 400 ( 1.4 j1.8) = Facteur de régulation: reg = = a) Le courant nominal au primaire est égal à: ( nom) = = 4.35A 300 Le rendement du transformateur est maximal lorsque les pertes Cuivre sont égales aux pertes Fer: ( I ) = ou bien: On a: I = = R 1 R = = 11.85Ω Alors le rendement du transformateur sera maximal lorsque: 300 I = =.43A Ce courant représente (.43/4.35) = pu. La puissance apparente correspondante est aussi pu (ou ka). Le rendement maximal est: 8500 η max = 8500 ( ) = b) Le cycle de travail journalier du transformateur (avec une charge à fp = 0.85) est: 0.9 fois la charge nominale pendant 6 heures 0.5 fois la charge nominale pendant 10 heures sans charge pendant 8 heures Les pertes Fer sont constantes et égales à: 300 P Fe = = 70W Les pertes Cuivre varient comme le carré du courant. À 0.9 fois la charge nominale, les pertes Cuivre sont égales à 0.81 fois les pertes Cuivre nominales. À 0.5 fois la charge nominale, les pertes Cuivre sont égales à 0.5 fois les pertes Cuivre nominales. On établit le bilan de puissance suivant: Puissance active dans la charge Pertes Fer Pertes Cuivre Charge nominale 8500 W 70 W 4 W 0.9 fois la charge nominale 7650 W 70 W W 0.5 fois la charge nominale 450 W 70 W 56 W Sans charge 0 W 70 W 0 W

10 GEL1516 Électrotechnique 10 On trace la puissance active dans la charge et les pertes en fonction du temps: 7650 W Puissance active dans la charge 450 W W Pertes Cuivre Pertes Fer 0 70 W 56 W t heure On fait le bilan d énergie pour une période de 4 heures: Énergie délivrée à la charge (7650 x 6) (450 x 10) = W.h Énergie perdue dans le Cuivre (181.5 x 6) (56 x 10) = 1649 W.h Énergie perdue dans le Fer (70 x 4) = 1680 W.h Le rendement énergétique (sur une base journalière) du transformateur sera donc: η energie = = I = 600 = 10 I 3 3 = 40 Ω j.8 Ω 15 Ω j15 Ω 10 a) Le courant dans le bobinage 10 : I = = = A j j0.946 j.8 Le courant dans le bobinage 40 : Le courant dans le bobinage primaire est: = I 600 I3 = = A 3 40 I 3 = = = ( j15) 7.5 j j ( ) ( ) b) L impédance équivalente vue par la source est égale à: Z 1 = = = Ω A

11 GEL1516 Électrotechnique 11 c) On choisit les valeurs de base au primaire et aux secondaires: Primaire Secondaire 1 Secondaire Puissance apparente de base A A A Tension de base Courant de base 5 A 15 A 6.5 A Impédance de base 4 W 0.96 W 3.84 W Le même transformateur en système grandeur réduite: I = 1 = 1 3 = 1 I j.9167 j3.906 Le circuit équivalent au primaire: I = j.9167 I j3.906 Le courant I est: Le courant I 3 est: 1 I = =.0833 j j I 3 = = j j3.906 Le courant est la somme des deux courants: = I I 3 = ( ) ( ) = Impédance équivalente vue par la source: 1 Z 1 = = = En valeurs réelles, on a: I = = A I 3 = = A = = A Z 1 = = Ω

12 GEL1516 Électrotechnique Essai à vide: I c I co = 0.95 A co = 600 φ co = arcos(58/(600x0.95)) = 84. co = 600 P co = 58 W I m I co = 0.95 A Le courant I c est: Le courant I m est: La résistance est: I c I m P co 58 = = = A 600 co I co = I c = = 0.945A co 600 = = = 605Ω I c La réactance est: co 600 = = = 635Ω I m La résistance au primaire: La résistance au primaire: = a = Ω = 99.8kΩ = a = Ω = 10.16kΩ Essai en courtcircuit: = 4.17 A cc = 64 cc = 64 j P 1cc = 17 W φ 1co = arcos(17/(64x4.17)) = 49.9 La résistance est: P 1cc 17 = = 4.17 = 9.9Ω La réactance est: cc ( ) = = 11.7Ω On peut partager en deux et pour obtenir la valeur de R 1, R, X 1 et X : R 1 = R = = 4.95Ω X 1 = X = = 5.85Ω

13 GEL1516 Électrotechnique 13 Circuit équivalent du transformateur référé au primaire: R 1 X 1 X I R 1 I 4.95 Ω 5.85 Ω 4.95 Ω 5.85 Ω 99.8 kω kω b) Une charge inductive (3j5)Ω est connectée au secondaire. Diagramme vectoriel: φ ReqI j I I Circuit équivalent référé au primaire: I1 I 9.9 Ω 11.7 Ω Z eq Z 16 x (3 j5) Ω La tension est donnée par: Z 16( 3 j5) = Z Z s = eq 16( 3 j5) ( 9.9 j11.7) = La tension au secondaire est: = = = a 4 c) Un condensateur (j40ω) est connecté au secondaire. Diagramme vectoriel: I j I I

14 GEL1516 Électrotechnique 14 Circuit équivalent référé au primaire: I1 I 9.9 Ω 11.7 Ω Z eq Z 16 x (j40 Ω) La tension est donnée par: Z 16( j40) = Z Z s = eq 16( j40) ( 9.9 j11.7) = La tension au secondaire est: = = = a 4

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