Tutoriel PretopoLib. Vincent Levorato. Laboratoire d Informatique et des Systèmes Complexes - EPHE. vincent.levorato@ephe.sorbonne.

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1 1 / 33 Tutoriel PretopoLib Vincent Levorato Laboratoire d Informatique et des Systèmes Complexes - EPHE vincent.levorato@ephe.sorbonne.fr

2 2 / 33 Plan de l exposé 1. Présentation de la structure globale 2. Etudes des différentes classes PretopoEdges PretopoSpace 3. Visualisation 4. Réalisation de simulations

3 3 / 33 PretopoLib Le langage utilisé est JAVA. Portable Possède un grand nombre d applications «tierce partie». La représentation des ensembles en JAVA se fait grâce au paquetage java.util.hashmap : on utilise des tables de hachage pour stocker les données la complexité amortie en opérations est de l ordre de Θ(1) (avec un «bon» facteur de charge) Soufian Ben Amor, Vincent Levorato, and Ivan Lavallée. Generalized percolation processes using pretopology theory. In Proceedings IEEE of RIVF 07, pages , Hanoï, Vietnam, IEEE Society. Vincent Levorato and Marc Bui. Data structures and algorithms for pretopology : the java based software library pretopolib. In Proceedings of the 8th International Conference on Innovative Internet Community Systems, pages , Schoelcher, Martinique, IEEE. Vincent Levorato. PretopoLib. Dépôt à l Agence pour la Protection des Programmes, IDDN.FR R.P , Paris, 2008.

4 4 / 33 Table de hachage La position d un objet x est calculée par la fonction h(x) dit de hachage. Par défaut, les éléments de la table sont non-ordonnés. Complexité amortie des opérations en Θ(1). Une fonction de hachage est non-injective d où des risques de collisions que l on traite par : le hachage ouvert le hachage par chaînage.

5 5 / 33 Rappels Interface mère : Collection parcourue un objet Iterator de ces éléments.

6 6 / 33 Rappels (2) L interface Map définit la notion de table de correspondance : Clé valeur Une Map est un ensemble de couples (clé, valeur).

7 7 / 33 Structure de PretopoLib (HashSet) Set HashMap PretopoEdges E Relations sur E (HashMap) Ou / Et Table de relations PretopoSpace Adhérence (redéfinissable)

8 8 / 33 Structure de données pour les adhérences statiques La table de correspondance des adhérences de E est transformée en table de hachage. Avantage : complexité amortie en temps en O(1). Inconvénient : complexité en espace dans le pire cas en O(2 n ). P(x) a x x, z y y z z x, y x, y x, z x, z y, z E E E Clé Valeur x x, z y, z x, y, z

9 Structure de données pour les adhérences dynamiques On construit les relations entre éléments dans une table de hachage comme une liste d adjacence. Avantage : complexité en espace en O(nm). Inconvénient : complexité en temps dans le pire cas en O(n 2 ). a b d val. val. a b c e d b val. val. val. c a 9 / 33 d c e e val. c val. d val.

10 10 / 33 Set Ensemble d éléments (java.util.set) Type : HashSet Implémente des opérations ensemblistes standards par la librairie com.google.common.collect.sets Contains (Set) Equals (Set) Add (Set) ContainsAll (Set) Intersection, Union, Difference (google Collections)

11 11 / 33 PretopoEdges Composé d une table de relations. Type : HashMap Une relation est composée : D un label (chaîne) D une table de liens (HashMap) et/ou D une table de correspondance (HashMap) Deux fonctions principales : boolean NeighbFunction(Elmt elt, PretopoNodes A) et/ou void putrelation(pretoponodes A, PretopoNodes B) PretopoNodes gettablerelation(pretoponodes set)

12 12 / 33 PretopoSpace Composé de : Set (E) PretopoEdges (Relations) Définit l adhérence. public PretopoNodes pseudoclosure(pretoponodes set, String rel_label, Object param) Regroupe la plupart des algorithmes en prétopologie.

13 13 / 33 Visualisation Utilisation de la librairie Prefuse (anciennement) et JUNG plus récemment. Prefuse et JUNG sont des librairies permettant de dessiner des graphes, des groupes, etc. La partie visualisation est indépendante de la partie calcul. PretopoLib Prefuse

14 14 / 33 Correspondance entre l écriture mathématique et le code Soit A un ensemble. A=new HashSet() ; La classe Set Soit x B, B un ensemble (singleton). Set B=singleton(x) ; Soit x, y C, C un ensemble. Set C=new HashSet() ; C.add(x) ; C.add(y) ; Soit D un ensemble tel que D = B C Set D=new HashSet() ; Set.intersection(B,C).copyInto(D) ;

15 15 / 33 Création de relation binaire La classe Relation Table des liens : rel_list=new HashMap<X,HashMap<X,Object»() ; Soit R une relation binaire. Relation R=new Relation("ma relation binaire") ; Il existe un arc entre x et y. R.addLink(x,y) ; Il existe une arête entre x et y. R.addSymLink(x,y) ;

16 16 / 33 Fonction de voisinage (relations binaire) R(x) A public boolean NeighbFunction (X elt, PretopoNodes A) boolean b= false ; HashMap<X, Object > l =(HashMap<X, Object >) r e l _ l i s t. get ( e l t ) ; i f ( l!= null ) I t e r a t o r <Elmt > i t r = l. keyset ( ). i t e r a t o r ( ) ; while ( i t r. hasnext ( ) &&! b ) Elmt e l t t = i t r. next ( ) ; i f (A. contains ( e l t t ) ) b=true ; return b ;

17 17 / 33 Création de relation valuée La classe RelationV Soit R une relation valuée. RelationV R=new RelationV("ma relation valuée") ; Il existe un arc entre x et y associée à la valeur v R. R.addLink(x,y,v) ; Il existe une arête entre x et y associée à la valeur v R. R.addSymLink(x,y,v) ;

18 Fonction de voisinage (relations valuées) v(x, y) s y A public boolean NeighbFunction (X elt, PretopoNodes A, double threshold ) boolean b= false ; double t o t a l =0; I t e r a t o r <X> i t r =A. getnodeset ( ). i t e r a t o r ( ) ; while ( i t r. hasnext ( ) && b!= true ) X A_elmt= i t r. next ( ) ; HashMap<X, Object > l =(HashMap<X, Object >) r e l _ l i s t. get ( e l t ) ; i f ( l!= null ) I t e r a t o r i t r _ r = l. entryset ( ). i t e r a t o r ( ) ; while ( i t r _ r. hasnext ( ) ) Entry <X, Double> e n t r y = ( Entry ) i t r _ r. next ( ) ; i f ( e n t r y. getkey ( ). equals ( A_elmt ) ) t o t a l += e n t r y. getvalue ( ) ; 18 / 33 i f ( t o t a l >= t h r e s h o l d ) b=true ; return b ;

19 19 / 33 Espace métrique La classe RelationB Soit R une "relation métrique". RelationB R=new RelationB("ma métrique") ; La notion de proximité entre les éléments se fait par leurs coordonnées. set_coord(x elt, ArrayList<Double> l) ; set_coord(e elt, double x, double y) ;

20 20 / 33 Fonction de voisinage (espace métrique) B(x, r) A public boolean NeighbFunction (X elt, PretopoNodes A, Ball b a l l ) boolean b= false ; I t e r a t o r <X> i t r =A. getnodeset ( ). i t e r a t o r ( ) ; while ( i t r. hasnext ( ) && b!= true ) X A_elmt= i t r. next ( ) ; i f ( distance ( e l t, A_elmt )<= b a l l. getradius ( ) ) b=true ; return b ;

21 21 / 33 Autre méthode de voisinage : la table de correspondance A un ensemble correspond son adhérence. TableRelation=new HashMap<Set,Set>() ; void putrelation(set A, Set B) ; PretopoNodes gettablerelation(set set) ; void cleartablerelation() ; Utilisation ou non de la table de correspondance : void setusetr(boolean b) ; boolean getusetr()

22 22 / 33 Ensemble des relations d un espace La classe PretopoEdges On regroupe toutes les relations de l espace prétopologique avec leurs fonctions de voisinage dans un seul objet. PretopoEdges relations=new PretopoEdges() ; relations.addrelation(r1) ; relations.addrelation(r2) ; relations.addrelation(r3) ;

23 23 / 33 Création de l espace prétopologique La classe PretopoSpace Un espace est composé d un ensemble d éléments (Set) et d un ensemble de relations (PretopoEdges). PretopoSpace espace=new PretopoSpace(E,relations) ;

24 24 / 33 Définition de l adhérence La classe PretopoSpace L adhérence par défaut est construite selon les bases de la théorie de la prétopologie pour chaque type d espace : (binaire) A P(E), a(a) = x E, R(x) A (valué) A P(E), a(a) = x E A, y A v(x, y) s A (métrique) A P(E), a(a) = x E, B(x, r) A public PretopoNodes pseudoclosure(set set, String rel_label, Object param) (binaire) param null (valué) param réel (double) (métrique) param boule (Ball)

25 Définition de l adhérence avec une relation binaire A P(E), a(a) = x E, R(x) A public PretopoNodes pseudoclosure ( Set set, String rel_ label, Object param ) Set pseudocset ; pseudocset=new HashSet ( set ) ; Set E = new HashSet ( ) ; Sets. d i f f e r e n c e ( Nodes, set ). copyinto (E ) ; i f ( param== null ) / / binary r e l a t i o n s space Relation r = Relations. getrelation ( r e l _ l a b e l ) ;... I t e r a t o r i t r =E. getnodeset ( ). i t e r a t o r ( ) ; while ( i t r. hasnext ( ) ) Object e l t = i t r. next ( ) ; i f ( r. NeighbFunction ( e l t, set ) ) pseudocset. add ( e l t ) ;... return pseudocset ; 25 / 33

26 Définition de l adhérence avec une relation valuée A P(E), a(a) = x E A, y A v(x, y) s A public PretopoNodes pseudoclosure ( Set set, String rel_ label, Object param ) Set pseudocset ; pseudocset=new HashSet ( set ) ; Set E = new HashSet ( ) ; Sets. d i f f e r e n c e ( Nodes, set ). copyinto (E ) ; 26 / 33 / / valued r e l a t i o n s space i f ( param. getclass ( ). equals ( Double. class ) param. getclass ( ). equals ( I n t e g e r. class ) ) RelationV r =( RelationV ) Relations. getrelation ( rel_ label ) ;... I t e r a t o r i t r = E. getnodeset ( ). i t e r a t o r ( ) ; while ( i t r. hasnext ( ) ) Object e l t = i t r. next ( ) ; i f ( r. NeighbFunction ( e l t, set, ( Double ) param ) ) pseudocset. add ( e l t ) ;...

27 27 / 33 Définition de l adhérence dans un espace métrique A P(E), a(a) = x E, B(x, r) A public PretopoNodes pseudoclosure ( PretopoNodes set, String rel_ label, Object param ) Set pseudocset ; pseudocset=new HashSet ( set ) ; Set E = new HashSet ( ) ; Sets. d i f f e r e n c e ( Nodes, set ). copyinto (E ) ; i f ( param. getclass ( ). equals ( B a l l. class ) ) / / metric space I t e r a t o r i t r =E. getnodeset ( ). i t e r a t o r ( ) ;... while ( i t r. hasnext ( ) ) Object e l t = i t r. next ( ) ; i f ( r e l. NeighbFunction ( e l t, set, ( B a l l ) param ) ) pseudocset. add ( e l t ) ;... return pseudocset ;

28 28 / 33 Méthodes de PretopoSpace Méthodes prétopologiques de base : Adhérence pseudoclosure Intérieur interior Fermeture closure Ouverture opening Famille des fermés élémentaires getallelementaryclosedsubsets Famille des fermés minimaux getallminimalclosedsubsets

29 29 / 33 Méthodes de PretopoSpace Classification : MCPR MCPR MCP MCP Classes d équivalences EquivalenceClasses Encadrement : Partition moins fine CoarsestPartition Partition plus fine FinestPartition Autres méthodes : Bord b... entre autres. Séparation entre ensembles separated Composantes fortement connexes getallstronglyconnectedcomponents Pseudo-distance (Hausdorff) pseudodistance ɛ-centres ecenters

30 <space> <nodes> / / nodes l i s t <item > <label >name of the element </ label > <x>optionnal x coordinate </ x> <y>optionnal y coordinate </ y> <z>optionnal z coordinate </ z> </ item >... </nodes> < links > <binary > / / b i n a r y r e l a t i o n <label >name of the relation </ label > < relation > <item1 >source element </ item1 > <item2 > t a r g e t element </ item2 > </ relation > </ binary > <valued > / / valued r e l a t i o n <label >name of the relation </ label > < relation > <item1 >source element </ item1 > <item2 > t a r g e t element </ item2 > <value >value of the relation </ value > </ relation > </ valued > </ l i n k s > </ space> 30 / 33 Création d un espace à partir d un fichier XML PretopoFile pf=new PretopoFile() ; PretopoSpace espace=pf.loadxml(nom du fichier) ;

31 31 / 33 Visualisation d un espace Classe PretopoVisualization Extension de la classe prefuse.display elle-même extenstion de javax.swing.jcomponent. PretopoVisualization pv = new PretopoVisualization(E,liste des relations,«paramètre de visualisation») ; vue radiale (PretopoVisual.PretopoVisualization.NORMAL) vue sous forme de grille (PretopoVisual.PretopoVisualization.GRID) vue aléatoire (PretopoVisual.PretopoVisualization.RANDOM) vue fixe utilisant les coordonnées (PretopoVisual.PretopoVisualization.FIXED)

32 32 / 33 Méthodes : Visualisation d un espace Classe PretopoVisualization (Méthodes) Coloration automatique d un groupe : setgroup(pretoponodes group_nodes,int igrp) ; Coloration manuel d un groupe : setgroup(pretoponodes group_nodes,color color) Effacement des groupes : resetgroup() Affichage ou non des liens : showlinks() hidelinks() Changer l apparence du rendu : rearrange_display(int type) Coloration des noeuds : setnodecolor(pretoponodes A,Color color) ; Récupérer le label du noeud sur lequel on clique : getlastitemclicked() ;

33 33 / 33 Mise en pratique Ecrire une méthode adhérence basée sur cette notation : A P(E), a(a) = x E, i 1,..., n R i (x) A Ecrire une simulation de l article suivant : Christine Largeron and Stéphane Bonnevay. Une méthode de structuration par recherche de fermés minimaux : application à la modélisation de flux de migrations inter-villes Papier présenté aux 5ème rencontres de la Société Française de Classification, Lyon, France, 1997.